PROVE SCRITTE DI METODI MATEMATICI, ANNO 2001/02 Prova scritta del 30/01/2002 Esercizio 1 Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito: Z +∞ sin2 x dx. (x2 + 1)2 0 Esercizio 2 Si calcoli la trasformata di Laplace della funzione: f (x) = χ[0,A] (x), dove A = numero lettere del nome. Esercizio 3 Nel semipiano Re(λ) > 0 é data la funzione: F (λ) = 1 − e−λ , λ(λ + K) ove K = numero lettere del cognome. Sfruttando opportunamente il risultato dell’esercizio precedente, si determini la funzione reale g, definita per x > 0, tale che F sia la trasformata di Laplace di g, e si controlli che g, pur essendo continua, presenta un punto angoloso. Soluzioni compito 30/01/02 Esercizio 1 2x Essendo sin2 x = 1−cos , l’integrale si riconduce facilmente a quello della funzione 2 e2ix 3π : quest’ultimo, valutato tra −∞ e +∞, vale 2e Di 2 (metodo dei residui). (x2 +1)2 conseguenza, Z +∞ Z cos 2x 1 +∞ cos 2x 3π dx = dx = 2 ; 2 2 2 2 (x + 1) 2 −∞ (x + 1) 4e 0 R +∞ 1 essendo poi 0 (x2 +1)2 = π/4, in definitiva si ottiene +∞ Z 0 π 3 sin2 x dx = (1 − 2 ) 2 2 (x + 1) 8 e 1 Esercizio 2 Chiaramente, fˆ(λ) = A Z e−λx dx = 0 1 − e−λA . λ Esercizio 3 La funzione assegnata é il prodotto delle funzioni G1 (λ) = 1−e−λ λ e G2 (λ) = 1 . λ+K In base al risultato dell’Esercizio 2, é evidente che G1 é la trasformata di g1 = χ[0,1] , mentre G2 é notoriamente la trasformata di g2 (x) = e−Kx . Pertanto, la funzione g cercata é il prodotto di convoluzione g1 ∗ g2 . Ovviamente, g rimane definita per x > 0 e si ha: 1 Z x∧1 Z −Kx eKt dt = e−Kx g2 (x − t)dt = e g(x) = 0 0 Pertanto, per x ≤ 1, risulta g(x) = 1−e−Kx , K eKt x∧1 K 0 mentre per x > 1 si ha g(x) = e−Kx eK −1 . K Da qui si vede facilmente che g é continua, ma non é derivabile nel punto x = 1. Prova scritta del 27/06/2002 Esercizio 1 Si consideri la funzione reale 1 f (x) = √ x definita per x ∈ [1, +∞[. 1) Per quali valori di p ≥ 1 risulta f ∈ Lp ([1, +∞[? 2) Per tali valori di p, si determini ||f ||p . 3) Si puo’ affermare che limp→+∞ ||f ||p = ||f ||∞ ? Esercizio 2 Nello spazio L2 ([0, 1]) é data la funzione g(x) = √ x. Si determini, nello stesso spazio, la funzione lineare, h(x) = ax + b, che meglio approssima g in L2 . 2 Esercizio 3 2 Tenendo presente che la trasformata di Fourier della funzione φ(x) = e−x é φ̃(ω) = √ πe−ω 2 /4 si determini la trasformata di Fourier delle funzioni: 2 2 φ1 (x) = ex−x , φ2 (x) = e−(x+x ) , ψ = φ1 ∗ φ2 e se ne deduca l’espressione esplicita di ψ. Esercizio 4 Si trovino tutte le soluzioni dell’equazione differenziale 3p + 4q = z Soluzioni compito 27/06/2002 Esercizio 1 Chiaramente, f ∈ Lp se e solo se p2 > 1, ossia se e solo se p > 2. Inoltre, ovviamente, f ∈ L∞ , essendo ||f ||∞ = f (1) = 1. Per 2 < p < +∞, si ha Z ∞ 2 p ||f ||p = x−p/2 dx = p−2 1 da cui ||f ||p = ( 1 2 2 p1 ) = e p log( p−2 ) p−2 e un facile calcolo mostra che limp→∞ ||f ||p = 1 = ||f ||∞ . Esercizio 2 Poniamo 1 Z (g(x) − ax − b)2 dx ϕ(a, b) = 0 e cerchiamo i valori di a e b che minimizzano ϕ. Si ha facilmente ϕ(a, b) = 1/2 − (4/5)a − (4/3)b + (1/3)a2 + ab + b2 . Annullando il gradiente, si trova facilmente a = 4/5, b = 4/15 e quindi la retta 4 regressione é y = 45 x + 15 . 3 Esercizio 3 Usando le proprieta’ della trasformata di Fourier, e osservando che si ha x − x2 = 1 1 1 1 − (x − )2 , −(x + x2 ) = − (x + )2 4 2 4 2 si trova facilmente: φ˜1 (ω) = √ 1 −iω/2 −ω2 /4 √ 1 √ −ω2 /2 2 πe 4 e e , φ˜2 (ω) = πe 4 eiω/2 e−ω /4 , φ^ . 1 ∗ φ2 (ω) = π ee Si riconosce quindi facilmente che la convoluzione tra φ1 e φ2 non é altro che la p −x2 /2 funzione ψ(x) = eπ e . 2 Esercizio 4 Usando il metodo delle curve caratteristiche, le soluzioni cercate hanno la forma: x z(x, y) = e 3 F (4x − 3y), con F funzione arbitraria di classe C 1 . Prova scritta del 08/07/2002 Esercizio 1 Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito: Z +∞ sin2 x dx. 2x2 + 1 0 Esercizio 2 Si risolva la seguente equazione integrale: Z x f (t)ex−t dt = sin2 x 0 nell’ambito delle funzioni f di tipo esponenziale, in [0, +∞[. Esercizio 3 Si risolva la seguente equazione differenziale alle derivate parziali: xq = (x + y)z e si determini quella soluzione z(x, y) tale che z(x, 0) = e2x . 4 Soluzioni compito 08/07/2002 Esercizio 1 2iz e √1 i, dei quali occorre calcolare il residuo La funzione f (z) = 1+2z 2 ha poli nei punti ± 2 solo in √12 i. Risulta pertanto, dal teorema dei residui: √ Z +∞ √ 2 cos2 x − 2 dx = π(1 + e ). 2 4 −∞ 2x + 1 Usando le relazioni tra sin x e cos x, e la parita’ dell’integranda, si ottiene infine √ Z +∞ √ sin2 x 2 − 2 dx = π(1 − e ). 2x2 + 1 8 0 Esercizio 2 Applicando la trasformata di Laplace ad ambo i membri dell’equazione, si ottiene 1 2 f˜(λ) = 2 λ−1 λ(λ + 4) da cui f˜(λ) = 2 λ2 +4 − 2 . λ(λ2 +4) Antitrasformando, si ricava infine f (x) = sin 2x − sin2 x. Esercizio 3 Mediante il metodo delle curve caratteristiche, si vede facilmente che la soluzione generale, esplicitata rispetto a z, ha l’espressione seguente: y2 z(x, y) = F (x)ey+ 2x con F funzione arbitraria di classe C 1 . La soluzione particolare cercata si ottiene scegliendo F (x) = e2x . Prova scritta del 22/07/2002 Esercizio 1 Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito: Z +∞ sin x2 x3 4 dx. x +1 0 5 Esercizio 2 Mediante l’uso della trasformata di Fourier, si determini almeno una soluzione non banale, integrabile in IR, dell’equazione differenziale: y 00 + xy 0 + 3y = 0. Esercizio 3 Si consideri, nello spazio [0, +∞[, con l’usuale misura di Lebesgue, la funzione f (x) = xe−x . Si stabilisca per quali valori del parametro p ∈ [1, +∞] risulta f ∈ Lp e per tali valori di p si calcoli la norma ||f ||p . (Si usi opportunamente la funzione Γ, definita da +∞ Z xt−1 e−x dx Γ(t) = 0 per t > 0, e verificante la relazione Γ(n) = (n − 1)! per n ∈ IN .) Facoltativo: mediante la formula di Stirling, si valuti il limite lim ||f ||p p→∞ (Formula di Stirling: Γ(p)ep √ = 1). p→∞ pp−1 2πp lim Soluzioni compito 22/07/2002 Esercizio 1 Adoperando la sostituzione t = x2 , si ottiene +∞ Z sin x2 1 x 4 dx = x +1 2 3 0 iz ze Essendo Res[ 1+z 2 , i] = 1 , 2e +∞ Z 0 sin t 1 t 2 dt = t +1 4 Z +∞ t −∞ sin t dt. +1 t2 il teorema dei residui fornisce facilmente il risultato: +∞ Z x3 0 sin x2 π dx = . 4 x +1 4e 6 Esercizio 2 Denotando con F(ω) la trasformata di Fourier di y(x), l’equazione data diviene: ω 2 F(ω) + ωF 0 (ω) − 2F(ω) = 0 da cui l’equazione in F(ω): dF(ω) 2 = (−ω + )dω, F(ω) ω che ha per soluzione F(ω) = ω 2 e−ω 2 2 /2 . 2 Poiché e−ω /2 é la trasformata di f (x) = √12π e−x /2 , la funzione ω 2 e−ω mata di y(x) = −f 00 (x). La soluzione cercata é dunque y(x) = (1 − x2 )e−x 2 /2 é la trasfor- 2 /2 (dato che l’equazione assegnata é omogenea, ogni funzione del tipo ky(x) é soluzione, con k costante reale.) Esercizio 3 Essendo f (x)p = xp e−px un infinitesimo di ordine superiore a qualsiasi potenza di x1 , per x → +∞, é chiaro che f ∈ Lp per ogni p ∈ [1, +∞[. Usando la funzione Γ, e un’ 1/p ovvia integrazione per sostituzione, si trova facilmente ||f ||p = Γ(p)p . Per p intero, si ottiene ||f ||n = il limite: (n−1)!1/n ; n adoperando la formula di Stirling, si puo’ anche valutare 1 lim ||f ||p = . p→+∞ e Quanto a L∞ , chiaramente si vede che f é limitata, e un facile calcolo mostra che essa ammette massimo in x = 1, con f (1) = 1e . Dunque, ||f ||∞ = 1e . Prova scritta del 12/09/2002 Esercizio 1 Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito: Z +∞ cos4 x − sin4 x dx. x2 + 4 −∞ 7 Esercizio 2 Si determini una funzione f : [0, +∞[→ IR, di tipo esponenziale, la cui trasformata di Laplace abbia la forma λ+2 fe(λ) = log λ per λ > 0. Esercizio 3 Si consideri la seguente equazione differenziale alle derivate parziali: xy p + (al solito, p = ∂z ∂x eq= 1 1 q = xy 2 + , xy y ∂z ). ∂y Si determini la soluzione generale dell’equazione omogenea associata; si cerchi poi una soluzione particolare dell’equazione completa, nella forma z(x, y) = ϕ(xy), con ϕ : IR → IR funzione opportuna di classe C 1 . Si scriva infine un’espressione della soluzione generale dell’equazione completa assegnata. Soluzioni compito 12/09/2002 Esercizio 1 Tenendo presente che cos4 (x) − sin4 (x) = cos2 (x) − sin2 (x) = cos(2x), l’integrale assegnato si riduce a: Z +∞ cos (2x) dx. x2 + 4 −∞ Applicando il metodo dei residui, si trova facilmente che Z +∞ Z +∞ 2ix cos (2x) e π dx = dx = 2πiRes(f (z); 2i) = 2 x2 + 4 2e4 −∞ −∞ x + 4 essendo f (z) = e2iz . z 2 +4 Esercizio 2 Posto F (λ) = log( λ+2 ), si ha λ F 0 (λ) = 1 1 − λ+2 λ da cui F 0 (λ) = ge(λ), essendo g(x) = e−2x − 1. Per le proprieta’ della trasformata di Laplace, l’antitrasformata di F é allora f (x) = 8 1 − e−2x . x Esercizio 3 L’equazione omogenea associata é: xy p + 1 q = 0. xy Usando ad esempio il metodo delle caratteristiche, la soluzione generale di questa é: z(x, y) = h( y3 1 + ) 3 x con h funzione arbitraria di classe C 1 . La ricerca di una soluzione particolare, nella forma z0 = ϕ(xy), conduce all’equazione: xy 2 ϕ0 (xy) + ϕ0 (xy) 1 = xy 2 + . y y Un’ovvia semplificazione fornisce ϕ0 (xy) = 1, e quindi z0 (x, y) = ϕ(xy) = xy é una soluzione particolare dell’equazione assegnata. La soluzione generale é allora z(x, y) = xy + h( y3 1 + ). 3 x Prova scritta del 26/09/2002 Esercizio 1 Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito: Z +∞ −∞ sin2 x cos2 x dx. 4x2 + 9 Esercizio 2 i) Si consideri la funzione f(a,b) := 1[a,b] , ove a e b sono due numeri reali qualsiasi, con a < b, e si calcoli la trasformata di Fourier di f(a,b) . ii) Si esprima in termini espliciti la funzione reale g, antitrasformata della funzione F (ω) = 9 (1 − e−iω )2 . ω2 Esercizio 3 Si consideri la seguente equazione differenziale alle derivate parziali: yp + xq = xy . z Dopo aver determinato la soluzione generale, si trovino due soluzioni particolari, z1 e z2 , in modo tale che z1 + z2 non verifichi l’equazione data. Soluzioni compito 26/09/200 Esercizio 1 Essendo sin2 x cos2 x = 14 sin2 2x, e operando un’ovvia sostituzione, l’integrale dato si riduce a Z 1 +∞ sin2 u du. 8 −∞ u2 + 9 Ora, sin2 u = (1 − cos 2u)/2, e quindi Z +∞ Z +∞ sin2 x cos2 x 1 1 cos 2u dx = ( 2 − 2 )du. 2 4x + 9 16 −∞ u + 9 u + 9 −∞ R +∞ Semplici calcoli forniscono: −∞ u21+9 du = π3 , e dal teorema dei residui si ricava: +∞ Z −∞ cos 2u π du = 6 , 2 u +9 3e dunque il risultato finale é: Z +∞ sin2 x cos2 x π 1 dx = (1 − 6 ) ≈ 0.06528762. 2 4x + 9 48 e −∞ Esercizio 2 La trasformata di Fourier di f(a,b) é data da: b Z e−iωt dt = fg (a,b) (ω) = a in particolare, f] (0,1) (ω) = e−iωa − e−iωb : iω 1−e−iω . iω 2 Ora, risulta chiaramente F (ω) = −(f] (0,1) (ω)) , e quindi l’antitrasformata cercata é l’opposto del prodotto di convoluzione di f(0,1) con sé stessa: f = −f(0,1) ∗ f(0,1) . 10 Un’espressione esplicita per f é data da: 0, se x < 0, oppure x > 2 f (x) = x, se 0 ≤ x ≤ 1 2 − x, se 1 ≤ x ≤ 2. Esercizio 3 Con metodi usuali, si perviene alla soluzione: z 2 = f (x2 − y 2 ) + x2 . Soluzioni particolari sono le funzioni z1 (x) = x e z2 (y) = y, come si puo’ facilmente controllare; altrettanto facilmente si vede che z1 +z2 non é una soluzione dell’equazione data, essendo, per tale funzione: yp + xq = x + y 6= xy. Prova scritta del 16/12/2002 Esercizio 1 Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito: +∞ Z 1 cos (x2 − 1) dx. x3 /2 − x + 1/x Esercizio 2 Si determini l’antitrasformata di Laplace della funzione F (λ) = λ4 1 . + λ2 + 1 Esercizio 3 Si risolva rispetto a z la seguente EDP, di I ordine: xp + yq log y = 2z. Soluzioni compito 16/12/2002 11 Esercizio 1 Risulta, con facile sostituzione: Z +∞ Z +∞ Z +∞ cos (x2 − 1) 2x cos (x2 − 1) cos u dx = dx = du. 3 2 2 x /2 − x + 1/x (x − 1) + 1 u2 + 1 1 1 0 Usando il metodo dei residui, si trova facilmente Z +∞ cos u π du = ≈ 0.57786. u2 + 1 2e 0 Esercizio 2 Scomponendo, si ottiene λ4 1 1 1 = 2 . 2 2 +λ +1 λ +λ+1 λ −λ+1 Poniamo 1 1 , F2 (λ) = 2 +λ+1 λ −λ+1 e cerchiamo l’antitrasformata di entrambe. Essendo F1 (λ) = λ2 1 3 3 2λ + 1 λ2 + λ + 1 = (λ + )2 + = ( √ + 1) 2 4 4 3 √ l’antitrasformata di F1 é f1 (x) = √23 e−x/2 sin( 3x/2); in maniera analoga si ricava l’antitrasformata f2 di F2 , dunque: √ √ 2 2 f2 (x) = √ ex/2 sin( 3x/2), f1 (x) = √ e−x/2 sin( 3x/2). 3 3 Un modo per dedurre l’antitrasformata di F é calcolare il prodotto di convoluzione di f1 con f2 ; un altro modo é quello di decomporre F come somma di due funzioni razionali di λ: 1 λ+1 1 1−λ F (λ) = + . 2 λ2 + λ + 1 2 λ2 − λ + 1 λ −λ Poiché λ2 +λ+1 é la trasformata della derivata di −f1 , e λ2 −λ+1 é la trasformata della derivata di f2 , l’antitrasformata di F é la funzione 1 f (x) = (f1 (x) − f10 (x) + f2 (x) + f20 (x)) = 2 ! √ √ 1 −x/2 √ 3 3 3 sin( x) (ex + 1) + 3 cos( x) (1 − ex ) = = e 6 2 2 √ √ 1 3 x 3 x = √ sin( x) cosh − cos( x) sinh . 2 2 2 2 3 12 Esercizio 3 Usando il metodo delle caratteristiche, ricaviamo le seguenti equazioni: dx dz = , 2z x dx dy = x y log y da cui x log y e quindi la soluzione generale puo’ essere scritta nella forma k = zx−2 , h= F (h, k) = 0, con F funzione arbitraria: esplicitando z, avremo infine z(x, y) = x2 φ( x ) log y con φ funzione arbitraria. Prova scritta del 11/01/2003 Esercizio 1 Integrando per parti, e usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito: Z +∞ 2x + 1 sin x cos x dx. 2 2 −∞ (x + x + 2) Esercizio 2 Si scriva la trasformata di Laplace della funzione f (x) = 1 − cos x e si ricavino le trasformate di Laplace delle funzioni f1 (x) = f (x) , x f2 (x) = f (x) . x2 Si deduca infine il valore del seguente integrale (chiaramente positivo): Z +∞ 1 − cos x dx. x2 0 Esercizio 3 Si consideri la seguente equazione differenziale alle derivate parziali: p sin 2y + q cos 2y = 0. Dopo aver determinato la totalita’ delle soluzioni, si provi che alcune di queste (nella forma z = φ(x, y)), sono funzioni armoniche. 13 Soluzioni compito 11/01/2003 Esercizio 1 Z Integrando per parti, si ricava +∞ −∞ 2x + 1 sin x cos x dx = 2 (x + x + 2)2 Z +∞ −∞ sin x cos x +∞ cos 2x dx − x2 + x + 2 x2 + x + 2 −∞ e chiaramente l’ultimo termine si annulla. Si ha ora, con il metodo dei residui: ( √ ) Z +∞ cos 2x 1 − i 7 e2iz dx = Re 2πiRes 2 ; = 2 z +z+2 2 −∞ x + x + 2 √ √ 2π 2π = Re{ √ (e− 7−i )} = √ e− 7 cos 1 ≈ 0.09014. 7 7 Questo é dunque il valore dell’integrale richiesto. Esercizio 2 Notoriamente, la trasformata di Laplace di f é data da: 1 λ fb(λ) = − . λ 1 + λ2 Per noti teoremi, la trasformata di f1 é una primitiva di −fb(λ), dunque 1 fb1 (λ) = − log λ + log(1 + λ2 ) 2 (la costante si ricava imponendo che sia nullo il limite per λ → ∞). In maniera analoga, si ottiene 1 π fb2 (λ) = λ log λ − λ log(1 + λ2 ) − arctan λ + . 2 2 L’integrale richiesto, infine, non é altro che fe2 (0) = π2 . Esercizio 3 Metodi usuali forniscono la soluzione nella forma z(x, y) = ψ(2x + log(cos 2y)), con ψ funzione arbitraria. Scegliendo ψ(u) = eu , si ottiene la soluzione z(x, y) = e2x cos 2y, che é armonica. Prova scritta del 27/03/2003 14 Esercizio 1 Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito: Z +∞ x sin Ax dx, 2 2 −∞ (x + 1) dove A = numero lettere del nome. Esercizio 2 Si determini la funzione f , di tipo esponenziale, la cui trasformata di Laplace sia la funzione λ + 16 F (λ) = 2 (λ − 4)2 Esercizio 3 Esplicitare rispetto a z la soluzione generale dell’equazione differenziale yp + xq = 3x Soluzioni compito 27/03/2003 Esercizio 1 L’integrale richiesto non é altro che la parte immaginaria dell’integrale seguente: Z +∞ x eiAx dx, 2 2 −∞ (x + 1) che, per noti teoremi, concide con la quantita’: 2πiRes[ zeiAz ; z = i]. (z 2 + 1)2 Il residuo suddetto si calcola con metodi usuali (si tratta di polo di ordine 2) e si ha infine Z +∞ x sin Ax Aπe−A dx = . 2 2 2 −∞ (x + 1) Esercizio 2 Con metodi usuali, si riconosce che F (λ) puo’ esprimersi come segue: 9 1 7 1 1 1 1 F (λ) = + + − = 8 (x − 2)2 8 (x + 2)2 2 x + 2 x − 2 d 9 1 7 1 1 1 1 =− + + − . dλ 8 x − 2 8 x + 2 2 x+2 x−2 Ora d − dλ 9 1 7 1 + 8x−2 8x+2 15 é la trasformata di g(t) = 89 te2t + 78 te−2t , mentre 1 2 1 1 − x+2 x−2 é la trasformata di h(t) = 12 (e−2t − e2t ). Sommando, otteniamo infine 1 9 7 f (t) = (e−2t − e2t ) + te2t + te−2t . 2 8 8 Esercizio 3 Si puo’ risolvere l’equazione omogenea associata, e poi determinare una soluzione particolare. L’equazione omogenea si risolve facimente con il metodo delle caratteristiche, e fornisce la soluzione z0 (x, y) = ϕ(y 2 − x2 ) con ϕ funzione arbitraria. Una soluzione particolare dell’equazione data si trova facilmente, imponendo che z dipenda solo da y: una soluzione di questo tipo si puo’ scrivere nella forma z = f (y), ove f verifica la condizione xf 0 (y) = 3x ossia f 0 (y) = 3, il che fornisce evidentemente f (y) = 3y. La soluzione generale ha dunque la forma z(x, y) = ϕ(y 2 − x2 ) + 3y. Prova scritta del 26/06/2003 Esercizio 1 Nello spazio L2 ([−1, 1]) é data la funzione g(x) = x3 − x. Si determini, nello stesso spazio, la funzione lineare, h(x) = ax + b, che meglio approssima g in L2 . Esercizio 2 Si determini la trasformata di Laplace della funzione f (x) = cos4 x. 16 Esercizio 3 Si trovino tutte le soluzioni dell’equazione differenziale xp + y 2 q = yz in termini di z(x, y). Soluzioni compito 26/06/2003 Esercizio 1 Si tratta di minimizzare la funzione Z 1 φ(a, b) = (g(x) − ax − b)2 dx −1 rispetto ad a e b. Un calcolo diretto fornisce φ(a, b) = −18/35 − 4a/5 + 2(1 + a)2 /3 + 2b2 da cui facilmente si deduce φ0a (a, b) = 0 per a = −2/5 e φ0b (a, b) = 0 per b = 0. La retta cercata é dunque y = −2x/5. Esercizio 2 Ricordando che cos2 x = (1 + cos 2x)/2 e sin2 x = (1 − cos 2x)/2 si ricava facilmente 1 cos4 x = cos2 x(1 − sin2 x) = cos2 x − sin2 2x = 4 1 1 1 1 = (1 + cos 2x) − (1 − cos 4x) = cos 2x + cos 4x + 3/8. 2 8 2 8 λ Ora, poiché la trasformata di cos(ax) é λ2 +a2 e quella di 1 é λ1 , il risultato finale é 1 λ 1 λ 3 λ4 + 16λ + 24 fb(λ) = + + = . 2 λ2 + 4 8 λ2 + 16 8λ λ(λ2 + 4)(λ2 + 16) Esercizio 3 Metodi usuali forniscono la soluzione 1 z(x, y) = yf (log x + ), y con f funzione arbitraria. Prova scritta del 26/09/2003 17 Esercizio 1 Detto A il numero delle lettere del nome, si determini il valore del seguente integrale: Z +∞ (x + A) sin x dx. x2 + 4 −∞ Esercizio 2 Si determini la trasformata di Laplace della funzione 1 − cos x . x2 f (x) = Esercizio 3 Si trovino tutte le soluzioni dell’equazione differenziale xp sin y + q = x sin y y in termini di z(x, y). Soluzioni compito 26/09/2003 Esercizio 1 Dato che la funzione sin x é dispari, l’integrale cercato si riduce a Z +∞ x sin x . 2 −∞ x + 4 Adoperando il metodo dei residui, si ottiene il risultato: Z +∞ x sin x = πe−2 . 2+4 x −∞ Esercizio 2 Poiché la trasformata di Laplace della funzione 1 − cos x é data da F (λ) = 1 λ − 2 , λ λ +1 integrando due volte, e tenendo conto dell’alternanza del segno, si ottiene il risultato: L(f )(λ) = arctan Esercizio 3 1 1 1 − λ log (1 + 2 ). λ 2 λ Usando il metodo delle caratteristiche, si ottiene facilmente z(x, y) = x + f (sin y − y cos y − log x) con f funzione arbitraria. Prova scritta del 16/12/2003 18 Esercizio 1 Si calcoli l’integrale definito, nell’intervallo [0, +∞[, della funzione f (x) = Esercizio 2 x4 sin2 x + x3 + sin2 x + x . (x4 + 1)(x2 + 1) Si determini la trasformata di Laplace della funzione h(x) = x2 cos2 x. Esercizio 3 Si trovino tutte le soluzioni dell’equazione differenziale y 2 p2 − x2 q 2 = 0 in termini di z(x, y). Soluzioni compito 16/12/2003 Esercizio 1 Raccogliendo opportunamente a numeratore, si ottiene f (x) = x sin2 x + . x4 + 1 x 2 + 1 Il primo addendo é un integrale immediato: Z +∞ Z x 1 +∞ 1 π dx = dt = . 4 2 x +1 2 0 t +1 4 0 Il secondo addendo si puo’ trasformare, osservando che sin2 x = π . Applicando ora il metodo dei residui, si ottiene: 4 Z +∞ cos 2x π dx = 2 2 2x + 2 4e 0 e infine +∞ Z f (x)dx = 0 Esercizio 2 1−cos 2x , 2 e R +∞ 0 1 dx 2x2 +2 π π − 2. 2 4e La trasformata di Laplace di cos2 x é 2 + λ2 G(λ) := λ(λ2 + 4) 2x come si riconosce facilmente, dalla formula: cos2 x = 1+cos . Derivando due volte 2 (due inversioni del segno non hanno influenza), si ottiene λ6 + 24λ2 + 32 e h(λ) = 2 3 2 . λ (λ + 4)3 19 = Esercizio 3 L’equazione si scompone nella seguente: (yp + xq)(yp − xq) = 0 che é soddisfatta da tutte le funzioni z del tipo z(x, y) = φ(x2 + y 2 ), oppure z(x, y) = ψ(x2 − y 2 ). Prova scritta del 22/03/04 Esercizio 1 Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito: +∞ Z cos2 x2 dx. x4 + 1 x 0 Esercizio 2 Si trovi la funzione f (x), la cui trasformata di Laplace é f˜(λ) = Esercizio 3 λ(λ2 2 . + 16) Risolvere la seguente equazione differenziale: p − 2xq + ex = 0. Soluzioni compito 22/03/04 Con la posizione x2 = t si perviene a Esercizio 1 Z Z Z cos2 x2 1 ∞ cos2 t 1 ∞ cos 2t 1 ∞ 1 x 4 dx = dt = dt + dt. x +1 2 0 t2 + 1 4 0 t2 + 1 4 0 t2 + 1 0 R∞ Chiaramente, si ha 0 t21+1 dt = π2 . Inoltre, usando il metodo dei residui, si trova facilmente Z ∞ cos 2t π dt = 2 . 2 t +1 2e 0 Z +∞ Pertanto, si conclude: +∞ Z x 0 cos2 x2 π 1 dx = ( 2 + 1) ∼ .4458451233. 4 x +1 8 e 20 Scomponendo la funzione f˜(λ), si trova Esercizio 2 1 1 λ f˜(λ) = ( − 2 ). 8 λ λ + 16 Poiché 1 λ é la trasformata della costante 1, e λ λ2 +16 é la trasformata di cos 4x, si deduce 1 f (x) = (1 − cos 4x) = sin2 x cos2 x. 8 Esercizio 3 I metodi usuali forniscono la soluzione nella forma z(x, y) = f (x2 + y) − ex con f funzione arbitraria. Prova scritta del 20/09/2004 Esercizio 1 Usando il metodo dei residui, si calcoli il seguente integrale definito: Z +∞ (1 − 2 sin2 x)2 dx. x2 + 1 0 Esercizio 2 Si trovi la funzione f (x), la cui trasformata di Laplace é 2 f˜(λ) = arctan . λ Esercizio 3 Risolvere la seguente equazione differenziale: p = qx + z Soluzioni compito 20/09/2004 Esercizio 1 segue: Note formule trigonometriche permettono di esprimere il numeratore come (1 − 2 sin2 x)2 = cos2 2x = 1 + cos 4x . 2 Usando il metodo dei residui, si ha facilmente: Z +∞ cos 4x π dx = 4 ∼ .014385. 2 x +1 4e 0 R∞ Essendo poi 0 2(x21+1) dx = π4 , ne segue che l’integrale cercato é uguale a 21 π 4 + 4eπ4 ∼ .8 Esercizio 2 Calcolando la derivata di f˜, si ha f˜0 (λ) = − λ2 2 = g̃(λ), +4 ove g(x) = − sin 2x. Note regole di trasformazione forniscono facilmente f (x) = Esercizio 3 sin 2x . x Applicando il metodo delle curve caratteristiche si ricava: z(x, y) = ex F (y + x2 ), 2 con F funzione arbitraria. Prova scritta del 31/03/2005 Esercizio 1 Si calcoli il seguente integrale definito: Z +∞ sin2 x dx. 2 2 −∞ x + 4πx + 4(π + 1) Esercizio 2 Si determini la funzione f , la cui trasformata di Laplace sia: 5 fb(λ) = arctan . λ Esercizio 3 Si risolva in termini di z la seguente equazione differenziale alle derivate parziali: xp + (x + y)q = 2z. Soluzioni compito 31/03/2005 Esercizio 1 L’espressione a denominatore puo’ scriversi: (x + 2π)2 + 4. La sostituzione t = x + 2π trasforma l’integrale da calcolare come segue: Z +∞ Z +∞ sin2 x sin2 t dx = dx. 2 2 2 −∞ t + 4 −∞ x + 4πx + 4(π + 1) A questo punto il calcolo procede mediante il metodo dei residui. Il risultato é: Z +∞ sin2 t π dx = (1 − e−4 ) ∼ .771. 2 4 −∞ t + 4 22 Esercizio 2 Poiché (fb )0 (λ) = gb(λ), dove g(x) = − sin 5x, facilmente ne segue che f (x) = Esercizio 3 sin 5x . x Dalle equazioni caratteristiche si ricava z = Kx2 , y = cx + x log x, per cui la soluzione generale é: y z(x, y) = x2 F ( − log x), x con F funzione arbitraria. Prova scritta del 24/03/2006 Esercizio 1 Si calcoli il seguente integrale definito: Z +∞ 4 sin2 x cos2 x dx. x2 − 2x + 3 −∞ Esercizio 2 Si determini la funzione f , la cui trasformata di Laplace sia: fb(λ) = λ2 λ . + 2λ + 2 Esercizio 3 Si risolva in termini di z la seguente equazione differenziale alle derivate parziali: √ (1 + x)p + xq = 1. Soluzioni compito 24/03/06 Esercizio 1 4x Essendo 4 sin2 x cos2 x = sin2 2x = 1−cos , l’integrale da calcolare é 2 Z Z 1 +∞ 1 1 +∞ cos 4x dx − dx. 2 2 2 −∞ x − 2x + 3 2 −∞ x − 2x + 3 Usando il metodo dei residui, si trova: Z +∞ −∞ x2 1 π dx = √ , − 2x + 3 2 23 Z +∞ −∞ pertanto si ha Z +∞ −∞ Esercizio 2 cos 4x π −4√2 √ dx = e cos 4, x2 − 2x + 3 2 √ 4 sin2 x cos2 x π −4 2 √ dx = (1 − e cos 4) ∼ 1.113257 x2 − 2πx + 3 2 2 Chiaramente, si ha fb(λ) = λ (λ + 1)2 + 1 dunque f = −g 0 , ove gb(λ) = (λ+1)1 2 +1 . Semplici proprieta’ della trasformata di Laplace comportano che g(x) = − sin xe−x , per cui f (x) = e−x (cos x − sin x). Esercizio 3 Col metodo delle curve caratteristiche, si ottiene: √ √ 2 √ C1 = 2 x − x + x x − 2 log(1 + x) − y, 3 √ √ C2 = 2 x − 2 log(1 + x) − z da cui √ √ √ √ 2 √ z = 2 x − 2 log(1 + x) + F (2 x + x x − x − 2 log(1 + x) − y) 3 con F funzione arbitraria. 24