Statistica Applicata all`edilizia: Alcune distribuzioni di

Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Statistica Applicata all’edilizia: Alcune
distribuzioni di probabilità
Orietta Nicolis
E-mail: [email protected]
7 marzo 2011
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Indice
1
Indici di curtosi e simmetria
2
Introduzione alle variabili casuali
3
Variabili casuali discrete
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
4
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Indice
1
Indici di curtosi e simmetria
2
Introduzione alle variabili casuali
3
Variabili casuali discrete
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
4
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Indice di simmetria
β1 =
E[(X − µ)3 ]
σ3
dove
- β1 = 0, nel caso di perfetta simmetria;
- β1 < 0, per l’asimmetria a destra;
- β1 > 0, per l’asimmetria a sinistra.
Indice di curtosi
γ 2 = β2 − 3
dove β2 =
E[(X − µ)4 ]
σ4
e se
- γ2 > 0, la curva si definisce leptocurtica (più
’appuntita’);
- γ2 < 0, la curva si definisce platicurtica, cioè più
piatta di una normale;
- γ2 = 0, la curva si definisce normocurtica, cioè
piatta come una normale.
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Indice
1
Indici di curtosi e simmetria
2
Introduzione alle variabili casuali
3
Variabili casuali discrete
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
4
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Esempio: Variazioni del tasso Euribor.
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
−0.04 −0.03 −0.02 −0.01
Orietta Nicolis
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzioni di probabilità
L0 istogramma serve a descrivere i dati del campionamento.
Il campione è un insieme scelti da una popolazione più ampia.
La distribuzione di probabilità è un modello matematico che
collega il valore della variabile alla probabilità che tale valore si
trovi all0 interno della popolazione
Esempio: è possibile considerare le variazioni del tasso Euribor come
variabile casuale poichè assume valori diversi nella popolazione in
conseguenza di meccanismi casuali.
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
1
Variabili casuali continue
Variabile casuale:
è una funzione che associa
ad ogni evento elementare
A dello spazio campionario
Ω uno ed un solo numero
reale X.
P:x->P(x)
1
Ω
P(x)
X
A
1
0
Esempio
R
Esperimento:
lancio 3 volte di una moneta
L’insieme dei valori di X costituisce uno spazio campionario
numerico, su cui si può definire una misura di probabilità.
1
Distribuzioni di frequenza e distribuzioni di
probabilità
Può essere utile approssimare la
distribuzione empirica dei dati con
una distribuzione teorica (funzione
matematica)
Variabile casuale
X = “numero delle
teste uscite”.
Distribuzione di
Probabilità:
Probabilità che sia uscita
testa X volte
90
80
70
60
50
LEGGE DI PROBABILITA’
40
30
I dati sono considerati delle variabili
casuali
20
10
0
14.85
14.9
14.95
15
15.05
15.1
15.15
15.2
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
1
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Variabili casuali
1
Variabili casuali continue
Discrete
Continue
sono definite in uno spazio
campionario discreto e possono
assumere un numero finito (o
un’infinità numerabile) di valori.
Sono definite in uno spazio
campionario continuo e possono
assumere tutti i valori di un certo
intervallo.
Il valore atteso di X è dato da
M (X ) = µ =
Scarto
Valore atteso (o media aritmetica):
n
i
i =1
∫
x∈χ
x 2 p ( x)dx − 

∫
x∈χ
x p ( x)dx 

qudratico medio o deviazione standard
SQM ( X ) = σ = V ( X )
∑ x Pr( X = x )
i
x p( x)dx
x∈χ
V ( X ) = E( X 2 ) − E( X )2 =
Variabili casuali discrete
E( X ) = µ =
x∈χ
V( X) = σ 2 = ∫ ( x − µ ) 2 p( x )dx
1
∫
Varianza:
Varianza:
k
V( X) = σ 2 = ∑ ( x i − µ ) 2 Pr( X = x i )
i =1
Scarto qudratico medio o deviazione
standard
SQM ( X ) = σ = V ( X )
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
2
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
Indice
1
Indici di curtosi e simmetria
2
Introduzione alle variabili casuali
3
Variabili casuali discrete
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
4
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
Alcuni esempi
Esempio 1 ( Controllo di qualità di un processo produttivo).
Un’azienda produttrice di materiale per l’edilizia ispeziona ogni
prodotto che esce dalla sua linea produttiva. Il prodotto può essere
ritenuto buono o difettoso. L0 esperienza passata indica che il 5% dei
pezzi prodotti è difettoso. Se si estraggono a caso 4 pezzi (in modo
indipendente), determinare
1
qual’è la probabilità di non estrarre alcun pezzo difettoso?
2
qual’è la probabilità che ci siano più di due pezzi difettosi?
3
qual’è il valore atteso e la varianza dei pezzi difettosi;
Esempio 2: Il 70% delle case è costruito in cemento armato e il
restante 30% con altri materiali. Qual’è la probabilità che estraendo
casulamente due case entrambe siano state costruite in cemento
armato?
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
La VCD Bernulliana
La v.c. Bernulliana indica il numero di successi in una prova. Si
considera un esperimento casuale che può dar luogo a due possibili
risultati S: successo e S: insuccesso e sia p la probabilità di S.
Definizione La variabile casuale Bernullliana (o indicatore)
assume valore uno se si verifica S e zero altrimenti, ossia
X = 1 se è vero S X = 0 se è vero S
Distribuzione
p (x) =
1−p
p
se x = 0
se x = 1
Momenti
E (X ) = p;
Orietta Nicolis
Var (X ) = p(1 − p).
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
La VCD Binomiale Bin(n, p)
La v.c. Binomiale indica il numero di successi in n prove indipendenti
Si ripete n volte un esperimento casuale che può dar luogo a due
possibili risultati S: successo e S: insuccesso. Sia p la probabilità di
S.
L’esperimento è ripetuto in modo che
le n prove sono indipendenti;
la probabilità di successo p non cambia di prova in prova.
Definizione
La variabile casuale discreta semplice X , numero di ripetizioni
dell’esperimento che danno luogo ad un successo, è chiamata
variabile casuale Binomiale. Le possibili determinazioni della
Binomiale sono:
0, 1, 2, ..., n
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
Distribuzione binomiale:
n x
n−x
p (x) =
p (1 − p)
, x = 0, 1, ..., n
x
Momenti:
E (X ) =
n
X
xp (x) =
x=0
n
X
n x
n−x
x
p (1 − p)
= np
x
x=0
Var (X ) = np (1 − p)
Additività:
X ˜ Bin (n, p)
indip
Y ˜ Bin (m, p)
⇓
Z = X + Y ˜ Bin (n + m, p)
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
Soluzione esercizio: Controllo di qualità di un
processo produttivo
1
Si tratta di calcolare P(X = 0): p=0.05;
n=4;
x=0;
Y = BINOPDF(x, n, p);
Risp: Y =0.81451
2
Si tratta di calcolare P(X > 2) = P(X ≤ 3) = 1 − P(X = 2):
x=2;
Y = 1-BINOCDF(x, n, p);
Risp: Y =0.00048125
3
Il valore atteso e la varianza sono dati da:
[m v]=BINOSTAT(4,0.05)
Risp: m =0.2
Risp: v = 0.19
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
Esempi
1
Estrazioni da un urna con rimessa
2
Se n = 1 si ha Bin (1, p) = B (p)
3
Distribuzione binomiale di parametri n = 5 e p = 1/3 con
MATLAB: y = binopdf (0 : 5, 5, 1/3), bar ([0 : 5]0 , y ), gridon)
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
1
Esempio 1. Un’azienda ha in media 4 ordini
al giorno.
0.35
a) Qual è la probabilità che in un certo
giorno, si abbiano esattamente 5 ordini?
ordini
Poiss(4)
0.3
0.25
0.2
b) Qual è la probabilità che si abbiano
meno di 3 ordini al giorno ?
0.15
0.1
c) Se l’azienda ha più di 8 ordini al
giorno guadagna un premio dalla casa
madre di 1000 euro. Qual è il guadagno
atteso in un mese (30gg)?
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-> la v.c. è il numero di ordini in un mese!!!
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
Altri esempi sulla distribuzione di Poisson
Esempio 1: numero di guasti
Il numero di guasti di una macchina utilizzata per la produzione
di materiale edile può essere considerata una variabile di
Poisson. Sapendo che la macchina si guasta in media 5 volte al
giorno, determinare:
1
2
che in una giornata non abbia nessun guasto;
la probabilità che ci siano almeno due guasti in mezza giornata.
Esempio 2: analisi del fenomeno infortunistico
Da alcuni studi è emerso che il numero di medio di incidenti
mortali nel settore edile è pari a 2 incidenti alla settimana. Qual’è
la probabilità che in due settimane ci siano più di 5 incidenti?
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
La VCD di Poisson ℘ (λ)
La variabile di Poisson X è una variabile casuale discreta che
descrive il numero di realizzazioni di un evento aleatorio E per unità
di tempo, superficie o volume.
Si considera un evento che ricorre nel tempo in modo casuale (es:
interruzioni di energia elettrica, chiamate a un centralino di pronto
intervento, infortuni sul lavoro, incidenti stradali, richieste di intervento
per manutenzione ecc.) in modo che:
1
2
Le variabili casuali N(t, t + ∆t), numero di ricorrenze
nell’intervallo (t, t + ∆t), hanno funzione di probabilità che
dipende dall’ampiezza dell’intervallo ∆t ma non dalla origine t (
assunzione di stazionarietà);
le variabili casuali N(t1 , t2 ) e N(t10 , t20 ) sono indipendenti se si
riferiscono ad intervalli disgiunti.
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
Funzione di probabilità:
x
p(x) =
(λ∆t) −λ∆t
e
x!
Momenti:
E(X ) =
∞
x
X
(λ∆t) −λ∆t
x
e
= λ∆t
x!
x=0
Var (X )
=
∞
X
x
x(x − 1)
x=0
=
(λ∆t) −λ∆t
e
+ λ∆t − (λ∆t)2 =
x!
λ∆t
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
Approssimazione della Binomiale: se n grande e p è piccolo
Bin (n, p) ∼
= ℘ (λ = np)
n x
λx −λ
p (1 − p)n−x =
e
n→∞ x
x!
np=λ
lim
Esempio: Dal punto di vista pratico se X è una binomiale con
1
n = 50000 e π = 10000
è un problema calcolare p(X > 5) ma in
base al precedente risultato tale probabilità può essere
approssimata usando la f.d.p. di una Poisson con parametro
1
= 5..
λ = nπ = 50000 10000
matlab: y = poisspdf (0 : 20, 5), bar ([0 : 20]0 , y ))
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
Esercizio
Il numero di guasti di una macchina utilizzata per la produzione di
materiale edile può essere considerata una variabile di Poisson.
Sapendo che la macchina si guasta in media 5 volte al giorno,
determinare:
1
che in una giornata non abbia nessun guasto;
2
la probabilità che ci siano almeno due guasti in mezza giornata.
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Indice
1
Indici di curtosi e simmetria
2
Introduzione alle variabili casuali
3
Variabili casuali discrete
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La variabile casuale di Poisson
4
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Un ingegnere deve studiare la resistenza alla compressione del
cemento. Ipotizzando che la resistenza alla compressione sia una
variabile casuale distribuita come una Normale con media µ = 3000
psi e varianza σ 2 = 1000psi, determinare la probabilità che un
provino estratto a caso abbia una resistenza maggiore di 3050 psi.
Probability Greater than Lower Bound is 0.056923
90
0.014
80
0.012
70
0.01
60
Density
50
40
0.008
0.006
30
0.004
20
0.002
10
0
2850
2900
2950
3000
3050
3100
0
2850
3150
Orietta Nicolis
2900
2950
3000
Critical Value
3050
3100
3150
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
1
Normale Standard e Normale generica
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
La VCC Normale Standard N (0, 1)
Densità di Z
1 2
1
φ (x) = √ e− 2 x
2π
Ripartizione di Z
Z
x
φ (t) dt
Φ (x) =
−∞
Momenti
E (Z ) = 0
Var (Z ) = E Z 2 = 1
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Problema diretto: Aree = Probabilità:
Z b
P (a < X < b) =
φ (x) dx = Φ (b) − Φ (a)
a
Problema inverso: Quantili (Percentili):
zα = Φ−1 (1 − α) = z̃1−α
SIMMETRIA:
P (Z < a) = P (Z > −a)
Φ (z) = 1 − Φ (−z)
⇒
zα = −z1−α
Kurtosi
EZ 4 = 3.
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
VCC Normale generica N µ, σ 2
Densità di X ˜N µ, σ 2
f x; µ, σ
2
1
= φ
σ
x −µ
σ
=
1 x−µ 2
1
√ e− 2 ( σ )
σ 2π
Ripartizione di X
F x; µ, σ 2 = Φ
x −µ
σ
Momenti
E (X ) = µ
e
Var (X ) = σ 2
Standardizzazione
X ˜ N µ, σ 2
Z ˜ N (0, 1)
⇒
⇒
Orietta Nicolis
Z =
X −µ
˜ N (0, 1)
σ
X = µ + σZ ˜ N µ, σ 2
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Problema diretto: Aree = Probabilità:
b−µ
a−µ
<Z <
P (a < X < b) = P
σ
σ
Z b−µ
σ
b−µ
a−µ
=
φ (x) dx = Φ
−Φ
a−µ
σ
σ
σ
Problema inverso: Quantili (Percentili):
xα = µ + σΦ−1 (1 − α)
= µ + σzα = x̃1−α
Unità di misura della gaussiana N µ, σ 2 è ”σ”:
P (µ − σ < X < µ + σ) ∼
=
∼
P (µ − 2σ < X < µ + 2σ) =
0.95
P (µ − 3σ < X < µ + 3σ) ∼
=
0.997
Orietta Nicolis
0.68
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
1
99.73%
95.46%
µ-3σ
µ+3σ
µ-2σ
µ+2σ
68.26%
µ-σ
Orietta Nicolis
µ+σ
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
La distribuzione T-Student
Sia Z una variabile casuale normale standard e X una chi quadro
con k gradi di libertà. Se Z e X sono indipendenti in probabilità allora
il rapporto
Z
T =q
V
k
è una variabile casuale di Student con k gradi di libertà. Per curiosità
notiamo che questa variabile casuale ha una densità che ad occhio è
difficilmente distinguibile da quella della normale standard sopratutto
per k > 30. La V.C. T di Student ha valore atteso nullo e la varianza
k
per k > 2 è pari a k −2
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
La distribuzione t-Student
E’ caratterizzata dal parametro k che indica i gradi di libertà
1
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
La distribuzione Chi-quadro
La variabile casuale χ2 è una v.c. continua ottenuta dalla somma di
un numero k di v.c. normali standardizzate e indipendenti al quadrato:
X
χ2 =
kZi
i=1
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Esempio: la variabile casuale Esponenziale
La durata X in ore di una macchina, prima che si verifichi un guasto,
segue una legge Esponenziale di valore atteso E(X ) = 2 ore.
1
Calcolare la probabilità che il primo guasto si verifichi prima di un
ora.
2
Calcolare la probabilità che il terzo guasto si verifichi dopo 3.45
ore, nell’ipotesi che la realizzazione di due guasti successivi
siano eventi indipendenti.
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
La VCC Esponenziale Exp(λ)
Sia Xt un processo di Poisson di media λ > 0. Si chiama v.c.
Esponenziale la v.c. X che misura l’istante del primo arrivo,
X ∼ Exp(λ).
Esempio: Se Xt rappresenta il numero di guasti di un macchinario
nell’intervallo [0, t] e λ è il numero medio di guasti nellunità di tempo,
la v.c.
X =“istante in cui avviene il primo guasto”
è una v.c. Esponenziale di parametro λ.
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
La densità di probabilità è
f (x) = λe−λx
La funzione di ripartizione è
F (x) = 1 − e−λx
Momenti
1
λ
1
Var (X ) = 2
λ
La somma di n v.c. esponenziali, X1 , X2 , . . . , Xn , indipendenti di
parametro λ è una variabile Gamma di parametri n e λ
E(X ) =
X1 + X2 + . . . + Xn = Y ∝ Ga(n, λ)
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
1
Distribuzione esponenziale di parametro
λ=1/3
f(x )
F(x )
0.35
1
0.9
0.3
0.8
0.25
0.7
0.6
0.2
0.5
0.15
0.4
0.3
0.1
0.2
0.05
0.1
0
0
2
4
6
8
10
Orietta Nicolis
0
0
2
4
6
8
10
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Esercizio: Un apparecchio elettronico è soggetto a guasti casuali che si
realizzano nel tempo secondo un processo di Poisson. In media si ha un
guasto ogni 3 giorni (il tempo medio tra un guasto e il successivo è di 3
giorni). Qual è la probabilità:
che il primo guasto avvenga prima di 3 gg.?
Che il primo guasto avvenga dopo 5 gg.?
Che in 5 gg. non si abbia alcun guasto?
Che in 5 gg.si realizzino esattamente due guasti?
Che il secondo guasto avvenga prima di 5 gg?
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Soluzione:
1
P(X < 3) = 1 − exp(−3/3) = 1 − exp(−1) = 0.632. In MatLab:
expcdf(3,3)
2
P(X > 5) = 1 − P(X < 5) = 1 − 0.8111 = 0.1889.In MatLab:
1-expcdf(5,3)
3
E’ uguale alla probabilità precedente ed equivale ad una v.c. di
Poisson dove Xt è il numero di guasti nellintervallo [0, 5],
P(X5 = 0) = 0.1889. In MatLab:
poisscdf(0,1/3*5)
4
Si tratta di una v.c. di Poisson, P(X5 = 2) = 0.2623. In MatLab:
poisspdf(2,1/3*5)
5
Si tratta di una variabile casuale Gamma di parametri n = 2 e
λ = 1/3 ed è uguale a 0.4963.
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
1
La v.c. GAMMA
Sia Xt la v.c che rappresenta il numero di guasti di un
apparecchio elettronico nell’intervallo di tempo [0,t] e λ il
numero medio di guasti nell’unità di tempo. La v.c.
X=“istante in cui avviene l’n-esimo guasto”
è una v.c. gamma di parametri (n, λ)
D is t r. p ro b .
D is t r. c u m .
0.35
1
n= 1
n= 2
n= 3
n= 4
0.3
0.8
0.25
0.7
0.6
F(x)
0.2
f(x)
X ~ Γ(n,λ )
n= 1
n= 2
n= 3
n= 4
0.9
0.15
0.5
0.4
0.3
0.1
0.2
0.05
0.1
0
Orietta Nicolis
0
5
10
gg
15
20
0
0
5
10
gg
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
15
20
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
La VC di Weibull
Distribuzione di Weibull
 t 
− 
− β β −1  α 
f (t ) = βα t
e
Valore atteso e varianza:
E ( X ) = αΓ(1 + 1 β )
[
]
V ( X ) = α 2 Γ(1 + 2 β ) − Γ 2 (1 + 1 β )
β
t ≥ 0, α > 0
La funzione di
Ripartizione
(cumulata):
F ( X ≤ t) = 1 − e
 t 
− 
α 
β
1
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Distribuzione di Weibull con α=1
D i s t r. p ro b .
D i s t r. c u m .
1 .4
1
β = 0.5
β = 1 (E x p )
β = 2 ( R a y le ig h )
β = 2.5
1 .2
β = 0.5
β = 1 (E x p )
β = 2 (R a y le ig h )
β = 2.5
0.9
0.8
1
0.7
0.6
0 .8
0.5
0 .6
0.4
0.3
0 .4
0.2
0 .2
0.1
0
0
1
2
3
Orietta Nicolis
0
0
1
2
3
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Indici di curtosi e simmetria
Introduzione alle variabili casuali
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
La distribuzione Normale, T-Student e Chi-quadro
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Weibull
Svolgere in Matlab il seguente esercizio:
La v.c. X che esprime il tempo di rottura (in ore) di una partita di
lampadine ha una distribuzione di Weibull con a = 625 e β = 2.
1
Trovare la densità e la funzione di ripartizione di X
2
Determinare la probabilità che le lampadine si guastino dopo 500
ore.
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità