(i) Presentare gli enti primi

ISTITUZIONI DI MATEMATICA per SFP, a.a.2012/13
Docente: PAOLA SUPINO
DIARIO DELLE LEZIONI
ESERCIZI
(i) Presentare gli enti primitivi, i cinque postulati di Euclide, e le nozioni comuni.
(ii) Illustrare il significato geometria assoluta confrontandola con la geometria Euclidea.
(iii) Presentare diverse formulazioni equivalenti del V postulato di Euclide (anche
quella di Hilbert) ed illustrare come nella geometria sferica, tale postulato non
valga, esibendo alcuni esempi di configurazioni geometriche.
(iv) Nella sua trattazione Euclide utilizza alcuni strumenti non deducibili dagli assiomi (postulati e nozioni comuni), ma necessari alla teoria. Gli assiomi di Hilber
pongono rimedio a tale omissione esplictando tutto ci che necessario alla teoria.
Indicare queste mancanze e il corrispondente gruppo di assiomi introdotto da
Hilbert.
(v) Discutere le definizioni di angoli e cerchi in Euclide: sono definizioni primitive?
(vi) quali sono gli enti primitivi secondo Euclide e in che senso il punto di vista di
Hilbert é diverso a riguardo?
(vii) Proporre esempi di definizioni non primitive di Euclide.
(viii) Cosa intende Euclide con le parole retta, angolo rettilineo, figura rettilinea?
(ix) Quali sono i tre principi della assiomatica moderna che secondo Hilbert devono
essere rispettati perché questo sia la base di una teoria matematica? e quale
principio non é pi’u necessario? illustrare e commentare brevemente
(x) In geometria sferica, é possibile costruire un parallelogramma sulla sfera? E un
triangolo con somma degli angoli interni pari a 200 gradi?
(xi) Geogebra rispetta i postulati di euclide? quali comandi corrispondono ai 5 postulati?
(xii) In che cosa consiste il principio di permanenza delle proprietá formali nella
costruzione di insiemi di numeri a partire dai numeri naturali?
√
(xiii) Dimostrare che se p é un numero primo allora p non é razionale.
(xiv) Quando un numero reale si dice algebrico e quando trascendente? Esibire esempi
(xv) I numeri razionali sono algebrici? Dimostrare la risposta.
(xvi) Cosa vuol dire che un numero é costruibile con riga e compasso?
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