. – Matematiche complementari II
PROF. MAURO SPERA
OBIETTIVO DEL CORSO
Il corso offre una introduzione per uno studio critico dei fondamenti della
geometria e tratta altresì di vari aspetti (topologici, geometrico-differenziali
e geometrico algebrici) della teoria delle superfici: quest'ultimo ambito costituisce
un banco di prova naturale per introdurre e saggiare strumenti matematici avanzati
provenienti da varie aree della matematica che risultano così accessibili
all'intuizione, conferendo con ciò allo studente sia ulteriori motivazioni per studi
successivi sia strumenti utili per percorsi didattici.
PROGRAMMA DEL CORSO
Introduzione agli Elementi di Euclide. Il metodo di analisi e sintesi. Il I libro di
Euclide. Il problema del V postulato. Teorema di Saccheri Legendre.
La teoria delle proporzioni e la teoria delle sezioni di Dedekind. Il VI libro di
Euclide. Grandezze commensurabili e incommensurabili. Frazioni continue. La
sezione aurea. Area e volume in Euclide. Il metodo di esaustione. Solidi platonici.
Teorema di Eulero.
Il sistema di assiomi di Hilbert per la geometria. Coordinatizzazione. Calcolo dei
segmenti e teoria dell'area e del volume. Costruzioni geometriche.
Superficie topologiche e loro classificazione. Interpretazione in termini di gruppo
fondamentale. Omologia simpliciale e teorema di Euler-Poincare'.
Fondamenti della geometria proiettiva. Birapporto. Il teorema di Von Staudt.
Omografie. Omologie. Teorema di Desargues. Generazione proiettiva delle
coniche. Teorema di Pascal.
Disegno prospettico.
Il modello di Klein per la geometria iperbolica. Metriche proiettive.
Classificazione geometrica
uniformizzazione).
delle
superficie
(cenno
al
teorema
di
Concetto di superficie di Riemann. Superficie di Riemann definita da una curva
algebrica. Teorema di Riemann-Hurwitz: la formula g = (d-1)(d-2)/2 per curve
piane non singolari di grado d.
BIBLIOGRAFIA
EUCLIDE, Elementi (a cura di A. Frajese e L. Maccioni), Utet, Torino, 1970
R. HARTSHORNE, Geometry: Euclid and beyond, Springer, Berlin, 2000.
D. HILBERT, Fondamenti della geometria, Feltrinelli, Milano, 1970.
H. KARZEL – K. SÖRENSEN – D. WINDELBERG, Einführung in die Geometrie, Göttingen , UTB, 1973.
S.STAHL, Geometry: from Euclid to Knots, Dover, New York, 2010.
S.STILLWELL, Geometry of surfaces, Springer, Berlin, 1992.
DIDATTICA DEL CORSO
Lezioni in aula.
METODO DI VALUTAZIONE
Esame orale.
AVVERTENZE
Il Prof. Spera riceve gli studenti nel suo studio nei giorni di lezione e su appuntamento.
