Statistica Applicata all`edilizia: Alcune distribuzioni di
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Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Statistica Applicata all’edilizia: Alcune distribuzioni di probabilità Orietta Nicolis E-mail: [email protected] 7 marzo 2011 Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Indice 1 Indici di curtosi e simmetria 2 Introduzione alle variabili casuali 3 Variabili casuali discrete Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson 4 Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Indice 1 Indici di curtosi e simmetria 2 Introduzione alle variabili casuali 3 Variabili casuali discrete Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson 4 Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Indice di simmetria β1 = E[(X − µ)3 ] σ3 dove - β1 = 0, nel caso di perfetta simmetria; - β1 < 0, per l’asimmetria a destra; - β1 > 0, per l’asimmetria a sinistra. Indice di curtosi γ 2 = β2 − 3 dove β2 = E[(X − µ)4 ] σ4 e se - γ2 > 0, la curva si definisce leptocurtica (più ’appuntita’); - γ2 < 0, la curva si definisce platicurtica, cioè più piatta di una normale; - γ2 = 0, la curva si definisce normocurtica, cioè piatta come una normale. Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Indice 1 Indici di curtosi e simmetria 2 Introduzione alle variabili casuali 3 Variabili casuali discrete Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson 4 Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Esempio: Variazioni del tasso Euribor. 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 Orietta Nicolis 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzioni di probabilità L0 istogramma serve a descrivere i dati del campionamento. Il campione è un insieme scelti da una popolazione più ampia. La distribuzione di probabilità è un modello matematico che collega il valore della variabile alla probabilità che tale valore si trovi all0 interno della popolazione Esempio: è possibile considerare le variazioni del tasso Euribor come variabile casuale poichè assume valori diversi nella popolazione in conseguenza di meccanismi casuali. Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete 1 Variabili casuali continue Variabile casuale: è una funzione che associa ad ogni evento elementare A dello spazio campionario Ω uno ed un solo numero reale X. P:x->P(x) 1 Ω P(x) X A 1 0 Esempio R Esperimento: lancio 3 volte di una moneta L’insieme dei valori di X costituisce uno spazio campionario numerico, su cui si può definire una misura di probabilità. 1 Distribuzioni di frequenza e distribuzioni di probabilità Può essere utile approssimare la distribuzione empirica dei dati con una distribuzione teorica (funzione matematica) Variabile casuale X = “numero delle teste uscite”. Distribuzione di Probabilità: Probabilità che sia uscita testa X volte 90 80 70 60 50 LEGGE DI PROBABILITA’ 40 30 I dati sono considerati delle variabili casuali 20 10 0 14.85 14.9 14.95 15 15.05 15.1 15.15 15.2 Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali 1 Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Variabili casuali 1 Variabili casuali continue Discrete Continue sono definite in uno spazio campionario discreto e possono assumere un numero finito (o un’infinità numerabile) di valori. Sono definite in uno spazio campionario continuo e possono assumere tutti i valori di un certo intervallo. Il valore atteso di X è dato da M (X ) = µ = Scarto Valore atteso (o media aritmetica): n i i =1 ∫ x∈χ x 2 p ( x)dx − ∫ x∈χ x p ( x)dx qudratico medio o deviazione standard SQM ( X ) = σ = V ( X ) ∑ x Pr( X = x ) i x p( x)dx x∈χ V ( X ) = E( X 2 ) − E( X )2 = Variabili casuali discrete E( X ) = µ = x∈χ V( X) = σ 2 = ∫ ( x − µ ) 2 p( x )dx 1 ∫ Varianza: Varianza: k V( X) = σ 2 = ∑ ( x i − µ ) 2 Pr( X = x i ) i =1 Scarto qudratico medio o deviazione standard SQM ( X ) = σ = V ( X ) Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità 2 Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Indice 1 Indici di curtosi e simmetria 2 Introduzione alle variabili casuali 3 Variabili casuali discrete Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson 4 Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Alcuni esempi Esempio 1 ( Controllo di qualità di un processo produttivo). Un’azienda produttrice di materiale per l’edilizia ispeziona ogni prodotto che esce dalla sua linea produttiva. Il prodotto può essere ritenuto buono o difettoso. L0 esperienza passata indica che il 5% dei pezzi prodotti è difettoso. Se si estraggono a caso 4 pezzi (in modo indipendente), determinare 1 qual’è la probabilità di non estrarre alcun pezzo difettoso? 2 qual’è la probabilità che ci siano più di due pezzi difettosi? 3 qual’è il valore atteso e la varianza dei pezzi difettosi; Esempio 2: Il 70% delle case è costruito in cemento armato e il restante 30% con altri materiali. Qual’è la probabilità che estraendo casulamente due case entrambe siano state costruite in cemento armato? Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson La VCD Bernulliana La v.c. Bernulliana indica il numero di successi in una prova. Si considera un esperimento casuale che può dar luogo a due possibili risultati S: successo e S: insuccesso e sia p la probabilità di S. Definizione La variabile casuale Bernullliana (o indicatore) assume valore uno se si verifica S e zero altrimenti, ossia X = 1 se è vero S X = 0 se è vero S Distribuzione p (x) = 1−p p se x = 0 se x = 1 Momenti E (X ) = p; Orietta Nicolis Var (X ) = p(1 − p). Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson La VCD Binomiale Bin(n, p) La v.c. Binomiale indica il numero di successi in n prove indipendenti Si ripete n volte un esperimento casuale che può dar luogo a due possibili risultati S: successo e S: insuccesso. Sia p la probabilità di S. L’esperimento è ripetuto in modo che le n prove sono indipendenti; la probabilità di successo p non cambia di prova in prova. Definizione La variabile casuale discreta semplice X , numero di ripetizioni dell’esperimento che danno luogo ad un successo, è chiamata variabile casuale Binomiale. Le possibili determinazioni della Binomiale sono: 0, 1, 2, ..., n Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Distribuzione binomiale: n x n−x p (x) = p (1 − p) , x = 0, 1, ..., n x Momenti: E (X ) = n X xp (x) = x=0 n X n x n−x x p (1 − p) = np x x=0 Var (X ) = np (1 − p) Additività: X ˜ Bin (n, p) indip Y ˜ Bin (m, p) ⇓ Z = X + Y ˜ Bin (n + m, p) Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Soluzione esercizio: Controllo di qualità di un processo produttivo 1 Si tratta di calcolare P(X = 0): p=0.05; n=4; x=0; Y = BINOPDF(x, n, p); Risp: Y =0.81451 2 Si tratta di calcolare P(X > 2) = P(X ≤ 3) = 1 − P(X = 2): x=2; Y = 1-BINOCDF(x, n, p); Risp: Y =0.00048125 3 Il valore atteso e la varianza sono dati da: [m v]=BINOSTAT(4,0.05) Risp: m =0.2 Risp: v = 0.19 Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Esempi 1 Estrazioni da un urna con rimessa 2 Se n = 1 si ha Bin (1, p) = B (p) 3 Distribuzione binomiale di parametri n = 5 e p = 1/3 con MATLAB: y = binopdf (0 : 5, 5, 1/3), bar ([0 : 5]0 , y ), gridon) Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson 1 Esempio 1. Un’azienda ha in media 4 ordini al giorno. 0.35 a) Qual è la probabilità che in un certo giorno, si abbiano esattamente 5 ordini? ordini Poiss(4) 0.3 0.25 0.2 b) Qual è la probabilità che si abbiano meno di 3 ordini al giorno ? 0.15 0.1 c) Se l’azienda ha più di 8 ordini al giorno guadagna un premio dalla casa madre di 1000 euro. Qual è il guadagno atteso in un mese (30gg)? 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -> la v.c. è il numero di ordini in un mese!!! Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Altri esempi sulla distribuzione di Poisson Esempio 1: numero di guasti Il numero di guasti di una macchina utilizzata per la produzione di materiale edile può essere considerata una variabile di Poisson. Sapendo che la macchina si guasta in media 5 volte al giorno, determinare: 1 2 che in una giornata non abbia nessun guasto; la probabilità che ci siano almeno due guasti in mezza giornata. Esempio 2: analisi del fenomeno infortunistico Da alcuni studi è emerso che il numero di medio di incidenti mortali nel settore edile è pari a 2 incidenti alla settimana. Qual’è la probabilità che in due settimane ci siano più di 5 incidenti? Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson La VCD di Poisson ℘ (λ) La variabile di Poisson X è una variabile casuale discreta che descrive il numero di realizzazioni di un evento aleatorio E per unità di tempo, superficie o volume. Si considera un evento che ricorre nel tempo in modo casuale (es: interruzioni di energia elettrica, chiamate a un centralino di pronto intervento, infortuni sul lavoro, incidenti stradali, richieste di intervento per manutenzione ecc.) in modo che: 1 2 Le variabili casuali N(t, t + ∆t), numero di ricorrenze nell’intervallo (t, t + ∆t), hanno funzione di probabilità che dipende dall’ampiezza dell’intervallo ∆t ma non dalla origine t ( assunzione di stazionarietà); le variabili casuali N(t1 , t2 ) e N(t10 , t20 ) sono indipendenti se si riferiscono ad intervalli disgiunti. Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Funzione di probabilità: x p(x) = (λ∆t) −λ∆t e x! Momenti: E(X ) = ∞ x X (λ∆t) −λ∆t x e = λ∆t x! x=0 Var (X ) = ∞ X x x(x − 1) x=0 = (λ∆t) −λ∆t e + λ∆t − (λ∆t)2 = x! λ∆t Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Approssimazione della Binomiale: se n grande e p è piccolo Bin (n, p) ∼ = ℘ (λ = np) n x λx −λ p (1 − p)n−x = e n→∞ x x! np=λ lim Esempio: Dal punto di vista pratico se X è una binomiale con 1 n = 50000 e π = 10000 è un problema calcolare p(X > 5) ma in base al precedente risultato tale probabilità può essere approssimata usando la f.d.p. di una Poisson con parametro 1 = 5.. λ = nπ = 50000 10000 matlab: y = poisspdf (0 : 20, 5), bar ([0 : 20]0 , y )) Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson Esercizio Il numero di guasti di una macchina utilizzata per la produzione di materiale edile può essere considerata una variabile di Poisson. Sapendo che la macchina si guasta in media 5 volte al giorno, determinare: 1 che in una giornata non abbia nessun guasto; 2 la probabilità che ci siano almeno due guasti in mezza giornata. Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Indice 1 Indici di curtosi e simmetria 2 Introduzione alle variabili casuali 3 Variabili casuali discrete Distribuzione Bernulliana Distribuzione Binomiale La variabile casuale di Poisson 4 Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Un ingegnere deve studiare la resistenza alla compressione del cemento. Ipotizzando che la resistenza alla compressione sia una variabile casuale distribuita come una Normale con media µ = 3000 psi e varianza σ 2 = 1000psi, determinare la probabilità che un provino estratto a caso abbia una resistenza maggiore di 3050 psi. Probability Greater than Lower Bound is 0.056923 90 0.014 80 0.012 70 0.01 60 Density 50 40 0.008 0.006 30 0.004 20 0.002 10 0 2850 2900 2950 3000 3050 3100 0 2850 3150 Orietta Nicolis 2900 2950 3000 Critical Value 3050 3100 3150 Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull 1 Normale Standard e Normale generica Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull La VCC Normale Standard N (0, 1) Densità di Z 1 2 1 φ (x) = √ e− 2 x 2π Ripartizione di Z Z x φ (t) dt Φ (x) = −∞ Momenti E (Z ) = 0 Var (Z ) = E Z 2 = 1 Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Problema diretto: Aree = Probabilità: Z b P (a < X < b) = φ (x) dx = Φ (b) − Φ (a) a Problema inverso: Quantili (Percentili): zα = Φ−1 (1 − α) = z̃1−α SIMMETRIA: P (Z < a) = P (Z > −a) Φ (z) = 1 − Φ (−z) ⇒ zα = −z1−α Kurtosi EZ 4 = 3. Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull VCC Normale generica N µ, σ 2 Densità di X ˜N µ, σ 2 f x; µ, σ 2 1 = φ σ x −µ σ = 1 x−µ 2 1 √ e− 2 ( σ ) σ 2π Ripartizione di X F x; µ, σ 2 = Φ x −µ σ Momenti E (X ) = µ e Var (X ) = σ 2 Standardizzazione X ˜ N µ, σ 2 Z ˜ N (0, 1) ⇒ ⇒ Orietta Nicolis Z = X −µ ˜ N (0, 1) σ X = µ + σZ ˜ N µ, σ 2 Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Problema diretto: Aree = Probabilità: b−µ a−µ <Z < P (a < X < b) = P σ σ Z b−µ σ b−µ a−µ = φ (x) dx = Φ −Φ a−µ σ σ σ Problema inverso: Quantili (Percentili): xα = µ + σΦ−1 (1 − α) = µ + σzα = x̃1−α Unità di misura della gaussiana N µ, σ 2 è ”σ”: P (µ − σ < X < µ + σ) ∼ = ∼ P (µ − 2σ < X < µ + 2σ) = 0.95 P (µ − 3σ < X < µ + 3σ) ∼ = 0.997 Orietta Nicolis 0.68 Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull 1 99.73% 95.46% µ-3σ µ+3σ µ-2σ µ+2σ 68.26% µ-σ Orietta Nicolis µ+σ Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull La distribuzione T-Student Sia Z una variabile casuale normale standard e X una chi quadro con k gradi di libertà. Se Z e X sono indipendenti in probabilità allora il rapporto Z T =q V k è una variabile casuale di Student con k gradi di libertà. Per curiosità notiamo che questa variabile casuale ha una densità che ad occhio è difficilmente distinguibile da quella della normale standard sopratutto per k > 30. La V.C. T di Student ha valore atteso nullo e la varianza k per k > 2 è pari a k −2 Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull La distribuzione t-Student E’ caratterizzata dal parametro k che indica i gradi di libertà 1 Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull La distribuzione Chi-quadro La variabile casuale χ2 è una v.c. continua ottenuta dalla somma di un numero k di v.c. normali standardizzate e indipendenti al quadrato: X χ2 = kZi i=1 Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Esempio: la variabile casuale Esponenziale La durata X in ore di una macchina, prima che si verifichi un guasto, segue una legge Esponenziale di valore atteso E(X ) = 2 ore. 1 Calcolare la probabilità che il primo guasto si verifichi prima di un ora. 2 Calcolare la probabilità che il terzo guasto si verifichi dopo 3.45 ore, nell’ipotesi che la realizzazione di due guasti successivi siano eventi indipendenti. Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull La VCC Esponenziale Exp(λ) Sia Xt un processo di Poisson di media λ > 0. Si chiama v.c. Esponenziale la v.c. X che misura l’istante del primo arrivo, X ∼ Exp(λ). Esempio: Se Xt rappresenta il numero di guasti di un macchinario nell’intervallo [0, t] e λ è il numero medio di guasti nellunità di tempo, la v.c. X =“istante in cui avviene il primo guasto” è una v.c. Esponenziale di parametro λ. Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull La densità di probabilità è f (x) = λe−λx La funzione di ripartizione è F (x) = 1 − e−λx Momenti 1 λ 1 Var (X ) = 2 λ La somma di n v.c. esponenziali, X1 , X2 , . . . , Xn , indipendenti di parametro λ è una variabile Gamma di parametri n e λ E(X ) = X1 + X2 + . . . + Xn = Y ∝ Ga(n, λ) Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull 1 Distribuzione esponenziale di parametro λ=1/3 f(x ) F(x ) 0.35 1 0.9 0.3 0.8 0.25 0.7 0.6 0.2 0.5 0.15 0.4 0.3 0.1 0.2 0.05 0.1 0 0 2 4 6 8 10 Orietta Nicolis 0 0 2 4 6 8 10 Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Esercizio: Un apparecchio elettronico è soggetto a guasti casuali che si realizzano nel tempo secondo un processo di Poisson. In media si ha un guasto ogni 3 giorni (il tempo medio tra un guasto e il successivo è di 3 giorni). Qual è la probabilità: che il primo guasto avvenga prima di 3 gg.? Che il primo guasto avvenga dopo 5 gg.? Che in 5 gg. non si abbia alcun guasto? Che in 5 gg.si realizzino esattamente due guasti? Che il secondo guasto avvenga prima di 5 gg? Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Soluzione: 1 P(X < 3) = 1 − exp(−3/3) = 1 − exp(−1) = 0.632. In MatLab: expcdf(3,3) 2 P(X > 5) = 1 − P(X < 5) = 1 − 0.8111 = 0.1889.In MatLab: 1-expcdf(5,3) 3 E’ uguale alla probabilità precedente ed equivale ad una v.c. di Poisson dove Xt è il numero di guasti nellintervallo [0, 5], P(X5 = 0) = 0.1889. In MatLab: poisscdf(0,1/3*5) 4 Si tratta di una v.c. di Poisson, P(X5 = 2) = 0.2623. In MatLab: poisspdf(2,1/3*5) 5 Si tratta di una variabile casuale Gamma di parametri n = 2 e λ = 1/3 ed è uguale a 0.4963. Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull 1 La v.c. GAMMA Sia Xt la v.c che rappresenta il numero di guasti di un apparecchio elettronico nell’intervallo di tempo [0,t] e λ il numero medio di guasti nell’unità di tempo. La v.c. X=“istante in cui avviene l’n-esimo guasto” è una v.c. gamma di parametri (n, λ) D is t r. p ro b . D is t r. c u m . 0.35 1 n= 1 n= 2 n= 3 n= 4 0.3 0.8 0.25 0.7 0.6 F(x) 0.2 f(x) X ~ Γ(n,λ ) n= 1 n= 2 n= 3 n= 4 0.9 0.15 0.5 0.4 0.3 0.1 0.2 0.05 0.1 0 Orietta Nicolis 0 5 10 gg 15 20 0 0 5 10 gg Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità 15 20 Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull La VC di Weibull Distribuzione di Weibull t − − β β −1 α f (t ) = βα t e Valore atteso e varianza: E ( X ) = αΓ(1 + 1 β ) [ ] V ( X ) = α 2 Γ(1 + 2 β ) − Γ 2 (1 + 1 β ) β t ≥ 0, α > 0 La funzione di Ripartizione (cumulata): F ( X ≤ t) = 1 − e t − α β 1 Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Distribuzione di Weibull con α=1 D i s t r. p ro b . D i s t r. c u m . 1 .4 1 β = 0.5 β = 1 (E x p ) β = 2 ( R a y le ig h ) β = 2.5 1 .2 β = 0.5 β = 1 (E x p ) β = 2 (R a y le ig h ) β = 2.5 0.9 0.8 1 0.7 0.6 0 .8 0.5 0 .6 0.4 0.3 0 .4 0.2 0 .2 0.1 0 0 1 2 3 Orietta Nicolis 0 0 1 2 3 Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Indici di curtosi e simmetria Introduzione alle variabili casuali Variabili casuali discrete Variabili casuali continue La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull Svolgere in Matlab il seguente esercizio: La v.c. X che esprime il tempo di rottura (in ore) di una partita di lampadine ha una distribuzione di Weibull con a = 625 e β = 2. 1 Trovare la densità e la funzione di ripartizione di X 2 Determinare la probabilità che le lampadine si guastino dopo 500 ore. Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
