CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 11 gennaio 2003
Scrivere le risposte negli appositi spazi
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Nuovo Ordinamento
esercizi 1-4.
Vecchio Ordinamento
esercizi 1-6.
1. Un lotto contiene 2 pezzi difettosi e 28 buoni; da esso vengono estratti uno alla volta e senza
restituzione 4 pezzi. Calcolare la probabilità α di estrarre 2 pezzi difettosi consecutivamente.
α=
1
145
2. Si considerino tre eventi A, B, C tali che A ∧ B c = ∅; stabilire se l’assegnazione di probabilità
1
1
1
P (A) = , P (B) = , P (C) = è coerente. Determinare se esiste una distribuzione di probabilità
3
4
2
sui costituenti, che renda A e B stocasticamente indipendenti.
L’assegnazione è coerente ?
NO
SÌ
A e B sono stocasticamente indipendenti ?
NO
SÌ
3. Una persona di 50 anni chiede un rimborso ad un ente pubblico. Il tempo T (espresso in anni) di
1
disbrigo delle innumerevoli pratiche burocratiche ha distribuzione esponenziale di parametro µ = .
15
La durata X della vita dell’uomo (espressa in anni) ha la seguente distribuzione:
−λ(x−50)
λe
per x > 50
fX (x) =
0
per x ≤ 50
1
dove λ =
. Supponendo X e T indipendenti, calcolare la probabilità γ che tale persona (di 50
20
anni) muoia prima di riavere i propri soldi,
γ=
3
7
4. Sia data la seguente distribuzione congiunta di probabilità
-1
0
1
0
3
16
3
10
3
16
1
1
16
1
5
1
16
X
Y
Calcolare cov(X, Y ) e la probabilità condizionata p = P (min(X, Y ) ≥ 0| max(X, Y ) < 1). Stabilire se X e Y sono indipendenti.
cov(X, Y ) = 0
p=
8
13
X e Y sono indipendenti ? SÌ
NO
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 27 gennaio 2003
Scrivere le risposte negli appositi spazi.
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1. Una particella carica si muove in un campo elettrico percorrendo nel tempo t uno spazio s =
1 2
at + vo t, dove a e vo sono due costanti positive. Il tempo di vita della particella è un numero
2
aleatorio T con distribuzione esponenziale di parametro λ. Sia S lo spazio percorso dalla particella
nel suo tempo di vita. Si determini la previsione di S e la sua funzione di densità.
λp 2
− [
vo + 2as − vo ]
λ
a
vo
a
p
e
s>0
IP(S) = 2 +
fS (s) =
2 + 2as
v
λ
λ
o
0
s≤0
2. Un libro ha 400 pagine e la probabilità di Ai =“la pagina i-esima è priva di errori” è 0.98. Sia
X il numero di pagine che richiedono correzioni. Supposto che gli eventi Ai siano stocasticamente
indipendenti, si determini la distribuzione di X e si calcoli la probabilità p che ci sia almeno una
pagina nel libro con almeno un errore.
400
P (X = k) =
(0.02)k (0.98)400−k
p = 1 − (0.98)400
k
1
la probabilità che un pezzo prodotto sia difettoso. Il tecnico addetto al controllo di qualità
5
9
dispone di una macchina di collaudo che classifica con probabilità
difettoso il pezzo esaminato,
10
1
supposto che lo sia, e con probabilità , supposto che il pezzo sia buono. Determinare la probabilità
50
p1 che un pezzo scelto a caso sia classificato difettoso, e la probabilità p2 che un pezzo sia difettoso,
supposto che la macchina lo classifichi come tale.
3. Sia
p1 =
49
250
p2 =
45
49
2 7 1
4. Siano A, B, C tre eventi tali che A ∧ C = ∅ e aventi probabilità rispettivamente pari a ,
e .
5 10 2
Si determinino i valori ammissibili di probabilità dell’evento ((A ∧ B) ∨ C). Si stabilisca se esiste
una distribuzione di probabilità sui costituenti che renda i tre eventi stocasticamente indipendenti.
3 9
P ((A ∧ B) ∨ C) ∈ ,
A, B, C sono stocasticamente indipendenti? SÌ
NO
5 10
5. Gli utenti arrivano ad uno sportello di un ufficio postale secondo un processo di Poisson. Il numero
medio di arrivi in un’ora è 25. Sapendo che nelle prime due ore si sono presentati 40 utenti, si calcoli
la probabilità p che esattamente 20 utenti siano arrivati nella prima ora e 20 nella seconda.
40
1
40
p=
20
2
6 Contrassegnare con V (vero) o F (falso) le seguenti affermazioni:
- Due eventi scambiabili sono necessariamente logicamente indipendenti
- X è un numero aleatorio discreto tale che la sua distribuzione soddisfa la proprietà
di assenza di memoria, allora X ha distribuzione multinomiale
- Numeri aleatori stocasticamente indipendenti sono scambiabili
- Le lacune di un processo uniforme hanno la stessa varianza
- Se
X(t)
è
un
processo
stocastico
di
Wiener-Lèvy
allora
var[X(t + s)] = var[X(t)] + var[X(s)] + cov[X(t), X(s)]
F
F
F
V
F
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 14 giugno 2003
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Vecchio Ordinamento: 1 − 6; Civile, Trasporti, Nettuno :1 − 3.
1. Sia X un numero aleatorio con distribuzione uniforme in [0, 2]: calcolare il coefficiente di correlazione ρ(X, Y ), essendo Y = −1 + πX, e la cov(X, Y ). Calcolare la probabilità p dell’evento
(XY ≥ 0).
ρ(X, Y ) = 1
cov(X, Y ) =
π
3
p=1−
1
2π
2. Un lotto di 6 componenti contiene Y pezzi difettosi, con Y ≤ 2. Si effettuano 3 estrazioni senza
restituzione : sia X il numero aleatorio di pezzi difettosi tra i tre estratti.
Se P (Y = 0) = P (Y = 1) = p, determinare la probabilità α = P (Y = 0|X = 0). Determinare la
previsione di X per Y = 2.
α=
10p
11p + 2
IP(X) = 1
3. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con densità di probabilità f (x, y) = k(x+y) (dove k è un’opportuna
costante) nel triangolo di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 0) e 0 altrove. Determinare il valore di k e le densità
marginali di X ed Y .
3
3
(1 − x2 ) x ∈ [0, 1]
(1 − y 2 ) y ∈ [0, 1]
2
2
k =3
fX (x) =
fY (y) =
0
altrove
0
altrove
4. Sia (X, Y ) il vettore aleatorio dell’esercizio 3., stabilire se X ed Y sono scambiabili e stocasticamente indipendenti.
X e Y sono scambiabili ?
SÌ
NO
X e Y sono indipendenti ?
SÌ
NO
5. Dati due cerchi C1 e C2 di centro l’origine e raggi rispettivamente 1 e 2, sia C la corona circolare
determinata da C1 e C2 ed (X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme su C. Calcolare la
1
2
2 2
funzione di ripartizione Fz (z) e la densità di probabilità fZ (z) del numero aleatorio Z = (X +Y ) .
0
z≤1
2
2
z 1≤z<2
z −1
3
FZ (z) =
fZ (z) =
1<z≤2
3
0
altrove
1
z>2
6. Il numero degli arrivi a un casello autostradale è un processo di Poisson di intensità λ, sia X(t1 ,t2 ) il
numero di arrivi tra l’ora t1 e l’ora t2 . Sia Y = X(7,9) +X(17,19) , determinare la probabilità dell’evento
(X(7,8) = 20|Y = 90) e calcolare la funzione generatrice φ(t) di X(0,3) .
P (X(7,8)
70
90 3
= 20|Y = 90) =
20 490
it )
φ(t) = e−3λ(1−e
10 luglio 2003
INFORMATICA, Calcolo delle probabilità e statistica: nn.1–4
CIV. TRASP., Prob. e statistica I; NETTUNO, Prob. e statistica: nn.1–3
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1. Da un’urna contenente palline numerate da 1 a 4 si estrae a caso una pallina (indicare con Ek gli
eventi equiprobabili corrispondenti ai quattro possibili risultati). Posto A = E1 ∨ E2 , B = E2 ∨ E3 ,
C = E3 ∨ E1 , i tre eventi A, B, C sono stocasticamente indipendenti? Sono a due a due stocasticamente indipendenti?
indipendenti
NO
SÌ
a due a due indipendenti
SÌ
NO
2. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha codominio D = [0, 1] × [0, 2] e distribuzione uniforme in D.
Calcolare la densità marginale fX (x), la funzione di ripartizione marginale FY (y), e la probabilità
P (Y − X > 1).
fX (x) =
1
se 0 ≤ x ≤ 1
0
altrove
0y
FY (y) =
2
1
se y < 0
se 0 ≤ y < 2
P (Y − X > 1) =
se y ≥ 2
1
4
3. Siano X, Y due numeri aleatori, con Y = sin(−kX). Esistono valori di k tali che il coefficiente
di correlazione ρ(X, Y ) vale 1?
SÌ , k =
NO
4. Il tempo di attesa fino al primo guasto di una apparecchiatura è un numero aleatorio X con tasso
d’avaria h(x) = 27x2 . Verificare che h(x) possiede i requisiti per essere un tasso d’avaria e determinare la densità di probabilità f (x) di X.
tasso di avaria?
SÌ
NO
f (x) =
3
27x2 e−9x
0
se x > 0
altrove
22 luglio 2003
INFORMATICA, Calcolo delle probabilità e statistica: nn.1–4
V.O., Calcolo delle probabilità: nn.1–6
ELETTRONICA, Calcolo delle probabilità I mod.: nn.1–4
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1. Contrassegnare con V (vero) o F (falso) le affermazioni seguenti:
-
la conoscenza della distribuzione congiunta di un vettore aleatorio consente di deV
terminare le distribuzioni marginali
- la conoscenza delle distribuzioni marginali condizionate consente di determinare le
F
distribuzioni marginali non condizionate
- la conoscenza delle distribuzioni marginali consente di determinare la distribuzione
F
congiunta
- le distribuzioni marginali del vettore (X, Y ) si possono determinare, conoscendo la
F
distribuzione congiunta, solo se X e Y sono indipendenti
2. Un numero aleatorio X ha codominio D = [0, 1] ∪ [2, 3] e densità f (x) linearmente crescente
in [0, 1] e linearmente decrescente in [2, 3], con f (0) = f (3) = 0, f (1) = f (2). Determinare la
previsione di X, la sua funzione di ripartizione, e la probabilità dell’evento E = {1 ≤ X ≤ 2}.
IP(X) =
3
2
0
x2
2
1
, F (x) =
2
(x − 3)2
1−
2
1
x≤0
0<x≤1
1<x≤2
, P (E) = 0
2≤x≤3
x>3
3. Siano A, B, C eventi di probabilità positiva, con B e C incompatibili, e sia A stocasticamente
indipendente da B e da C. L’evento A è anche stocasticamente indipendente da B ∨ C ?
SÌ
NO
4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha codominio D = [0, 1] × [0, 1] e densità f (x, y) = αx + y. Determinare il valore della costante α, la probabilità degli eventi A = {X ≥ Y } e B = {X + Y ≥ 2}, e
stabilire (senza calcoli) se X e Y hanno la stessa distribuzione marginale.
α=1
P (A) =
1
2
P (B) = 0
stessa marginale
SÌ
NO
5. Contrassegnare con V (vero) o F (falso) le affermazioni seguenti:
-
le lacune di un processo uniforme non hanno la stessa distribuzione
le lacune di un processo uniforme non sono indipendenti
le lacune di un processo uniforme sono indipendenti e con la stessa distribuzione
la densità della seconda statistica d’ordine coincide con la densità della seconda
lacuna.
6. Determinare la funzione generatrice (dei momenti) del numero aleatorio X con densità
f (x) = |x| per −1 ≤ x ≤ 1 e f (x) = 0 altrove.
ϕ(t) = IP(etX ) =
et − e−t 2 − et − e−t
+
t
t2
F
V
F
F
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 20 settembre 2003
Vecchio Ordinamento:1–6; Elettronica, Informatica, Automatica:1–4,
Civile, Trasporti:1–3, Nettuno:1,2,4.
Scrivere le risposte negli appositi spazi
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Dati gli eventi A, B, C, con A ⊆ B ⊆ C, e tali che P (A) è un quarto della probabilità di B, la
cui probabilità è 4/7 di quella di C, determinare l’insieme E dei valori ammissibili (cioè coerenti) p
di P (B), e calcolare (in funzione di p) la previsione del numero aleatorio X = |A| + 2|B| + |C|.
4
E = {p : 0 ≤ p ≤ } ;
7
IP(X) = 4p
2. Dato un vettore aleatorio (X, Y ) con distribuzione uniforme sul cerchio di centro (0, 0) e raggio
2, calcolare le densità marginali, la cov(X, Y ), e determinare (sulla base della sola conoscenza di
quest’ultima) le due rette di regressione.
1√
4 − z2
−2 ≤ z ≤ 2
fX (z) = fY (z) =
, cov(X, Y ) = 0
2π
0
altrove
rette di regressione: x = 0 ,
y =0
3. Si considerino n numeri aleatori X1 , X2 , ..., Xn , indipendenti e con lo stesso scarto standard σ = 2.
Per quali valori di n la loro media aritmetica ha scarto standard minore di 1/2?
n > 16
4. Il tempo di attesa fino al primo guasto di una data apparecchiatura è un numero aleatorio X, con
tasso di avaria h(x) = πx3 . Determinare la funzione di sopravvivenza S(x) = P (X > x) di X.
− π x4
e 4
x>0
S(x) =
1
x≤0
5. Da un’urna contenente 5 palline bianche e 2 nere si effettuano 4 estrazioni senza restituzione,
ottenendo X palline bianche. Calcolare la funzione generatrice ϕ(t) di X − 2.
1
ϕ(t) = (2 + 4t + t2 )
7
6. Quattro veicoli arrivano a caso e indipendentemente in una data località durante l’intervallo di
tempo [0, 5]. Se X e Y sono, rispettivamente, i tempi di attesa fino all’arrivo del primo e dell’ultimo
veicolo, calcolare la previsione µ di 2Y − X e la densità f (x) di X.
x 3
4
1−
x ∈ [0, 5]
µ=7 ;
f (x) =
5
5
0
altrove
