se il numero di prove n diventa molto grande e

VARIABILI CASUALI (ALEATORIE) DISCRETE
FUNZIONE DI RIPARTIZIONE
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
DISTRIBUZIONE DI POISSON
X  P()
La distribuzione di Poisson si può ricavare come caso particolare della
distribuzione binomiale: se il numero di prove n diventa molto grande e
contemporaneamente la probabilità p di successo in una singola prova molto
piccola (n  20; p  0.05).
In tal caso,  coincide con la media della distribuzione:
 = np
e
p( X  k ) 
k
k!
 e 
La percentuale di pezzi difettosi prodotti da una macchina e', in media, dello
0,2%. Calcolare la probabilità che in una confezione di 1000 pezzi ce ne siano 8
difettosi.
Bernoulli:
Poisson:
Più in generale, la distribuzione di Poisson è impiegata per descrivere la
probabilità che si verifichino un numero di eventi indipendenti e
completamente casuali di cui è noto solo il numero medio . (probabilità
degli eventi rari)
p( X  k ) 
k
k!
 e 
M(X) = 
VAR(X) = 
Supponiamo di voler calcolare la probabilità che una qualsiasi persona adulta abbia
bisogno del medico nell'arco di un anno. Utilizziamo a questo scopo alcuni dati rilevati
a Philadelphia nel 1967 e riportati nella tabella seguente:
Queste cifre si adattano alla distribuzione di Poisson: il numero di persone che va dal
medico è positivo e inoltre è piccolo rispetto al totale del campione (il massimo della
distribuzione è proprio sullo 0!).
Ad una guardia medica arrivano in media 3,5 chiamate urgenti ogni ora. Calcolare la
probabilità che in un’ora arrivino 5 chiamate urgenti.
Si supponga che il numero delle chiamate che arrivano ogni secondo ad un centralino
telefonico sia una variabile casuale di Poisson con media 5.
a) Determinare la probabilità che in un determinato secondo non arrivi nessuna
chiamata.
b) Supponendo che il centralino sia in grado di soddisfare non più di 10 chiamate al
secondo, calcolare la probabilità di trovarlo occupato.
Ad un centralino arrivano delle chiamate con una densità media di 10 ogni ora.
Supponendo che il numero di chiamate in un qualsiasi intervallo di tempo sia
distribuito secondo la legge di Poisson, calcolare la probabilità con la quale
arrivano esattamente 3 chiamate in 2 minuti.
Secondo certe statistiche sugli USA, il numero medio annuo di annegamenti
accidentali e’ di 3 su 100000 abitanti. Trovate la probabilità che, in una città con
popolazione pari a 200000 abitanti, ci siano
1. due annegamenti accidentali all’anno
2. meno di tre annegamenti accidentali all’anno
Un certo tipo di foglio metallico, in media, ha 5 difetti per 10 mq. Se assumiamo
una distribuzione di Poisson, qual e’ la probabilita’ che un foglio di 15 mq abbia
almeno 3 difetti?