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Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (lettere: c-z)
Prova scritta Geometria ed Algebra -22.12.08
Prof. Maria Rosaria Celentani
1. Sia St (al variare del parametro t) il sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo ∑t:
3 x1+x2-2x3+x4=0
{ -6 x1-2x2+4x3+x4=0
2x1+2x2+(t2-2) x3=0
Discutere, al variare di t, la dimensione di St; descrivere S-2. Se B-2 è una sua base,
completarla ad una base di R4.
2. Sia fk: R3→ R3, così definita: fk (x1,x2,x3)=( -4x1-2x2+5x3, 7x1+5x2-3x3, (k+1) x3).
i) Verificare per quali valori di k tale endomorfismo è un isomorfismo.
ii) Nel caso in cui k = -1 determinare nucleo ed immagine di f-2; determinare f-2-1({(0,-3,2)})
e f-2-1({(1,-2,0)})
iii) Studiare la diagonalizzabilità al variare di k. Determinare, se possibile, una base spettrale
nel caso k = 0.
3. i) Determinare la posizione reciproca delle rette r ed s:
x= -5-6t
x= 2+t’
{ y= -1-3t
s: { y= -7-2t’
z= -3
z= 7+3t’
ii) Scrivere, se possibile, l’equazione del piano contenente s ed ortogonale ad r.
iii) Calcolare la distanza tra r ed s.
r:
4. Classificare la seguente conica Γ:
f(x,x)= x12-2x22-2x32+ x1x2+5 x2x3+ x1x3=0
