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MATEMATICHE COMPLEMENTARI 1- APPELLO DEL 11/ 02/ 2008
Non è consentito l’utilizzo di libri o appunti. Il tempo a disposizione è di due ore.
Rispondere nello spazio assegnato alle seguenti domande:
1. Enunciare i postulati di Euclide. Quali di essi non sono verificati dalla geometria sulla sfera?
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2. In che cosa consiste il “problema del V postulato”? Che cosa sono le “geometrie noneuclidee”?
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3. Si enuncino i Teoremi di Posidonio e di Saccheri-Legendre.
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4. Che cosa è una geometria secondo Nikulin-Shafarevich? Che cosa è una geometria
localmente euclidea?
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5. Che relazione c’è tra geometrie piane localmente euclidee e gruppi uniformemente
discontinui di isometrie del piano?
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6. Si dimostri che l’unica isometria con un punto fisso che fa parte di un gruppo
uniformemente discontinuo è l’identità.
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7. Si enunci il Teorema di Chasles e lo si applichi per dedurre che i gruppi uniformemente
discontinui sono composti solo di traslazioni e di glissoriflessioni.
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8. Che differenza c’è tra gruppi discreti di isometrie e gruppi uniformemente discontinui?
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9. Si dimostri che la geometria del semipiano superiore di Poincaré soddisfa il primo postulato
di Euclide.
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10. A che cosa può essere uguale il prodotto tra una traslazione e una riflessione? Sotto quali
condizioni il prodotto tra una traslazione e una riflessione è commutativo?
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