Metodi Statistici per l’Ingegneria - A.A. 2011/12 appello scritto del 17/7/12
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Si possono utilizzare le tabelle delle distribuzioni fornite, e la calcolatrice. E’ vietato l’uso di libri, appunti etc.
In tal caso la prova viene annullata.
Il testo degli esercizi va riconsegnato assieme all’elaborato. La calligrafia deve essere leggibile.
Motivare le risposte. Soluzioni numeriche senza descrizione del procedimento non sono considerate valide.
1)
a) dopo la prima estrazione l’urna contiene 11B e 10R con probabilità ½ (scenario S1), 10B e 12R con probabilità ¼
(scenario S2), 10B e 13R con probabilità ¼ (scenario S3).
Dopo la seconda estrazione, per ciascuno scenario ho 3 possibilità, per un totale di 9 combinazioni. Di ciascuna, so
calcolarne la probabilità dato lo scenario precedente. Ad esempio, consideriamo la combinazione (B1R2P2) (bianca alla
prima, rossa alla seconda e dado pari), corrispondente all’evento B1 R2P2, e calcoliamone la probabilità. Conosco
P(B1)= ½ e P(R2P2| B1) = ½ 10/21, da cui P(B1R2P2)= ¼10/21 secondo la regola la regola P(AB)=P(A|B) P(B).
Applicando lo stesso procedimento a tutte le 9 combinazioni, ottengo
P(B1B2)= ½ 11/21, P(B1R2P2)= P(B1R2D2)= ¼10/21, P(R1P1B2)= ¼10/22, P(R1P1 R2P 2)= P(R1P1 R2D 2)= 1/8 12/22,
P(R1D1B2) = ¼10/23, P(R1D1 R2P 2)= P(R1D1 R2D 2)= 1/8 13/23,
Per calcolare la probabilità associata alle possibili configurazioni dell’urna dopo 2 estrazioni, come richiesto dalla
domanda, osservo che alcune combinazioni producono la stessa configurazione dell’urna. Poiché le 9 combinazioni sono
fra loro mutuamente esclusive, la probabilità di ciascuna configurazione dell’urna é la somma delle probabilità delle
combinazioni che la producono. La probabilità di avere 11 bianche e 12 rosse si calcola come: P(11B, 12R) = P(B1R2P2)
+ P(R1P1B2), analogamente P(11B, 13R) = P(B1R2D2)+P(R1D1B2), e P(10B, 15R) = P(R1P1R2D 2)+P(R1D1R2P 2), mentre
le altre configurazioni possibili (12/10, 10/14 e 10/16) sono associate a una singola combinazione.
b) l’estrazione delle due palline avviene in uno dei 3 scenari che si presentano dopo la prima estrazione. Dato uno
scenario specifico, so calcolare la probabilità dell’evento richiesto. Indichiamo con R2 l’evento “seconda estratta rossa”,
B1 e R1 denotano la prima estratta bianca o rossa. Si chiede P(R2) = P(R2 B1)+ P(R2 R1).
Di nuovo, si usa P(R2 B1) = P(R2 B1 S1) + P(R2 B1 S2)+ P(R2 B1 S3) e lo stesso per P(R2 R1).
Analizziamo come calcolare P(R2 B1 S1) (gli altri si calcolano analogamente). Indichiamo con A l’evento (B 1 S1),
quindi P(R2 B1 S1)= P(R2|A) P(A)= P(R2|A) P(B1| S1) P(S1) = ½ 11/21 ½ . Se costruiamo l’albero delle decisioni, si
tratta di fare sommare per ogni nodo foglia che ha associata l’estrazione della seconda pallina di colore rosso, il prodotto
dei coefficienti sui rami che portano dalla radice alla foglia.
Quindi P(R2) = ½ 11/21 ½ + ½ 10/21 9/20 + 12/21 10/22 ¼ + 11/21 12/22 ¼ + 13/22 10/23 ¼ + 12/22 13/23 ¼ 0.516
c) si cerca P(B1|R2) = P(R2|B1) P(B1) / P(R2). Abbiamo gia calcolato P(R2). Inoltre P(B1)= P(B1 S1) + P(B1 S2)+
P(B1 S3) = Σi P(B1| Si) P(Si) = 11/21 ½ + 10/22 ¼ +10/23 ¼ = 0.484.
Inoltre P(R2|B1) = P(R2B1)/ P(B1), dove P(R2 B1) é stato calcolato prima.Si procede in modo analogo per P(B1|R2).
2)
Il singolo test é descritto da una variabile aleatoria Bernoulliana di parametro p=0.2 (la scheda estratta non funziona).
L’intero controllo (10 estrazioni) é descritto da una Binomiale X di parametri n=10 e p=0.2. La partita viene rifiutata
con probabilità pari a P(X2). In alternativa, usiamo Y Binomiale di parametri n=10 e p=0.8 (la scheda estratta
funziona), per cui cerco 1- P(Y9) = 1- P(Y=9) - P(Y=10).
Si possono usare le approssimazioni della Binomiale come Poissoniana per eseguire i calcoli.
3)
Poiché X è uniforme in I= [+½½la sua densità vale 0 fuori da I ed è costante, fX(x)=1/ per x I.
a) La funzione tan(X) nell’intervallo I è invertibile, quindi vale l’uguaglianza FY(y) = P(Yy) = P(tan(X) y) = P(X
arctan(y)) = arctan(y)/ + ½
Per calcolare la densità di Y si deriva in y la distribuzione FY(y) ottenendo fY(y) = ((1+y2))-1.
Lo stesso risultato si poteva ottenere ricordando che, sotto l’ ipotesi che la trasformazione y=(x) sia invertibile, vale
fY(y) = fX((y) · ((y)) y = 1/ · 1/(1+y2)
b) La variabile Y non ammette valore atteso poiché l’integrale R fY(y) y = +
4)
a) Dobbiamo trovare un intervallo di confidenza al 90% per la media di una popolazione normale di cui e’ nota la
varianza 2 e la media campionaria n per n=25.
Sappiamo che gli estremi dell’intervallo sono dati dalla media campionaria n ± z /2 (/ n), da cui I 250 ± 2.33.
b) Devo determinare la confidenza dell’intervallo [249, 251], quindi il parametro per cui 1 = z /22. da cui z /20.71
e quindi l’intervallo e’ al 52.2%, per cui possiamo dire che, scavando tra 249 e 251 metri, abbiamo probabilità 0.522 di
trovare carbone.
c) Ora n=10, n = 248.7 e la varianza campionaria s2= 70.9. L’intervallo destro non e’ limitato superiormente e ha come
estremo sinistro il valore n-1 s2 /X2,n-1 9·70.9/3.325 191.91
5)
Per la distribuzione Gamma, si veda pag 185 del libro di testo.
