Statistica Standard, II Prova parziale 15 Gennaio 2014
Soluzioni della modalità A
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Per la formulazione testuale delle domande degli esercizi si veda il testo
f'esamepubblicato nel materiale didattico
ES. N. 1
E' data la tabella a doppia entrata:
x \y
1
2
3
0
4/18 6/18 2/18 12/18
1
2/18
0
4/18 6/18
6/18 6/18 6/18
1
a)
La variabile X è Bernoulliana con parametro p=6/18=1/3, mentre
Y è Uniforme discreta con parametro n=3 e supporto da 1
ovvero con valori possibili y=1,2,3
b)
p(1)*p(2)=(6/18)*(6/18)=2/18
poiché 2/18 è diverso dalla probabilità cong.
X e Y non sono stocasticamente indipendenti
oppure
p(0)*p(2)=(12/18)*(6/18)=4/18
poiché 4/18 è diverso dalla probabilità cong.
X e Y non sono stocasticamente indipendenti
ecc.
c)
p(1,2)=0
p(0,2)=6/18
Calcolo Coeff di Correlazione lineare rho(X,Y)
(I) Calcolo Cov(X,Y)
E(X)=p=1/3
E(Y)=(1+3)/2=2
x
y
p(x,y) xyp(x,y)
0
1 0,2222
0
0
2 0,3333
0
0
3 0,1111
0
1
1 0,1111 0,1111
1
2
0
0
1
3 0,2222 0,6667
1 0,7778 =14/18
somma
colonna
Cov(X,Y) = somma colonna - E(X)*E(Y) =
(II) Calcolo rho(X,Y)
V(X)=p(1-p)=
0,2222 =4/18
V(Y)=[(n^2)-1]/12=
0,6667 =12/18
rho(X,Y)=Cov(X,Y)/(sigmaX*sigmaY)
0,1111 =2/18
sigmaX
sigmaY
0,2887
0,4714
0,8165
ES. N. 2
a)
b)
ES. N. 3
a)
b)
c)
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Si specifichi la media campionarioa di 60 variabili I.I.D.
con nedia 4 e varianza 9
La media campionaria è una gaussiana con media 4 e
varianza 9/60
0,15
la covarianza di una qualsiasi coppia delle 60 variabili
è zero.
La composizione di un portafoglio è la seguente
%
rendim volatilità simbolo
medio rendim rendim
Titolo A
20%
0,08
0,2
X
Titolo B
80%
0,1
0,1
Y
Rendimento del portafoglio= R= 0,2X+0,8Y
E(R)=0,2*0,08+0,8*0,1= 0,096
Sapendo che Cov(X,Y)=0,06:
V(R)= 0,0272
ES. N. 4
a)
b)
Dati osservati: 493 faniglie su 800 dispongono di una
connessione internet
Stima puntuale di p (o "proporzione" o "percentuale")
stima puntuale di p = 493/800= 0,6163 (o 61,6%)
Intervallo di confidenza per p con 1-alfa=0,95
1-alfa/2=
0,975
z(0,975)=
1,96
varianza stimata=
0,2365
varianza stimata/800= 0,0003
radice di "var.stim./800"=
0,0172
Delta= 0,0337
estremo inf intervallo=
0,5826
estremo sup intervallo=
0,6499
ES. N. 5
a)
b)
Dati osservati (tempi di attesa) di 120 clienti:
Somma dei valori opsservati=428
Somma dei quadati dei valori opsservati=1528
stima puntuale del tempo medio di attesa
stima puntuale di mi=
3,55
Proprietà dello stimatore media campionaria
_ Il suo valore medio è uguale a quello comune a tutte le variabili
I.I.D. considerate (ovvero a quello della popolazione statistica)
_ La sua varianza è uguale a quella comune a tutte le variabili
I.I.D. divisa per il numero delle variabili; quindi è più piccola
di tale varianza comune e tende a zero al crescere del numero
delle variabili (ovvero dell'ampiezza del campione)
c)
d)
ES. N. 6
Intervallo di confidenza per il tempo medio di attesa
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con 1-alfa=0,99
varianza stimata
0,1308
varianza stimata/120
0,0011
radice di (var.stim. /120)=
0,033
1-alfa/2=
0,995
z(0,995)=
2,5758
Delta=
0,0851
estremo inf intervallo=
3,4649
estremo sup intervallo=
3,6351
Test dell'ipotesi nulla tempo medio di attesa =3,5 con alfa=0,05
Con i dati di cui in a) si calcola l'int di conf per il tempo medio
di attesa e con 1-alfa=0,95, e dopo si usa l'int di conf come
regione di accettazione per fare il test con alfa=0,05
Per l'int di conf valgono i calcoli già fatti in c) tranne che per
1-alfa/2 e z con cui va ricalcolato delta
1-alfa/2=
0,975
z(0,975)=
1,96
Delta= 0,0647
estremo inf intervallo=
3,4853
estremo sup intervallo=
3,6147
Test con alfa=0,05.
Ipotesi nulla: tempo medio di attesa =3,5
3,5 cade nell'int di conf, allora non si rifiuta l'ipotesi nulla
Test Chi-q di adattamento. Livello di significatività alfa=0,05.
Ipotesi nulla: X è Binomiale di parametri n=2 e p=0,75 (si vedano
le colonne xi e p(x))
I 400 dati osservati sono nelle prime due colonne xi e Oi.
(Ei - Oi)^2
xi
Oi
p(x)
Ei
diviso Ei
0
30 0,0625
25
1
1
170 0,375
150 2,6667
2
200 0,5625
225 2,7778
400
1
400 6,4444 valore indice Chi-q
5,99 valore critico Chi-q
Poiché valore indice > valore critico si rifiuta l'ipotesi nulla che
X sia la suddetta Binomiale.
(Il valore critico risulta dalla lettura della tavola numerica con
2 g.d.l. ed 1-alfa=0,95 )
