prove scritte di metodi matematici, anno 2001/02

PROVE SCRITTE DI METODI MATEMATICI, ANNO 2001/02
Prova scritta del 30/01/2002
Esercizio 1
Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito:
Z +∞
sin2 x
dx.
(x2 + 1)2
0
Esercizio 2
Si calcoli la trasformata di Laplace della funzione:
f (x) = χ[0,A] (x),
dove A = numero lettere del nome.
Esercizio 3
Nel semipiano Re(λ) > 0 é data la funzione:
F (λ) =
1 − e−λ
,
λ(λ + K)
ove K = numero lettere del cognome. Sfruttando opportunamente il risultato
dell’esercizio precedente, si determini la funzione reale g, definita per x > 0, tale
che F sia la trasformata di Laplace di g, e si controlli che g, pur essendo continua,
presenta un punto angoloso.
Soluzioni compito 30/01/02
Esercizio 1
2x
Essendo sin2 x = 1−cos
, l’integrale si riconduce facilmente a quello della funzione
2
e2ix
3π
: quest’ultimo, valutato tra −∞ e +∞, vale 2e
Di
2 (metodo dei residui).
(x2 +1)2
conseguenza,
Z +∞
Z
cos 2x
1 +∞ cos 2x
3π
dx =
dx = 2 ;
2
2
2
2
(x + 1)
2 −∞ (x + 1)
4e
0
R +∞ 1
essendo poi 0 (x2 +1)2 = π/4, in definitiva si ottiene
+∞
Z
0
π
3
sin2 x
dx = (1 − 2 )
2
2
(x + 1)
8
e
1
Esercizio 2
Chiaramente,
fˆ(λ) =
A
Z
e−λx dx =
0
1 − e−λA
.
λ
Esercizio 3
La funzione assegnata é il prodotto delle funzioni
G1 (λ) =
1−e−λ
λ
e
G2 (λ) =
1
.
λ+K
In base al risultato dell’Esercizio 2, é evidente che G1 é la trasformata di g1 = χ[0,1] ,
mentre G2 é notoriamente la trasformata di g2 (x) = e−Kx .
Pertanto, la funzione g cercata é il prodotto di convoluzione g1 ∗ g2 .
Ovviamente, g rimane definita per x > 0 e si ha:
1
Z
x∧1
Z
−Kx
eKt dt = e−Kx
g2 (x − t)dt = e
g(x) =
0
0
Pertanto, per x ≤ 1, risulta g(x) =
1−e−Kx
,
K
eKt x∧1
K 0
mentre per x > 1 si ha g(x) = e−Kx
eK −1
.
K
Da qui si vede facilmente che g é continua, ma non é derivabile nel punto x = 1.
Prova scritta del 27/06/2002
Esercizio 1
Si consideri la funzione reale
1
f (x) = √
x
definita per x ∈ [1, +∞[.
1) Per quali valori di p ≥ 1 risulta f ∈ Lp ([1, +∞[?
2) Per tali valori di p, si determini ||f ||p .
3) Si puo’ affermare che limp→+∞ ||f ||p = ||f ||∞ ?
Esercizio 2
Nello spazio L2 ([0, 1]) é data la funzione
g(x) =
√
x.
Si determini, nello stesso spazio, la funzione lineare, h(x) = ax + b, che meglio
approssima g in L2 .
2
Esercizio 3
2
Tenendo presente che la trasformata di Fourier della funzione φ(x) = e−x é
φ̃(ω) =
√
πe−ω
2 /4
si determini la trasformata di Fourier delle funzioni:
2
2
φ1 (x) = ex−x , φ2 (x) = e−(x+x ) , ψ = φ1 ∗ φ2
e se ne deduca l’espressione esplicita di ψ.
Esercizio 4
Si trovino tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
3p + 4q = z
Soluzioni compito 27/06/2002
Esercizio 1
Chiaramente, f ∈ Lp se e solo se p2 > 1, ossia se e solo se p > 2. Inoltre, ovviamente,
f ∈ L∞ , essendo ||f ||∞ = f (1) = 1. Per 2 < p < +∞, si ha
Z ∞
2
p
||f ||p =
x−p/2 dx =
p−2
1
da cui
||f ||p = (
1
2
2 p1
) = e p log( p−2 )
p−2
e un facile calcolo mostra che limp→∞ ||f ||p = 1 = ||f ||∞ .
Esercizio 2
Poniamo
1
Z
(g(x) − ax − b)2 dx
ϕ(a, b) =
0
e cerchiamo i valori di a e b che minimizzano ϕ. Si ha facilmente
ϕ(a, b) = 1/2 − (4/5)a − (4/3)b + (1/3)a2 + ab + b2 .
Annullando il gradiente, si trova facilmente a = 4/5, b = 4/15 e quindi la retta
4
regressione é y = 45 x + 15
.
3
Esercizio 3
Usando le proprieta’ della trasformata di Fourier, e osservando che si ha
x − x2 =
1
1
1
1
− (x − )2 , −(x + x2 ) = − (x + )2
4
2
4
2
si trova facilmente:
φ˜1 (ω) =
√ 1 −iω/2 −ω2 /4
√ 1
√ −ω2 /2
2
πe 4 e
e
, φ˜2 (ω) = πe 4 eiω/2 e−ω /4 , φ^
.
1 ∗ φ2 (ω) = π ee
Si riconosce quindi facilmente che la convoluzione tra φ1 e φ2 non é altro che la
p −x2 /2
funzione ψ(x) = eπ
e
.
2
Esercizio 4
Usando il metodo delle curve caratteristiche, le soluzioni cercate hanno la forma:
x
z(x, y) = e 3 F (4x − 3y),
con F funzione arbitraria di classe C 1 .
Prova scritta del 08/07/2002
Esercizio 1
Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito:
Z +∞
sin2 x
dx.
2x2 + 1
0
Esercizio 2
Si risolva la seguente equazione integrale:
Z x
f (t)ex−t dt = sin2 x
0
nell’ambito delle funzioni f di tipo esponenziale, in [0, +∞[.
Esercizio 3
Si risolva la seguente equazione differenziale alle derivate parziali:
xq = (x + y)z
e si determini quella soluzione z(x, y) tale che z(x, 0) = e2x .
4
Soluzioni compito 08/07/2002
Esercizio 1
2iz
e
√1 i, dei quali occorre calcolare il residuo
La funzione f (z) = 1+2z
2 ha poli nei punti ±
2
solo in √12 i. Risulta pertanto, dal teorema dei residui:
√
Z +∞
√
2
cos2 x
− 2
dx
=
π(1
+
e
).
2
4
−∞ 2x + 1
Usando le relazioni tra sin x e cos x, e la parita’ dell’integranda, si ottiene infine
√
Z +∞
√
sin2 x
2
− 2
dx
=
π(1
−
e
).
2x2 + 1
8
0
Esercizio 2
Applicando la trasformata di Laplace ad ambo i membri dell’equazione, si ottiene
1
2
f˜(λ)
=
2
λ−1
λ(λ + 4)
da cui f˜(λ) =
2
λ2 +4
−
2
.
λ(λ2 +4)
Antitrasformando, si ricava infine
f (x) = sin 2x − sin2 x.
Esercizio 3
Mediante il metodo delle curve caratteristiche, si vede facilmente che la soluzione
generale, esplicitata rispetto a z, ha l’espressione seguente:
y2
z(x, y) = F (x)ey+ 2x
con F funzione arbitraria di classe C 1 . La soluzione particolare cercata si ottiene
scegliendo F (x) = e2x .
Prova scritta del 22/07/2002
Esercizio 1
Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito:
Z +∞
sin x2
x3 4
dx.
x +1
0
5
Esercizio 2
Mediante l’uso della trasformata di Fourier, si determini almeno una soluzione non
banale, integrabile in IR, dell’equazione differenziale:
y 00 + xy 0 + 3y = 0.
Esercizio 3
Si consideri, nello spazio [0, +∞[, con l’usuale misura di Lebesgue, la funzione
f (x) = xe−x .
Si stabilisca per quali valori del parametro p ∈ [1, +∞] risulta f ∈ Lp e per tali valori
di p si calcoli la norma ||f ||p . (Si usi opportunamente la funzione Γ, definita da
+∞
Z
xt−1 e−x dx
Γ(t) =
0
per t > 0, e verificante la relazione Γ(n) = (n − 1)! per n ∈ IN .)
Facoltativo: mediante la formula di Stirling, si valuti il limite
lim ||f ||p
p→∞
(Formula di Stirling:
Γ(p)ep
√
= 1).
p→∞ pp−1 2πp
lim
Soluzioni compito 22/07/2002
Esercizio 1
Adoperando la sostituzione t = x2 , si ottiene
+∞
Z
sin x2
1
x 4
dx =
x +1
2
3
0
iz
ze
Essendo Res[ 1+z
2 , i] =
1
,
2e
+∞
Z
0
sin t
1
t 2
dt =
t +1
4
Z
+∞
t
−∞
sin t
dt.
+1
t2
il teorema dei residui fornisce facilmente il risultato:
+∞
Z
x3
0
sin x2
π
dx = .
4
x +1
4e
6
Esercizio 2
Denotando con F(ω) la trasformata di Fourier di y(x), l’equazione data diviene:
ω 2 F(ω) + ωF 0 (ω) − 2F(ω) = 0
da cui l’equazione in F(ω):
dF(ω)
2
= (−ω + )dω,
F(ω)
ω
che ha per soluzione
F(ω) = ω 2 e−ω
2
2 /2
.
2
Poiché e−ω /2 é la trasformata di f (x) = √12π e−x /2 , la funzione ω 2 e−ω
mata di y(x) = −f 00 (x). La soluzione cercata é dunque
y(x) = (1 − x2 )e−x
2 /2
é la trasfor-
2 /2
(dato che l’equazione assegnata é omogenea, ogni funzione del tipo ky(x) é soluzione,
con k costante reale.)
Esercizio 3
Essendo f (x)p = xp e−px un infinitesimo di ordine superiore a qualsiasi potenza di x1 ,
per x → +∞, é chiaro che f ∈ Lp per ogni p ∈ [1, +∞[. Usando la funzione Γ, e un’
1/p
ovvia integrazione per sostituzione, si trova facilmente ||f ||p = Γ(p)p . Per p intero,
si ottiene ||f ||n =
il limite:
(n−1)!1/n
;
n
adoperando la formula di Stirling, si puo’ anche valutare
1
lim ||f ||p = .
p→+∞
e
Quanto a L∞ , chiaramente si vede che f é limitata, e un facile calcolo mostra che
essa ammette massimo in x = 1, con f (1) = 1e . Dunque, ||f ||∞ = 1e .
Prova scritta del 12/09/2002
Esercizio 1
Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito:
Z +∞
cos4 x − sin4 x
dx.
x2 + 4
−∞
7
Esercizio 2
Si determini una funzione f : [0, +∞[→ IR, di tipo esponenziale, la cui trasformata
di Laplace abbia la forma
λ+2
fe(λ) = log
λ
per λ > 0.
Esercizio 3
Si consideri la seguente equazione differenziale alle derivate parziali:
xy p +
(al solito, p =
∂z
∂x
eq=
1
1
q = xy 2 + ,
xy
y
∂z
).
∂y
Si determini la soluzione generale dell’equazione omogenea associata; si cerchi poi
una soluzione particolare dell’equazione completa, nella forma z(x, y) = ϕ(xy), con
ϕ : IR → IR funzione opportuna di classe C 1 . Si scriva infine un’espressione della
soluzione generale dell’equazione completa assegnata.
Soluzioni compito 12/09/2002
Esercizio 1
Tenendo presente che cos4 (x) − sin4 (x) = cos2 (x) − sin2 (x) = cos(2x), l’integrale
assegnato si riduce a:
Z +∞
cos (2x)
dx.
x2 + 4
−∞
Applicando il metodo dei residui, si trova facilmente che
Z +∞
Z +∞ 2ix
cos (2x)
e
π
dx
=
dx
=
2πiRes(f
(z);
2i)
=
2
x2 + 4
2e4
−∞
−∞ x + 4
essendo f (z) =
e2iz
.
z 2 +4
Esercizio 2
Posto F (λ) = log( λ+2
), si ha
λ
F 0 (λ) =
1
1
−
λ+2 λ
da cui F 0 (λ) = ge(λ), essendo g(x) = e−2x − 1. Per le proprieta’ della trasformata di
Laplace, l’antitrasformata di F é allora
f (x) =
8
1 − e−2x
.
x
Esercizio 3
L’equazione omogenea associata é:
xy p +
1
q = 0.
xy
Usando ad esempio il metodo delle caratteristiche, la soluzione generale di questa é:
z(x, y) = h(
y3 1
+ )
3
x
con h funzione arbitraria di classe C 1 . La ricerca di una soluzione particolare, nella
forma z0 = ϕ(xy), conduce all’equazione:
xy 2 ϕ0 (xy) +
ϕ0 (xy)
1
= xy 2 + .
y
y
Un’ovvia semplificazione fornisce ϕ0 (xy) = 1, e quindi
z0 (x, y) = ϕ(xy) = xy
é una soluzione particolare dell’equazione assegnata. La soluzione generale é allora
z(x, y) = xy + h(
y3 1
+ ).
3
x
Prova scritta del 26/09/2002
Esercizio 1
Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito:
Z
+∞
−∞
sin2 x cos2 x
dx.
4x2 + 9
Esercizio 2
i) Si consideri la funzione f(a,b) := 1[a,b] , ove a e b sono due numeri reali qualsiasi,
con a < b, e si calcoli la trasformata di Fourier di f(a,b) .
ii) Si esprima in termini espliciti la funzione reale g, antitrasformata della funzione
F (ω) =
9
(1 − e−iω )2
.
ω2
Esercizio 3
Si consideri la seguente equazione differenziale alle derivate parziali:
yp + xq =
xy
.
z
Dopo aver determinato la soluzione generale, si trovino due soluzioni particolari, z1
e z2 , in modo tale che z1 + z2 non verifichi l’equazione data.
Soluzioni compito 26/09/200
Esercizio 1
Essendo sin2 x cos2 x = 14 sin2 2x, e operando un’ovvia sostituzione, l’integrale dato si
riduce a
Z
1 +∞ sin2 u
du.
8 −∞ u2 + 9
Ora, sin2 u = (1 − cos 2u)/2, e quindi
Z +∞
Z +∞
sin2 x cos2 x
1
1
cos 2u
dx =
( 2
− 2
)du.
2
4x + 9
16 −∞ u + 9 u + 9
−∞
R +∞
Semplici calcoli forniscono: −∞ u21+9 du = π3 , e dal teorema dei residui si ricava:
+∞
Z
−∞
cos 2u
π
du = 6 ,
2
u +9
3e
dunque il risultato finale é:
Z +∞
sin2 x cos2 x
π
1
dx = (1 − 6 ) ≈ 0.06528762.
2
4x + 9
48
e
−∞
Esercizio 2
La trasformata di Fourier di f(a,b) é data da:
b
Z
e−iωt dt =
fg
(a,b) (ω) =
a
in particolare, f]
(0,1) (ω) =
e−iωa − e−iωb
:
iω
1−e−iω
.
iω
2
Ora, risulta chiaramente F (ω) = −(f]
(0,1) (ω)) , e quindi l’antitrasformata cercata é
l’opposto del prodotto di convoluzione di f(0,1) con sé stessa:
f = −f(0,1) ∗ f(0,1) .
10
Un’espressione esplicita per f é data da:


 0, se x < 0, oppure x > 2
f (x) =
x, se 0 ≤ x ≤ 1


2 − x, se 1 ≤ x ≤ 2.
Esercizio 3
Con metodi usuali, si perviene alla soluzione:
z 2 = f (x2 − y 2 ) + x2 .
Soluzioni particolari sono le funzioni z1 (x) = x e z2 (y) = y, come si puo’ facilmente
controllare; altrettanto facilmente si vede che z1 +z2 non é una soluzione dell’equazione
data, essendo, per tale funzione:
yp + xq = x + y 6= xy.
Prova scritta del 16/12/2002
Esercizio 1
Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito:
+∞
Z
1
cos (x2 − 1)
dx.
x3 /2 − x + 1/x
Esercizio 2
Si determini l’antitrasformata di Laplace della funzione
F (λ) =
λ4
1
.
+ λ2 + 1
Esercizio 3
Si risolva rispetto a z la seguente EDP, di I ordine:
xp + yq log y = 2z.
Soluzioni compito 16/12/2002
11
Esercizio 1
Risulta, con facile sostituzione:
Z +∞
Z +∞
Z +∞
cos (x2 − 1)
2x cos (x2 − 1)
cos u
dx =
dx =
du.
3
2
2
x /2 − x + 1/x
(x − 1) + 1
u2 + 1
1
1
0
Usando il metodo dei residui, si trova facilmente
Z +∞
cos u
π
du
=
≈ 0.57786.
u2 + 1
2e
0
Esercizio 2
Scomponendo, si ottiene
λ4
1
1
1
= 2
.
2
2
+λ +1
λ +λ+1 λ −λ+1
Poniamo
1
1
, F2 (λ) = 2
+λ+1
λ −λ+1
e cerchiamo l’antitrasformata di entrambe. Essendo
F1 (λ) =
λ2
1
3
3 2λ + 1
λ2 + λ + 1 = (λ + )2 + = ( √
+ 1)
2
4
4
3
√
l’antitrasformata di F1 é f1 (x) = √23 e−x/2 sin( 3x/2); in maniera analoga si ricava
l’antitrasformata f2 di F2 , dunque:
√
√
2
2
f2 (x) = √ ex/2 sin( 3x/2), f1 (x) = √ e−x/2 sin( 3x/2).
3
3
Un modo per dedurre l’antitrasformata di F é calcolare il prodotto di convoluzione
di f1 con f2 ; un altro modo é quello di decomporre F come somma di due funzioni
razionali di λ:
1 λ+1
1 1−λ
F (λ) =
+
.
2 λ2 + λ + 1 2 λ2 − λ + 1
λ
−λ
Poiché λ2 +λ+1
é la trasformata della derivata di −f1 , e λ2 −λ+1
é la trasformata della
derivata di f2 , l’antitrasformata di F é la funzione
1
f (x) = (f1 (x) − f10 (x) + f2 (x) + f20 (x)) =
2
!
√
√
1 −x/2 √
3
3
3 sin(
x) (ex + 1) + 3 cos(
x) (1 − ex ) =
= e
6
2
2
√
√
1
3
x
3
x
= √ sin(
x) cosh − cos(
x) sinh .
2
2
2
2
3
12
Esercizio 3
Usando il metodo delle caratteristiche, ricaviamo le seguenti equazioni:
dx
dz
=
,
2z
x
dx
dy
=
x
y log y
da cui
x
log y
e quindi la soluzione generale puo’ essere scritta nella forma
k = zx−2 ,
h=
F (h, k) = 0,
con F funzione arbitraria: esplicitando z, avremo infine
z(x, y) = x2 φ(
x
)
log y
con φ funzione arbitraria.
Prova scritta del 11/01/2003
Esercizio 1 Integrando per parti, e usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente
integrale definito:
Z +∞
2x + 1
sin x cos x dx.
2
2
−∞ (x + x + 2)
Esercizio 2
Si scriva la trasformata di Laplace della funzione
f (x) = 1 − cos x
e si ricavino le trasformate di Laplace delle funzioni
f1 (x) =
f (x)
,
x
f2 (x) =
f (x)
.
x2
Si deduca infine il valore del seguente integrale (chiaramente positivo):
Z +∞
1 − cos x
dx.
x2
0
Esercizio 3
Si consideri la seguente equazione differenziale alle derivate parziali:
p sin 2y + q cos 2y = 0.
Dopo aver determinato la totalita’ delle soluzioni, si provi che alcune di queste (nella
forma z = φ(x, y)), sono funzioni armoniche.
13
Soluzioni compito 11/01/2003
Esercizio 1
Z
Integrando per parti, si ricava
+∞
−∞
2x + 1
sin x cos x dx =
2
(x + x + 2)2
Z
+∞
−∞
sin x cos x +∞
cos 2x
dx
−
x2 + x + 2
x2 + x + 2 −∞
e chiaramente l’ultimo termine si annulla. Si ha ora, con il metodo dei residui:
(
√ )
Z +∞
cos 2x
1 − i 7
e2iz
dx = Re 2πiRes 2
;
=
2
z +z+2
2
−∞ x + x + 2
√
√
2π
2π
= Re{ √ (e− 7−i )} = √ e− 7 cos 1 ≈ 0.09014.
7
7
Questo é dunque il valore dell’integrale richiesto.
Esercizio 2
Notoriamente, la trasformata di Laplace di f é data da:
1
λ
fb(λ) = −
.
λ 1 + λ2
Per noti teoremi, la trasformata di f1 é una primitiva di −fb(λ), dunque
1
fb1 (λ) = − log λ + log(1 + λ2 )
2
(la costante si ricava imponendo che sia nullo il limite per λ → ∞). In maniera
analoga, si ottiene
1
π
fb2 (λ) = λ log λ − λ log(1 + λ2 ) − arctan λ + .
2
2
L’integrale richiesto, infine, non é altro che fe2 (0) = π2 .
Esercizio 3
Metodi usuali forniscono la soluzione nella forma
z(x, y) = ψ(2x + log(cos 2y)),
con ψ funzione arbitraria. Scegliendo ψ(u) = eu , si ottiene la soluzione z(x, y) =
e2x cos 2y, che é armonica.
Prova scritta del 27/03/2003
14
Esercizio 1
Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito:
Z +∞
x sin Ax
dx,
2
2
−∞ (x + 1)
dove A = numero lettere del nome.
Esercizio 2 Si determini la funzione f , di tipo esponenziale, la cui trasformata di Laplace
sia la funzione
λ + 16
F (λ) = 2
(λ − 4)2
Esercizio 3
Esplicitare rispetto a z la soluzione generale dell’equazione differenziale
yp + xq = 3x
Soluzioni compito 27/03/2003
Esercizio 1 L’integrale richiesto non é altro che la parte immaginaria dell’integrale
seguente:
Z +∞
x eiAx
dx,
2
2
−∞ (x + 1)
che, per noti teoremi, concide con la quantita’:
2πiRes[
zeiAz
; z = i].
(z 2 + 1)2
Il residuo suddetto si calcola con metodi usuali (si tratta di polo di ordine 2) e si ha
infine
Z +∞
x sin Ax
Aπe−A
dx
=
.
2
2
2
−∞ (x + 1)
Esercizio 2
Con metodi usuali, si riconosce che F (λ) puo’ esprimersi come segue:
9
1
7
1
1
1
1
F (λ) =
+
+
−
=
8 (x − 2)2 8 (x + 2)2 2 x + 2 x − 2
d 9 1
7 1
1
1
1
=−
+
+
−
.
dλ 8 x − 2 8 x + 2
2 x+2 x−2
Ora
d
−
dλ
9 1
7 1
+
8x−2 8x+2
15
é la trasformata di g(t) = 89 te2t + 78 te−2t ,
mentre
1
2
1
1
−
x+2 x−2
é la trasformata di h(t) = 12 (e−2t − e2t ). Sommando, otteniamo infine
1
9
7
f (t) = (e−2t − e2t ) + te2t + te−2t .
2
8
8
Esercizio 3 Si puo’ risolvere l’equazione omogenea associata, e poi determinare una
soluzione particolare. L’equazione omogenea si risolve facimente con il metodo delle
caratteristiche, e fornisce la soluzione
z0 (x, y) = ϕ(y 2 − x2 )
con ϕ funzione arbitraria. Una soluzione particolare dell’equazione data si trova
facilmente, imponendo che z dipenda solo da y: una soluzione di questo tipo si puo’
scrivere nella forma z = f (y), ove f verifica la condizione
xf 0 (y) = 3x
ossia f 0 (y) = 3, il che fornisce evidentemente f (y) = 3y. La soluzione generale ha
dunque la forma
z(x, y) = ϕ(y 2 − x2 ) + 3y.
Prova scritta del 26/06/2003
Esercizio 1
Nello spazio L2 ([−1, 1]) é data la funzione
g(x) = x3 − x.
Si determini, nello stesso spazio, la funzione lineare, h(x) = ax + b, che meglio
approssima g in L2 .
Esercizio 2
Si determini la trasformata di Laplace della funzione
f (x) = cos4 x.
16
Esercizio 3
Si trovino tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
xp + y 2 q = yz
in termini di z(x, y).
Soluzioni compito 26/06/2003
Esercizio 1
Si tratta di minimizzare la funzione
Z 1
φ(a, b) =
(g(x) − ax − b)2 dx
−1
rispetto ad a e b. Un calcolo diretto fornisce
φ(a, b) = −18/35 − 4a/5 + 2(1 + a)2 /3 + 2b2
da cui facilmente si deduce
φ0a (a, b) = 0 per a = −2/5 e φ0b (a, b) = 0 per b = 0.
La retta cercata é dunque y = −2x/5.
Esercizio 2 Ricordando che cos2 x = (1 + cos 2x)/2 e sin2 x = (1 − cos 2x)/2 si ricava
facilmente
1
cos4 x = cos2 x(1 − sin2 x) = cos2 x − sin2 2x =
4
1
1
1
1
= (1 + cos 2x) − (1 − cos 4x) = cos 2x + cos 4x + 3/8.
2
8
2
8
λ
Ora, poiché la trasformata di cos(ax) é λ2 +a2 e quella di 1 é λ1 , il risultato finale é
1
λ
1 λ
3
λ4 + 16λ + 24
fb(λ) =
+
+
=
.
2 λ2 + 4 8 λ2 + 16 8λ
λ(λ2 + 4)(λ2 + 16)
Esercizio 3
Metodi usuali forniscono la soluzione
1
z(x, y) = yf (log x + ),
y
con f funzione arbitraria.
Prova scritta del 26/09/2003
17
Esercizio 1 Detto A il numero delle lettere del nome, si determini il valore del seguente
integrale:
Z +∞
(x + A) sin x
dx.
x2 + 4
−∞
Esercizio 2
Si determini la trasformata di Laplace della funzione
1 − cos x
.
x2
f (x) =
Esercizio 3
Si trovino tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
xp sin y +
q
= x sin y
y
in termini di z(x, y).
Soluzioni compito 26/09/2003
Esercizio 1
Dato che la funzione sin x é dispari, l’integrale cercato si riduce a
Z +∞
x sin x
.
2
−∞ x + 4
Adoperando il metodo dei residui, si ottiene il risultato:
Z +∞
x sin x
= πe−2 .
2+4
x
−∞
Esercizio 2
Poiché la trasformata di Laplace della funzione 1 − cos x é data da
F (λ) =
1
λ
− 2
,
λ λ +1
integrando due volte, e tenendo conto dell’alternanza del segno, si ottiene il risultato:
L(f )(λ) = arctan
Esercizio 3
1 1
1
− λ log (1 + 2 ).
λ 2
λ
Usando il metodo delle caratteristiche, si ottiene facilmente
z(x, y) = x + f (sin y − y cos y − log x)
con f funzione arbitraria.
Prova scritta del 16/12/2003
18
Esercizio 1
Si calcoli l’integrale definito, nell’intervallo [0, +∞[, della funzione
f (x) =
Esercizio 2
x4 sin2 x + x3 + sin2 x + x
.
(x4 + 1)(x2 + 1)
Si determini la trasformata di Laplace della funzione
h(x) = x2 cos2 x.
Esercizio 3
Si trovino tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
y 2 p2 − x2 q 2 = 0
in termini di z(x, y).
Soluzioni compito 16/12/2003
Esercizio 1
Raccogliendo opportunamente a numeratore, si ottiene
f (x) =
x
sin2 x
+
.
x4 + 1 x 2 + 1
Il primo addendo é un integrale immediato:
Z +∞
Z
x
1 +∞ 1
π
dx =
dt = .
4
2
x +1
2 0
t +1
4
0
Il secondo addendo si puo’ trasformare, osservando che sin2 x =
π
. Applicando ora il metodo dei residui, si ottiene:
4
Z +∞
cos 2x
π
dx = 2
2
2x + 2
4e
0
e infine
+∞
Z
f (x)dx =
0
Esercizio 2
1−cos 2x
,
2
e
R +∞
0
1
dx
2x2 +2
π
π
− 2.
2 4e
La trasformata di Laplace di cos2 x é
2 + λ2
G(λ) :=
λ(λ2 + 4)
2x
come si riconosce facilmente, dalla formula: cos2 x = 1+cos
. Derivando due volte
2
(due inversioni del segno non hanno influenza), si ottiene
λ6 + 24λ2 + 32
e
h(λ) = 2 3 2
.
λ (λ + 4)3
19
=
Esercizio 3
L’equazione si scompone nella seguente:
(yp + xq)(yp − xq) = 0
che é soddisfatta da tutte le funzioni z del tipo
z(x, y) = φ(x2 + y 2 ), oppure z(x, y) = ψ(x2 − y 2 ).
Prova scritta del 22/03/04
Esercizio 1
Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito:
+∞
Z
cos2 x2
dx.
x4 + 1
x
0
Esercizio 2
Si trovi la funzione f (x), la cui trasformata di Laplace é
f˜(λ) =
Esercizio 3
λ(λ2
2
.
+ 16)
Risolvere la seguente equazione differenziale:
p − 2xq + ex = 0.
Soluzioni compito 22/03/04
Con la posizione x2 = t si perviene a
Esercizio 1
Z
Z
Z
cos2 x2
1 ∞ cos2 t
1 ∞ cos 2t
1 ∞ 1
x 4
dx =
dt =
dt +
dt.
x +1
2 0 t2 + 1
4 0 t2 + 1
4 0 t2 + 1
0
R∞
Chiaramente, si ha 0 t21+1 dt = π2 . Inoltre, usando il metodo dei residui, si trova
facilmente
Z ∞
cos 2t
π
dt = 2 .
2
t +1
2e
0
Z
+∞
Pertanto, si conclude:
+∞
Z
x
0
cos2 x2
π 1
dx = ( 2 + 1) ∼ .4458451233.
4
x +1
8 e
20
Scomponendo la funzione f˜(λ), si trova
Esercizio 2
1 1
λ
f˜(λ) = ( − 2
).
8 λ λ + 16
Poiché
1
λ
é la trasformata della costante 1, e
λ
λ2 +16
é la trasformata di cos 4x, si deduce
1
f (x) = (1 − cos 4x) = sin2 x cos2 x.
8
Esercizio 3
I metodi usuali forniscono la soluzione nella forma
z(x, y) = f (x2 + y) − ex
con f funzione arbitraria.
Prova scritta del 20/09/2004
Esercizio 1
Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito:
Z +∞
(1 − 2 sin2 x)2
dx.
x2 + 1
0
Esercizio 2
Si trovi la funzione f (x), la cui trasformata di Laplace é
2
f˜(λ) = arctan .
λ
Esercizio 3
Risolvere la seguente equazione differenziale:
p = qx + z
Soluzioni compito 20/09/2004
Esercizio 1
segue:
Note formule trigonometriche permettono di esprimere il numeratore come
(1 − 2 sin2 x)2 = cos2 2x =
1 + cos 4x
.
2
Usando il metodo dei residui, si ha facilmente:
Z +∞
cos 4x
π
dx = 4 ∼ .014385.
2
x +1
4e
0
R∞
Essendo poi 0 2(x21+1) dx = π4 , ne segue che l’integrale cercato é uguale a
21
π
4
+ 4eπ4 ∼ .8
Esercizio 2
Calcolando la derivata di f˜, si ha
f˜0 (λ) = −
λ2
2
= g̃(λ),
+4
ove g(x) = − sin 2x. Note regole di trasformazione forniscono facilmente
f (x) =
Esercizio 3
sin 2x
.
x
Applicando il metodo delle curve caratteristiche si ricava:
z(x, y) = ex F (y +
x2
),
2
con F funzione arbitraria.
Prova scritta del 31/03/2005
Esercizio 1
Si calcoli il seguente integrale definito:
Z +∞
sin2 x
dx.
2
2
−∞ x + 4πx + 4(π + 1)
Esercizio 2
Si determini la funzione f , la cui trasformata di Laplace sia:
5
fb(λ) = arctan .
λ
Esercizio 3
Si risolva in termini di z la seguente equazione differenziale alle derivate parziali:
xp + (x + y)q = 2z.
Soluzioni compito 31/03/2005
Esercizio 1 L’espressione a denominatore puo’ scriversi: (x + 2π)2 + 4. La sostituzione
t = x + 2π trasforma l’integrale da calcolare come segue:
Z +∞
Z +∞
sin2 x
sin2 t
dx =
dx.
2
2
2
−∞ t + 4
−∞ x + 4πx + 4(π + 1)
A questo punto il calcolo procede mediante il metodo dei residui. Il risultato é:
Z +∞
sin2 t
π
dx
=
(1 − e−4 ) ∼ .771.
2
4
−∞ t + 4
22
Esercizio 2
Poiché (fb )0 (λ) = gb(λ), dove g(x) = − sin 5x, facilmente ne segue che
f (x) =
Esercizio 3
sin 5x
.
x
Dalle equazioni caratteristiche si ricava
z = Kx2 , y = cx + x log x,
per cui la soluzione generale é:
y
z(x, y) = x2 F ( − log x),
x
con F funzione arbitraria.
Prova scritta del 24/03/2006
Esercizio 1
Si calcoli il seguente integrale definito:
Z +∞
4 sin2 x cos2 x
dx.
x2 − 2x + 3
−∞
Esercizio 2
Si determini la funzione f , la cui trasformata di Laplace sia:
fb(λ) =
λ2
λ
.
+ 2λ + 2
Esercizio 3 Si risolva in termini di z la seguente equazione differenziale alle derivate
parziali:
√
(1 + x)p + xq = 1.
Soluzioni compito 24/03/06
Esercizio 1
4x
Essendo 4 sin2 x cos2 x = sin2 2x = 1−cos
, l’integrale da calcolare é
2
Z
Z
1 +∞
1
1 +∞
cos 4x
dx −
dx.
2
2
2 −∞ x − 2x + 3
2 −∞ x − 2x + 3
Usando il metodo dei residui, si trova:
Z +∞
−∞
x2
1
π
dx = √ ,
− 2x + 3
2
23
Z
+∞
−∞
pertanto si ha
Z
+∞
−∞
Esercizio 2
cos 4x
π −4√2
√
dx
=
e
cos 4,
x2 − 2x + 3
2
√
4 sin2 x cos2 x
π
−4 2
√
dx
=
(1
−
e
cos 4) ∼ 1.113257
x2 − 2πx + 3
2 2
Chiaramente, si ha
fb(λ) =
λ
(λ + 1)2 + 1
dunque f = −g 0 , ove gb(λ) = (λ+1)1 2 +1 . Semplici proprieta’ della trasformata di Laplace
comportano che g(x) = − sin xe−x , per cui
f (x) = e−x (cos x − sin x).
Esercizio 3
Col metodo delle curve caratteristiche, si ottiene:
√
√
2 √
C1 = 2 x − x + x x − 2 log(1 + x) − y,
3
√
√
C2 = 2 x − 2 log(1 + x) − z
da cui
√
√
√
√
2 √
z = 2 x − 2 log(1 + x) + F (2 x + x x − x − 2 log(1 + x) − y)
3
con F funzione arbitraria.
24