DISTRIBUZIONE DI POISSON (1)

DISTRIBUZIONE DI POISSON (1)
Il Processo di Poisson è descritto dalle
seguenti condizioni:
• Le
realizzazioni
degli
eventi
sono
indipendenti (il verificarsi di un evento non
ha alcun effetto sulla probabilità di verificarsi
dell’evento una seconda volta);
• Teoricamente
è
possibile
che
vi
sia
un
numero infinito di realizzazioni dell’evento;
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DISTRIBUZIONE DI POISSON (2)
Se x è il numero di volte in cui si verifica un
evento casuale in un intervallo di tempo o
spazio, la probabilità che x si verifichi è data da:
−λ
λ
e λ
f ( X = x) =
x!
x
è chiamata parametro della distribuzione e
rappresenta
la
media
della
distribuzione
(numero medio di volte in cui l’evento casuale
si verifica nell’intervallo)
e
è il numero di Nepero, pari a 2.7183
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PROPRIETA’ DELLA DISTRIBUZIONE DI
POISSON
o La media e la varianza sono uguali;
o La distribuzione di Poisson è il limite per n che
tende all’infinito e con λ = np della distribuzione binomiale; quindi quando n è molto grande e
p è molto piccola, la distribuzione binomiale può
essere approssimata con una di Poisson avente
media λ = np
(di solito tale approssimazione è accettabile per
np ≤ 10 e np > 50 )
Per tale motivo la distribuzione di Poisson è
anche chiamata distribuzione per eventi rari.
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DISTRIBUZIONE DI POISSON (3)
• Quindi
la
distribuzione
di
Poisson
è
adatta a descrivere un’importante classe
di fenomeni in cui, su un grande numero
n di prove, in ciascuna delle quali la
probabilità
di
successo
verificano mediamente
λ
è
piccola,
si
successi
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DISTRIBUZIONE DI POISSON (4)
La distribuzione di Poisson è usata come modello
in cui gli eventi o le realizzazioni di un processo,
distribuiti a caso nello spazio e nel tempo, sono
dei conteggi, ovvero sono delle variabili discrete.
Esempio:
Sotto l’assunzione che la distribuzione di qualche
parassita
fra i singoli individui ospite segua la
legge di Poisson, si può, con la conoscenza del
parametro
λ,
calcolare la probabilità che un
individuo ospite scelto a caso porti un numero x di
parassiti.
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DISTRIBUZIONE DI POISSON (5)
La distribuzione di Poisson è molto
usata come modello di probabilità in
medicina e biologia.
F.
A.
Hainght
riporta
un
elenco
abbastanza consistente di tali applicazioni
nel
capitolo
7
del
suo
libro
“Handbook of Poisson Distribution”.
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Esempio:
In uno studio sui suicidi, si è trovato che la
distribuzione mensile dei suicidi degli adolescenti
nella contea di Cook, nell’Illinois, fra il 1977 e il
1987, si approssimava bene con una distribuzione di Poisson con parametro
λ = 2.75
La probabilità che, scegliendo un mese a caso, si
sia verificato un numero di suicidi di adolescenti
pari a tre è data da
e −2.75 2.753 ( 0.063928 )( 20.796875 )
P ( X = 3) =
=
=
3!
6
7
= 0.221584
Assumendo che i suicidi futuri degli
adolescenti seguiranno una distribuzione
di Poisson, la probabilità che in un mese
futuro scelto a caso si verificheranno tre
o quattro suicidi è data da
P ( X = 3) + P ( X = 4 ) = 0.221584 +
e
−2.75
4
2.75
=
4!
= 0.221584 + 0.152338 = 0.373922
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