X - Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

UNIVERSITA' DI ROMA "TOR VERGATA"
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Dipartimento Ingegneria Civile
TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE
DOCENTE
Prof. Ing. UMBERTO CRISALLI
Appunti delle lezioni
RICHIAMI DI TEORIA DELLE PROBABILITÀ
1
Richiami di Teoria della probabilità (I)
ESPERIMENTO: ogni operazione il cui risultato non può essere
predetto con certezza
EVENTO: è il risultato di un esperimento
Eventi semplici e composti – Eventi disgiunti
SPAZIO DELLE PROVE: l’insieme di tutti i possibili risultati di un
esperimento
Definizione frequentista della probabilità
p(i) =
lim
n→∞
ni
n
Definizione assiomatica della probabilità
Assiomi fondamentali:
Detto A un qualsiasi evento dello spazio delle prove Ω:
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
2.
P( Ω ) = 1
3. P(A U B) = P(A) + P(B) essendo A e B eventi disgiunti
Proprietà
1. P(A) = 1 − P(A)
2. P(0/ ) = 0
3. P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A I B)
2
Richiami di Teoria della probabilità (II)
Probabilità condizionata
Siano A e B eventi non disgiunti la probabilita’ di A condizionata a B
è:
P( A B) =
P(A I B)
P(B)
Probabilità composta
Siano A e B eventi non disgiunti la probabilita’ dell’evento A I B è:
P(A I B) = P( A B) ⋅ P(B)
Indipendenza stocastica
Gli eventi A e B si dicono indipendenti se:
P( A B) = P(A) o equivalentemente P(B A) = P(B)
ne deriva che se A e B sono indipendenti, risulta:
P(A I B) = P(A) ⋅ P(B)
3
Richiami sulle variabili aleatorie
1
Ω
E
X(E)
P[X(E)]
0
ℜ
Variabile aleatoria X(E): funzione che associa ad un evento E
dello spazio delle prove un numero reale X . Ad ogni valore della
v.a. è associata una probabilità P[X(E)] che è la probabilità che si
verifichi l’evento E, P(E).
4
Variabili aleatorie discrete
Una v.a. discreta assume un numero finito o un infinità numerabile
di valori.
Funzione di probabilità
PX (x) = Prob(X = x)
x
PX(x)
Funzione distribuzione di probabilità
∀t ∈ ℜ : Fx (t) = Prob(X ≤ t) =
∑ PX (x)
x≤t
5
Esempio di variabili aleatorie discrete
1. Esperimento: lancio di tre monete
Risultati
X
Y
Z
TTT
TTC
TCT
CTT
TCC
CTC
CCT
CCC
3
2
2
2
1
1
1
0
2
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
2. Esempi di v.a. definite sullo stesso spazio delle prove
X= ”numero di teste uscite”; assume i valori: 0,1,2,3
Y= “numero di coppie consecutive di teste”; assume i valori: 0,1,2
Z= ”numero di croci uscite”; assume i valori: 0,1,2,3
3. Probabilità
X : P[0] = 1 ; P[1] = 3 ; P[2] = 3 ; P[3] = 1
8
8
8
8
Y : P[0] = 5 ; P[1] = 2 ; P[2] = 1
8
8
8
Z : P[0] = 1 ; P[1] = 3 ; P[2] = 3 ; P[3] = 1
8
8
8
8
6
Variabili aleatorie continue
Una v.a. continua assume un numero infinito di valori.
Si verifica che:
PX (x) = Prob(X = x) = 0
Funzione densità di probabilità f(x)
P[x ≤ X ≤ x + Δx]
Δx
Δx →0
f(x) = lim
Funzione distribuzione di probabilità
È una funzione reale che ad ogni t∈ℜ associa:
t0
Fx (t 0 ) = Prob[X ≤ t 0 ] = ∫ f(x)dx
−∞
Si verifica facilmente che:
P(a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a)
P(a ≤ X) = 1 − FX (a)
7
Valori caratteristici di una variabile aleatoria
• Valore atteso
E[X] = μ x = ∑ix i ⋅ p(x i )
v.a. discrete:
+∞
E[X] = ∫ x ⋅ f(x) ⋅ dx
v.a. continue:
−∞
E’ un operatore lineare:
E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ]
• Varianza di una variabile aleatoria
v.a. discrete:
Var [X] = σ 2 = E[(X − μ x )2 ] = ∑i[x i − μ x ] 2 ⋅ p(x i )
v.a. continue:
+∞
Var [X] = E[(X − μ x ) ] = ∫ [x − μ x ] 2 ⋅ f(x) ⋅ dx
2
−∞
• Deviazione standard
σx = σx2
• Coefficiente di variazione
σ
Cv = x
μx
8
Esempi di Variabili aleatorie
v.a binomiale:
Consideriamo prove ripetute ed indipendenti di un esperimento con
due esiti (successo ed insuccesso)
p= probabilità di successo
q=1-p= probabilità di insuccesso
La probabilità di ottenere k successi in n prove ripetute è data da:
⎛ n⎞
b(k; n, p)= ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p k ⋅ qn − k
⎝k ⎠
Se n e p sono costanti allora
P(k) = b(k; n, p)
distribuzione binomiale
μ = E[ X] = n ⋅ p
σ2 = n ⋅ p ⋅ q
σ = n⋅p ⋅q
9
Esempi di Variabili aleatorie
v.a normale:
⎡ 1⎛ x − μ ⎞ ⎤
1
f ( x) =
exp ⎢− ⎜
⎟ ⎥
2
σ
σ 2π
⎠ ⎦
⎣ ⎝
2
x ∈ℜ
risulta:
E[ X ] = μ
Var [ X ] = σ 2
10
Esempi di Variabili aleatorie
v.a. di Poisson:
⎧ λx e − λ
⎪
P( X = x ) = ⎨ x!
⎪⎩ 0
risulta:
E[ X ] = λ
x = 0 ,1,2 ,...
altrove
Var [ X ] = λ
Distribuzione di Poisson al variare del parametro λ
11
Esempi di Variabili aleatorie
v.a. esponenziale:
⎧θe −θ ⋅ x
f ( x) = ⎨
⎩ 0
x>0
altrove
risulta:
E[ X ] =
1
θ
Var [ X ] =
1
θ2
12
Variabili aleatorie doppie
Due variabili aleatorie definite sullo stesso spazio delle prove.
v.a. discrete
Funzione di probabilità congiunta:
PXY (x, y) = Prob[X = x; Y = y]
Funzione di distribuzione congiunta:
FX,Y (t) = Prob[X ≤ t; Y ≤ t] =
∑ ∑ P(xi, yi)
xi ≤ t yi ≤ t
v.a. continue
Funzione densità di probabilità:
f X,Y =
P[x ≤ X ≤ x + Δx; y ≤ Y ≤ y + Δy]
Δx Δy
Δx →0
lim
Δy →0
Funzione di distribuzione congiunta:
t
FX,Y (t) = Prob[X ≤ t; Y ≤ t] =
t
∫ ∫ f X,Y (x, y)
−∞ −∞
13
Variabili aleatorie doppie:
esempio
1. Esperimento: lancio di tre monete (vedi esempio precedente)
Risultati
X
Y
Z
TTT
TTC
TCT
CTT
TCC
CTC
CCT
CCC
3
2
2
2
1
1
1
0
2
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
2. Esempio di v.a. doppia discreta: (Z,Y)
Z= ”numero di croci uscite”; assume i valori: 0,1,2,3
Y= “numero di coppie consecutive di teste”; assume i valori: 0,1,2
Z=0
Z=1
Z=2
Z=3
Y=0
(0,0)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
Y=1
(0,1)
(1,1)
(2,1)
(3,1)
Y=2
(0,2)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
Y=1
0
2/8
0
0
Y=2
1/8
0
0
0
3. Funzione probabilità: PZY(z,y)
Z=0
Z=1
Z=2
Z=3
Y=0
0
1/8
3/8
1/8
14
Variabili aleatorie doppie:
Funzioni di distribuzione marginale
v.a. discrete:
P (x) = ∑ P(x, y)
X
P (y) = ∑ P(x, y)
e
Y
y
v.a. continue:
+∞
+∞
∫ f (x, y)dy
e
PZ (z) = ∑ P(z, y)
e
fX (x) =
x
f Y (y) =
∫ f (x, y)dx
−∞
−∞
Esempio
v.a. discrete:
PY (y) = ∑ P(z, y)
y
z
Y=0
Y=1
Y=2
PZ(z)
Z=0
0
0
1/8
1/8
Z=1
1/8
2/8
0
3/8
Z=2
3/8
0
0
3/8
Z=3
1/8
0
0
1/8
PY(y)
5/8
2/8
1/8
15
Variabili aleatorie doppie:
Funzioni di distribuzione condizionata
v.a. discrete:
P
X| Y
(x | y) =
P(x, y)
e
PY (y)
P
(y | x) =
P(x, y)
PX (x)
f
(y | x) =
f(x, y)
f (x)
Y| X
v.a. continue:
f
X| Y
(x | y) =
f(x, y)
f (y)
e
Y| X
Y
X
Esempio
v.a. discrete:
PZ| Y (z | y) =
P(z, y)
e
PY (y)
PY |Z (y | z) =
P(z, y)
PZ (z)
PZ|Y(z|y)
Y=0
Y=1
Y=2
Z=0
0
0
1
Z=1
1/5
1
0
Z=2
3/5
0
0
Z=3
1/5
0
0
1
1
1
PY|Z(y|z)
Y=0
Y=1
Y=2
Z=0
0
0
1
1
Z=1
1/3
2/3
0
1
Z=2
1
0
0
1
Z=3
1
0
0
1
16
Variabili aleatorie doppie: proprietà
Variabili aleatorie indipendenti
f
Y| X
(y | x) = f (y) o equivalentemente f
Y
X| Y
(x | y) = f (x)
X
da cui deriva che
f
XY
(x, y) = f (x) ⋅ f (y)
X
Y
Variabili aleatorie identiche:
f (x) = f (y)
X
Y
Covarianza
Cov(X, Y) = σ XY = E[(X − μ x )(Y − μ y )]
si verifica immediatamente che risulta:
Cov(X, Y) = E[XY] − μ x μ y
infatti:
Cov(X, Y) = E[XY − Xμ y − Yμ x + μ x μ y )]
Cov(X, Y) = E[XY] − E[ Xμ ] − E[ Yμ ] + E[ μ μ ]
y
x
x
y
Cov(X, Y) = E[XY] − μ yE[ X] − μ xE[ Y ] + μ x μ y
Cov(X, Y) = E[XY] − μ y μ x − μ x μ y + μ x μ y
17