Calcolo della probabilità
Spazio dei risultati
Se si esegue una prova (es. tiro di un dado) si indica con U tutti i possibili
risultati che può dare.
U
E
E=evento
U=universo
Evento:
- aleatorio: può accadere E ⊆ U
- certo: accade di sicuro E=U
- impossibile: E ∩ U = ∅
Probabilità classica (Pascal)
Si può utilizzare SOLO se i casi sono equiprobabili (es si può utilizzare con il
lancio di un dado, ma non di un dado truccato)
La probabilità che è si verifichi è
casi favorevoli
p( E ) =
casi possibili
0 ≤ p( E ) ≤ 1
Probabilità assiomatica
1° assioma: se E è un evento p ( E ) ≥ 0
2° assioma: p(U)=1
3° assioma: se 2 eventi A e B sono INCOMPATIBILI cioè A ∩ B= ∅ Æ
Æ p(A ∪ B)=p(A)+p(B)
p ( A ∩ B) p( B / A) p( A)
4° assioma: p ( A / B) =
=
dove p(A/B) è la probabilità cheA si
p( B)
p( B)
verifichi essendo già accaduto B. Allo stesso modo p(B/A) è la probabilità di B
essendo già accaduto A. Questo si chiama EVENTO SUBORDINATO o
CONDIZIONATO.
Teorema 1
__
p( A) = 1 − p( A) dove
___
A è l’evento complementare
dim:
__
A∪ A =U
__
A∩ A = ∅
dato che la loro intersezione è nulla, A ed il suo complementare sono eventi
incompatibili Æ
__
__
p( A ∪ A) = p( A) + p( A)
ma
__
p( A ∪ A) = p(U ) = 1
__
__
p( A) + p( A) = 1 → p( A) = 1 − p( A)
c.v.d .
Teorema 2
Generalizzazione del 3° assioma
p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B )
Evento totale
U
A
H1
H2
H3
Hn
A evento trasversale
Siano H1, H2, … Hn una partizione di U e sia A un eventi trasversale rispetto ad
essi
p( A) = p ( A ∩ H1 ) + p ( A ∩ H 2 ) + ... + p ( A ∩ H n ) =
= p( A / H1 ) p ( H1 ) + p ( A / H 2 ) p ( H 2 ) + ... + p ( A / H n ) p ( H n )
es. un esempio di evento trasversale: hai 2 urne. Nella prima ci sono 3 palline
rosse e 2 nere. Nella seconda ce ne sono 7 rosse e 5 nere. Come evento
trasversale potresti considerare “estrarre una pallina rossa”. Sarà, a parole, la
probabilità di estrarre una pallina rossa, avendo scelto l’urna 1, per la
probabilità di scegliere l’urna 1 più la probabilità di estrarre una pallina rossa
avendo scelto l’urna 2 per la probabilità di scegliere l’urna 2. In numeri:
3 1 7 1
p ( A) = * + *
5 2 12 2
Teorema di Bayes
Risalire alle cause vedendo l’effetto
p( A / B) =
p( B / A) p( A)
p( B)
STATISTICA
Sia X una variabile casuale reale (può assumere tutti i valori di R).
p(X=x) si assume nulla
Si calcola la probabilità che X cada in un intervallo quindi, perché la probabilità
che assuma un valore ben preciso è tendente a 0. Il calcolo della probabilità è
basato su una funzione, detta funzione densità di probabilità che gode di 3
proprietà fondamentali:
1. E’ sempre positiva
f ( x) ≥ 0
∀x ∈ D
2. L’integrale da -∞ a +∞ di f(x) vale 1
∫
+∞
−∞
f ( x) dx = 1
3. La probabilità che X cada in un intervallo [a,b] è l’integrale di f(x)dx da a
b
a b.
p (a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dx
a
a
b
La probabilità che X assuma un valore compreso tra a e b è rappresentata
dall’area colorata in rosso, quindi dall’integrale calcolato nell’intervallo [a,b].
Si definisce allora la funzione di ripartizione, cioè la funzione integrale per
definizione calcolata da -∞ ad x di f(t)dt.
Es.
⎧0
⎪
f ( x) = ⎨3 x 2
⎪0
⎩
f(x)
∫
1
0
rispetta
3 x 2 dx = 3[
x<0
0 ≤ x ≤1
x >1
tutte
3
le
x 1
]0 = 1
3
condizioni:
non
è
negativa
in
nessun
punto
e
La funzione di ripartizione allora sarà
x<0
⎧0
⎪⎪ x 2
F ( x) = ⎨ ∫ 3t dt = [t 3 ]0x = x3
0
⎪
⎪⎩1 x > 1
0 ≤ x ≤1
Per x>1 vale 1 perché per definizione la funzione di ripartizione va da -∞ a x,
bisogna ricordarsi questo aspetto!!
Media di X
X=x
x1
x2
…
xn
p(X=x)
p1
p2
…
pn
Per le variabili discrete (cioè che assumono solo valori per definiti es. numeri
interi) la media E(x)= x1p1 + x2p2 +…+ xnpn
Invece nelle variabili continue E(x) è
∫
+∞
−∞
x * f ( x) dx
Varianza di X
2
б è
∫
+∞
−∞
( x − E ( x)) 2 f ( x)dx
DISTRIBUZIONE NORMALE
Supponiamo di voler effettuare una misura: possiamo supporre che le
probabilità di ottenere una misura maggiore o minore siano simmetriche. La
funzione densità di probabilità di tale distribuzione è la curva normale o
gaussiana:
g ( x) =
1
e
δ 2π
1 ⎛ x−M ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ δ ⎠
E la sua funzione di ripartizione è
2
1
∫−∞ δ 2π e
x
1 ⎛ t −M ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ δ ⎠
2
dt
Un integrale non calcolabile con funzioni elementari: bisogna usare delle
tabelle specifiche.
La curva ha il suo massimo in x=M, cioè nel punto di ascissa che individua la
media della distribuzione. Possiede due flessi nei punti M+б e M-б dove б è lo
scarto quadratico medio, radice quadrata della varianza.
Le tabelle in cui leggiamo i valori della funzione di ripartizione e quindi la
probabilità si riferiscono ad una gaussiana standard in cui M=0 (la funzione è
centrata quindi in 0) e б2=1.
Si scrive così: X~N(M, б2) ovvero la variabile casuale è approssimabile ad una
distribuzione normale di media M e varianza б2.
Standardizzare una distribuzione significa operare una sostituzione
nell’integrale per ricondurre la funzione alla curva standard di cui possediamo
le tabelle. La sostituzione diventa
z=
x−M
δ
G( z) = ∫
z
−∞
1 − 12 t 2
e dt
2π
Quando si usa la curva standard bisogna fare attenzione agli estremi di
integrazione, che sono da cambiare!
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Variabile discreta. Assume solo valori interi. Dobbiamo usarla se si interessa
sapere la probabilità di ottenere m successi in n prove.
X~Bin(n, p) X è approssimabile ad una distribuzione binomiale con n prove
con probabilità p.
Esempio: Supponiamo che una prova consista nel tirare contemporaneamente
2 monete. Decido che il successo sia rappresentato da ottenere 2 croci, quindi
p=1/4. Voglio sapere qual è la probabilità che io ottenga 3 successi in 5 prove.
p(X=3)=
⎛ 5⎞ 3
5−3
⎜ ⎟ p (1 − p )
⎝ 3⎠
Quando nÆ+∞ (e in statistica significa superiore a 25-30) possiamo
approssimare la distribuzione binomiale ad una normale con questi parametri:
X~N(np, np(1-p))
L’approsimazione di una variabile discreta ad una continua comporta
attenzione a certi particolari. Ad esempio se volevo conoscere la probabilità
che X assumesse un valore appartenente ad un determinato intervallo tenevo
in considerazione che essa potesse assumere solo valori interi. Prendiamo che
io volessi sapere p(x≥5). Quando approssimo a normale considererò p(x≥4.5)
perché approssimando i valori maggiori o uguali a 4.5 ottengo 5. Bisogna
quindi stare attenti a questo aspetto di approssimazione negli esercizi.
DISTRIBUZIONE DI POISSON
Sia E un evento che in media si presenta λ volte. Sia X il numero di volte in cui
X si può presentare. X~P(λ) X è approssimabile ad una poissoniana con
parametro λ.
X=x
0
1
2
…
N
p(X=x)
λx
p(X=x)=
x!
e−λ
esempio: Se in media ci sono 50 guasti al giorno (λ) sulle linee telefoniche qual
è la probabilità che in un’ora vengano segnalati meno di 3 guasti.
p(X<3)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)
λ=50/8
(considero solo le 8 ore lavorative e non le 24 di un giorno intero)
X~P(50/8)
( 50 / 8)
0
0!
= 5,17%
( 50 / 8)
+
1
e
− (50 / 8)
1!
e
− (50 / 8)
( 50 / 8)
+
2!
2
e − (50 / 8) =
DISTRIBUZIONE GEOMETRICA
Sia E un evento che può accadere con probabilità p e sia X il numero di prove
da effettuare affinchè E accada.
X=x
p(X=x)
1
p
2
p(1-p)
…
…
n
p(1-p)n-1
X~G(p) X è approssimabile ad una distribuzione geometrica con probabilità p.
E(x)=1/p
б2=(1-p)/p2
esempio: Carlo l’arciere colpisce il bersaglio con una probabilità del 20%
(p=0.2). Qual è la probabilità che Tizio impieghi più di 5 lanci per colpirlo.
p(X>5)=1-(p(X=1)+p(X=2)+ p(X=3)+p(X=4)+p(X=5))=
=1-(0.2*0.80+0.2*0.8+0.2*0.82+0.2*0.83+0.2*0.84)=32.8%
Ricapitolando possiamo dividere le variabili casuali in 2 gruppi:
1. Variabili discrete
- Binomiale
- Poissoniana
- Geometrica
2. Variabili continue
- Normale (Gaussiana)
- Funzione densità di probabilità
Calcolo combinatorio
1° caso
Disposizioni semplici di n oggetti presi k alla volta, ovvero i gruppi di k oggetti
DISTINTI TRA LORO scelti tra gli n dati, considerando diversi 2 gruppi che
differiscono per l’ordine degli elementi (es. ABC ≠ BCA)
Dn ,k = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1)
es. diposizioni di 9 oggetti presi 3 alla volta D9,3 = 9(9 − 1)(9 − 2) = 9 *8*7
2° caso
Permutazioni: disposizioni di n oggetti presi n alla volta
Pn = n !
es. Quanti anagrammi di SALE posso creare? P4 = 4!
Ma potrebbero esserci oggetti ripetuti (es. anagramma di PAOLA la A si ripete
2 volte, quindi se permuto, mi verranno alcuni risultati uguali e li conterò più
volte!) Æ Permutazioni di n oggetti con k ripetuti:
Pn ( k ) =
n!
k!
e se ci sono k elementi di un tipo che si ripetono e h elementi di un altro:
Pn ( k ,h ) =
n!
k !h !
3° caso
Disposizione di n oggetti presi k alla volta con ripetizione (es. Se vogliono
considerare le possibili disposizioni di ABC e prendere in esame anche
disposizioni come AAB oppure CCC oppure BCC e via dicendo)
D r n,k = n k
4° caso
Dati n oggetti DISTINTI vogliamo formare gruppi da k oggetti non ripetuti. 2
gruppi che differiscano per l’ordine sono considerati uguali (es ABC = CBA).
Cn , k =
Dn ,k
k!
=
n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) ⎛ n ⎞
n!
=⎜ ⎟=
k!
⎝ k ⎠ k !(n − k )!
5° caso
Combinazioni con ripetizione (es. AAB che poi è considerato uguale a BAA ABA)
⎛ n + k − 1⎞ (n + k − 1)!
Cnr,k = ⎜
⎟=
k
⎝
⎠ k !(n − 1)!
Metodo dei trapezi: integrazione numerica
a
x1
x2
b
Si divide l’intervallo di integrazione in n parti e si trova lo step, cioè la
lunghezza di un singolo intervallo (b-a)/n
Prendi in esame l’area sottesa alla curva nell’intervallo [a, x1]: puoi
approssimare ad un trapezio, che avrà area
step
A=
( f (a ) + f ( x1 ))
2
Sommando le varie aree ottieni la formula
A=
step
( f (a) + f (b) + 2( f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn−1 )) )
2
Metodo di Newton-Fourier : calcolo degli zeri di una funzione
Sia f: IÆR
Derivabile nel suo dominio
Consideriamo un punto x0 ∈ I
x1
x0
L’equazione della retta tangente in x0 sarà
y - f(x0)=f’(x0)(x- x0)
Essa intersecherà l’asse x nel punto x1 , più vicino allo zero della funzione.
Se ripetiamo il procedimento troveremo un punto x2 ancora più vicino allo zero della
funzione, arrivando infine a trovarlo con una buona approssimazione.
Per ottenere la formula iterativa:
Considero la retta passante per xn : y - f(xn)=f’(xn)(x- xn)
Intersecherà l’asse x in xn+1 , punto che appartiene alla medesima retta: possiamo
sostituire le sue coordinate nell’equazione delle retta
0 - f(xn)=f’(xn)(xn+1- xn)
Ricaviamo xn+1
xn+1 = xn -
f ( xn )
f '( xn )
Con la calcolatrice si può iterare la formula e quando inizierà a dare lo stesso risultato
si avrà trovato lo zero della funzione.
Condizioni per utilizzare il metodo:
Nell’intervallo considerato f’(x) non deve essere mai 0!
Inoltre c’è una condizione sulla derivata seconda: nell’intervallo considerato deve
essere sempre posivita o sempre negativa.
Inoltre: se la concavità della funzione è rivolta verso l’alto, si parte dall’estermo
dell’intervallo più alto (quindi da quello positivo), se è rivolta verso il basso si parte
dall’estremo più basso (il negativo)!!
