Esercizi sugli A-moduli liberi,
sui gruppi abeliani finitamente generati
e sulle forme canoniche degli endomorfismi degli spazi vettoriali
1.1) Siano A un anello commutativo con unità e L un A-modulo libero di rango s. Indicata
con {e1 , . . . , es } una base di L, siano {vi } elementi di L tali che
(v1 , . . . , vs ) = (e1 , . . . , es )X,
dove X è una matrice di ordine s con elementi in A.
Si dimostri che sono equivalenti i seguenti fatti:
a) X è invertibile.
b) {v1 , . . . , vs } è una base di L.
c) {v1 , . . . , vs } è un sistema di generatori di L.
1.2) Determinare una base per ciascuno dei seguenti sottomoduli:
K = h (5, 12), (3, 10), (2, 14)i ⊂ Z2 ,
H = h (2, 4, 6), (3, 6, 9), (15, 10, 5) i ⊂ Z3 ,
N = h (2, 3, 1, 6), (4, 7, 3, 14), (0, 1, 1, 2), (9, −1, −10, −2) i ⊂ Z4 .
In tutti i casi si dica se quozientando Zn con il corrispondente sottomodulo si ottiene
uno Z-modulo libero.
1.3) Vero o falso ?
a) (6, 24) può essere un elemento di una base di Z2 .
b) (9, 18, k) fa parte di una base di Z3 se e solo se k non è divisibile per 9.
1.4) Sia A un anello commutativo con unità. Si provi che se ogni A-modulo M è libero,
allora A è un campo.
1.5) Sia A un PID e f : An → Am un omomorfismo di A-moduli.
a) Si provi che se rv ∈ ker f con r ∈ A, r 6= 0, e v ∈ An , allora v ∈ ker f .
b) Si provi la relazione
rango (ker f ) + rango (Im f ) = n.
1.6) Si consideri il gruppo abeliano G definito dalla presentazione
G = h x, y, z | x + 5y + 4z = 3x + 8y − z = −x + 2y + 9z = 0 i.
a) Considerato uno Z-modulo libero su tre elementi F = he1 , e2 , e3 i e detto ϕ
l’omomorfismo F → G tale che ϕ(e1 ) = x, ϕ(e2 ) = y, ϕ(e3 ) = z, si determini il rango di ker ϕ.
b) Si provi che il gruppo G è ciclico e se ne determini un generatore g in funzione di
x, y e z.
c) Trovare gli interi h e k tali che x = hg e z = kg.
1.7) Si considerino i seguenti gruppi
G1 = h a, b |
G2 = h a, b |
G3 = h a, b |
G4
G5
G6
G7
G8
= h a, b
= h a, b
= h a, b
= h a, b
= h a, b
|
|
|
|
|
abeliani:
a + 5b = 0 i,
a + 5b = 2a − 4b = 0 i,
a + 5b = 2a − 4b = 4a + 9b = 0 i,
6a + 10b = 8a + 4b = 0 i,
6a + 10b = 9a + 15b = 0 i,
6a + 10b = 9a + 16b = 0 i,
12a + 16b = 18a + 24b = 0 i,
6a + 11b = a + 2b = 0 i,
G9 = h a, b | 6a + 11b = 2a + 4b = 0 i.
Stabilire quali tra i gruppi Gi sono infiniti, finiti, ciclici, non ciclici, privi di torsione,
decomponibili, indecomponibili. In quali casi Gi è il gruppo banale? Quali Gi sono
isomorfi?
1.8) È dato il gruppo abeliano G = h a, b, c | 2a − 3c = 7b + 5c = 0 i.
Provare che G è ciclico infinito e determinarne un generatore g in funzione di a, b e
c. Esprimere a, b e c come multipli interi di g.
1.9) È dato il gruppo abeliano G = h a, b | 70a + 20b = 45a + 10b = 0 i.
a) Determinare gli invarianti di torsione di G e la decomposizione di G come somma diretta di due sottogruppi ciclici H e K.
b) Trovare i generatori di H e K in funzione di a e b.
c) Determinare gli invarianti primari e le componenti primarie di G.
d) Calcolare il periodo di a e il periodo di 3a − 5b.
L
e) È vero o falso che G ' ha − 2bi
h3a − 5bi ?
f) È vero o falso che 7a + 5b = 2a − 15b ? e che 17a − 25b = 12a − 35b ?
1.10) Provare che il gruppo abeliano
G = h a, b, c | 2a + 2b = a − 6b + 5c = −4a + b + 5c = 0 i
è ciclico finito. Determinarne l’ordine e un generatore in funzione di a, b e c.
Trovare i periodi di a, b e c e le componenti primarie di G.
1.11) È dato il gruppo abeliano
G = h a, b, c, d | a + 3b − 2c + d = a − 7b + 8c − 5d = 2a + b + c − d = 0 i.
Si verifichi che G è infinito. G è isomorfo a Z?
Si esprima G come somma diretta di sottogruppi ciclici e si determini un generatore
di ciascun addendo.
1.12) Trovare gli invarianti di torsione e gli invarianti primari del gruppo abeliano
L
L
L
G = Z10 Z12 Z18 Z30 .
Determinare le componenti primarie di G e la decomposizione di G come somma
diretta di sottogruppi indecomponibili.
1.13) Trovare l’ordine del sottogruppo ciclico più grande contenuto nel gruppo
L
L
G = Z30 Z20 Z10 .
1.14) Determinare tutti i gruppi abeliani di ordine 300 a due a due non isomorfi.
Stessa domanda per i gruppi di ordine 4624.
In entrambi i casi si calcolino gli invarianti di torsione dei gruppi trovati.
L
L
1.15) I gruppi Z12 Z72 e ZL
Z48 sonoLisomorfi ?
18
Stessa domanda con Z72 Z84 e Z36 Z168 .
L L L
1.16) È dato il gruppo G L
= Z2 Z3 Z4 Z9 .
(a, b) tali che G ' Za Zb .
Trovare le coppie di interi positivi
¸
µ· ¸¶ ·
x−y
x
. Ciò rende
2.1) Nello spazio vettoriale IR è dato l’endomorfismo α
=
2x
y
IR2 modulo sull’anello IR[x]
· ¸ p (x) v = p (α)(v).
· ¸mediante il prodotto
1
2
.
,
(x4 + 2x)
a) Calcolare: (x3 − 1)
1
1
· ¸
0
2
.
b) Verificare che il modulo IR può essere generato da
1
2
2
c) Verificare·che¸ l’annullatore
· ¸ di IR è x − x + 2 e determinare un polinomio p (x)
1
0
tale che
= p (x)
.
0
1
2
2.2) Stabilire qual è l’annullatore di IR3 , considerato come IR[x]-modulo mediante α, nei
seguenti casi:
3z
x
x
z
= 3z ,
α
y
α
y
= x ,
3z
z
z
y
x
x−y+z
0
x
.
α y =
0
α y = y ,
x−y+z
z
2z
z
−z
x
2.3) Si consideri l’endomorfismo di IR3 cosı̀ definito: α y = 2x + 2y + z .
x + 2z
z
a) Determinare la forma canonica razionale e la forma canonica di Jordan di α.
b) Trovare le basi di IR3 relative alle forme canoniche suddette.
c) La forma canonica primaria di α differisce da quella razionale ? In caso affermativo
se ne scriva la matrice e si determini la base relativa.
2.4) Si consideri l’endomorfismo di IR4 cosı̀ definito:
x
1
0 0 0
x
y −1 1 0 0 y
α =
.
z
0 −1 0 −1
z
w
1
1 1 2
w
Determinare le forme canoniche razionale, primaria e di Jordan di α, e le basi relative.
2.5) Si conosce la forma normale di Smith della matrice xI − A, dove A ∈ Mat3,3 (Q).
In ciascuno dei seguenti casi si dica quali sono le forme canoniche di A (razionale,
primaria e, se esiste, di Jordan).
1
0
0
1
0
0
,
,
0
M2 = 0 x − 2
0
M1 = 0 x − 1
0
0
(x − 2)2
0
0
x2 − 3x + 2
1 0
0
1 0
0
.
,
0
M4 = 0 1
0
M3 = 0 1
0 0 x3 − 25x + 5
0 0 x3 − 4x2 + 5x − 2
2.6) È dato l’endomorfismo dello
spazio
vettoriale
Q3 definito
da
x
2 1 0
x
ϕ
y
= 0 1 1
y .
z
1 1 0
z
Determinare le forme canoniche di ϕ (razionale, primaria e, se esiste, di Jordan) con
le corrispondenti basi.
2.7) Si consideri l’endomorfismo α di (Z2 )4 individuato dalla matrice
1 0 0 0
0 0 0 1
A=
.
0 0 1 0
0 1 1 1
Determinare le forme canoniche razionale e primaria di α e le basi relative.
Esiste per α la forma canonica di Jordan ?
2.8) Sia α l’endomorfismo di K3 definito
da
x
88y
α y = 40x + 57z .
z
4y + 81z
Trovare i fattori invarianti, le forme canoniche di α e le relative basi nei seguenti casi:
K = Z2 ,
K = Z5 ,
K = Z7 ,
K = Z11 .
2.9) Stabilire se le seguenti matrici
a basi diverse:
0
16
0
rappresentano lo stesso endomorfismo di IR3 rispetto
0 1
4 1 −1
0 0 4 .
4 −4 ,
1 0
4 0 0
2.10) Stabilire
0
1
0
quali tra le seguenti matrici sono simili su Q:
0 1
−1 1 1
0 0 −1
1 0 0,
1 0 2 ,
1 −1 ,
1 0
0 0 1
0 1 0
1
0
1
1
0
0
−1
1 .
0
2.11) Stabilire se le seguenti matrici sono a due a due simili su IR:
6 0 8
3
1 −1
2 1 0
3 2 6 ,
−3 −1 3 ,
−1 2 1 .
−2 0 −2
−2 −2 4
0 1 2
2.12) Stabilire se le seguenti matrici
K = Q e K = Z5 :
−1
1
0
rappresentano lo stesso endomorfismo di K3 nei casi
0 3
0 0,
1 4
2
0
1
1
0
0
1
3 .
1
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
B. HARTLEY– T.O. HAWKES Rings, modules and linear algebra, ed. Chapman
and Hall 1970.
P.M. COHN Algebra, vol. 1◦ , ed. John Wiley 1989.
I.N. HERSTEIN Algebra, Editori Riuniti 2003.
In questo testo viene detta ”razionale” la forma canonica che nel corso è stata chiamata ”primaria”.
P.A. GRILLET Abstract Algebra, ed. Springer 2007.
V.V. VOJEVODIN Algèbre linéaire, ed. MIR 1976.
In questo testo si trova una presentazione della forma canonica di Jordan secondo gli
strumenti propri dell’Algebra lineare.
ARGOMENTI E TEOREMI PRINCIPALI
1. PRODOTTI E SOMME DIRETTE.
— Prodotto diretto esterno di gruppi; prodotto diretto interno di sottogruppi di un
gruppo.
— Componenti primarie di un gruppo abeliano finito.
— TEOR. Ogni gruppo abeliano finito è prodotto diretto di sottogruppi ciclici.
2. TEOREMI DI DECOMPOSIZIONE DI UN MODULO SU UN PID.
— Moduli su un anello.
— Generatori di un A-modulo, moduli ciclici; elementi linearmente indipendenti, basi
di un modulo, moduli liberi. Analogie e differenze con gli spazi vettoriali.
— TEOR. Ogni A-modulo è immagine omomorfa di un A-modulo libero.
— TEOR. Tutte le basi di un modulo libero finitamente generato su un anello commutativo con 1 sono finite e hanno lo stesso numero di elementi.
— TEOR. Ogni sottomodulo S di un modulo libero F su un PID è libero e si ha
rk S ≤ rk F .
— Forma normale di Smith: ogni matrice H su un PID è equivalente a una matrice
diag (d1 , d2 , . . . , dr ), con d1 | d2 | . . . | dr .
— TEOR. Ogni A-modulo M finitamente generato su un PID è somma diretta di
sottomoduli ciclici:
A
A
A
M'
⊕
⊕ ... ⊕
⊕ A ⊕ . . . ⊕ A,
hd1 i hd2 i
hdr i
dove i di (invarianti di torsione di M ) sono 6= 0, non invertibili in A e d1 | d2 | . . . | dr .
— Elementi e moduli di torsione; annullatore di un modulo.
— Moduli decomponibili, indecomponibili, primari.
— TEOR. Ogni A-modulo M finitamente generato su un PID è somma diretta di
sottomoduli ciclici primari e di sottomoduli liberi di rango 1. Più precisamente,
αk
1 α2
se T è il sottomodulo di torsione di M e Ann (T ) = hdi e d = upα
1 p2 . . . pk
è una decomposizione di d mediante primi non associati, allora si ha
A
A
A
A
M ' α11 ⊕ α12 ⊕ . . . ⊕ α1k ⊕ α2k ⊕ . . . ⊕ A ⊕ . . . ⊕ A.
hp1 i hp2 i
hpk i hpk i
3. APPLICAZIONI ALLA TEORIA DEI GRUPPI.
— Teoremi di decomposizione dei gruppi abeliani finiti o finitamente generati.
— Struttura dei gruppi abeliani assegnati mediante generatori e relazioni.
4. APPLICAZIONI ALL’ALGEBRA LINEARE.
— Lo spazio vettoriale V sul campo K pensato come K[x]-modulo mediante un endomorfismo ϕ.
— Forme canoniche di un endomorfismo di V : forma canonica razionale, primaria e
di Jordan.
