QUIZ 1 - Politecnico di Torino

QUIZ 1
1. Sia n un numero intero maggiore o uguale a 2. L’espressione
n
|xn |
|xn − 4n |
é uguale a
|x|
|x − 4|
|x|
(b) n
|xn − 4n |
x
(c) n
n
|x − 4n |
(a)
(d)
|x|
|x| − |4|
2. Stabilire quale delle seguenti affermazioni è vera
(a) la somma di due numeri reali è necessariamente irrazionale
(b) la somma di due numeri è irrazionale se e solo se almeno uno dei due
è irrazionale
(c) esistono due numeri razionali la cui somma è irrazionale
(d) se la somma di due numeri è irrazionale allora uno è razionale e l’altro
è irrazionale
3. Se A ∩ (B ∪ C) = ∅ allora
(a) A ∪ B = ∅ e A ∪ C = ∅
(b) A ∩ B = ∅ e A ∩ C = ∅
(c) B ∪ C = ∅
(d) A = ∅
4. Esplicitando l’espressione f (x) =
(a)
(b)
(c)
|ex − 2|
si ottiene:
|9 − ex |
 x
e −2


9x− ex
f (x) =
−2
e


ex − 9
 x
e −2


9 − ex
f (x) =
ex − 2


ex − 9
 x
e −2


9 − ex
f (x) =
2 − ex


ex − 9
1
if x ≥ 0
se x < 0
se log 2 ≤ x < log 9
se x < log 2, x > log 9
se x < log 2, x > log 9
se log 2 ≥ x ≥ log 9
(d)
 x
e −2


9 − ex
f (x) =
−x

 e −2
9 − e−x
se x ≥ 0
se x < 0
5. La soluzione della disequazione x4 − x2 ≥ 0 é
(a) x ≤ −1 ∧ x = 0 ∧ x ≥ 1
(b) x ≤ −1 ∧ x ≥ 1
(c) x ≤ −1 ∨ x = 0 ∨ x ≥ 1
(d) x < −1 ∨ x > 1
6. L’espressione log |3x (1 − 2x) | é uguale a
(a) log(3x) + log(1 − 2x) , ∀x > 0
1
(b) log(3x) + log(1 − 2x) , ∀x ∈ 0,
2
1
(c) log(3x) − 2 log(x − 1) , ∀x >
2
(d) | log(3x)| + | log(1 − 2x)| , ∀x > 0
7. La soluzione e−x − 7 = 0 implica
(a) x = −7
(b) x = − log 7
(c) x = log 7
(d) x = log(−7)
8. L’espressione log x2 é uguale a
(a) 2 | log x| , ∀x > 0
(b) 2 log x , ∀x = 0
(c) log x2 , ∀x > 0
(d) 2 log |x| , ∀x = 0
9. Sia Ω ⊆ R tale che inf(Ω) = 3 e sup(Ω) = 10, allora
(a) ∀ > 0 e ∀ω ∈ Ω si ha che ω > 3 + (b) ∀ω ∈ Ω si ha 3 < ω < 10
(c) ∃ω ∈ Ω : ω < 6
(d) Ω = [3, 10]
10. La regione del piano cartesiano definita da x ≥ 0 ∨ y ≥ 0 rappresenta
(a) l’unione del primo, secondo e quarto quadrante
(b) l’unione del primo e terzo quadrante
(c) l’unione del primo e secondo quadrante
(d) tutto il piano cartesiano
2
QUIZ 2
1. Sia A l’insieme definito da A =
n∈N+
1
1
− ,1 +
. Allora
n
n
(a) sup(A) = 1 ∧ 1 ∈ A
(b) max(A) = 1
(c) inf (A) = −2
(d) ∀ > 0 esiste x ∈ A : − < x < 0
2. Sia A l’insieme definito da A =
1
1
,
1
−
−1
+
. Allora
n∈N+
n
n
(a) sup(A) = 1 ∧ 1 ∈ A
(b) max(A) = 1
(c) A = {0}
(d) inf(A) = −1 ∧ −1 ∈ A
3. Sia A l’insieme definito da A = {x ∈ R : M (x) > 0} (M (x) funzione mantissa)
(a) A è limitato
(b) A contiene punti isolati
(c) A ha complementare vuoto
(d) A è un aperto
4. Sia f (x) = log(x − 2 −
√
x2 + 2). Allora:
(a) dom(f ) = R
(b) dom(f ) = (2, +∞)
(c) dom(f ) = {∅}
(d) dom(f ) = −∞, 12
5. Sia f : R → R, f (x) = |x + 3| − 1 − |2 − x| − 1. Tale funzione coincide
con:
√

√−x − 4 + x − 3, x ≤ −4
(a) f (x) =
x + 2 + x − 3,
−2 ≤ x ≤ 2

√
x + 2 + 1 − x,
x>2
√

√x − 4 + x − 3, x ≤ −4
(b) f (x) =
x + 2 − x − 3, −2 ≤ x ≤ 2
√

x + 2 + 1 − x, x > 2
√
x + 2 − 2 − x,
x≥0
(c) f (x) = √
−x + 2 − 2 + x, x ≤ 0
√
x − 4 + x − 3, x ≤ −3
(d) f (x) = √
x + 2 + 1 − x, x ≥ 2
1
6. Sia F (x) = log( 2−x
2 ) una funzione reale di variabile reale. La controimmagine dell’intervallo I = [0, −∞) è l’intervallo:
(a) (0, 4]
(b) (0, −∞)
(c) [0, 2)
(d) [0, −2)
7. La funzione g : N → N definita come g(n) = 2n + 1:
(a) è iniettiva e suriettiva, quindi può essere invertita
(b) non puó essere invertita perchè non è iniettiva. Può essere invertita
restringendo opportunamente il dominio di g(n)
(c) non può essere invertita perchè non è definta in zero
(d) ha inversa che non è definita su tutto l’insieme N
8. Si considerino le funzioni sin(x), cos(x), tan(x). Allora è vero:
(a) posso invertire le funzioni
sin(x) e tan(x) solo sugli intervalli I =
− π2 + 2kπ, π2 + 2kπ , ∀k ∈ Z, mentre posso
invertire la funzione
π
cos(x) sugli intervalli J = 0 + 2kπ, 2 + 2kπ , ∀k ∈ Z
(b) posso invertire le funzioni sin(x) e tan(x) solo sugli intervalli I =
− π2 + kπ, π2 + kπ , ∀k ∈ Z, mentre posso invertire la funzione cos(x)
solo sugli intervalli J = [0 + kπ, π + kπ] , ∀k ∈ Z
(c) Sull’ intervallo K = 0, π2 posso invertire tutte e tre le funzioni
trigonomentriche elencate
(d) Nessuna delle risposte precedenti
9. La funzione f (x) = sin(2x) + 1
(a) non presenta simmetrie è nulla in x = 34 π + kπ , ∀k ∈ Z
(b) è una funzione dispari ed è strettamente positiva ∀x ∈ R
(c) è una funzione dispari ed è nulla in x = 34 π + kπ , ∀k ∈ Z
(d) non presenta simmetrie ed è nulla in x = 32 π + 2kπ , ∀k ∈ Z
10. La funzione f (x) : R −→ R definita da f (x) = x2 − x − 1
(a) è iniettiva ma non suriettiva
(b) è pari
(c) non é né iniettiva né suriettiva
(d) è suriettiva ma non iniettiva
2
(b)
(c)
(d)
(e)
B = [4, +∞) ∪ (−∞, 2]
B = [4, +∞) ∪ (−∞, 2] ∪ {0}
B = (4, +∞) ∪ (−∞, 2) ∪ {0}
Non posso definire B perchè f (x) ha una discontinuitá di salto in 3.
6. Se f (x) = 3x + 2 allora:
a)
b)
c)
d)
e)
f −1 (x) = x3 − 32
f −1 (x) = 2x + 3
f −1 (x) = x3 + 32
f −1 (x) = 3x − 2
non esiste
7. Sia f : dom(f ) −→ R
se ∀A ⊆ dom(f) si ha f −1 (f (A)) ⊆ A allora la
se ∀A ⊆ dom(f) si ha f −1 (f (A)) ⊆ A allora la
se ∀A ⊆ dom(f) si ha A ⊆ f −1 (f (A)) allora la
se ∀A ⊆ dom(f) si ha f −1 (f (A)) ⊆ A non
sull’iniettivitá di f
(e) nessuna delle risposte precedenti è corretta
(a)
(b)
(c)
(d)
funzione è suriettiva
funzione è iniettiva
funzione è iniettiva
si puó dedurre nulla
8. Sia f (x) una funzione suriettiva e iniettiva sull’intervallo I = [a, b]. Allora:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
f (x) è continua su I
f (x) è strettamente monotona su I
f (x) è monotona su I
non è sempre possibile esplicitare la relazione x = f −1 (y)
nessuna delle risposte precedenti è corretta
9. Siano A e B due insiemi limitati non vuoti in R. L’asserto inf(A) < inf(B)
equivalente a
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
∀a ∈ A, ∃b ∈ B tale che a ≤ b
∀a ∈ A, ∀b ∈ B ⇒ a ≤ b
∀b ∈ B ∀ε > 0, ∃a ∈ A tale che a ≤ b + ε
∀b ∈ B ∀ε > 0, ∃a ∈ A tale che a ≤ b − ε
nessuna delle risposte precedenti
10. L’equazione 2−x = (x − 1)2 ha:
a)
b)
c)
d)
e)
2 sole soluzioni
2 soluzioni nell’intervallo [−2, 2]
una sola soluzione
3 soluzioni nell’intervallo [−2, +∞)
una sola soluzione nell’intervallo (−∞, 1)
QUIZ 3
1. La funzione arccos(cos(x)) è
(a) definita solo per le x = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ π}
(b) una funzione pari, definita su tutto sull’insieme dei numeri reali con
immagine [0, π]
(c) una funzione dispari, definita su tutto sull’insieme dei numeri reali
con immagine [0, π]
(d) uguale alla funzione identitá su tutto l’insieme dei numeri reali
2. La funzione arcsin(cos(x))
(a) non presenta simmetrie
(b) è definita solo per le x = x ∈ R : 0 ≤ x ≤
π
2
(c) è una funzione dispari, definita su tutto sull’insieme dei numeri reali
con immagine − π2 , π2
(d) è una funzione
pari,
definita su tutto sull’insieme dei numeri reali con
immagine − π2 , π2
3. Sia f : dom(f ) −→ R
(a) se ∀A ⊆ dom(f) si ha f −1 (f (A)) ⊆ A allora la funzione è suriettiva
(b) se ∀A ⊆ dom(f) si ha f −1 (f (A)) ⊆ A allora la funzione è iniettiva
(c) se ∀A ⊆ dom(f) si ha A ⊆ f −1 (f (A)) allora la funzione è iniettiva
(d) se ∀A ⊆ dom(f) si ha f −1 (f (A)) ⊆ A non si puó dedurre nulla
sull’iniettivitá di f
4. Siano f : dom(f ) −→ R e g : dom(g) −→ R monotone strettamente
decrescenti. Allora
(a) la composta f ◦ g é strettamente crescente sul suo dominio
(b) la funzione prodotto f g e la funzione composta f ◦ g sono monotone
strettamente descrescenti sul loro dominio
(c) la composta f ◦ g é monotona strettamente decrescente sul suo dominio
(d) la funzione composta (f ◦ g)−1 é monotona strettamente decrescente
sul suo dominio
5. Siano A e B due insiemi limitati non vuoti in R. L’asserto inf(A) < inf(B)
equivalente a
(a) ∀a ∈ A, ∃b ∈ B tale che a ≤ b
(b) ∀b ∈ B∀ε > 0, ∃a ∈ A tale che a ≤ b + ε
(c) ∀b ∈ B∀ε > 0, ∃a ∈ A tale che a ≤ b − ε
(d) nessuna delle risposte precedenti
√
6. Siano f (x) = x, g(x) = x2 , h(x) = x . Allora
1
6. Siano f (x) =
s
x, g (x) = x2 e h (x) = x. Allora
(a) g f = f g = h per ogni x 5 dom h
(b) g f = h per ogni x 5 dom h
(c) f g = h per ogni x 5 dom h
(d) g f = f g = h per ogni x 5 [0, +4)
7. Sia f : [0, 1] $ [0, 1] iniettiva e suriettiva. Allora necessariamente
(a) f è continua su [0, 1]
(b) f è strettamente monotona su [0, 1]
(c) f è monotona su [0, 1], non necessariamente in senso stretto
(d) f 1 : [0, 1] $ [0, 1] è iniettiva e suriettiva
8. Sia f (x) definita come
f (x) =
1
x3
0
se x 9= 3
.
se x = 3
a sia A = f 1 ([1, 1]) la controimmagine di [1, 1] attraverso f . Allora
(a) A = [2, 4]
(b) A = [4, +4) ^ (4, 2]
(c) A = [4, +4) ^ (4, 2] ^ {3}
(d) non posso determinare A perché f ha una discontinuità di salto in 3
9. Siano f una funzione pari e g una funzione dispari tali che f g sia ben definita
su un intervallo di R. Allora necessariamente
(a) f g è una funzione pari
(b) f g è una funzione dispari
(c) non si può dedurre nulla su eventuali simmetrie della funzione f g
(d) f g vale 0 in 0
10. Sia f : R $ R decrescente su [0, 1]. Allora necessariamente
(a) im (f ) = [f (1) , f (0)]
(b) limx$1 f (x) = f (1)
(c) f 1+e
> f 4e
e
(d) esiste limx$0+ f (x)
2
Quiz 5
1. Data la funzione f (x) = ee
cos(x)
, allora necessariamente:
(a) é una funzione limitata
(b) non é periodica
(c) sup f = e
(d) im f = [0, +∞)
(e)
lim f (x) = +∞
x→+∞
x
2. Data la funzione f (x) = ecos(e ) , allora:
(a) im f = [e−1 , e]
(b) é periodica
(c) é illimitata
(d) inf f = 0
(e) si annulla infinite volte
3. Data la funzione f (x) = sin(arccos(cos(x))), allora:
(a) im f = [−1, 1] e dom f = [0, π]
(b) im f = [0, 1] e dom f = R
(c) im f = [−1, 1] e f é una funzione pari
(d) im f = [0, 1] e dom f = [0, π]
(e) im f = [0, 1] e f é una funzione dispari
4. La funzione f (x) = (x + 2) ln(x + 2) − −| sin πx| ha dominio:
(a) (−2, +∞)
(b) Z
(c) ∅
(d) (−2, 0)
(e) {x ∈ Z : x ≥ −1}
5. Sia f (x) = |x + 5|. Allora f −1 ([1, 2)) è:
(a) (−7, −6] ∪ [−4, −3)
(b) [−7, −6] ∪ [−4, −3]
(c) (−7, −3)
(d) (−7, −6) ∪ (−4, −3)
(e) [−7, −3]
6. Il dominio della funzione f (x) =
4
x2 − 3|x| è:
a) (−∞, −3] ∪ {0} ∪ [3, +∞)
b) (−3, 3)
c) (−∞, −3] ∪ [3, +∞)
d) [−3, 3]
e) (−∞, −3) ∪ {0} ∪ (3, +∞)
7. La funzione f (x) : dom f → R definita come f (x) =
a) ha immagine im f = R
b) é iniettiva e quindi é monotona
c) é monotona e quindi é iniettiva
d) é continua
c
2011
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1
1
:
x
7. La funzione f : dom f → R definita come f (x) =
1
:
x
(a) ha immagine im f = R
(b) è iniettiva su dom f e quindi è monotona
(c) è monotona su dom f e quindi è iniettiva
(d) è continua su dom f
(e) è strettamente decrescente su dom f
8. Data la funzione f : dom f → R definita come f (x) =
x
, si ha che:
2 − sin x
(a) f (x) non ammette limite per x → +∞
(b) f (x) non ammette limite per x → −∞
(c)
(d)
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
x→−∞
(e) f (x) è dispari
9. Data la funzione f (x) =
cos (x + α) , x ≤ 0
con α ∈ R, allora
1,
x>0
(a) non esiste alcun valore di α per cui f (x) è continua su tutto R
(b) f (x) è continua su tutto R se e solo se α = 0
(c) f (x) + α è continua su tutto R per ogni α
(d) esistono infiniti valori di α per cui f (x) è continua su tutto R
(e) f (x) è continua su tutto R per ogni α
10. Sia f (x) =
3x + sin x
. Allora:
x + M (x) + cos x
(a) non esiste lim f (x)
x→+∞
(b)
(c)
(d)
(e)
lim f (x) = 3 e lim f (x) = −3
x→+∞
x→−∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
lim f (x) = −∞
x→−∞
lim f (x) = 3 e lim f (x) = 3
x→+∞
x→−∞
4
Quiz 6
k
1. Sia f : R → R tale che limn→∞ f
= f (0), ∀k ∈ Z, allora
n
(a) f è continua in 0
(b) f non è continua in 0
(c) non esiste limx→0 f (x)
(d) esiste limx→0 f (x)
(e) nessuna delle risposte precedenti è vera
2. Sia f : R → R continua tale che limx→−∞ f (x) = +∞ e limx→+∞ f (x) = −∞, allora necessariamente
(a) f è decrescente su R
(b) f è biettiva su R
(c) f ammette massimo e minimi assoluti
(d) f è suriettiva
(e) ∃!x ∈ R tale che f (x) = 0
3. Sia f (x) = log (x + 1) + log x1 , allora:
(a) f (x) ∼
1
x
per x → 0
(b) f (x) ∼ x per x → +∞
(c) f (x) ∼
1
x
(d) f (x) =
o( x1 )
o( xe )
(e) f (x) =
per x → +∞
per x → +∞
per x → +∞
4. Sia f (x) un infinito per x → +∞, allora
(a) se f (x) ∼ x per x → +∞ allora f (x) ha un asintoto obliquo per x → +∞
(b) se f (x) non ha asintoti obliqui allora f (x) ∼ xα per un qualche α > 1, per x → +∞
(c) se f (x) ha asintoto obliquo di equazione y = 3x + 3 allora f (x) ∼ x, per x → +∞
(d) se f (x) ∼ x per x → +∞ allora f (x) − x = o(1) per x → +∞
(e) nessuna delle risposte precedenti è corretta
5. Siano f (x) = x cos x1 e g(x) = xα con α > 0, allora per x → 0
?
(a) f (x) = o (g(x)) , ∀x ∈ (0, 1]
(b) g(x) = o (f (x)) , ∀x ∈ (0, 1]
(c) f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g ∀α ∈ (0, 1)
(d) se α = 1 allora limx→0
f (x)
g(x)
=1
(e) f (x) ∼ g(x), ∀x ∈ (0, 1)
√
√
6. Sia f (x) = 2x − 2x2 − x. Allora
a) è un infinitesimo di ordine x−1/2 per x → +∞
b) è un infinito di ordine x1/2 per x → +∞
c) è un infinitesimo di ordine x−1/2 e la sua parte principale è
d) è un infinitesimo di ordine x
−1/2
√
2
4
per x → +∞
per x → −∞
e) è un infinito di ordine x sia per x → −∞ e per x → +∞
7. Siano date le funzioni f (x) = cos(x) − 1 e g(x) = sin(2x), allora per x → 0
a) f (x) e g(x) sono infinitesime dello stesso ordine
b) f (x) è infinitesima di ordine inferiore
c) f (x) è infinitesima di ordine superiore
c
2011
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1
d) f (x) ∼ g(x)
e) la parte principale di
8. Le funzioni f (x) =
sin(x)
x
f
g
è x
e g(x) =
1
x
a) sono infinitesimi non confrontabili per x → +∞
b) sono infiniti non confrontabili per x → +∞
c) sono infinitesimi confrontabili per x → +∞
d) sono equivalenti per x → +∞
e) f (x) = o (g(x)) per x → +∞
9. Le funzioni f (x) = sin x1 e g(x) = cos x1
a) sono equivalenti per x → +∞
b) sono equivalenti per x → 0
c) non ammettono limite per x → 0
d) tendono entrambe a 0 per x → 0
e) tendono rispettivamente a 0 ed a 1 per x → 0
√
√
10. La funzione f (x) = x − x + 1, allora
?
a) tende a −1
b) tende ad 1
c) tende a 0
d) il limite è indeterminato
e) tende a +∞
c
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2
Quiz 7
 √
 1 − 9x + 6α (x + 1)
1. Data la funzione f (x) =
 x2 sin 1 + 3x − 5
x
se x ≤ 0
se x > 0
con α ∈ R, allora
(a) non esiste alcun valore di α per cui f è continua su R
(b) f è continua su R per ogni α
(c) f è continua su R se α = −1
(d) esistono infiniti valori di α per cui f è continua su R
(e) f è continua su R se α = 0
2. Sia f (x) = log
1+x
. Allora, per x → 0:
1−x
1
2x
(b) f è infinitesima e la sua parte principale è p(x) = x
(a) f è infinita e la sua parte principale è p(x) =
(c) f è infinitesima e la sua parte principale è p(x) = 2
1
(d) f è infinita e la sua parte principale è p(x) = − 2
x
(e) f è infinitesima e la sua parte principale è p(x) = 2x
3. Siano f e g due funzioni continue su un intervallo [a, b] e derivabili in (a, b). Sia inoltre f (a) ≥ g(a) e
f 0 (x) ≥ g 0 (x) per ogni x ∈ (a, b). Allora necessariamente
(a) f e g sono crescenti su (a, b)
(b) f e g non hanno punti critici in (a, b)
(c) f (x) ≥ g(x) su [a, b]
(d) f (x) ≤ g(x) su [a, b]
(e) nessuna delle altre risposte è corretta
4. Sia f (x) = arctan x e siano b > a ≥ 0. Allora
3(b − a)
1 + a2
b−a
f (b) − f (a) <
2 + 2b2
b−a
b−a
< f (b) − f (a) <
1 + b2
1 + a2
b−a
b−a
< f (b) − f (a) <
2
1+a
1 + b2
00
f (x) > 0 in (a, b)
(a) f (b) − f (a) >
(b)
(c)
(d)
(e)
5. Sia f una funzione derivabile su R con f 0 (x) =
(a)
1
per ogni x. Allora
1 + x2
lim f (x) = +∞
x→+∞
(b) f (1/2) < f (−1/2)
(c) f (1/2) = f (−1/2)
1
+ f (−1/2)
1 + α2
(e) nessuna delle altre risposte è corretta
(d) esiste α ∈ R tale che f (1/2) =
6. Sia f una funzione derivabile su R e tale che lim f 0 (x) = 2. Allora
x→+∞
(a) f (x) = o(x) per x → +∞
(b) f ha asintoto obliquo per x → +∞
(c)
lim f (x) esiste finito
x→+∞
(d) f non ha zeri positivi
(e) f (x) x per x → +∞
Quiz 9
1. Sia f (x) una funzione continua e derivabile su R, dispari e tale che f (0) = f (1) = 0 e g(x) = x arctan x −
1
2
2 log(1 + x ) allora g ◦ f
(a) non ha punti critici
(b) ha esattamente tre punti critici
(c) ha almeno 5 punti critici
(d) ha esattamente 6 punti critici
(e) puó avere o non avere punti critici.
2. Data l’equazione 2x23 + 5x + 4 = 1, possiamo affermare che
(a) non ammette soluzioni reali
(b) ha esattamente una soluzione reale
(c) ha almeno due soluzioni reali
(d) ha esattamente tre soluzioni reali
(e) ha esattamente ventitre soluzioni reali
0,
x=4
3. La funzione f (x) =
1
x = 4
log |x−4|
(a) non é continua in x = 4
(b) é derivabile in x = 4
(c) ha un punto angoloso in x = 4
(d) ha una cuspide in x = 4
(e) ha un punto a tangente verticale in x = 4
4 arctan x, x < 1
é derivabile in R per i seguenti valori di α e β:
4. la funzione f (x) =
2αx + β
x≥1
(a) α = π e β = 2
(b) α = 1 e β = 2 − π
(c) α = 1 e β = π − 2
(d) α = 1 e ∀β
(e) α = π e β = 2 + π
5. Sia f : I = [−3, 10] → R; sapendo che f è derivabile in I e che x0 ∈ I quale delle seguenti affermazioni è
vera?
(a) se x0 è un punto di minimo per f allora f (x0 ) = 0
(b) se x0 è un punto di massimo per f allora f (x0 ) = 0
(c) se x0 ∈ [−2, 9] è un punto di minimo per f allora f (x0 ) = 0
(d) se f (x0 ) è massimo per f allora f (x0 ) = 0
(e) se x0 è un punto di massimo per la funzione allora f (x0 ) = 0 e f (x0 ) < 0
6. Per la funzione f : [−2, 3) → R, f (x) = |x2 − 1| quale delle seguenti affermazioni NON è vera?
(a) f ammette sup ma non max assoluto
(b) f ammette minimo assoluto
(c) x = 1 è punto di minimo assoluto
(d) 0 è il minimo assoluto della funzione
1
(e) 3 è il massimo assoluto della funzione
7. Siano f : [0, 4] → IR e g : [0, 4] → IR due funzioni che soddisfino le ipotesi del Teorema di Rolle. Allora
(a) ∃x0 ∈ (0, 4) tale che f ′ (x0 ) = 0 e g ′ (x0 ) = 0
(b) ∃x0 ∈ (0, 4) tale che f ′ (x0 ) < 0 e g ′ (x0 ) < 0
(c) ∃x0 ∈ (0, 4) tale che f ′ (x0 ) > 0 e g ′ (x0 ) > 0
(d) ∃x0 ∈ (0, 4) tale che f ′ (x0 ) = g ′ (x0 )
(e) nessuna delle risposte precedenti é corretta
8. Siano f : IR → IR una funzione di classe C 1 (IR) che ha un massimo locale in x = 2 e uno in x = 3. Allora
necessariamente
(a) f ′ ha esattamente tre zeri in [2, 3]
(b) f ′ ha almeno tre zeri in [2, 3]
(c) f ′ ha esattamente due zeri in [2, 3]
(d) se f (3) > f (2), il punto x = 3 é un massimo assoluto di f su [2, 3]
(e) f non h altri massimi in [2, 3]
9. Sia f : IR → IR una funzione di classe C 1 (IR) tale che f (1) = f (2) = f (3) = 0 e sia g(x) = f 2 (x). Allora
(a) g ′ ha almeno 5 zeri in [1, 3]
(b) g ′ non si annulla mai in [1, 3]
(c) g ′ ha esattamente 2 zeri in [1, 3]
(d) g ′ ha esattamente 5 zeri in [1, 3]
(e) g ′ ha almeno 6 zeri in [1, 3]
10. Sia f (x) = x3 ex
2
−10x
+ x2 log(11 − x). Allora
(a) la derivata di f non si annulla mai in [0, 10]
(b) f non ha massimo in [0, 10]
(c) f ′ é sempre negativa
(d) esiste un punto c ∈ (0, 10) tale che f ′ (c) = 100
(e) nessuna delle altre risposte é corretta.
2
Quiz 10
1. Siano an = 4n + (−5)n . Allora
(a)
lim an = +∞
x→+∞
(b) an tende sia a +∞ che a −∞
(c) il lim an non esiste
x→+∞
(d)
lim an = −∞
x→+∞
(e) an é descrescente
2. La derivata della funzione f (x) = (xx )x é
(a) f (x) = x2 xx
2
−1
(b) f (x) = 2(xx )x log x
(c) f (x) = 2(xx )x
(d) f (x) = xx
2
+1
(2 log x + 1)
2
(e) f (x) = xx (2 log x + 1)
x
3. La derivata della funzione f (x) = xx é
(a) f (x) = xx xx
x
x
−1
(b) f (x) = xx x−x
x
x
(c) f (x) = xx (xx log x(log x + 1) + xx )
(d) f (x) = xx
x
+x−1
x
x +x−1
(e) f (x) = x
(log x log x(log x + 1) + 1)
(x log x(log x + 1) + 1)
4. Sia f : IR → IR di clasee C 2 e sia x0 ∈ IR. Per l’esistenza di un punto di massimo relativo, la condizione
f (x0 ) = 0 e f (x0 ) < 0 é
(a) sufficiente
(b) necessaria e sufficiente
(c) necessaria
(d) né necessaria né sufficiente
(e) indispensabile
5. Sia f : R → R continua e derivabile (almeno) k+1 volte in R. Sia f (x0 ) = 0 e f (k) (x0 ) = 0, f (k+1) (x0 ) = 0
(l’apice in f indica il grado di derivazione):
(a) allora x0 è un punto critico per f ma non è possibile classificarlo.
(b) se k è pari allora x0 è un massimo o un minimo.
(c) se k è dispari allora x0 è un massimo o un minimo.
(d) se f (k+1) (x) > 0 allora x0 è un minimo.
(e) se f (k+1) (x) > 0 allora x0 è un massimo.
1
6. Sia f una funzione infinitesima per x → 2, derivabile due volte in un intorno di x = 2 e con un punto
critico in x = 2. Necessariamente:
(a) f (x) = o((x − 2)2 ) per x → 2
(b) f (x) = o((x − 2)3 ) per x → 2
(c) esiste limx→2
f (x)
= k, k ∈ R
(x − 2)2
(d) f (x) = (x − 2)2 + o((x − 2)2 ) per x → 2
(e) f (x) = −(x − 2)2 + o((x − 2)2 ) per x → 2
7. Se f (x) ha sviluppo di Taylor f (x) = 3 − (x − 4)8 + o (x − 4)8 per x → 4, allora
(a) f (x) ha un massimo in x = 4
(b) f (x) ha un flesso in x = 4
(c) f (x) ha un flesso in x = 0
(d) f (x) ha un minimo in x = 4
(e) f (x) ha un massimo in x = 0
1
1
1
d2
8. Sia f (x) = 1− x+ x2 − x3 +o(x3 ) lo sviluppo di Mc Laurin f arrestato all’ordine 3; allora 2 (e1−f (x) )
2
3
4
dx
in x = 0 vale
(a) 1/3
(b) −1/3
(c) −2/3
(d) −5/12
(e) 1
cosh x − cos x − x2
x→0
x5
9. lim
(a) vale 0
(b) vale +∞
(c) vale 2/5!
(d) vale 1/2
(e) non esiste
10. Sia data una funzione f ∈ C ∞ (R) in un intorno di x = 0, e sia f (x) = 3 − 2x2 + 5x4 + o(x4 ) il suo sviluppo
di Mc Laurin. Quale delle seguenti affermazioni NON è vera?
(a) f (0) = 3
(b) Esiste un intorno di x = 0 in cui la funzione è sicuramente positiva
(c) Il punto x = 0 è punto di massimo relativo per la funzione
(d) La retta tangente al grafico della funzione nel punto (0, 3) ha equazione y = 3
(e) f (4) (0) = 5
2
Quiz 11
1. Data la funzione f (x) =
p
3
(x − 2)2 quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
(a) f (x) non soddisfa alle ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo [0, 4]
(b) f (x) ha un punto di non derivabilità in x = 2
(c) f (x) ha un punto di cuspide in x = 2
(d) f (x) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo [2, 4]
(e) domf = {x ∈ IR : x ≥ 2}
2. Sia f (x) =
(
1 + 2x
se x < 0
2x
e + log(1 − 2x2 ) se x ≥ 0
(a) lo sviluppo di McLaurin esiste in ogni ordine
(b) il massimo ordine possibile per cui esiste lo sviluppo di McLaurin di f é 1
(c) il massimo ordine possibile per cui esiste lo sviluppo di McLaurin di f é 2
(d) il massimo ordine possibile per cui esiste lo sviluppo di McLaurin di f é 3
(e) il massimo ordine possibile per cui esiste lo sviluppo di McLaurin di f é 4
1
1
3. Sia f (x) = 1 − x + x3 + o(x3 ) lo sviluppo di McLaurin della funzione f . Allora
4
17
(a) g(x) = 1 − f 2 (x) ha derivata prima nulla in x = 0
(b) g(x) = 1 − f 2 (x) é crescente in x = 0
(c) g(x) = 1 − f 2 (x) non ammette derivata seconda in x = 0
(d) g(x) = 1 − f 2 (x) é una funzione pari
(e) nessuna delle risposte precedenti é corretta
4. Lo sviluppo di Taylor di ordine n di f (x) = sin x centrato in x0 = π/2
(a) si ottiene traslando lo sviluppo di McLaurin di ordine n di f (x) verso sinistra di π/2
(b) é uguale allo sviluppo di Taylor di ordine n di cos(x) centrato in x0 = π/2
(c) si ottiene traslando lo sviluppo di McLaurin di ordine n di cos(x) verso destra di π/2
(d) si ottiene traslando lo sviluppo di McLaurin di ordine n di f (x) verso destra di π/2
(e) nessuna delle risposte precedenti é corretta
5. Il limite
lim
log
x→+∞
(a) vale 1
(b) vale +∞
(c) non esiste
(d) vale log 2
(e) vale −2
1
− x46
log 2x
2
x2
6. Una funzionef ha derivata positiva in tutti i punti dell’intervallo (−2, 2), tranne che nel punto x = 0, dove
non é derivabile. Cosa si puó dedurre?
(a) f (x) > 0 in (−2, 2)
(b) f é crescente in (−2, 0) e in (0, 2)
(c) f é crescente in (−2, 2)
(d) f é decrescente in (−∞, −2] ∪ [2, ∞)
(e) in x = 0 la funzione non é derivabile, ma é continua
7. Sia f : IR → IR di classe C 1 e sia x0 ∈ IR. Per l’esistenza di un punto di flesso a tangente orizzontale, la
condizione f (x0 ) = 0 é
(a) sufficiente
(b) necessaria e sufficiente
(c) irrilevante
(d) né necessaria né sufficiente
(e) necessaria ma non sufficiente
√
8. Quale delle seguenti affermazioni é soddisfatta dalla funzione f (x) = (x + 2) x?
(a) limx→0+ f (x) = 0
(b) f é infinita di ordine 1/2, per x → +∞
(c) f é continua e derivabile nel suo dominio
(d) f é infinitesima di ordine 3/2, per x → 0
(e) f ha tangente verticale in x = 0
9. É data la funzione f (x) = log(ex + e−x ); quale delle seguenti funzioni NON é la sua derivata prima?
ex − e−x
ex + e−x
sinh x
(b) f (x) =
cosh x
(c) f (x) = tanh x
(a) f (x) =
e2x − 1
e2x + 1
1
(e) f (x) = x
e + e−x
(d) f (x) =
10. Lo sviluppo di McLaurin arrestato al quinto ordine di F (x) =
(a) é 1 − 2x4 + o(x4 )
(b) é x − 2/5x5 + o(x5 )
(c) ha solo potenze pari
(d) non esiste
(e) nessuna delle risposte precedenti é vera
2
x
0
cos(2t2 )dt
QUIZ 1
Quesito numero
Risposta
1
b
2
b
QUIZ 2
Quesito numero
Risposta
1
b
2
a
QUIZ 3
Quesito numero
Risposta
1
b
2
d
3
b
QUIZ 5
Quesito numero
Risposta
1
a
2
a
3
b
2
d
3
c
QUIZ 6
Quesito numero
Risposta
3
b
QUIZ 7
Quesito numero
Risposta
1
c
2
e
3
c
QUIZ 9
Quesito numero
Risposta
1
c
2
b
3
d
QUIZ 10
Quesito numero
Risposta
1
c
QUIZ 11
Quesito numero
Risposta
1
e
2
c
3
b
4
b
5
c
4
c
5
a
4
a
5
d
7
b
8
d
9
c
10
a
7
d
8
d
9
a
10
c
6
d
7
d
8
c
9
a
10
d
5
a
6
a
7
d
8
c
9
d
10
e
4
e
5
c
6
a
7
c
8
a
9
c
10
c
4
c
5
d
6
e
7
d
8
b
9
a
10
d
7
a
8
d
9
a
4
c
5
e
6
b
6
b
10
b