CdL in Scienze Ambientali e Scienze dei Materiali

CdL in Scienze Ambientali
Esame scritto di Istituzioni di Matematiche - 11.03.2006
B
I)
Esercizi
1. Studiare la seguente funzione:
 x 1 
f ( x)  ln  3 
 x 1 
___________________________
2. Sia data la funzione: f(x)=1/ ln(2x+1).
a) Sviluppare tale funzione con formula di Taylor, arrestata al termine di secondo
ordine, con punto iniziale xo= 1.
b) Si chiede qual è l’errore percentuale di approssimazione con tale formula
rispetto al valore dato dalla calcolatrice, per x=2.
______________________________________
3. Risolvere la seguente equazione differenziale:
f ' (x)
 ln( 2 x)
2
2x
con la condizione:
1
f ( ) 1
e
(Si suggerisce l’integrazione per parti, che ricorrerà due volte e per scomposizione).
_____________________________________________
4. Data la seguente matrice:
A=
 1  1
  


a) Determinare autovalori e autovettori della matrice A per β = 2
b) Determinare per quali valori di β si ottengono autovalori reali.
II) VERO/FALSO (Le risposte devono essere argomentate)
1.- Dato nello spazio tridimensionale xyz un vettore incognito u e dato il vettore
v= - 3 K, condizione necessaria affinché il prodotto scalare u v sia nullo è che u sia: u = c
i (con i e k versori principali rispettivamente lungo x e z ).
2.- Il limite del rapporto incrementale di una funzione per x  0 definisce la derivata della
funzione nel punto origine dell’asse x.
3.- Data una funzione f(x) definita nell’ intervallo [a;b], essa non è derivabile in tale intervallo
se non soddisfa l’ipotesi del teorema fondamentale del calcolo integrale.
4.- Se una funzione f(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange in un intervallo [a;b],
allora vale per f(x), in [a;b], il teorema fondamentale del calcolo integrale.
5.- La seguente uguaglianza non è una equazione differenziale: dx = 1 - dy

6.- Il seguente integrale è divergente:
 dx

7.- L’intercetta della retta tangente nel punto x=1 alla curva di equazione
y= ln (1/x) è negativa.
8.- Una funzione nulla in ogni punto x di un ’intervallo [a,b] non soddisfa al teorema di
Lagrange.
2 f
0
9.- Data la funzione f(x;y;z)= x+y +z , si ha:
x 2
2

10.- La seguente uguaglianza è corretta ( i = unità immaginaria):
____________________________
2e
 i
6
 i
III) Quesito a risposta multipla: (le giustificazioni delle risposte non sono obbligatorie, ma,
ove presenti e corrette, costituiscono un valore aggiunto)
Ipotesi: Sia data una funzione f(x), definita nell’intervallo [-1;5], che in tale intervallo
soddisfi la tesi del teorema di Weierstrass.
Allora in [-1;5]: (Barrare le caselle con le affermazioni corrette)
 Il limite di f(x) per x  -1 può essere diverso da f(-1);  f(x) è necessariamente derivabile;
 L’ipotesi data assicura che f(x) è continua nel punto x=0;  f(x) può essere monotona
crescente in tutto l’intervallo [-1;5];  il valore di f(x) esiste ed è finito nel punto x=-1;  f(x)
può essere costante in [-1;5] ;  f(x) può rappresentare in [-1;5] un segmento di retta a
pendenza negativa;  f(x) non è sicuramente derivabile;. Esiste l’integrale indefinito di f(x);
 Il limite della funzione per x  0 non può essere  ;  f(x) è integrabile;  Il limite di f(x)
per x  5 può essere ;  f(x) può avere in [-1;5] un asintoto orizzontale;  f(x) può avere
in [-1;5] un asintoto verticale;  f(x) ha condominio chiuso e limitato.