Dispensa sugli spazi di Banach - Matematica e Informatica

ANALISI FUNZIONALE
SPAZI DI BANACH•
Diego AVERNA⋆
⋆
•
Dipartimento di Matematica e Informatica
Facoltà di Scienze MM.FF.NN.
Via Archirafi, 34-90123 Palermo (Italy)
[email protected]
http://math.unipa.it/averna/
Queste lezioni sono prese dagli appunti che nel lontano anno accademico 1978/79 io compilavo, quando seguivo il corso di Analisi Funzionale essendo mia prof.ssa Patrizia Pucci. Io credo che alla prof.ssa
Patrizia Pucci, che è diventata mia amica, vada tutto il merito per i
contenuti di questa dispensa.
2
Alla mia amica Roberta,
che è un angelo
Prima Edizione 02/02/2006. Ultima Edizione 12/01/2017.
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Stefan Banach (1892-1945)
Non preoccuparti per i tuoi problemi con la matematica;
ti assicuro che io tuttora ne ho ancora di più!
(Albert Einstein, fisico).
Noi siamo servi e non padroni della matematica.
(Charles Hermite, matematico).
Indice
Capitolo 1. SPAZI DI BANACH
1. Spazi lineari normati
2. Operatori lineari
3. Funzionali lineari
4. Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita
5. Spazi normati di operatori - Spazio duale
6. Il teorema di Hahn-Banach
7. Spazi riflessivi
8. Teorema di categoria e di uniforme limitatezza
9. Forte e debole convergenza
10. Convergenza di successioni di operatori
7
7
14
17
19
22
29
36
40
44
47
Bibliografia
53
Indice analitico
55
5
CAPITOLO 1
SPAZI DI BANACH
1. Spazi lineari normati
(Cfr. [1] Spazi di Hilbert, § 1.2) Ricordiamo che (X, ∥.∥) è uno spazio normato
se:
N1 ) ∥x∥ ≥ 0, ∀x ∈ X
N2 ) ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0
N3 ) ∥αx∥ = |α|∥x∥, ∀x ∈ X, ∀α ∈ K = IR, C
N4 ) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥, ∀x, y ∈ X
e che d(x, y) = ∥x − y∥ è detta la metrica indotta dalla norma.
Ricordiamo ancora che la norma è un’applicazione continua e che N4 ) implica
| ∥y∥ − ∥x∥ | ≤ ∥y − x∥.
Uno spazio normato è uno spazio vettoriale con metrica definita da una norma
che è una generalizzazione della lunghezza di un vettore del piano e dello spazio.
Uno spazio di Banach è uno spazio normato che è uno spazio metrico completo.
Uno spazio normato ha un completamento (unico) che è uno spazio Banach.
In uno spazio di Banach si possono definire e usare le serie.
(Cfr. [1] Spazi di Hilbert, § 3.1) Un’applicazione di uno spazio normato X in uno
spazio normato Y è detta un operatore; se Y = IR o Y = C è detta un funzionale.
Di particolare importanza sono gli operatori lineari e limitati e i funzionali lineari e
limitati. Infatti un operatore lineare è continuo se e solo se è limitato (cfr. [1] Spazi
di Hilbert, Teorema 1.5, § 3.1).
Ricordiamo che lo spazio vettoriale X = C[0, 2π] normato da:
∥x∥ = sup |x(t)|
t∈[0,2π]
è uno spazio di Banach, ma non uno spazio di Hilbert (cfr. [1] Spazi di Hilbert,
Esempio 2.1, § 1.2).
Lemma 1.1 (Invarianza della traslazione). Una metrica d su uno spazio vettoriale
è indotta da una norma ⇐⇒ soddisfa le seguenti proprietà:
a) d(x + a, y + a) = d(x, y)
b) d(αx, αy) = |α|d(x, y)
7
8
1. SPAZI DI BANACH
Dim. =⇒: d(x + a, y + a) = ∥x + a − (y + a)∥ = ∥x − y∥ = d(x, y), d(αx, αy) =
∥αx − αy∥ = |α|∥x − y∥ = |α|d(x, y).
⇐=: Definiamo la norma come ∥x∥ = d(x, 0). Ovviamente la N1 ) e la N2 ) sono
verificate. La N3 ) segue da b). Mentre la N4 ) è conseguenza della a) (unita con la
disuguglianza triangolare), infatti segue da ∥x + y∥ = d(x + y, 0) ≤ d(x, 0) + d(x +
y, x) = d(x, 0) + d(y, 0) = ∥x∥ + ∥y∥.
Ogni spazio normato è metrico, ma il viceversa in generale è falso, come mostra
il seguente:
Esempio 1.1. Spazio S - consiste dell’insieme di tutte le successioni di numeri
complessi e la metrica d è definita, per ogni x = (ξj ) e y = (ηj ) da:
d(x, y) =
∞
∑
1 |ξj − ηj |
.
j 1 + |ξ − η |
2
j
j
j=1
Facciamo vedere che d verifica la disuguaglianza triangolare.
Sia f : IR+
0 → IR definita da:
t
1+t
quindi f è monotona crescente in quanto:
f (t) =
f ′ (t) =
1
> 0.
(1 + t)2
Pertanto:
|a + b| ≤ |a| + |b| =⇒ f (|a + b|) ≤ f (|a| + |b|).
Preso t = |a + b|, risulta:
|a + b|
|a| + |b|
|a|
|b|
|a|
|b|
≤
=
+
≤
+
.
1 + |a + b|
1 + |a| + |b|
1 + |a| + |b| 1 + |a| + |b|
1 + |a| 1 + |b|
Pertanto, posto a = ξj − ζj e b = ζj − ηj , z = (ζj ), abbiamo:
|ξj − ηj |
|ξj − ζj |
|ζj − ηj |
≤
+
1 + |ξj − ηj |
1 + |ξj − ζj | 1 + |ζj − ηj |
Moltiplicando ambo i membri per 21j e sommando da 1 a ∞ otteniamo la disuguaglianza triangolare.
Verificare per esercizio che d è una metrica e far vedere che essa non può essere
indotta da una norma (Infatti non verifica il lemma precedente, solo l’ipotesi b) non
è verificata).
1. SPAZI LINEARI NORMATI
9
Def. 1.1. Un INSIEME A di uno spazio vettoriale X è detto CONVESSO se
∀ x, y ∈ A si ha:
M = {z ∈ X : z = αx + (1 − α)y : 0 ≤ α ≤ 1} ⊂ A.
M è detto SEGMENTO CHIUSO con PUNTI DI FRONTIERA x e y e ogni altro
PUNTO è detto INTERNO.
Teorema 1.1. Le bocce chiuse B(a, r) = {x ∈ X : ∥a − x∥ ≤ r} di uno spazio
normato X sono convesse.
Dim. Per ogni x, y ∈ B(a, r) si ha che (0 ≤ α ≤ 1):
∥a−αx−(1−α)y∥ = ∥αa+(1−α)a−αx−(1−α)y∥ ≤ α∥a−x∥+(1−α)∥a−y∥ ≤
αr + (1 − α)r = r.
Osservazione 1.1. Un sottospazio di uno spazio vettoriale è ovviamente convesso.
Teorema 1.2 (Sottospazio di uno spazio di Banach). Una varietà lineare Y di
uno spazio di Banach X è completa ⇐⇒ Y è un sottospazio.
Dim. Banale perché la completezza equivale alla chiusura.
Ricordiamo brevemente che (xn )n converge nello spazio normato X a x pertanto
limn→∞ ∥xn − x∥ = 0.
Def. 1.2. Una NORMA ∥.∥ di uno spazio vettoriale X è detta EQUIVALENTE
A UNA NORMA ∥.∥0 di X se esistono due numeri positivi a e b tali che ∀ x ∈ X
risulti:
(1)
a∥x∥0 ≤ ∥x∥ ≤ b∥x∥0
Osservazione 1.2. Il concetto di norme equivalenti è motivato dal fatto che due
norme equivalenti definiscono la stessa topologia su X.
Questo segue da (1) e dal fatto che ogni insieme aperto non vuoto di uno spazio
metrico è un’unione di bocce aperte.
Per esercizio i dettagli e la dimostrazione che le successioni in Cauchy in (X, ∥.∥)
e (X, ∥.∥0 ) sono le stesse.
Osservazione 1.3. Mancando, in generale, negli spazi di Banach il prodotto
scalare non è possibile definire vettori ortogonali; inoltre se un vettore è unitario in
una data norma in generale non lo è in una norma equivalente, e quindi una base è
un qualunque sistema di vettori linearmente indipendenti che genera lo spazio.
Lemma 1.2 (Lemma delle combinazioni lineari). Sia {x1 , . . . , xn } un insieme linearmente indipendente di vettori di uno spazio normato X. Allora esiste un numero
k > 0 tale che per ogni scelta degli scalari α1 , . . . , αn risulta:
10
1. SPAZI DI BANACH
∥α1 x1 + . . . + αn xn ∥ ≥ k(|α1 | + . . . + |αn |).
(2)
Dim. Poniamo s = |α1 | + . . . + |αn |. Se s = 0 allora αj = 0 per j = 1, . . . , n
pertanto la (2) vale per ogni k > 0.
Se s > 0 allora la (2) è equivalente alla disuguaglianza che otteniamo dividendo
α
la (2) per s e posto βj = sj , j = 1, . . . , n, si ha:
∥β1 x1 + . . . + βn xn ∥ ≥ k.
(3)
Pertanto è sufficiente∑
provare l’esistenza di k > 0 tale che (3) vale per ogni n-pla
di scalari β1 , . . . , βn con nj=1 |βj | = 1.
Supponiamo che questo sia falso. Allora esiste una successione (ym )m di vettori:
(m)
ym = β1 x1 + . . . + βn(m) xn ,
n
∑
(m)
|βj | = 1
j=1
tali che:
Poiché
∥ym ∥ → 0 per m → ∞.
∑n
(m)
j=1 |βj |
(m)
= 1 segue |βj | ≤ 1 per j = 1, . . . , n. Quindi per ogni fis(m)
(1)
(2)
sato j la successione (βj )m = (βj , βj , . . .) è limitata. Pertanto per il teorema
(m)
di Bolzano-Weierstrass (β1 )m ha una sottosuccessione convergente, diciamo, a β1 .
Denotiamo con (y1,m )m la corrispondente sottosuccessione di (ym )m . Analogamente la successione (y1,m )m ha una sottosuccessione (y2,m )m per cui la corrispondente
(m)
sottosuccessione di scalari (β2 )m converge, diciamo, a β2 .
Procedendo in questo modo al passo n-esimo otteniamo una sottosuccessione
(yn,m )m = (yn,1 , yn,2 , . . .) di (ym )m i cui termini sono della forma:
yn,m =
n
∑
j=1
(m)
γj xj ,
n
∑
(m)
(m)
|γj | = 1, dove γj
→ βj per m → ∞.
j=1
Pertanto per m → ∞ segue:
yn,m → y =
n
∑
j=1
βj xj dove
n
∑
|βj | = 1
j=1
cosicché non tutti i βj possono essere nulli.
Poiché {x1 , . . . , xn } è un insieme linearmente indipendente dobbiamo avere y ̸= 0.
Ma yn,m → y =⇒ ∥yn,m ∥ → ∥y∥. Poiché ∥ym ∥ → 0 e (yn,m ) è una sua sottosuccessione
dobbiamo avere ∥yn,m ∥ → 0. Quindi ∥y∥ = 0 cosicché y = 0. Questo è in contrasto
con y ̸= 0.
1. SPAZI LINEARI NORMATI
11
Teorema 1.3 (Teorema della completezza). Ogni varietà lineare finita dimensionale Y di uno spazio normato X è completa.
In particolare: Ogni spazio normato finito dimensionale è completo.
Dim. Sia (ym )m una successione di Cauchy in Y . Sia dim Y = n e {e1 , . . . , en }
(m)
(m)
una base di Y . Allora ym = α1 e1 + . . . + αn en . Poiché (ym )m è di Cauchy:
∀ ε > 0 ∃ N = N (ε) tale che ∀ m, j > N =⇒ ∥ym − yj ∥ < ε.
Per il Lemma 1.2 esiste k > 0 tale che:
n
n
∑
∑
(m)
(j)
(m)
(j)
ε > ∥ym − yj ∥ = ∥ [αi − αi ]ei ∥ ≥ k
|αi − αi | per m, j > N.
i=1
i=1
Dividendo per k risulta:
(m)
|αi
−
(j)
αi |
≤
n
∑
(m)
|αi
(j)
− αi | <
i=1
ε
, m, j > N.
k
(m)
(αi )m ,
Questo prova che
i = 1, . . . , n, è di Cauchy in IR (o C) e quindi converge,
diciamo, a αi .
Poniamo y = α1 e1 + . . . + αn en . Ovviamente y ∈ Y , inoltre:
∥ym − y∥ = ∥
n
∑
i=1
Ma
(m)
αi
(m)
[αi
− αi ]ei ∥ ≤
n
∑
(m)
|αi
− αi |∥ei ∥.
i=1
→ αi . Quindi ∥ym − y∥ → 0 cioè ym → y.
Teorema 1.4 (Teorema della chiusura). Ogni varietà lineare Y di uno spazio
normato X che è di dimensione finita è un sottospazio.
Dim. Segue dal Teorema 1.3 e dalla parte necessaria del Teorema 1.2.
Teorema 1.5 (Teorema delle norme equivalenti). Sia X uno spazio vettoriale di
dimensione finita. Allora ogni norma ∥.∥ è equivalente a una qualunque altra norma
∥.∥0 .
Dim. Sia dim X = n e {e1 , . . . , en } una base per X. Allora per ogni x ∈ X
possiamo scrivere in un sol modo
x = α1 e1 + . . . + αn en .
Per il Lemma 1.2 esiste k > 0 tale che:
∥x∥ ≥ k(|α1 | + . . . + |αn |).
Dalla disuguaglianza:
12
1. SPAZI DI BANACH
∥x∥0 ≤
n
∑
|αj |∥ej ∥0 ≤ M
j=1
n
∑
|αj |
j=1
segue che:
k
> 0.
M
La prova è completata scambiando il ruolo tra ∥.∥ e ∥.∥0 .
a∥x∥0 ≤ ∥x∥ dove a =
Lemma 1.3 (Lemma della compattezza). Un sottoinsieme M compatto di uno
spazio metrico è chiuso e limitato.
Dim. Per esercizio.
Osservazione 1.4. Il viceversa di questo lemma in generale è falso. Sia infatti
(en )n ⊂ l2 ove en = (δn,j )∞
j=1 . Questa successione è limitata poiché ∥en ∥ = 1 per
n ≥ 1. I suoi termini costituiscono un insieme di punti che è chiuso perché non
possiede punti di accumulazione. Per la stessa ragione tale insieme non è compatto.
Teorema 1.6. In uno spazio normato finito dimensionale ogni sottoinsieme M ⊂
X è compatto ⇐⇒ è chiuso e limitato.
Dim. La parte necessaria segue dal Lemma 1.3.
Ci rimane da provare la parte sufficiente. Sia dim X = n e {e1 , . . . , en } una base
per X. Sia M chiuso e limitato. Sia inoltre (xm )m ⊂ M . Allora:
(m)
xm = α1 e1 + . . . + αn(m) en .
Poiché M è limitato segue: ∥xm ∥ ≤ N per ogni m e per il Lemma 1.2 esiste k > 0
tale che:
N ≥ ∥xm ∥ = ∥
n
∑
j=1
(m)
αj ej ∥
≥k
n
∑
(m)
|αj |.
j=1
(m)
Quindi la successione (αj )m è limitata; pertanto ha un punto di accumulazione
αj , 1 ≤ j ≤ n. Procedendo analogamente alla dimostrazione del Lemma
∑ 1.2 concludiamo che (xm )m ha una sottosuccessione (zm )m che converge a z = nj=1 αj ej .
Poiché M è chiuso segue z ∈ M .
Lemma 1.4 (Lemma di Riesz). Siano Y , Z due varietà lineari di uno spazio
normato X e supponiamo che Y sia un sottospazio propriamente contenuto in Z.
Allora per ogni α ∈]0, 1[ esiste z ∈ Z tale che ∥z∥ = 1 e ∥z − y∥ ≥ α ∀ y ∈ Y .
Dim. Sia v ∈ Z − Y e sia a = inf y∈Y ∥v − y∥. Chiaramente a > 0 poiché Y è
chiuso. Sia α ∈]0, 1[. In corrispondenza esiste y0 ∈ Y tale che:
1. SPAZI LINEARI NORMATI
a ≤ ∥v − y0 ∥ ≤
(4)
Sia z = c(v − y0 ), dove c =
1
.
∥v−y0 ∥
13
a
.
α
Allora ∥z∥ = 1 e per ogni y ∈ Y risulta:
∥z − y∥ = ∥c(v − y0 ) − y∥ = c∥v − y0 − c−1 y∥ = c∥v − y1 ∥, ove y1 = y0 + c−1 y.
Pertanto y1 ∈ Y e quindi ∥v − y1 ∥ ≥ a. Utilizzando la (4) otteniamo:
∥z − y∥ = c∥v − y1 ∥ ≥ ca =
α
a
≥ a = α.
∥v − y0 ∥
a
Teorema 1.7. Se uno spazio normato X ha la proprietà che la boccia unitaria
chiusa M = {x ∈ X : ∥x∥ ≤ 1} è compatta, allora X ha dimensione finita.
Dim. Supponiamo che M sia compatto ma dim X = ∞. Scegliamo x1 ∈ M con
∥x1 ∥ = 1. Cosı̀ x1 genera una varietà lineare X1 di X che è chiusa (cfr. Teorema 1.4),
ed è un sottospazio proprio di X poiché dim X = ∞. Per il Lemma 1.4 esiste un
x2 ∈ X con ∥x2 ∥ = 1 tale che ∥x2 − x1 ∥ ≥ α = 12 . Gli elementi x1 , x2 generano
un sottospazio due-dimensionale X2 di X. Per il Lemma 1.4 esiste un x3 ∈ X con
∥x3 ∥ = 1 tale che per ogni x ∈ X2 abbiamo ∥x3 − x∥ ≥ 12 . In particolare abbiamo:
1
1
∥x3 − x1 ∥ ≥ , ∥x3 − x2 ∥ ≥ .
2
2
Procedendo per induzione costruiamo una successione (xn )n ⊂ M tale che ∥xm −
xn ∥ ≥ 12 per m ̸= n. Ovviamente (xn )n non può avere sottosuccessioni convergenti e
questo contraddice la compattezza di M .
C.N.S. 1.1. affinché uno spazio normato X sia finito dimensionale è che la boccia
unitaria chiusa M = {x ∈ X : ∥x∥ ≤ 1} sia compatta.
Dim. La parte necessaria viene fuori dal Teorema 1.6 (⇐=) perché M è chiaramente chiuso e limitato. La parte sufficente è nel Teorema 1.7.
Def. 1.3. Uno spazio metrico X è detto LOCALMENTE COMPATTO se ogni
punto di X ha un intorno compatto.
Teorema 1.8.
IRn , n ≥ 1, è localmente compatto.
Cn , n ≥ 1, è localmente compatto.
14
1. SPAZI DI BANACH
2. Operatori lineari
Per la definizione di operatore lineare rimandiano a quella data negli spazi di
Hilbert (cfr. [1] Spazi di Hilbert, § 3.1).
Esempio 2.1 (Derivata). Sia X lo spazio vettoriale di tutti i polinomi su [a, b].
Definiamo T : X → X ponendo:
T x(t) = x′ (t).
Provare che T è lineare e suriettivo.
Esempio 2.2 (Integrazione). Sia T : C[a, b] → C[a, b] definito da:
∫ t
T x(t) =
x(τ )dτ, ∀ t ∈ [a, b].
a
Provare che T è lineare.
Esempio 2.3 (Moltiplicazione per t). Sia T : C[a, b] → C[a, b] definito da:
T x(t) = tx(t).
Provare che T è lineare.
Indichiamo con DT , RT , NT rispettivamente il dominio, il codominio (o rango) e
lo spazio nullo (o nucleo) dell’operatore T .
Teorema 2.1 (Teorema del rango e dello spazio nullo). Sia T un operatore lineare
su uno spazio vettoriale. Allora:
a) Il rango RT è una varietà lineare.
b) Se dim DT = n < ∞ =⇒ dim RT ≤ n.
c) Lo spazio nullo NT è una varietà lineare.
Dim. a): Siano y1 , y2 ∈ RT e α, β due scalari. Allora y1 = T x1 e y2 = T x2 per
qualche x1 , x2 ∈ DT e αx1 + βx2 ∈ DT poiché DT è varietà lineare. Per la linearità
di T segue:
T (αx1 + βx2 ) = αy1 + βy2 .
Pertanto αy1 + βy2 ∈ RT .
b): Siano y1 , . . . , yn+1 n + 1 elementi di RT . Allora y1 = T x1 , . . . , yn+1 = T xn+1
per qualche x1 , . . . , xn+1 ∈ DT . Poiché dim DT = n, l’insieme {x1 , . . . , xn+1 } deve
essere linearmente dipendente. Pertanto:
α1 x1 + . . . + αn+1 xn+1 = 0
per opportuni scalari α1 , . . . , αn+1 non tutti nulli.
2. OPERATORI LINEARI
15
Poiché T è lineare segue T 0 = 0 e abbiamo:
T (α1 x1 + . . . + αn+1 xn+1 ) = α1 y1 + . . . + αn+1 yn+1 = 0.
Questo prova che l’insieme {y1 , . . . , yn+1 } è linearmente dipendente. Da cui segue
che RT non ha sottoinsiemi di n + 1 elementi che siano linearmente indipendenti.
Pertanto dim RT ≤ n.
c): Siano x1 , x2 ∈ NT e α, β due scalari. Allora T x1 = T x2 = 0. Pertanto:
T (αx1 + βx2 ) = αT x1 + βT x2 = 0
cioè αx1 + βx2 ∈ NT .
Osservazione 2.1. Osserviamo che dalla b) del teorema precedente segue che
gli operatori lineari conservano la dipendenza lineare.
Osservazione 2.2. (cfr. [1] Spazi di Hilbert, § 3.2) Anche per gli spazi normati
valgono i teoremi: l’insieme B di tutti gli operatori su X è un’algebra normata (la
completezza di X =⇒ la completezza di B), il teorema dell’operatore inverso.
Definiamo come negli spazi di Hilbert gli operatori lineari che sono limitati e
continui (cfr. [1] Spazi di Hilbert, § 3.1).
Esempio 2.4 (Derivata). Sia X lo spazio normato di tutti i polinomi su I = [0, 1]
con norma:
∥x∥ = max{|x(t)| : t ∈ I}.
Un operatore derivata T : X → X è definito da:
T x(t) = x′ (t).
Tale operatore è lineare ma non limitato. Infatti sia xn (t) = tn , n ∈ IN. Allora
∥xn ∥ = 1 e T xn (t) = x′n (t) = ntn−1 . Pertanto:
∥T xn ∥
= n.
∥xn ∥
Poiché n ∈ IN è arbitrario, questo prova che T non è limitato.
∥T xn ∥ = n e
Esempio 2.5 (Integrale). Possiamo definire un operatore integrale T : C[0, 1] →
C[0, 1] ponendo y = T x dove:
∫ t
y(t) =
K(t, τ )x(τ )dτ
0
dove K è una funzione assegnata, chiamata il nucleo di T che supponiamo continua
sul quadrato chiuso I × I, I = [0, 1]. Questo operatore è lineare.
Proviamo che questo operatore è limitato.
Poiché K è continuo in I × I segue che K è limitato, cioè:
16
1. SPAZI DI BANACH
|K(t, τ )| ≤ K0 , ∀ (t, τ ) ∈ I × I.
Inoltre x(t) ≤ max{|x(t)| : t ∈ I} = ∥x∥.
Quindi risulta:
∫ t
∫ t
|K(t, τ )||x(τ )|dτ ≤ K0 ∥x∥.
∥y∥ = ∥T x∥ = max K(t, τ )x(τ )dτ ≤ max
t∈I
t∈I
0
0
Pertanto T è limitato.
Esempio 2.6 (Matrice). Ricordo che una matrice A = [ajk ] di m righe e n
colonne definisce un operatore T : Cn → Cm che è lineare e limitato (∥T ∥ ≤
∑ ∑n
2 21
( m
j=1
k=1 |αjk | ) ).
Teorema 2.2 (Dimensione finita). Se X è uno spazio normato e dim X < ∞,
allora ogni operatore lineare è limitato.
∑n
Dim. Sia dim X = n e {e1 , . . . , en } una base per X. Sia x =
i=1 ξi ei e sia
T : X → X un operatore lineare. Poiché T è lineare, risulta:
∥T x∥ = ∥
n
∑
ξi T ei ∥ ≤
i=1
n
∑
|ξi |∥T ei ∥ ≤ max∥T ek ∥
i=1
k
n
∑
|ξi |.
i=1
Per il lemma delle combinazioni lineari otteniamo:
n
∑
i=1
n
1 ∑
1
|ξi | ≤ ∥
ξi ei ∥ = ∥x∥.
k i=1
k
Pertanto:
∥T x∥ ≤ M ∥x∥ dove M =
1
max∥T ek ∥.
k k
Osservazione 2.3. Ricordo che un operatore lineare in uno spazio normato è
continuo se e solo se è limitato (cfr. [1] Spazi di Hilbert, Teorema 1.5, § 3.1).
Osservazione 2.4. Se un operatore lineare è continuo in un punto x0 ∈ DT esso
è continuo in 0 in quanto la continuità in x0 dice che ∀ ε > 0 ∃ δε > 0 : ∀ x ∈ DT con
∥x − x0 ∥ < δε =⇒ ∥T x − T x0 ∥ = ∥T (x − x0 )∥ < ε pertanto posto y = x − x0 si ha
∀ ε > 0 ∃ δε > 0 : ∀ y ∈ DT con ∥y∥ < δε =⇒ ∥T y∥ < ε.
Teorema 2.3. Sia T : DT → Y , DT ⊂ X, X e Y spazi normati, un operatore
lineare. Allora se T è continuo in un punto, T è continuo.
3. FUNZIONALI LINEARI
17
Dim. (oppure cfr. [1] spazi di Hilbert, Teorema 1.4, § 3.1) Dalla Osservazione 2.4
segue che T continuo in 0. Supponiamo che T non sia limitato =⇒ ∀ n ∈ IN ∃ xn ∈ X
con ∥xn ∥ ≤ 1 tale ∥T xn ∥ ≥ n2 . Per la linearità ∥T xnn ∥ ≥ n ma ∥ xnn ∥ → 0 (xn è
∥xn ∥ ≤ 1) ed essendo T continuo in 0 segue che T xnn → T 0 = 0.
La limitatezza di T ⇐⇒ la sua continuità (Osservazione 2.3).
Teorema 2.4. Sia T un operatore lineare e limitato in uno spazio normato.
Allora:
a) xn 7→ x implica T xn 7→ T x, xn , x ∈ DT
b) NT è chiuso.
Dim. a): Per esercizio (cfr. [1] Spazi di Hilbert, Teorema 1.3 =⇒, § 3.1).
b): ∀ x ∈ N T esiste una successione (xn )n ⊂ NT tale che xn 7→ x. Quindi per a)
T xn 7→ T x pertanto T x = 0.
Osservazione 2.5. Anche negli spazi normati si introducono i concetti di operatori inclusi e operatori estesi.
Teorema 2.5 (Teorema della estensione lineare e limitata). Sia T : DT → Y un
operatore lineare e limitato, dove DT ⊂ X e X e Y sono spazi di Banach. Allora T
ha una estensione T : DT → Y dove T è un operatore lineare e limitato e ∥T ∥ = ∥T ∥.
Dim. Per esercizio (cfr. [1] Spazi di Hilbert, Teorema 1.6, § 3.1).
Osservazione 2.6. Notiamo che se X e Y sono spazi normati allora l’operatore
lineare T : X → Y è limitato se e solo se trasforma insiemi limitati di X in insiemi
limitati di Y .
3. Funzionali lineari
Def. 3.1. Un’applicazione lineare ϕ : X → K è detta FUNZIONALE LINEARE
SU X.
Esempio 3.1. La norma ∥x∥ : X → IR su uno spazio normato (X, ∥.∥) è un
funzionale non lineare.
Esempio 3.2. Sia a ∈ IR3 fissato e sia f : IR3 → IR definita da:
f (x) = xa = ξ1 a1 + ξ2 a2 + ξ3 a3 .
Allora f è lineare e inoltre è limitata. Infatti:
|f (x)| = |xa| ≤ ∥x∥ ∥a∥
cosı̀ che:
18
1. SPAZI DI BANACH
∥f ∥ ≤ ∥a∥.
Ma preso x = a risulta:
∥f ∥ ≥
∥a∥2
|f (a)|
=
.
∥a∥
∥a∥
Pertanto: ∥f ∥ = ∥a∥.
Esempio 3.3 (Integrale). Sia X = C[a, b] e sia f : C[a, b] → IR definita da:
∫
b
x(t)dt.
f (x) =
a
f è lineare. Inoltre, posto I = [a, b], e ricordando che la norma su C[a, b] è quella
uniforme, abbiamo:
∫ b
|f (x)| = x(t)dt ≤ (b − a) max |x(t)| = (b − a)∥x∥.
a
t∈I
Pertanto ∥f ∥ ≤ b − a.
Sia ora x = x0 = 1 pertanto ∥x0 ∥ = 1 e
|f (x0 )|
∥f ∥ ≥
= |f (x0 )| =
∥x0 ∥
Quindi: ∥f ∥ = b − a.
∫
b
dt = b − a.
a
Esempio 3.4. Un altro importante funzionale su C[a, b] è ottenuto scegliendo
t0 ∈ I = [a, b] e ponendo f1 (x) = x(t0 ), ∀ x ∈ C[a, b]. f1 è lineare. Inoltre:
|f1 (x)| = |x(t0 )| ≤ ∥x∥ e quindi ∥f1 ∥ ≤ 1.
Preso x0 = 1 risulta ∥x0 ∥ = 1 e ∥f1 ∥ ≥ |f1 (x0 )| = 1.
Pertanto: ∥f1 ∥ = 1.
L’insieme di tutti i funzionali lineari definiti su uno spazio vettoriale X danno
luogo ad uno spazio vettoriale, denotato X ∗ , detto SPAZIO DUALE ALGEBRICO
DI X. Le sue operazioni algebriche di spazio vettoriale sono definite in modo naturale
come segue:
(f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x) Somma
(αf )(x) = αf (x)
Prodotto scalare×vettore.
Noi possiamo considerare il duale algebrico (X ∗ )∗ di X ∗ i cui elementi sono i
funzionali lineari su X ∗ . Noi denotiamo (X ∗ )∗ con X ∗∗ che è detto il SECONDO
SPAZIO DUALE ALGEBRICO (O BIDUALE) DI X.
Consideriamo la seguente importante relazione tra X e X ∗∗ .
4. OPERATORI E FUNZIONALI LINEARI SU SPAZI DI DIMENSIONE FINITA
19
Possiamo ottenere un g ∈ X ∗∗ , cioè un funzionale lineare su X ∗ scegliendo un
x ∈ X e ponendo per ogni f ∈ X ∗ :
g(f ) = gx (f ) = f (x).
Allora gx è lineare, essendo:
gx (αf1 + βf2 ) = (αf1 + βf2 )(x) = αf1 (x) + βf2 (x) = αgx (f1 ) + βgx (f2 ).
Quindi gx ∈ X ∗∗ , per definizione di X ∗∗ .
Per ogni x ∈ X esiste il corrispondente gx ∈ X ∗∗ . Cioè definiamo:
C : X → X ∗∗ da x 7→ gx
C è detta APPLICAZIONE CANONICA. C è lineare poiché il suo dominio è uno
spazio vettoriale e:
C(αx + βy) = gαx+βy = αgx + βgy = αC(x) + βC(y).
C è detta IMMERSIONE CANONICA. Infatti si dimostra che C è iniettiva e
quindi C è un isormorfismo di X su RC ⊂ X ∗∗ . Pertanto diciamo che X è immerso
in X ∗∗ .
Se C è suriettivo, quindi biiettivo, abbiamo RC = X ∗∗ e X è detto ALGEBRICAMENTE RIFLESSIVO.
4. Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita
Sia T : X → Y un operatore lineare e X e Y due spazi vettoriali di dimensione
finita sullo stesso campo K. Siano BX = {e1 , . . . , en } e BY = {b1 , . . . , bm } due basi
per X e Y rispettivamente.
Ogni x ∈ X ha una unica rappresentazione:
(5)
x = ξ1 e1 + . . . + ξn en .
Poiché T è lineare risulta:
(6)
n
n
∑
∑
y = Tx = T(
ξk ek ) =
ξk T ek .
k=1
k=1
Poiché la rappresentazione (5) è unica possiamo dire che:
T è univocamente determinata se le immagini yk = T ek degli n vettori della base
BX sono date.
Poiché y e yk = T ek sono in Y , hanno un’unica rappresentazione:
20
1. SPAZI DI BANACH
(7)
y=
m
∑
ηj bj
j=1
(8)
T ek =
m
∑
αj,k bj .
j=1
Da (6) segue:
y=
m
∑
j=1
η j bj =
n
∑
ξk T e k =
k=1
n
∑
k=1
ξk
m
∑
αj,k bj =
m ∑
n
∑
(
αj,k ξk )bj .
j=1
j=1 k=1
Poiché i bj , j = 1, . . . , m, sono linearmente indipendenti segue:
(9)
ηj =
n
∑
αj,k ξk , j = 1, . . . , m.
k=1
I coefficienti in (9) formano una matrice TBX BY = [αjk ] di m righe e n colonne
che è univocamente determinata dall’operatore T se gli elementi delle basi BX e BY
sono dati in un ordine fissato.
Diciamo cosı̀ che la matrice TBX BY rappresenta l’operatore T rispetto a quelle
basi.
Introducendo i vettori colonna x = (ξk ) e y = (ηj ) possiamo scrivere le
(9’)
y = TBX BY x.
Analogamente (8) può essere scritto:
T e = (TBX BY )T b,
(8’)
dove T e è il vettore colonna (T ek ) e b è il vettore colonna (bj )
Viceversa, già sappiamo che ogni matrice di m righe e n colonne determina un
operatore lineare rappresentato rispetto alla basi di X e Y .
Ora siano dim X = n, {e1 , . . . ,∑
en } una base per X e f : X → K un funzionale
lineare su X. Allora per ogni x = nj=1 ξj ej ∈ X abbiamo:
(10)
n
n
n
∑
∑
∑
f (x) = f (
ξj ej ) =
ξj f (ej ) =
ξj αj
j=1
dove
j=1
j=1
4. OPERATORI E FUNZIONALI LINEARI SU SPAZI DI DIMENSIONE FINITA
(11)
21
αj = f (ej ), j = 1, . . . , n
e f è univocamente determinato dai suoi valori αj .
Viceversa, ogni n-pla α1 , . . . , αn di scalari determina un funzionale lineare su X.
In particolare se prendiamo le n-ple: (δjk )nk=1 , j = 1, . . . , n, esse determinano n
funzionali f1 , . . . , fn , tali che:
{
(12)
fk (ej ) = δjk =
0 se j =
̸ k
1 se j = k
{f1 , . . . , fn } è detta la BASE DUALE di {e1 , . . . , en } per X.
Questo è giustificato dal seguente:
Teorema 4.1 (Teorema della dimensione di X ∗ ). Sia X uno spazio vettoriale
con dim X = n e sia E = {e1 , . . . , en } una base per X. Allora F = {f1 , . . . , fn } dato
da (12) è una base per il duale algebrico X ∗ di X.
Quindi dim X ∗ = dim X = n.
Dim. F è linearmente indipendente poiché:
(13)
n
∑
βk fk (x) = 0 con x = ej dà
n
∑
βk fk (ej ) =
k=1
k=1
n
∑
βk δjk = βj = 0
k=1
pertanto tutti i coefficienti βk di (13) sono zero.
Sia f ∈ X ∗ . Poniamo come in (11) f (ej ) = αj ; allora per (10) si ha:
f (x) =
n
∑
ξj αj , ∀ x ∈ X.
j=1
D’altra parte per (12) risulta:
fj (x) = fj (ξ1 e1 + . . . + ξn en ) = ξj .
Pertanto:
f (x) =
n
∑
αj fj (x).
j=1
Lemma 4.1 (Lemma del vettore zero). Sia X uno spazio vettoriale di dimensione
finita.
Se x0 ∈ X è tale che f (x0 ) = 0, ∀ f ∈ X ∗ =⇒ x0 = 0.
22
1. SPAZI DI BANACH
Dim. Sia x0 = α10 e1 + . . . + αn0 en . Usiamo la base duale di {e1 , . . . , en } per X.
∀ k = 1, . . . , n, fk (x0 ) = fk (α10 e1 + . . . + αk0 ek + . . . + αn0 en ) = α10 fk (e1 ) + . . . +
αk0 fk (ek ) + . . . + αn0 fk (en ) = αk0 fk (ek ) = 0, e quindi αk0 = 0. Allora x0 = 0
Lemma 4.2. Siano X e Y spazi vettoriali su K e sia T : DT → Y un operatore
lineare con DT ⊂ X e RT ⊂ Y . Allora:
a) T −1 : RT → DT esiste ⇐⇒ T x = 0 =⇒ x = 0
b) Se T −1 esiste, è un operatore lineare
c) Se dim DT = n < ∞ e T −1 esiste allora dim RT = dim DT .
Dim. a): Se T −1 esiste T deve essere una biiezione di DT → RT e pertanto,
essendo T 0 = 0, 0 è l’unico elemento che ha come immagine 0. Viceversa se 0 è
l’unico elemento che ha come immagine 0 riesce ∀ x, y ∈ DT con x ̸= y =⇒ T x ̸= T y
in quanto se fosse T x = T y ne seguirebbe T x − T y = T (x − y) = 0 con x − y ̸= 0.
Allora T è iniettiva e surgettiva (T : DT → RT ) e quindi invertibile.
b): T −1 : RT → DT , ∀ z0 , z1 ∈ RT e ∀ α0 , α1 ∈ K =⇒ ∃! x0 ∈ DT : T x0 =
z0 , ∃! x1 ∈ DT : T x1 = z1 pertanto T −1 (α0 z0 + α1 z1 ) = T −1 (α0 T x0 + α1 T x1 ) =
T −1 (T (α0 x0 )+T (α1 x1 )) = T −1 (T (α0 x0 +α1 x1 )) = α0 x0 +α1 x1 = α0 T −1 z0 +α1 T −1 z1 .
c): Essendo T un operatore lineare per il Teorema 2.1 b) dim RT ≤ dim DT e
poiché T −1 è un operatore lineare si ha dim DT ≤ dim RT . Segue che dim DT =
dim RT .
Teorema 4.2 (Teorema della riflessività algebrica). Uno spazio vettoriale X di
dimensione finita è algebricamente riflessivo.
Dim. L’applicazione canonica C : X → X ∗∗ è lineare. Cx0 = 0 =⇒ (Cx0 )(f ) =
gx0 (f ) = f (x0 ) = 0, ∀ f ∈ X ∗ . Questo implica x0 = 0 per il Lemma 4.1. Pertanto
per il Lemma 4.2 esiste C −1 : RC → X e dim RC = dim X.
Per il Teorema 4.1 abbiamo dim X ∗∗ = dim X ∗ = dim X.
Quindi: dim RC = dim X ∗∗ .
Ma allora RC = X ∗∗ perché per il Teorema 2.1 RC è un sottospazio vettoriale di
X ∗∗ e un sottospazio proprio di X ∗∗ ha dimensione minore di dim X ∗∗ .
5. Spazi normati di operatori - Spazio duale
Siano X e Y due spazi normati su K. Indichiamo con B(X, Y ) l’insieme di tutti gli
operatori lineari e limitati T : X → Y . B(X, Y ) è ovviamente uno spazio vettoriale
rispetto alle usuali operazioni T1 + T2 e αT .
Teorema 5.1. B(X, Y ) è uno spazio normato rispetto alla norma definita da:
(14)
∥T ∥ =
∥T x∥
= sup ∥T x∥
x∈X,∥x∦=0 ∥x∥
x∈X,∥x∥=1
sup
5. SPAZI NORMATI DI OPERATORI - SPAZIO DUALE
23
Dim. Per esercizio.
Teorema 5.2. Se Y è uno spazio di Banach allora B(X, Y ) è uno spazio di
Banach.
Dim. Sia (Tn )n ⊂ B(X, Y ) una successione di Cauchy. Per ogni ε > 0 esiste
N = N (ε) tale che:
∥Tn − Tm ∥ < ε per ogni m, n > N.
Per ogni x ∈ X e per ogni m, n > N risulta:
(15)
∥Tn x − Tm x∥ ≤ ∥Tn − Tm ∥∥x∥ < ε∥x∥.
Per ogni fissato x e un dato ε noi scegliamo in (15) ε = εx in modo che εx ∥x∥ < ε.
Allora da (15) segue:
∥Tn x − Tm x∥ < ε
quindi (Tn x)n è di Cauchy in Y . Poiché Y è di Banach segue che (Tn x)n converge
a qualche y ∈ Y che dipende da x. Pertanto otteniamo un operatore T : X → Y
definito da:
T x = y.
L’operatore T è lineare poiché limn→∞ Tn (αx + βz) = limn→∞ (αTn x + βTn z) =
α limn→∞ Tn x + β limn→∞ Tn z.
Per la continuità della norma otteniamo da (15) per ogni n > N e per ogni x ∈ X
(16)
∥Tn x − T x∥ = ∥Tn x − lim Tm x∥ = lim ∥Tn x − Tm x∥ ≤ ε∥x∥.
m→∞
m→∞
Pertanto (Tn − T ) è un operatore lineare e limitato; quindi
T = Tn − (Tn − T )
è limitato, da cui T ∈ B(X, Y ). Da (16) segue che
∥Tn − T ∥ ≤ ε per n > N
e quindi ∥Tn − T ∥ → 0 cioè Tn → T .
Def. 5.1. Sia X uno spazio normato. Indichiamo con B(X, K) l’insieme di tutti
i funzionali lineari e limitati su X. Allora B(X, K) è uno spazio normato rispetto
alla norma definita da:
(17)
∥f ∥ =
|f (x)|
= sup |f (x)|
x∈X,∥x∥=1
x∈X,∥x∦=0 ∥x∥
sup
24
1. SPAZI DI BANACH
B(X, K) è detto SPAZIO DUALE di X e lo denoteremo con X ′ .
Per il Teorema 5.2 possiamo enunciare il seguente:
Corollario 5.1. Lo spazio duale X ′ di uno spazio normato X è uno spazio di
Banach.
′
Esempio 5.1 (Il duale di IRn è IRn ). Abbiamo IRn = IRn∗ . Per ogni f ∈ IRn∗
abbiamo:
f (x) =
n
∑
ξk αk , αk = f (ek ).
k=1
Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz-Buniakowski abbiamo:
|f (x)| = |
n
∑
ξk αk | ≤
k=1
( n
∑
ξk2
) 12 ( n
∑
k=1
) 12
αk2
= ∥x∥
k=1
( n
∑
) 21
αk2
.
k=1
Pertanto:
(
∥f ∥ ≤
n
∑
) 12
αk2
.
k=1
Prendendo x = (α1 , . . . , αn ) abbiamo che:
∥f ∥ =
( n
∑
) 21
αk2
.
k=1
Questo prova che la norma di ∥f ∥ è la norma euclidea ϱ:
∥f ∥ = ∥a∥
dove a = (α1 , . . . , αn ) ∈ IR .
′
Quindi l’applicazione di IRn sopra IRn definita da:
n
f 7→ a = (αk ), αk = f (ek )
conserva la norma e poiché è lineare e biiettiva segue che è un isomorfismo1.
Esempio 5.2 (Gli spazi lp ). Sia p ≥ 1 un numero reale. Ogni elemento di lp è
una successione:
x = (ξi ) = (ξ1 , ξ2 , . . .)
di numeri tali che:
1cfr.
[1] Spazi di Hilbert, Def. 4.3, § 2.4 e Corollario 3.2, § 3.3.
5. SPAZI NORMATI DI OPERATORI - SPAZIO DUALE
25
|ξ1 |p + |ξ2 |p + . . . converge.
Cosı̀:
∥x∥ =
(∞
∑
) p1
|ξj |p
è una norma.
j=1
Infatti, grazie alle disuguaglianze di Hölder, Cauchy-Schwarz-Minkowski segue la
disuguaglianza triangolare.
lp è separabile in quanto l’insieme M di tutte le successioni y = (η1 , . . . , ηn , 0, 0, . . .)
dove n un qualunque numero intero e ηi sono razionali (reali o complessi razionali)
è numerabile e ovunque denso in lp . La dimostrazione è analoga a quella di l2 (cfr.
Spazi di Hilbert, Teorema 3.5, § 1.3).
Ancora analogamente a quanto dimostrato per l2 si prova che lp è completo (cfr.
[1] Spazi di Hilbert, Teorema 3.3, § 1.3).
Esempio 5.3 (Lo spazio l∞ ). È chiaro che l’insieme l∞ di tutte le successioni
limitate x = (ξn ) è uno spazio vettoriale.
La funzione:
∥x∥ = sup |ξn |, ∀ x ∈ l∞
n∈IN
è una norma.
Infatti per ogni n ∈ IN risulta:
|ξn + ηn | ≤ |ξn | + |ηn | ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
Pertanto:
∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
Provare i restanti assiomi di norma per esercizio.
Analogamente a quanto fatto per lp , 1 ≤ p < ∞, si prova che l∞ è uno spazio di
Banach.
Ma l∞ non è separabile. Infatti sia y = (η1 , η2 , . . .) una successione costituita da
elementi che sono o zero o uno. Allora y ∈ l∞ . A y ∈ l∞ associamo il numero ŷ la
cui rappresentazione binaria è:
η1 η2 η3
+ 2 + 3 + ....
2
2
2
Ma l’intervallo [0, 1] è non numerabile e ogni ŷ ∈ [0, 1] ha una rappresentazione
binaria e due ŷ diversi hanno differenti rappresentazioni binarie. Quindi esiste un
insieme non numerabile di successioni di zero e uno. La norma di l∞ dice che due di
tali successioni che non sono uguali devono avere distanza 1. Se prendiamo le bocce
26
1. SPAZI DI BANACH
di centro ognuna di queste successioni e raggio per esempio, 13 , esse sono a due a due
disgiunte e sono non numerabili. Se M è un insieme denso in l∞ , ogni boccia cosı̀
fatta deve incontrare M in almeno un punto. Quindi M non può essere numerabile
e pertanto l∞ non è separabile.
∞
∞
Esempio 5.4 (Il duale di l1 è l∞ ). Infatti: {ek }∞
k=1 = {(δkj )j=1 }k=1 è una base
1
per l .
Per ogni x ∈ l1 abbiamo un’unica rappresentazione:
(18)
∞
∑
x=
ξk ek .
k=1
′
Sia f ∈ l1 . Poiché f è lineare e limitato, segue:
(19)
f (x) =
∞
∑
ξk αk , αk = f (ek )
k=1
dove gli αk sono univocamente determinati da f . Ancora: ∥ek ∥ = 1 e:
(20)
|αk | = |f (ek )| ≤ ∥f ∥∥ek ∥ = ∥f ∥, sup |αk | ≤ ∥f ∥.
k
∞
Quindi (αk )k ∈ l .
D’altra parte per ogni b = (βk ) ∈ l∞ possiamo ottenere un corrispondente
funzionale lineare e limitato g su l1 . Infatti possiamo definire g su l1 da:
g(x) =
∞
∑
ξk βk dove x = (ξk ) ∈ l1 .
k=1
Da:
|g(x)| ≤
∞
∑
k=1
|ξk βk | ≤ sup |βj |
j
∞
∑
|ξk | = ∥x∥ sup |βj |
k=1
j
′
segue che g è limitato. Ma g è ovviamente lineare e quindi g ∈ l1 .
Proviamo ora che la norma di f è la norma di l∞ .
Da (19) si ha:
|f (x)| = |
∞
∑
k=1
ξk αk | ≤ sup |αj |
j
∞
∑
k=1
Da cui:
∥f ∥ ≤ sup |αj |.
j
|ξk | = ∥x∥ sup |αj |.
j
5. SPAZI NORMATI DI OPERATORI - SPAZIO DUALE
27
Da questa e (20) segue
∥f ∥ = sup |αj |
(21)
j
∞
che è la norma di l . Pertanto (21) può essere scritta:
∥f ∥ = ∥a∥ dove a = (αj ) ∈ l∞ .
′
Abbiamo cosı̀ provato che la biiezione lineare di f ∈ l1 sopra l∞ definita da
f 7→ a è un isomorfismo.
Esempio 5.5 (Il duale di lp , 1 < p < +∞, è lq dove q è il coniugato di p, cioè
∞
p
p
+ 1q = 1). Infatti: {ek }∞
k=1 , dove ek = (δkj )j=1 è una base per l . Allora ogni x ∈ l
ha un’unica rappresentazione:
1
p
(22)
x=
∞
∑
ξk ek .
k=1
′
Sia f ∈ lp . Poiché f è lineare e limitato segue:
(23)
f (x) =
∞
∑
ξk αk , αk = f (ek ).
k=1
(n)
Sia q il coniugato di p e sia xn = (ξk ) tale che:
{
(n)
ξk
(24)
=
|αk |q
αk
se k ≤ n e αk ̸= 0
se k > n o αk = 0
0
Sostituendola in (23) otteniamo:
f (xn ) =
∞
∑
(n)
ξk αk =
k=1
n
∑
|αk |q .
k=1
Usando (24) e il fatto che (q − 1)p = q, abbiamo:
(
f (xn ) ≤ ∥f ∥∥xn ∥ = ∥f ∥
∞
∑
) p1
(n)
|ξk |p
k=1
(
∥f ∥
n
∑
k=1
Pertanto:
= ∥f ∥
k=1
) p1
|αk |q
( n
∑
.
) p1
|αk |(q−1)p
=
28
1. SPAZI DI BANACH
n
∑
f (xn ) =
(
|αk |q ≤ ∥f ∥
n
∑
k=1
Poiché 1 −
1
p
=
1
q
) p1
|αk |q
.
k=1
abbiamo:
(
n
∑
)1− p1
|αk |q
(
=
k=1
n
∑
) 1q
|αk |q
≤ ∥f ∥.
k=1
Per l’arbitrarietà di n segue che:
(∞
∑
(25)
) 1q
≤ ∥f ∥.
|αk |q
k=1
Quindi (αk ) ∈ lq .
′
Viceversa ad ogni b = (βk ) ∈ lq corrisponde un funzionale lineare e limitato g ∈ lp
definendo:
g(x) =
∞
∑
ξk βk , dove x = (ξk ) ∈ lp .
k=1
Allora g è lineare e la sua limitatezza discende dalla disuguaglianza di Hölder.
′
Quindi g ∈ lp .
Da (23) e dalla disuguaglianza di Hölder, abbiamo:
|f (x)| = |
∞
∑
(
ξk αk | ≤
k=1
∞
∑
) p1 (
|ξk |p
k=1
∞
∑
) 1q
|αk |q
k=1
(
= ∥x∥
∞
∑
k=1
Pertanto:
(
∥f ∥ ≤
∞
∑
) 1q
|αk |q
k=1
e da (25) segue finalmente:
(
∥f ∥ =
(26)
∞
∑
) 1q
|αk |q
.
k=1
Possiamo pertanto scrivere:
∥f ∥ = ∥a∥q , dove a = (αk ) ∈ lq e αk = f (ek ).
) 1q
|αk |q
6. IL TEOREMA DI HAHN-BANACH
29
′
Quindi l’applicazione di lp sopra lq definita da f 7→ a è lineare e biiettiva, e da
(26) preserva la norma, cioè è un isomorfismo.
6. Il teorema di Hahn-Banach
Def. 6.1. Un funzionale SUB-LINEARE è un funzionale p : X → IR, X spazio
vettoriale, che è sub-additivo, cioè:
(S.A.)
p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀ x, y ∈ X
e posivamente omogeneo, cioè:
(P.O.)
p(αx) = αp(x), ∀ α ∈ IR+
0 , ∀ x ∈ X.
Osservazione 6.1. Nota che la norma è un funzionale sub-lineare.
Teorema 6.1 (Teorema di Hahn-Banach). Sia X uno spazio vettoriale reale e
sia p un funzionale sub-lineare su X. Sia f : Z → IR un funzionale lineare definito
su un sottospazio Z di X, tale che:
(27)
f (x) ≤ p(x), ∀ x ∈ Z.
Allora f ammette un’estensione lineare f : X → IR tale che:
(27*)
f (x) ≤ p(x), ∀ x ∈ X.
Cioè f è un funzionale lineare su X verificante (27*) e tale che f (x) = f (x),
∀ x ∈ Z.
Dim. Dividiamo la dimostrazione in tre parti.
a) Sia E l’insieme di tutte estensioni lineari g di f , tali che g(x) ≤ p(x), ∀ x ∈ Dg .
Chiaramente E ̸= ∅ poiché f ∈ E. Su E possiamo definire un ordinamento parziale1:
g ≼ h ⇐⇒ h è un’estensione di g, cioè :
g ≼ h ⇐⇒ Dh ⊃ Dg e h(x) = g(x), ∀ x ∈ Dg .
Per ogni insieme totalmente ordinato (o catena)2 C ⊂ E definiamo:
dice che la coppia costituita da un insieme E e da una relazione d’ordine ≼ su di esso è un
insieme parzialmente ordinato se verifica la proprietà riflessiva, transitiva e antisimmetrica.
2Si dice un sottoinsieme C ⊂ E è totalmente ordinato (o catena) se per ogni coppia g, h ∈ C si
ha una della relazioni g ≼ h o h ≼ g.
1Si
30
1. SPAZI DI BANACH
∀ g ∈ C, ĝ(x) = g(x) se x ∈ Dg .
ĝ è un funzionale lineare di dominio:
∪
Dĝ =
Dg
g∈C
che è uno spazio vettoriale, essendo C una catena. ĝ è ben definito, infatti se
x ∈ Dg1 ∩ Dg2 , g1 , g2 ∈ C, allora g1 (x) = g2 (x) perché C una catena quindi g1 ≼ g2
oppure g2 ≼ g1 . Chiaramente g ≼ ĝ per ogni g ∈ C. Quindi ĝ è un limite superiore
di C. Poiché C ⊂ E è arbitrario per il lemma di Zorn1 esiste in E un elemento
massimale f . Per definizione di E, f è un’estensione lineare di f tale che:
f (x) ≤ p(x), ∀ x ∈ Df .
(28)
b) Supponiamo che esista y1 ∈ X − Df e consideriamo il sottospazio Y1 di X
generato da Df e y1 (Nota che y1 ̸= 0). Quindi ogni x ∈ Y1 può essere scritto:
x = y + αy1 , y ∈ Df .
Questa rappresentazione è unica, infatti:
y + αy1 = y + βy1 , con y ∈ Df =⇒ y − y = (β − α)y1 ove y − y ∈ Df
mentre y1 ̸∈ Df cosicché necessariamente l’unica soluzione è2:
y − y = 0 e β − α = 0.
Un funzionale g1 su Y1 è definito da:
(29)
g1 (y + αy1 ) = f (y) + αc
dove c è un numero reale. g1 è ovviamente lineare. Inoltre per α = 0 abbiamo:
g1 (y) = f (y).
Quindi g1 è un’estensione propria di f , cioè un’estensione tale che Df è un
sottoinsieme proprio di Dg1 .
Se proviamo che g1 ∈ E, facendo vedere che:
(30)
1LEMMA
g1 (x) ≤ p(x), ∀ x ∈ Dg1
DI ZORN: Se E è insieme munito di ordinamento parziale e ogni catena C di E è
superiormente limitata allora E ha elemento massimale.
2D è un sottospazio. Ma poiché y ̸∈ D , segue β − α = 0 altrimenti y = (β − α)−1 (β − α)y ∈
1
1
1
f
f
Df . Da β − α = 0 segue y − y = 0.
6. IL TEOREMA DI HAHN-BANACH
31
contraddiciamo la massimalità di f , cosicché Df = X.
c) Finalmente dobbiamo provare che g1 con un opportuno c in IR verifica (30).
Siano y, z ∈ Df . Da (28) e (S.A.) otteniamo:
f (y) − f (z) = f (y − z) ≤ p(y − z) = p(y + y1 − y1 − z) ≤ p(y + y1 ) + p(−y1 − z).
Da cui si ha:
(31)
− p(−y1 − z) − f (z) ≤ p(y + y1 ) − f (y), dove y1 è fissato.
Poiché in (31), y non compare a sinistra e z non compare a destra, la disuguaglianza continua a sussistere se passiamo a sinistra al sup per z ∈ Df che chiameremo
m0 e destra all’inf per y ∈ Df che chiameremo m1 . Allora:
m0 ≤ m1 e per c tale che m0 ≤ c ≤ m1
da (31) abbiamo:
(32)
− p(−y1 − z) − f (z) ≤ c, ∀ z ∈ Df
(33)
c ≤ p(y + y1 ) − f (y), ∀ y ∈ Df .
Sia α < 0. Per (32) con z = α−1 y, abbiamo:
−p(−y1 − α−1 y) − f (α−1 y) ≤ c,
moltiplicando per −α > 0, otteniamo:
αp(−y1 − α−1 y) + f (y) ≤ −αc.
Da quest’ultima e da (29) per x = y + αy1 , abbiamo:
g1 (x) = f (y) + αc ≤ −αp(−y1 − α−1 y) = p(αy1 + y) = p(x).
Per α = 0 risulta x ∈ Df e non c’è niente da provare.
Per α > 0 ragioniamo analogamente lavorando su (33).
Teorema 6.2 (Teorema di Hahn-Banach generalizzato). Sia X uno spazio vettoriale sui complessi (o sui reali) e sia p : X → IR sub-additiva e tale che:
(M.O.)
p(αx) = |α|p(x).
Sia f : Z → C (f : Z → IR) un funzionale lineare su un sottospazio Z di X, tale
che:
32
1. SPAZI DI BANACH
(34)
|f (x)| ≤ p(x), ∀ x ∈ Z.
Allora f possiede un’estensione lineare f su X tale che:
(34*)
|f (x)| ≤ p(x), ∀ x ∈ X.
Dim. a) X spazio vettoriale su IR. Da (34) segue:
f (x) ≤ p(x), ∀ x ∈ Z.
Allora per il Teorema 6.1 esiste un’estensione lineare f su X tale che:
(35)
f (x) ≤ p(x), ∀ x ∈ X.
Da (35) e da (M.O.) otteniamo:
−f (x) = f (−x) ≤ p(−x) = p(x)
cioè:
f (x) ≥ −p(x).
Da questa e da (35) segue (34*).
b) X spazio vettoriale su C. Poiché f è a valori complessi possiamo scrivere
f (x) = f1 (x) + if2 (x), ∀ x ∈ Z, dove f1 e f2 sono a valori reali. Denotati con Xr e
Zr gli spazi vettoriali reali che otteniamo restringendo la moltiplicazione agli scalari
reali, poiché f è lineare su Z, f1 e f2 sono funzionali lineari su Zr . Pertanto essendo:
f1 (x) ≤ |f (x)| ≤ p(x), ∀ x ∈ Zr
per il Teorema 6.1 esiste un’estensione lineare f 1 , di f1 su Xr tale che:
(36)
f 1 (x) ≤ p(x), ∀ x ∈ Xr .
Analogamente ragioniamo su f2 . Poiché:
f = f1 + if2 abbiamo ∀ x ∈ Z :
i[f1 (x) + if2 (x)] = if (x) = f (ix) = f1 (ix) + if2 (ix).
Pertanto, per l’uguaglianza di numeri complessi:
(37)
Quindi se poniamo:
f2 (x) = −f1 (ix), ∀ x ∈ Z.
6. IL TEOREMA DI HAHN-BANACH
33
f (x) = f 1 (x) − if 1 (ix), ∀ x ∈ X.
(38)
da (37) segue che:
f (x) = f1 (x) − if1 (ix) = f1 (x) + if2 (x) = f (x), ∀ x ∈ Z.
Questo prova che f è un’estesione di f su X.
Dobbiamo ancora provare che:
i) f è un funzionale lineare su X
ii) f verifica (34*) su X.
i): Poiché f 1 è lineare su Xr e poiché vale (38) abbiamo:
f ((a + ib)x) = f 1 (ax + ibx) − if 1 (iax − bx) = af 1 (x) + bf 1 (ix) − i[af 1 (ix) − bf 1 (x)] =
= (a + ib)[f 1 (x) − if 1 (ix)] = (a + ib)f (x).
La prima proprietà della linearità è immediata.
ii): Poiché p(x) ≥ 01, per ogni x ∈ X tale che f (x) = 0 vale (34*).
Sia dunque x ∈ X tale che f (x) ̸= 0. Pertanto:
f (x) = |f (x)|eiθ
cosı̀
|f (x)| = f (x)e−iθ = f (e−iθ x).
Da (M.O.) segue dunque:
|f (x)| = f (e−iθ x) = 2 f1 (e−iθ x) ≤ p(e−iθ x) = p(x).
Teorema 6.3 (Teorema di Hahn-Banach sugli spazi normati). Sia f un funzionale lineare limitato su un sottospazio Z di uno spazio normato X. Allora esiste un
funzionale lineare e limitato f su X che è un’estensione di f su X e tale che:
∥f ∥X = ∥f ∥Z
(39)
dove ∥f ∥X = supx∈X,∥x∥=1 |f (x)| e ∥f ∥Z = supx∈Z,∥x∥=1 |f (x)| (e ∥f ∥Z = 0 nel
caso banale Z = {0}).
10
= p(0) = p(x − x) = p(x + (−x)) ≤ p(x) + p(−x) = p(x) + p(x) = 2p(x) allora 0 ≤ p(x).
è reale.
2perché
34
1. SPAZI DI BANACH
Dim. Se Z = {0}, allora f = 0 e l’estensione è f = 0.
Sia dunque Z ̸= {0}. Per ogni x ∈ Z abbiamo:
|f (x)| ≤ ∥f ∥Z ∥x∥.
Ma questa è la relazione (34) del Teorema 6.2 dove:
(40)
p(x) = ∥f ∥Z ∥x∥, ∀ x ∈ X.
Provare per esercizio che p è sub-additiva e verifica la (M.O.) del Teorema 6.2. Pertanto, in virtù del Teorema 6.2, esiste un funzionale lineare f su X che è un’estensione
di f e tale che:
|f (x)| ≤ p(x) = ∥f ∥Z ∥x∥, ∀ x ∈ X.
Quindi:
∥f ∥X ≤ ∥f ∥Z .
Poiché, per sua stessa definizione, su un’estensione la norma non può essere
decrescente abbiamo:
∥f ∥X ≥ ∥f ∥Z
e la (39) del Teorema è quindi provata.
Osservazione 6.2. Sia Z un sottospazio di uno spazio di Hilbert, H; allora, per
il teorema di rappresentazione di Riesz, abbiamo:
f (x) = ⟨x, z⟩ , ∀ x ∈ Z dove ∥z∥ = ∥f ∥.
Ovviamente, poiché il prodotto interno è definito su tutto H, abbiamo un’estensione lineare f di f su H e inoltre:
∥f ∥ = ∥z∥ = ∥f ∥.
Quindi in questo caso l’estensione è immediata.
Teorema 6.4 (Teorema dei funzionali lineari e limitati). Sia X uno spazio normato e sia x0 ∈ X con x0 ̸= 0. Allora esiste un funzionale f lineare e limitato su X
tale che:
∥f ∥ = 1 e f (x0 ) = ∥x0 ∥.
Dim. Sia Z il sottospazio di X di tutti gli elementi x = αx0 per α scalare. Su Z
definiamo un funzionale lineare f da:
(41)
f (x) = f (αx0 ) = α∥x0 ∥.
6. IL TEOREMA DI HAHN-BANACH
35
f è limitato e ha norma 1 in quanto:
|f (x)| = |f (αx0 )| = |α|∥x0 ∥ = ∥αx0 ∥ = ∥x∥.
In virtù del Teorema 6.3 segue che f ammette una estensione lineare f su X e
∥f ∥ = ∥f ∥ = 1.
Da (41) segue che:
f (x0 ) = f (x0 ) = ∥x0 ∥.
Corollario 6.1 (Teorema della norma e del vettore nullo). Sia X uno spazio
normato e sia x ∈ X. Allora:
(42)
∥x∥ =
|f (x)|
.
f ∈X ′ ,f ̸=0 ∥f ∥
sup
Quindi se x0 è tale che f (x0 ) = 0, ∀ f ∈ X ′ =⇒ x0 = 0.
Dim. Se x = 0 essendo ∀ f ∈ X ′ f (0) = 0, otteniamo:
|f (0)|
= 0.
f ∈X ′ ,f ̸=0 ∥f ∥
Dal Teorema 6.4 risulta, per x ̸= 0:
∥0∥ =
sup
|f (x)|
|f (x)|
= ∥x∥
≥
∥f ∥
f ∈X ′ ,f ̸=0 ∥f ∥
e da |f (x)| ≤ ∥f ∥∥x∥, otteniamo:
sup
|f (x)|
≤ ∥x∥.
f ∈X ′ ,f ̸=0 ∥f ∥
sup
36
1. SPAZI DI BANACH
7. Spazi riflessivi
Lemma 7.1. Per ogni fissato x di uno spazio normato X il funzionale gx , definito
da:
gx (f ) = f (x), ∀ f ∈ X ′
(43)
è un funzionale lineare e limitato su X ′ . Quindi gx ∈ X ′′ e inoltre risulta:
∥gx ∥ = ∥x∥.
(44)
Dim. gx è lineare; infatti:
gx (αf1 + βf2 ) = (αf1 + βf2 )(x) = αf1 (x) + βf2 (x) = αgx (f1 ) + βgx (f2 ).
Da (43) e dal Corollario 6.1 segue:
(45)
∥gx ∥ =
|gx (f )|
|f (x)|
= sup
= ∥x∥.
f ∈X ′ ,f ̸=0 ∥f ∥
f ∈X ′ ,f ̸=0 ∥f ∥
sup
Noi possiamo considerare il duale (X ′ )′ di X ′ i cui elementi sono i funzionali
lineari e limitati su X ′ . Noi denotiamo (X ′ )′ con X ′′ che è detto il SECONDO
SPAZIO DUALE (O BIDUALE) DI X.
Def. 7.1. Per il lemma precedente, ad ogni x ∈ X corrisponde un unico funzionale lineare e limitato gx ∈ X ′′ definito attraverso (43). Pertanto possiamo
definire:
(46)
C : X → X ′′ , x 7→ gx .
C è detta APPLICAZIONE CANONICA di X in X ′′ .
Lemma 7.2. L’applicazione canonica C data da (46) è un isomorfismo dello spazio
normato X sullo spazio normato RC .
Dim. La linearità di C segue da:
C(αx + βy)(f ) = gαx+βy (f ) = f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) = αgx (f ) + βgy (f ) =
= α(Cx)(f ) + β(Cy)(f ).
In particolare risulta gx − gy = gx−y . Quindi dalla (44) otteniamo:
∥gx − gy ∥ = ∥gx−y ∥ = ∥x − y∥.
7. SPAZI RIFLESSIVI
Questo prova che C è un’isometria1. Isometria implica iniettività2.
37
Def. 7.2. Lo spazio normato X è detto IMMERSO in uno spazio normato Z se
X è isomorfo a un sottospazio di Z.
Osservazione 7.1. Il lemma precedente prova che X è immerso in X ′′ e C viene
appunto detta IMMERSIONE CANONICA di X in X ′′ .
In generale C non è suriettiva.
Def. 7.3. Uno spazio normato è detto RIFLESSIVO se RC = X ′′ .
Osservazione 7.2. Per il Lemma 7.2 segue che se X è riflessivo esso è isomorfo
a X ′′ . Ma R.C.James ha provato che il viceversa, in generale, è falso.
Teorema 7.1. Se uno spazio normato X è riflessivo, allora è completo, cioè di
Banach.
Dim. Poiché X ′′ è il duale di X ′ segue che X ′′ è di Banach per il Corollario 5.1.
Quindi X è completo per il Lemma 7.2.
Osservazione 7.3. Abbiamo dimostrato che ogni funzionale di uno spazio normato X di dimensione finita è limitato. Quindi X ′ = X ∗ e poiché X è algebricamente
riflessivo (cfr. Teorema 4.2) segue:
Teorema 7.2. Ogni spazio normato di dimensione finita è riflessivo.
Osservazione 7.4. Ogni spazio lp , 1 < p < +∞ è riflessivo. Cosı̀ ogni spazio
L [a, b], con 1 < p < +∞ è riflessivo.
p
Teorema 7.3. Ogni spazio di Hilbert è riflessivo.
Dim. Sia A : H ′ → H definito da Af = z dove, per il teorema di rappresentazione
di Riesz, il vettore z è tale che
f (x) = ⟨x, z⟩ .
L’operatore A è biiettivo, isometrico e coniugato lineare3 (Provarlo per esercizio).
′
H è completo ed è uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto interno definito da:
⟨f1 , f2 ⟩1 = ⟨Af2 , Af1 ⟩
(Provarlo per esercizio).
Sia g ∈ H ′′ . Risulta, per il teorema di rappresentazione di Riesz:
g(f ) = ⟨f, f0 ⟩1 = ⟨Af0 , Af ⟩ .
Ricordando che:
Spazi di Hilbert, Def. 4.2, § 2.4 e Corollario 3.2, § 3.3.
x ̸= y =⇒ 0 ̸= ∥x − y∥ = ∥gx−y ∥ = ∥gx − gy ∥.
3A è detto coniugato lineare se A(αf + βf ) = αAf + βAf , ∀f , f ∈ H ′ , ∀α, β ∈ K.
1
2
1
2
1 2
1cfr.
2
38
1. SPAZI DI BANACH
f (x) = ⟨x, z⟩ , dove z = Af
e posto:
Af0 = x
abbiamo:
⟨Af0 , Af ⟩ = ⟨x, z⟩ = f (x).
Pertanto: g(f ) = f (x), cioè g = Cx per definizione di C. Quindi C è suriettiva.
Lemma 7.3. Sia Y un sottospazio proprio di uno spazio normato X. Sia x0 ∈
X\Y e sia δ la distanza di x0 da Y
δ = inf ∥y − x0 ∥.
(47)
y∈Y
Allora esiste f ∈ X ′ , tale che
∥f ∥ = 1, f (y) = 0 ∀ y ∈ Y, f (x0 ) = δ.
(48)
Dim. Consideriamo il sottospazio Z ⊂ X generato da Y e x0 e definiamo su Z
un funzionale lineare e limitato come segue:
f (z) = f (y + αx0 ) = αδ, y ∈ Y.
(49)
Ogni z ∈ Z ha un’unica rappresentazione:
z = y + αx0 , y ∈ Y
che abbiamo usato in (49). Provare per esercizio che f è lineare.
Poiché Y è chiuso segue che δ > 0 e quindi f ̸= 0.
Inoltre per α = 0 risulta f (y) = 0, ∀ y ∈ Y e per α = 1 e y = 0 si ha f (x0 ) = δ.
Proviamo dunque che f è limitato. Per α = 0 risulta
f (z) = 0.
Sia quindi α ̸= 0. Usando (47) e notato che:
−α−1 y ∈ Y
otteniamo:
|f (z)| = |α|δ = |α| inf ∥y − x0 ∥ ≤ |α|∥−α−1 y − x0 ∥ = ∥y + αx0 ∥.
y
Cioè: |f (z)| ≤ ∥z∥. Quindi f è limitato e ∥f ∥ ≤ 1.
7. SPAZI RIFLESSIVI
39
Inoltre esiste una successione (yn )n ⊂ Y tale che:
lim∥yn − x0 ∥ = δ.
n
Sia zn = yn − x0 . Allora per α = −1 da (49) abbiamo
f (zn ) = −δ.
Quindi:
|f (z)|
|f (zn )| n δ
≥
→ = 1.
∥zn ∥
δ
z∈Z,z̸=0 ∥z∥
Pertanto ∥f ∥ ≥ 1 e quindi ∥f ∥ = 1. Per il Teorema 6.3 possiamo estendere f su
tutto X senza crescere la norma e questo conclude la prova.
∥f ∥ = sup
Teorema 7.4. Se il duale X ′ di uno spazio normato X è separabile, allora X
stesso è separabile.
Dim. Se X ′ è separabile, la sfera unitaria U ′ = {f : ∥f ∥ = 1} di X ′ contiene un
sottoinsieme numerabile (fn )n denso.
Da fn ∈ U ′ segue che:
∥fn ∥ = sup |fn (x)| = 1
∥x∥=1
e quindi possiamo trovare dei punti xn ∈ X con ∥xn ∥ = 1 tali che |fn (xn )| ≥ 12 .
Sia Y la chiusura della varietà lineare generata da (xn )n . Allora Y è separabile
in quanto l’insieme di tutte le combinazioni lineari degli xn a coefficienti razionali è
un sottoinsieme numerabile e denso.
Vogliamo provare che Y = X. Supponiamo che Y ̸= X. Allora per il Lemma 7.3
esiste f ∈ X ′ con ∥f ∥ = 1 e f (y) = 0 ∀ y ∈ Y .
Poiché xn ∈ Y segue che: f (xn ) = 0 ∀ n, quindi:
1
≤ |fn (xn )| = |fn (xn ) − f (xn )| = |(fn − f )(xn )| ≤ ∥fn − f ∥∥xn ∥,
2
dove ∥xn ∥ = 1. Da ∥fn − f ∥ ≥ 21 si contraddice l’ipotesi che (fn ) è denso in U ′ in
quanto f ∈ U ′ .
Osservazione 7.5. La connessione tra la separabilità e la riflessività è abbastanza
semplice. La separabilità di X ′ implica la separabilità di X, ma il viceversa in generale
è falso. Ma se uno spazio normato X è riflessivo, X ′′ è isomorfo a X; ne segue in
questo caso che la separabilità da X implica quella di X ′′ e, per il Teorema precedente,
quella di X ′ .
Pertanto asseriamo che:
Uno spazio normato X separabile con duale X ′ non separabile non è riflessivo.
40
1. SPAZI DI BANACH
Esempio 7.1. l1 non è riflessivo in quanto l1 è separabile, ma il suo duale l∞ non
lo è.
8. Teorema di categoria e di uniforme limitatezza
Def. 8.1. Un sottoinsieme M di uno spazio metrico X è detto:
a) RADO (o NON OVUNQUE DENSO) in X se M non ha punti interni.
b) MAGRO (o di 1a categoria) in X se è unione numerabile di insiemi radi in
X.
c) NON MAGRO (o di 2a categoria) in X se M non è magro in X.
Teorema 8.1 (Teorema di categoria di Baire). Sia X ̸= ∅ uno spazio metrico
completo. Allora X è non magro in sè stesso.
Quindi se X ̸= ∅ è completo e:
X=
∞
∪
Ak , Ak chiuso
k=1
allora almeno un Ak contiene un sottoinsieme aperto non vuoto.
Dim. Supponiamo che lo spazio metrico completo X ̸= ∅ sia magro in sè. Allora:
X=
∞
∪
Mk dove Mk sono radi in X.
k=1
Per ipotesi M1 è rado in X cosı̀ per definizione M1 non contiene sottoinsiemi
C
aperti non vuoti, ma X sı̀. Pertanto M1 ̸= X. Quindi X\M1 = M1 non è vuoto ed
C
è aperto. Scegliamo un punto p1 di M1 e una boccia aperta di centro p1 , in modo
che:
1
C
B1 = B(p1 , ε1 ) ⊂ M1 , ε1 < .
2
Per ipotesi M2 è rado in X, cosı̀ M2 non contiene sottoinsiemi aperti non vuoti.
Quindi non contiene la boccia aperta B(p1 , 12 ε1 ). Ciò implica che:
1
ε1 )
2
è non vuoto e aperto cosı̀ scegliamo una boccia aperta in questo insieme in modo
che:
C
M2 ∩ B(p1 ,
1
1
ε1 ), ε2 < ε1 .
2
2
Per induzione otteniamo una successione di bocce aperte:
C
B2 = B(p2 , ε2 ) ⊂ M2 ∩ B(p1 ,
8. TEOREMA DI CATEGORIA E DI UNIFORME LIMITATEZZA
Bk = B(pk , εk ), εk <
41
1
εk−1 < 2−k
2
tali che:
1
εk ) ⊂ Bk , k = 1, 2, . . . .
2
Poichè εk < 2−k la successione (pk )k dei centri è di Cauchy e converge a qualche
p ∈ X in quanto X è completo.
Quindi per ogni m e per n > m abbiamo:
Bk ∩ Mk = ∅ e Bk+1 ⊂ B(pk ,
Bn ⊂ B(pm ,
1
εm )
2
cosı̀
1
1
d(pm , p) ≤ d(pm , pn ) + d(pn , p) < εm + d(pn , p) −→ εm
2
2
per n → ∞.
C
Quindi p ∈ Bm per ogni m. Poiché Bm ⊂ Mm si ha: p ̸∈ Mm per ogni m. Cosı̀:
p ̸∈ ∪∞
k=1 Mk = X
e questa è una contraddizione.
Osservazione 8.1. Nota che il viceversa del teorema di Baire non è in generale
vero. Un esempio di spazio normato incompleto che è non magro in sè è stato dato
da N.Bourbaki nel 1955.
Teorema 8.2 (Teorema di uniforme limitatezza). Sia (Tn )n una successione di
operatori lineari e limitati Tn : X −→ Y , dove X è uno spazio di Banach e Y è uno
spazio normato, tale che:
(∥Tn x∥) è limitata per ogni x, cioè:
(50)
∥Tn x∥ ≤ cx , n = 1, 2, . . .
dove cx ∈ IR+ .
Allora la successione (∥Tn ∥)n è limitata, cioè:
(51)
∥Tn ∥ ≤ c, n = 1, 2, . . .
Dim. Per ogni k ∈ IN sia Ak ⊂ X l’insieme dei punti x ∈ X tali che ∥Tn x∥ ≤ k
per ogni n.
Ak è chiuso. Infatti per ogni x ∈ Ak esiste una successione (xj ) in Ak convergente
a x. Questo significa che per ogni fissato n abbiamo:
42
1. SPAZI DI BANACH
∥Tn xj ∥ ≤ k
e quindi
∥Tn x∥ ≤ k
in quanto Tn è continuo ed anche la norma è continua. Pertanto x ∈ Ak .
Per (50) ogni x ∈ X appartiene a qualche Ak . Quindi X = ∪∞
k=1 Ak . Poiché X è
completo il Teorema 8.1 di Baire implica che qualche Ak contiene una boccia aperta:
B0 = B(x0 , r) ⊂ Ak0 .
(52)
Sia x ∈ X con x ̸= 0. Poniamo:
(53)
z = x0 + γx, γ =
r
.
2∥x∥
Allora: ∥z − x0 ∥ = 2r < r cioè z ∈ B0 .
Da (52) e dalla definizione di Ak0 risulta:
∥Tn z∥ ≤ k0 ,
per ogni n.
Inoltre:
∥Tn x0 ∥ ≤ k0
in quanto x0 ∈ B0 .
Da (53) otteniamo:
x=
1
(z − x0 ).
γ
Allora, per ogni n, abbiamo:
1
1
4
∥Tn (z − x0 )∥ ≤ (∥Tn z∥ + ∥Tn x0 ∥) ≤ ∥x∥k0 .
γ
γ
r
Quindi, per ogni n, si ha:
∥Tn x∥ =
4
∥Tn ∥ = sup ∥Tn x∥ ≤ k0
r
∥x∥=1
che è la (51).
Teorema 8.3 (Applicazione: Spazio dei polinomi). Lo spazio normato X di tutti
i polinomi con norma definita da:
(54)
∥x∥ = max |αj |, (α0 , α1 , . . . coefficienti di x)
j
8. TEOREMA DI CATEGORIA E DI UNIFORME LIMITATEZZA
43
non è completo.
Dim. Costruiremo una successione di operatori lineari e limitati che soddisfa (50)
ma non (51) cosı̀ che X non può essere completo.
Noi possiamo scrivere un polinomio x ̸= 0 di grado Nx nella forma:
x(t) =
∞
∑
αj tj (αj = 0 per j > Nx ).
j=0
Come successione di operatori su X noi scegliamo la successione dei funzionali
Tn = fn def. da:
(55)
Tn 0 = fn (0) = 0, Tn x = fn (x) = α0 + . . . + αn−1 .
fn è lineare (Provarlo per esercizio).
fn è limitato poiché da (54) abbiamo:
|αj | ≤ ∥x∥
cosı̀ che:
|fn (x)| ≤ n∥x∥.
Inoltre per ogni fissato x ∈ X la successione (|fn (x)|)n soddisfa (50) poiché un
polinomio x di grado Nx ha Nx + 1 coefficienti al più; cosı̀ da (55) abbiamo:
|fn (x)| ≤ (Nx + 1) max |αj | = cx
j
e questa è una relazione della forma (50).
Ora proviamo che (fn )n non soddisfa (51), cioè non esiste c tale che ∥Tn ∥ =
∥fn ∥ ≤ c, per ogni n.
Per fn scegliamo il polinomio:
x(t) = 1 + t + . . . + tn .
Allora ∥x∥ = 1 per (54) e
fn (x) = 1 + . . . + 1 = n = n∥x∥.
Quindi:
∥fn ∥ ≥
Pertanto (∥fn ∥)n non è limitata.
|fn (x)|
=n
∥x∥
44
1. SPAZI DI BANACH
9. Forte e debole convergenza
Def. 9.1. Una successione (xn )n di uno spazio normato X è detta FORTEMENTE CONVERGENTE (o CONVERGENTE NELLA NORMA) se esiste un x ∈ X
tale che:
lim ∥xn − x∥ = 0
n→∞
che è scritto: limn→∞ xn = x, o semplicemente xn → x.
x è detto il LIMITE FORTE di (xn )n .
Def. 9.2. Una successione (xn )n di uno spazio normato X è detta DEBOLMENTE CONVERGENTE se esiste un x ∈ X tale che ogni f ∈ X ′ risulti:
lim f (xn ) = f (x).
n→∞
Scriviamo xn ⇀ x.
x è detto il LIMITE DEBOLE di (xn )n .
Osservazione 9.1. La convergenza debole consiste nella convergenza della successione di numeri an = f (xn ) per ogni f ∈ X ′ .
Lemma 9.1 (Lemma della convergenza debole). Sia (xn )n una successione debolmente convergente in uno spazio normato X, xn ⇀ x. Allora:
a) Il limite debole x di (xn )n è unico.
b) Ogni sottosuccessione di (xn )n converge debolmente a x.
c) La successione (∥xn ∥)n è limitata.
Dim. a) Supponiamo che xn ⇀ x e xn ⇀ y. Allora f (xn ) → f (x) e f (xn ) → f (y).
Poiché (f (xn ))n è una successione di numeri il suo limite è unico. Quindi f (x) = f (y).
Ma per ogni f ∈ X ′ , abbiamo:
f (x) − f (y) = f (x − y) = 0.
Questo, per il Corollario della norma e del vettore nullo (cfr. Corollario 6.1),
implica x − y = 0. Pertanto l’asserto.
b) Segue dal fatto che (f (xn ))n è una successione convergente di numeri, cosı̀ che
ogni sottosuccessione di (f (xn ))n converge e ha lo stesso limite della successione.
c) Poiché (f (xn ))n è una successione convergente di numeri, essa è limitata cioè
|f (xn )| ≤ cf per ogni n, dove cf è una costante dipendente da f ma non da n. Usando
l’applicazione canonica C : X → X ′′ definiamo gn ∈ X ′′ da:
gn (f ) = f (xn ) per ogni f ∈ X ′ .
Allora per ogni n abbiamo:
9. FORTE E DEBOLE CONVERGENZA
45
|gn (f )| = |f (xn )| ≤ cf .
Cioè la successione (|gn (f )|)n è limitata per ogni f ∈ X ′ . Poiché X ′ è completo per
il Corollario 5.1, per il Teorema 8.2 segue (∥gn ∥)n è limitata. Ora per il Lemma 7.1
abbiamo:
∥gn ∥ = ∥xn ∥
e l’asserto è provato.
Teorema 9.1 (Teorema della forte e debole convergenza). Sia (xn )n una successione di uno spazio normato X. Allora:
a) La forte convergenza implica la debole convergenza con lo stesso limite.
b) Il viceversa di a) in generale è falso.
c) Se dim X < ∞, allora la convergenza debole implica quella forte.
Dim. a) Per definizione xn → x significa ∥xn − x∥ → 0.
Quindi per ogni f ∈ X ′ abbiamo:
|f (xn ) − f (x)| = |f (xn − x)| ≤ ∥f ∥∥xn − x∥ → 0
Pertanto xn ⇀ x.
b) Sia (en )n una successione ortonormale di uno spazio di Hilbert H. Invero ogni
f ∈ H ′ ha una rappresentazione di Riesz (cfr. [1] Spazi di Hilbert, Teorema 1.7, §
3.1):
f (x) = ⟨x, z⟩
Quindi f (en ) = ⟨en , z⟩.
Ora per la disuguaglianza di Bessel (cfr. [1] Spazi di Hilbert, Teorema 1.8, § 1.1)
risulta:
∞
∑
| ⟨en , z⟩ |2 ≤ ∥z∥2 .
n=1
Pertanto la serie converge e cosı̀ il termine generale deve andare a zero per n → ∞.
Questo implica che
f (en ) = ⟨en , z⟩ → 0.
Poiché f ∈ H ′ era arbitrario vediamo che en ⇀ 0.
Comunque (en )n non può convergere fortemente a zero perchè:
∥em − en ∥2 = ⟨em − en , em − en ⟩ = 2 m ̸= n
c) Supponiamo che xn ⇀ x e dim X = k. Sia {e1 , . . . , ek } una base per X e:
46
1. SPAZI DI BANACH
(n)
(n)
xn = α1 e1 + . . . + αk ek ; x = α1 e1 + . . . + αk ek .
Per ipotesi f (xn ) → f (x) per ogni f ∈ X ′ .
Prendiamo in particolare f1 , . . . , fk definite da:
fj (ej ) = 1 ; fj (em ) = 0 m ̸= j
(ricordo che f1 , . . . , fk è la base duale di e1 , . . . , ek (12)).
Allora:
(n)
fj (xn ) = αj
(n)
Quindi: fj (xn ) → f (x) implica αj
Pertanto otteniamo
e fj (x) = αj .
→ αj .
(n)
(n)
∥xn − x∥ = ∥Σkj=1 (αj − αj )ej ∥ ≤ Σkj=1 |αj − αj |∥ej ∥ → 0
per n → ∞.
Questo prova che xn → x.
Osservazione 9.2. E’ interessante notare che esistono spazi di dimensione infinita nei quali la convergenza forte e quella debole sono equivalenti. Un esempio è l1
come dimostrò I.Schur nel 1821.
Esempio 9.1 (Spazi di Hilbert). In uno spazio di Hilbert H xn ⇀ x ⇐⇒ ⟨xn , z⟩ →
⟨x, z⟩ per ogni z ∈ H.
La dimostrazione segue immediatamente dal teorema di rappresentazione di Riesz
(cfr. [1] Spazi di Hilbert, Teorema 1.7, § 3.1).
Def. 9.3. Un insieme TOTALE (o FONDAMENTALE) in uno spazio normato
X è un sottoinsieme M ⊂ X il cui span è denso in X.
Lemma 9.2. In uno spazio normato X,
xn ⇀ x
è equivalente
{
A) La successione (∥xn ∥)n è limitata.
B) Per ogni elemento f di sottoinsieme totale M ⊂ X ′ abbiamo f (xn ) → f (x).
Dim. (=⇒): Segue dal Lemma 9.1 e dalla definizione.
(⇐=): Per A) esiste c ∈ IR+ tale che ∥xn ∥ ≤ c per ogni n e ∥x∥ ≤ c. Sia f ∈ X ′ .
Poiché M è totale in X ′ esiste una successione (fj ) di span M tale che fj → f .
Quindi per ogni ε > 0 possiamo trovare j tale che:
∥fj − f ∥ <
ε
.
3c
10. CONVERGENZA DI SUCCESSIONI DI OPERATORI
47
Inoltre poiché fj ∈ span M , per B), esiste un N tale che per ogni n > N risulti:
ε
|fj (xn ) − fj (x)| < .
3
Pertanto per ogni n > N :
|f (xn ) − f (x)| ≤ |f (xn ) − fj (xn )| + |fj (xn ) − fj (x)| + |fj (x) − f (x)| <
< ∥f − fj ∥∥xn ∥ +
ε
ε
ε
ε
+ ∥fj − f ∥∥x∥ <
c+ +
c = ε.
3
3c
3 3c
Cosı̀ xn ⇀ x.
Teorema 9.2 (Gli spazi lp , 1 < p < ∞). Nello spazio lp , 1 < p < ∞,
xn ⇀ x
è equivalente
{
A) La successione (∥xn ∥)n è limitata.
(n)
(n)
B) Per ogni fissato j risulta ξj → ξj per n → ∞ dove xn = (ξj ) e x = (ξj ).
Dim. Lo spazio duale di lp è lq (cfr. Esempio 5.5). Una base per lq è (en ), dove
en = (δn,j ). Quindi span (en ) è denso in lq cosı̀ che per il Lemma 9.2 segue l’asserto.
Def. 9.4. Uno spazio normato X è detto DEBOLMENTE COMPLETO se ogni
successione debole di Cauchy in X converge debolmente in X.
10. Convergenza di successioni di operatori
Def. 10.1. Siano X e Y due spazi normati. Una successione (Tn )n di operatori
Tn ∈ B(X, Y ) è detta:
1) UNIFORMEMENTE CONVERGENTE se (Tn ) converge nella norma di
B(X, Y ), cioè esiste un operatore T : X −→ Y tale che:
∥Tn − T ∥ → 0, per n → ∞
2) FORTEMENTE CONVERGENTE se (Tn ) converge fortemente in Y per
ogni x ∈ X, cioè esiste un operatore T : X −→ Y tale che:
∥Tn x − T x∥ → 0, per n → ∞, per ogni x ∈ X
48
1. SPAZI DI BANACH
3) DEBOLMENTE CONVERGENTE se (Tn ) converge debolmente in Y per
ogni x ∈ X, cioè esiste un operatore T : X −→ Y tale che:
|f (Tn x) − f (T x)| → 0, per n → ∞ per ogni x ∈ X, per ogni f ∈ Y ′ .
Non è difficile provare che 1) =⇒ 2) =⇒ 3); ma il viceversa in generale è falso,
come mostrano i seguenti esempi.
Esempio 10.1 (Fortemente ma non uniformemente convegente). Nello spazio l2
consideriamo una successione (Tn )n , dove Tn : l2 −→ l2 è definita da:
Tn x = (0, . . . , 0, ξn+1 , ξn+2 , . . .)
←
−n−
→
2
dove x = (ξ1 , ξ2 , . . .) ∈ l . Questo operatore Tn è lineare e limitato. Chiaramente
(Tn ) è fortemente convergente a zero poiché:
Tn x → 0 = 0x.
Inoltre (Tn )n non è uniformemente convergente poiché ∥Tn − 0∥ = ∥Tn ∥ = 1.
Esempio 10.2 (Debolmente ma non fortemente convegente). Un’altra successione
(Tn )n di operatori Tn : l2 −→ l2 è definita da:
Tn x = (0, . . . , 0, ξ1 , ξ2 , . . .)
←
−n−
→
2
dove x = (ξ1 , ξ2 , . . .) ∈ l . Questo operatore è lineare e limitato.
Proviamo che (Tn )n converge debolmente a zero.
Ogni funzionale lineare e limitato f su l2 ha una rappresentazione di Riesz:
f (x) = ⟨x, z⟩ = Σ∞
j=1 ξj ζj
dove z = (ζj ) ∈ l2 .
Ponendo j = n + k e usando la definizione di Tn , risulta:
∞
f (Tn x) = ⟨Tn x, z⟩ = Σ∞
j=n+1 ξj−n ζj = Σk=1 ξk ζn+k
Per la disuguaglianza di Cauchy, risulta:
2 ∞
2
|f (Tn x)|2 = | ⟨Tn x, z⟩ |2 ≤ Σ∞
k=1 |ξk | Σm=n+1 |ζm | .
L’ultima serie è il resto di una serie convergente. Quindi la parte a destra della
disuguaglianza tende a 0 per n → ∞. Pertanto f (Tn x) → 0 = f (0x). Conseguentemente (Tn )n è debolmente convergente a 0.
Comunque (Tn )n non converge fortemente poiché per x = (1, 0, 0, . . .) abbiamo:
∥Tm x − Tn x∥ =
√
√
12 + 12 = 2, per m ̸= n.
10. CONVERGENZA DI SUCCESSIONI DI OPERATORI
49
I funzionali lineari sono operatori lineari con rango nel campo degli scalari IR
o C. Cosı̀ anche per essi possiamo parlare della convergenze 1), 2) e 3). Ma per
essi le convergenze 2) e 3) sono equivalenti. Infatti ora abbiamo fn (x) ∈ IR o C.
Quindi le convergenze 2) e 3) sono cosı̀ considerate in uno spazio finito dimensionale
(1-dimensionale) e l’equivalenza di 2) e 3) segue dal Teorema 9.1 parte c).
I due rimanenti concetti di convergenza sono ribattezzati nella seguente:
Def. 10.2. Sia (fn )n una successione di funzionali lineari e limitati su uno spazio
normato X. Allora:
a) (fn )n CONVERGE FORTEMENTE se esiste f ∈ X ′ tale che ∥fn − f ∥ → 0,
e scriviamo fn → f
b) (fn )n CONVERGE DEBOLMENTE ∗ (∗ =stella) se esiste f ∈ X ′ tale che
∗
fn (x) → f (x) per ogni x ∈ X, e scriviamo fn ⇀ f
f in a) e b) è detto il limite forte e il limite debole∗ di (fn )n , rispettivamente.
Osservazione 10.1. Il concetto di convergenza debole∗ è in qualche modo più
importante di quello di convergenza debole di (fn )n cioè g(fn ) → g(f ) per ogni
g ∈ X ′′ .
Provare per esercizio che la convergenza debole implica la convergenza debole∗
(usando, per esempio, l’applicazione canonica C : X −→ X ′′ , x 7→ gx ) e che, se X è
riflessivo, vale il viceversa.
Osservazione 10.2. Ritornando agli operatori Tn ∈ B(X, Y ) ci chiediamo che
cosa possiamo dire dell’operatore limite T : X −→ Y nelle convergenze 1), 2) e 3).
Se la convergenza è uniforme, T ∈ B(X, Y ), altrimenti ∥Tn − T ∥ non avrebbe
senso.
Se la convergenza è forte o debole, T è ancora lineare, ma può essere illimitato,
se X non è completo.
Esempio 10.3. Lo spazio X di tutte le successioni x = (ξi ) ∈ l2 finite non è
completo nella metrica di l2 .
Definiamo una successione di operatori lineari e limitati Tn su X nel seguente
modo:
Tn x = (ξ1 , 2ξ2 , . . . , nξn , ξn+1 , ξn+2 , . . .),
cosı̀ che i termini di Tn x sono jξj per j ≤ n e ξj per j > n.
Questa successione converge fortemente a un operatore lineare illimitato T definito
da:
T x = (ηj ) dove ηj = jξj .
Lemma 10.1. Siano Tn ∈ B(X, Y ) con X spazio di Banach e Y spazio normato.
Se (Tn )n converge fortemente a T , allora T ∈ B(X, Y ).
50
1. SPAZI DI BANACH
Dim. La linearità di T segue facilmente da quella di Tn , n = 1, 2, . . .. Poiché
Tn x → T x per ogni x ∈ X, la successione (Tn x)n è limitata per ogni x. Poiché X è
completo, (∥Tn ∥)n è limitato per il Teorema 8.2 della uniforme limitatezza, cioè:
∥Tn ∥ ≤ c per ogni n.
Da questo segue che:
∥Tn x∥ ≤ ∥Tn ∥∥x∥ ≤ c∥x∥.
Pertanto:
∥Tn x∥ ≤ c∥x∥.
Teorema 10.1. Una successione (Tn )n di operatori Tn ∈ B(X, Y ) con X e Y
spazi di Banach è fortemente convergente ⇐⇒

 A) La successione (∥Tn ∥)n è limitata.
B) La successione (Tn x)n è di Cauchy in Y per x di un sottoinsieme

totale M di X.
Dim. (=⇒): Se Tn x → T x per ogni x ∈ X, allora A) segue dal Teorema 8.2 e B)
è banale.
(⇐=): ∥Tn ∥ ≤ c per ogni n. Consideriamo x ∈ X. Fissiamo ε > 0. Poiché
span M è denso in X esiste y ∈ span M tale che:
ε
.
3c
Poiché y ∈ span M , la successione (Tn y)n è di Cauchy quindi esiste N tale che
∥x − y∥ <
∥Tn y − Tm y∥ <
ε
per m, n > N.
3
Pertanto per ogni m, n > N si ha:
∥Tn x − Tm x∥ ≤ ∥Tn x − Tn y∥ + ∥Tn y − Tm y∥ + ∥Tm y − Tm x∥ <
ε
ε
ε
ε
+ ∥Tm ∥∥x − y∥ < c + + c = ε
3
3c
3 3c
cioè (Tn x)n è di Cauchy in Y .
Poiché Y è completo, (Tn x)n converge in Y . Dalla arbitrarietà di x segue l’asserto.
< ∥Tn ∥∥x − y∥ +
10. CONVERGENZA DI SUCCESSIONI DI OPERATORI
51
Corollario 10.1. Una successione (fn )n di funzionali lineari e limitati su uno
spazio di Banach X è debolmente∗ convergente a un funzionale lineare e limitato se
e solo se:

 A) La successione (∥fn ∥)n è limitata.
B) La successione (fn (x))n è di Cauchy per x di un sottoinsieme

totale M di X.
Bibliografia
[1] D.AVERNA, Analisi Funzionale - Spazi di Hilbert. Dispensa (2010)
53
Indice analitico
Lp [a, b], con 1 < p < +∞ è riflessivo, 37
X è riflessivo =⇒ è di Banach, 37
X ′ è separabile =⇒ X è separabile, 39
dim X < ∞
⇐⇒ {x ∈ X : ∥x∥ ≤ 1} è compatta, 13
dim X ∗ = dim X, 21
è riflessivo, 37
BASE DUALE, 21
Lemma del vettore zero, 21
ogni operatore lineare è limitato, 16
Teorema della riflessività algebrica, 22
n
IR
duale di IRn è IRn , 24
n
IR è localmente compatto, 13
B
è un’algebra normata ([1] Spazi di Hilbert,
§ 3.2), 15
la completezza di X =⇒ la completezza di
B ([1] Spazi di Hilbert, § 3.2), 15
l1 non è riflessivo, 40
l∞ , 25
lp , 24
lp , 1 < p < +∞ è riflessivo, 37
Cn è localmente compatto, 13
APPLICAZIONE (IMMERSIONE)
CANONICA, 19
DUALE ALGEBRICO (X ∗ ), 18
SECONDO SPAZIO DUALE
ALGEBRICO (O BIDUALE) (X ∗∗ ), 18
FUNZIONALE LINEARE E LIMITATO
B(X, K) = X ′ è uno spazio normato, 23
APPLICAZIONE CANONICA, 36
IMMERSIONE CANONICA, 37
isomorfismo, 36
RIFLESSIVO, 37
SECONDO SPAZIO DUALE (O
BIDUALE) (X ′′ ), 36
SPAZIO DUALE (X ′ ), 24
SPAZIO DUALE (X ′ ) è uno spazio di
Banach, 24
funzionali lineari e limitati, 7
Hilbert è riflessivo, 37
Il duale di l1 è l∞ , 26
Il duale di lp è lq , 27
IMMERSO, 37
INTERNO, 9
Invarianza della traslazione, 7
completamento, 7
CONVESSO, 9
Lemma della compattezza, 12
Lemma della convergenza debole, 44
Lemma delle combinazioni lineari, 9
Lemma di Riesz, 12
LEMMA DI ZORN, 30
LOCALMENTE COMPATTO, 13
DEBOLMENTE COMPLETO, 47
DEBOLMENTE CONVERGENTE, 44
FORTEMENTE CONVERGENTE (o
CONVERGENTE NELLA NORMA),
44
funzionale, 7
FUNZIONALE LINEARE, 17
ALGEBRICAMENTE RIFLESSIVO, 19
MAGRO (o di 1a categoria), 40
metrica indotta dalla norma, 7
NON MAGRO (o di 2a categoria), 40
55
56
INDICE ANALITICO
NORMA ∥.∥ EQUIVALENTE A UNA
NORMA ∥.∥0 , 9
operatore, 7
operatore coniugato lineare, 37
operatore lineare
continuo in un punto =⇒ continuo, 16
limitato ⇐⇒ continuo, 16
limitato ⇐⇒ continuo, 7
operatori lineari e limitati, 7
PUNTI DI FRONTIERA, 9
RADO (o NON OVUNQUE DENSO), 40
RIFLESSIVO, 37
Se Y è uno spazio di Banach allora B(X, Y )
è uno spazio di Banach, 23
SEGMENTO CHIUSO, 9
serie, 7
Spazio S, 8
spazio di Banach, 7
spazio normato, 7
SUB-LINEARE, 29
posivamente omogeneo, 29
sub-additivo, 29
Teorema dei funzionali e limitati, 35
Teorema del rango e dello spazio nullo, 14
Teorema della chiusura, 11
Teorema della completezza, 11
Teorema della forte e debole convergenza, 45
Teorema della norma e del vettore nullo, 35
Teorema delle norme equivalenti, 11
Teorema di categoria di Baire, 40
Teorema di Hahn-Banach
generalizzato, 31
normati, 33
spazio vettoriale reale, 29
Teorema di uniforme limitatezza, 41
TOTALE (o FONDAMENTALE), 46