Operazioni e proprietà determinante

Introduzione all’algebra delle matrici
Esercizio 4.
Siano
−2
A=
3
C=
−1
1
1
−1
0
,
1
0
,
−1

1
B = 1
1
2 2
D=
1 1
Calcolare/verificare:
a) (A · B) · C = A · (B · C )
b) (A + D) · B = A · B + D · B
c) 3(A · B) = (3A) · B = A · (3B) (compito)
d) C · I2 = I2 · C = C
e) A · D T
f) (CD)T = D T C T
g) (C · B T )T = B · C T (compito).

0
0 ,
2
1
.
2
Introduzione all’algebra delle matrici
L’anello delle matrici
Proposizione
La terna (Matn (K), +, ·) è un anello, rispetto alle operazioni + e ·
precedentemente definite.
[Significa che (Matn (K), +, ·) è un gruppo abeliano rispetto alla somma;
il prodotto ha l’unità ed è associativo; valgono le proprietà distributive.]
Definizione
Una matrice A ∈ Matn (K) è detta invertibile se esiste una matrice
B ∈ Matn (K) tale che
AB = BA = In .
Osservazione. Tale matrice, se esiste è unica.
Definizione
Nelle notazioni precedenti, la matrice B si dice inversa di A e si indica
con A−1 .
Introduzione all’algebra delle matrici
L’anello delle matrici
Proposizione
La terna (Matn (K), +, ·) è un anello, rispetto alle operazioni + e ·
precedentemente definite.
[Significa che (Matn (K), +, ·) è un gruppo abeliano rispetto alla somma;
il prodotto ha l’unità ed è associativo; valgono le proprietà distributive.]
Definizione
Una matrice A ∈ Matn (K) è detta invertibile se esiste una matrice
B ∈ Matn (K) tale che
AB = BA = In .
Osservazione. Tale matrice, se esiste è unica.
Definizione
Nelle notazioni precedenti, la matrice B si dice inversa di A e si indica
con A−1 .
Introduzione all’algebra delle matrici
L’anello delle matrici
Proposizione
La terna (Matn (K), +, ·) è un anello, rispetto alle operazioni + e ·
precedentemente definite.
[Significa che (Matn (K), +, ·) è un gruppo abeliano rispetto alla somma;
il prodotto ha l’unità ed è associativo; valgono le proprietà distributive.]
Definizione
Una matrice A ∈ Matn (K) è detta invertibile se esiste una matrice
B ∈ Matn (K) tale che
AB = BA = In .
Osservazione. Tale matrice, se esiste è unica.
Definizione
Nelle notazioni precedenti, la matrice B si dice inversa di A e si indica
con A−1 .
Introduzione all’algebra delle matrici
L’anello delle matrici
Proposizione
Siano A, B ∈ Matn (K) invertibili. Allora
−1
a) A−1 è invertibile e A−1
= A;
T
−1
= A−1 ;
b) AT è invertibile e AT
c) AB è invertibile e (AB)−1 = B −1 A−1 .
Notazione. Gln (K) := {A ∈ Matn (K) : A è invertibile} (gruppo
moltiplicativo).
Introduzione all’algebra delle matrici
L’anello delle matrici
Proposizione
Siano A, B ∈ Matn (K) invertibili. Allora
−1
a) A−1 è invertibile e A−1
= A;
T
−1
= A−1 ;
b) AT è invertibile e AT
c) AB è invertibile e (AB)−1 = B −1 A−1 .
Notazione. Gln (K) := {A ∈ Matn (K) : A è invertibile} (gruppo
moltiplicativo).
Introduzione all’algebra delle matrici
Il determinante
Sia A ∈ Matn (K) una matrice. Indichiamo con Aij la matrice di
Matn−1 (K) ottenuta eliminando da A la i-esima riga e la j-esima colonna.
Definizione
Chiamiamo determinante di A = [aij ] ∈ Matn (K) rispetto alla prima
riga lo scalare definito come segue:
aP
se n = 1
11
det A :=
1+j
(−1)
a
det
A
j
se n ≥ 2
1j
1
j∈In
Il determinante si indica anche con |A| o d(A).
Esempio. Calcolare il determinante delle seguenti matrici:


−2 1 0
1 2
A = [2], B =
, C =  1 −2 6 .
3 4
−1 2 3
Introduzione all’algebra delle matrici
Il determinante
Sia A ∈ Matn (K) una matrice. Indichiamo con Aij la matrice di
Matn−1 (K) ottenuta eliminando da A la i-esima riga e la j-esima colonna.
Definizione
Chiamiamo determinante di A = [aij ] ∈ Matn (K) rispetto alla prima
riga lo scalare definito come segue:
aP
se n = 1
11
det A :=
1+j
(−1)
a
det
A
j
se n ≥ 2
1j
1
j∈In
Il determinante si indica anche con |A| o d(A).
Esempio. Calcolare il determinante delle seguenti matrici:


−2 1 0
1 2
A = [2], B =
, C =  1 −2 6 .
3 4
−1 2 3
Introduzione all’algebra delle matrici
Il determinante
Teorema (I Teorema di Laplace)
Il determinante di una matrice può essere sviluppato rispetto a qualunque
riga o colonna:
P
rispetto alla i-esima riga: det A = j∈In (−1)i+j aij det Aij ,
P
rispetto alla j-esima colonna: det A = i∈In (−1)i+j aij det Aij .
Definizione
Chiamiamo complemento algebrico dell’elemento aij lo scalare
(−1)i+j det Aij .
Esempio. Data la matrice

−2
A= 0
−1
calcolarne il determinante.

1 0
0 6 ,
2 3
Introduzione all’algebra delle matrici
Il determinante
Teorema (I Teorema di Laplace)
Il determinante di una matrice può essere sviluppato rispetto a qualunque
riga o colonna:
P
rispetto alla i-esima riga: det A = j∈In (−1)i+j aij det Aij ,
P
rispetto alla j-esima colonna: det A = i∈In (−1)i+j aij det Aij .
Definizione
Chiamiamo complemento algebrico dell’elemento aij lo scalare
(−1)i+j det Aij .
Esempio. Data la matrice

−2
A= 0
−1
calcolarne il determinante.

1 0
0 6 ,
2 3
Introduzione all’algebra delle matrici
Esercizio 5.
Siano

0
A = 0
4
1
3
1

2
3 ,
2

1
C = 3
1
3
2
2

2
1 ,
3

−2
2

B=
1
1

−1
0
D=
0
2

0
− 12 
,
3 
−1

2
1 6
1 −2 52 
.
0
3 1
−3 7 1
4 1
1 −2
0 0
2 −2
Calcolare:
a) il determinante di A e di B;
b) tutti i complementi algebrici di A.
Compito. Calcolare i determinanti delle matrici C e D.