PROVA SCRITTA SISTEMI DINAMICI Esercizio 1. Si

PROVA SCRITTA SISTEMI DINAMICI
Esercizio 1. Si calcoli la soluzione del problema di Cauchy

2 00

x y − 20y = −10
y(1) = a

y 0 (1) = b
cercando preliminarmente soluzioni dell’omogenea della forma y(x) =
xβ . Si stabilisca poi per quali valori dei dati iniziale la soluzione è
prolungabile a tutto l’asse reale. Per tali valori si stabilisca anche
se il prolungamento è unico. Infine si costruisca la matrice risolvente M (x, 1) del corrispondente sistema del primo ordine (cioè tale che
M (1, 1) = Id2×2 ).
Soluzione. Le funzioni della forma y(x) = xβ sono soluzioni se β(β −
1) − 20 = 0, e quindi se β = 5 o β = 4. Ne segue che la soluzione
generale dell’omogenea associata è
β
x4
Una soluzione particolare della non omogenea è data la funzione costante ȳ(x) = 12 . La soluzione generale della non omogenea è quindi la
funzione
β
1
y(x) = αx5 + 4 + .
x
2
È chiaro che le uniche soluzioni prolungabile a tutto l’asse reale sono
le funzioni che non hanno il termine xβ4 , le funzioni della forma y(x) =
αx5 + 12 , corrispondenti a dati iniziali
y(x) = αx5 +
1
y(1) = a = α + ,
y 0 (1) = b = 5α.
2
Vale il teorema di esistenza ed unicità locale tranne che nei punti del
piano in cui x = 0. Ne segue, come è facile verificare, che le funzioni
(
αx5 + 12
y(x) =
βx5 + 12
sono tutte soluzioni dello stesso problema di Cauchy qualunque sia
β ∈ R.
Costruiamo la matrice risolvente. Dobbiamo trovare le soluzioni del
sistema omogeneo tali che y(1) = 1, y 0 (1) = 0 e y(1) = 0, y 0 (1) = 1.
Data: 13 febbraio 2017.
1
2
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La prima soluzione è y(x) = 49 x5 + 9x54 , la seconda y(x) =
Troviamo che la matrice risolvente è

4
5
x5
1
5
x
+
−
4
4
9
9x
9
9x

M (x, 1) = 
5 4
20 4
20
4
x − 9x5 9 x + 9x5
9
x5
9
−
1
.
9x4
Esercizio 2. Si consideri il problema di Cauchy
(
y 0 = y 2 − x2 sin y
y(0) = 2
(1) Si discuta esistenza ed unicità locale.
(2) Si stimi l’intervallo massimale di esistenza della soluzione (T − , T + )
(3) Si disegni il grafico (qualitativo) della soluzione.
Soluzione. Poiché la funzione f (x, y) = y 2 − x2 sin y ∈ C ∞ (R2 ) vale
il teorema di esistenza ed unicı̀atà locale. La funzione y(x) = 0 è una
soluzione del problema, quindi la funzione ϕ(x), soluzione del problema
di Cauchy che stiamo studiando, è positiva in tutto il suo dominio di
definizione. Abbiamo anche che la ϕ(x) è sicuramente crescente nella
regione y 2 > x2 sin y.
Otteniamo subito che per qualche τ < 0 tale che 0 < y(τ ) = −τ
la soluzione ϕ(x) cresce in (τ, 0). Per t = τ incontra la curva φ(x)
definita da y 2 = x2 sin y (si vede subito che per ogni x < 0 esiste un
unico y ∈ (0, π) che soddisfa tale eguaglianza), e soddisfa 0 < y(x) <
φ(x) < π per ogni T − < x < τ . Questa limitatezza implica subito che
T − = −∞.
Per stimare T + osserviamo che
f (x, y) ≥ y 2 − 1
per (x, y) ∈ [0, 1] × [1, +∞)
Ne segue che la nostra soluzione ϕ(x) ≥ θ(x) per ogni x ∈ [0, 1] se θ(x)
è la soluzione del problema di Cauchy
(
y0 = y2 − 1
y(0) = 2
Facili calcoli mostrano che tale soluzione è
3 + e2x
y(x) =
3 − e2x
Ne segue subito che 0 < T + ≤ 12 log 3 ≈ 0, 5493 che la soluzione diverge
a +∞ quando x → T + .
Si veda il grafico della soluzione e della funzione θ in figura 1
Esercizio 3. Mostrare che l’equazione
log(xy) − x ex−y +1 = 0
definisce in un intorno del punto (1, 1) una funzione y = g(x). Se ne
calcoli lo sviluppo di Taylor al secondo ordine.
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3
5
2,5
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Figura 1. Le soluzioni del problema di Cauchy y 0 =
y 2 −x2 sin y, di condizione iniziale y(0) = 2, e la soluzione
di y 0 = y 2 − 1 con la stessa condizione iniziale.
Soluzione. Verifichiamo l’applicabilità del teorema del Dini. Posto
F (x, y) = log(xy) − x ex−y +1 abbiamo che F (1, 1) = 0 e che
∂F
1
(x, y) = + x ex−y
∂y
y
e quindi ∂y F (1, 1) = 2 6= 0. Per calcolare Taylor deriviamo l’identità
F (x, g(x)) = 0. Ne segue che log(xg(x)) − x ex−g(x) +1 = 0 e quindi
1 g 0 (x)
+
− ex−g(x) −x ex−gx (1 − g 0 (x)) = 0
x
g(x)
1
g 00 (x) g 0 (x)2
− 2+
−
− 2 ex−g(x) (1 − g 0 (x))
x
g(x)
g(x)2
− x ex−gx (1 − g 0 (x))2 + x ex−gx g 00 (x) = 0
da cui segue subito che g 0 (0) = 12 , g 00 (0) = 54 e quindi
5
1
g(x) = 1 + (x − 1) + (x − 1)2 + o((x − 1)2 )
2
8
Esercizio 4. Sviluppare in serie di Fourier nell’intervallo (0, π) la
funzione
f (x) = x(π − x)
Soluzione. Sviluppiamo la funzione come funzione dispari in (−π, π)
e poi estesa come funzione 2π-periodica. Dobbiamo quindi calcolare
Z
1 π
4
bn =
x(π − x) sin nx dx =
((−1)n+1 + 1)
π −π
πn3
da cui segue
+∞
X
8
x(π − x) =
sin(2n + 1)x
π(2n + 1)3
n=0
per ogni x ∈ [0, π]. La convergenza è uniforme in questo intervallo.