Esame di Istituzioni di Matematica 2. 24 Gennaio 2017 Svolgere il

Esame di Istituzioni di Matematica 2.
24 Gennaio 2017
Svolgere il maggior numero di esercizi possibile
3
1. Data la curva γ(t) = (t2 , 1 + t3 ), per t ∈ [0, 1], calcolarne la lunghezza e
tracciarne un grafico qualitativo.
2. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy:
(
2
y 0 = xxy
2 +1
y(0) = 1
3. Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale
y 00 − 2y 0 + y = 2ex
√
4. Sia D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 2x3 ≤ y ≤ 2 x}. Si calcoli
Z Z
(x + y) dxdy .
D
5. (Solo per recupero 2 o 4 CFU - Dato il campo F (x, y) = (x + 2y, 2x − y),
determinare se esso sia o meno conservativo e, in caso affermativo, calcolarne
un potenziale V (x, y) tale che V (0, 0) = 4)
Rispondere sinteticamente alle seguenti domande:
a) Date due curve equivalenti γ1 e γ2 (richiamarne la definizione) dimostrare
che L(γ1 ) = L(γ2 )
b) Sotto quali condizioni (e perché) due soluzioni y1 e y2 di una equazione
differenziale del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti si dicono
indipendenti fra loro? (Ovvero quando posso scrivere ogni altra soluzione
come combinazione lineare di y1 e y2 ?)