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Variabili aleatorie
discrete e continue
Settimana 17 – 21 novembre
Sessione live 3
Dr. Marta Giorgetti
1
Variabili aleatorie discrete
1)
Distribuzione uniforme: si pensi ad un’urna contenente N palline
numerate da 1 a N. L’esperimento aleatorio consiste nell’estrarre a
sorte una pallina. In questo modo si dà luogo ad una variabile
aleatoria le cui determinazioni sono i primi N numeri interi. La
probabilità associata a ciascuno di questi valori è 1/N.
DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione uniforme discreta se
la sua legge di probabilità è:
1

p ( x )  p X ( x, N )   N
0
Inoltre:
N 1
E[ X ] 
,
2
se x  1,2,..., N
altrove
N 2 1
var[ X ] 
,
12
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 1

1
I{1, 2,..., N } ( x)
N
N
mX (t )   eit
i 1
1
N
2
2)
Distribuzione di Bernoulli B(1,p): si pensi ad un esperimento i cui
esiti sono due eventi incompatibili A e B. Si pensi al lancio di una
moneta, dove A e B sono gli eventi “testa” e “croce”, oppure
all’estrazione casuale di una unità da una popolazione dicotomica,
cioè da una popolazione le cui unità sono raggruppate in due sole
categorie, quali “maschio” e “femmina”, “malato” e “sano”, ecc. La
singola esecuzione di questo esperimento va sotto il nome di prova
bernoulliana. Si associ il valore 1 all’evento A, designato,
generalmente con il termine “successo” e il valore 0 all’evento B,
indicato con il termine “insuccesso”. Sia p la probabilità di A e quindi
1-p la probabilità di B. Vale allora la seguente definizione:
DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Bernoulli se la sua legge di
probabilità è:
Inoltre:
p x (1 - p)1-x
se x  0,1 x
p X ( x, p)  
 p (1 - p)1-x I{0,1} ( x)
altrove
0
con 0  p  1 e 1  p  q
E[ X ]  p,
var[ X ]  pq,
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 2
mX (t )  pet  q
3
3)
Distribuzione di Binomiale B(n,p): si considerino n prove di Bernoulli
indipendenti; sia p la probabilità dell’evento successo. La variabile
aleatoria binomiale è definita come il numero dei successi in n prove
bernoulliane indipendenti. Si immagini per esempio il lancio di una
moneta 20 volte; indentificando in “testa” l’evento successo la cui
probabilità è 0,5, la VA binomiale sarà il numero dei risultati “testa”
nei 20 lanci.
DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Binomiale se la sua legge
di probabilità è:
 n  x
n -x
 p (1 - p)
p X ( x, n, p)   x 
0

se x  0,1,..., n  n  x
  p (1 - p) n -x I{0,1,..., n} ( x)
 x
altrove
con 0  p  1 e 1  p  q
Inoltre:
E[ X ]  np,
var[ X ]  npq,
mX (t )  ( pet  q) n
4
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 3
4)
Distribuzione Poisson:
DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Poisson con parametro
λ>0 se la sua legge di probabilità è:
p X ( x,  ) 
x
x!
e 
x  0,1,2...
Inoltre:
E[ X ]  ,
var[ X ]  ,
mX (t )  e
 ( et 1)
5
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 4
Variabili aleatorie continue quando lo spazio campionario Ω, su cui
sono definite, è continuo, è costituito cioè da un’infinità non numerabile di
eventi elementari.
1)
Distribuzione uniforme:
DEF: si dice che una V.A. definita in un intervallo [a,b] ha una
distribuzione uniforme continua se la sua funzione di densità è
espressa da:
1
f X ( x) 
,
ba
-   a  x  b  
Inoltre ha funzione di ripartizione data da:
FX ( x) 
xa
I[ a ,b ] ( x)  I ( b ,  ) ( x)
ba
e
ab
E[ X ] 
,
2
(a  b) 2
var[ X ] 
,
12
(etb  eta )
mX (t ) 
t (b  a)
6
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 5
2)
Distribuzione esponenziale (negativa):
DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione esponenziale se la sua
funzione di densità è espressa da:
f X ( x,  )  ex I[o, ] (x),   0
Inoltre ha funzione di ripartizione data da:
x
e
FX ( x)   e t dt  (1  e x ) I[ 0,  ) ( x),   0
0
E[ X ] 
1

,
var[ X ] 
1
,
2

m X (t ) 

 t
7
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 6
3)
Distribuzione normale N(μ, σ2):
DEF: si dice che una V.A. ha distribuzione normale se la sua funzione
di densità è espressa da:
 (x -  ) 2 
1
 dove -      e   0
f X ( x,  ,  ) 
exp  2
 2
 2 
Inoltre ha funzione di ripartizione è data da:
 (t -  ) 2 
1
dt
FX ( x)  
exp  2 
 2 
 2
x
e
E[ X ]   ,
var[ X ]   2 ,
mX (t )  exp( t 
 2t 2
2
)
8
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 7
3)
Distribuzione normale standard N(0,1):
DEF: si dice che una V.A. ha distribuzione normale standard se la sua
media vale 0 e la sua varianza vale 1, cioè se la sua funzione di
densità è espressa da:
 x2 
1
f X ( x,  ,  ) 
exp  - 
2
 2
Inoltre ha funzione di ripartizione è data da:
x
 X ( x) 


 (t) 2 
1
dt
exp  2
 2 
e
E[ X ]  0,
var[ X ]  1,
m X (t )  e
t2
2
9
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Richiami di teoria 8
ESERCIZIO 1: Una scatola contiene 5 palline di cui 3 bianche e 2 nere.
Estraggo a caso, con reimmissione, 3 palline. Quale è la probabilità di
pescarne 3 bianche? E due bianche ed una nera?
SOLUZIONE
Poniamo X=“numero di palline bianche estratte”.
3
X ~ binomiale (n  3,    0,6)
5
Quindi
Perciò
 3 
x
3 x

0
,
6
0
,
4
, x  0,1,2,3



p( x)  P( X  x)   x 
0
, altrove

P( X  3)  p(3)  0,63  0,216
3 2
P( X  2)  p(2)   0,6 0,4  0,432
 2
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 1: testo e soluzione
10
ESERCIZIO 2: Lancio 5 volte un dado regolare. Qual è la probabilità di
ottenere almeno una volta un punteggio pari?
SVOLGIMENTO
In ciascun lancio posso aver successo (punteggio pari) o insuccesso
(punteggio dispari) e i lanci sono indipendenti. Quindi il n.a. X=“numero di
successi in 5 lanci” ha distribuzione binomiale di parametri n=5, θ=0,5.
P( X  1)  1  P( X  1)  1  P( X  0)  1  0,55  0,96875
11
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 2: testo e soluzione
ESERCIZIO 3: Supponiamo che il numero giornaliero di richieste di intervento
d’urgenza per un certo servizio sia descritto da una n.a. X con distribuzione di
Poisson di parametro λ=5. Qual è la probabilità di ricevere più di una richiesta di
intervento?
SVOLGIMENTO
La funzione di probabilità di X è:
e 5 5 x
p X ( x,   5) 
x!
con x  0,1,2...
perciò si ha
P( X  1)  1  P( X  1)  1  [ P( X  0)  P( x  1)] 
 e 5 50 e 5 51 
1  p(0)  p(1)  1  

  1  0,04  0,96
1! 
 0!
12
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 3: testo e soluzione
ESEMPIO: Numeri ritardatari su una ruota del lotto. E’ convenzione comune
che se un numero non è uscito su una ruota per molte estrazioni la sua
probabilità di uscire a ogni estrazione successiva aumenti. Calcoliamo
questa probabilità. A ogni estrazione la probabilità che un numero venga
estratto è:
89



4 


  0,0556  p
 90 

5 



Si può modellizzare il tempo d’attesa di questo numero con una v.a.
geometrica X di parametro p che aspetta l’uscita della prima T nel lancio di
una moneta di trucco p. Calcoliamo la probabilità che T non sia uscita per
k-1 lanci, che corrisponde a X  k  1 , cioè T esce al k-esimo lancio,
cioè
X k :


P[{ X  k  1}  { X  k}] pq k 1
P[ X  k | X  k  1] 
 k 1  p
P[ X  k  1]
q
che è la probabilità che T esca alla prima estrazione.
13
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esempio
Il ragionamento, sbagliato e inconsapevole, è invece il seguente.
La probabilità di k C di fila, cioè dell’evento
P ({cc...ccc...cc})
k
{cccc...ccc...c}
k
è
(nel caso del lotto 0,9444k, che per k=100 è 0,9444100=0,0033). Allora
si è portati a giocare contro questo evento, quindi per il suo
complementare, che, nel caso k=100, è pari a 0,9967, ma questo
complementare non è {ccc...ccct} .
14
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esempio
ESERCIZIO 4: Una v.a. ha distribuzione uniforme sull’intervallo (-2,2).
Scrivete l’espressione della funzione di densità e la funzione di ripartizione
di X. Calcolare P(X>1).
SVOLGIMENTO
Nel nostro caso a=-2, b=2, quindi la funzione di densità è:
1

f ( x)   4
0
E la funzione di ripartizione è:
se x  (2,2)
altrove
x  2
0
x  2

FX ( x)  
2 x  2
 4
x2
1
Infine calcoliamo P(X>1)=1-P(X ≤1)=1-F(1)=1-3/4=1/4.
15
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 4: testo e svolgimento
ESERCIZIO 5: Vogliamo studiare il tempo d’attesa ad uno sportello bancario. So
che in media aspettiamo 4 minuti fra un cliente ed il successivo. Che modello
potremmo usare per descrivere il fenomeno? Quanto vale lo scarto quadratico
medio orario del tempo d’attesa?
SVOLGIMENTO
Fra quelli studiati, il modello adatto per descrivere questo fenomeno è
l’esponenziale negativa con parametro λ=1/4=0,25.
Abbiamo che Var(x)=1/λ2=1/0,0625 quindi
 X  Var( X )  1/ 0,0625  1/ 0,25  4
Questo vale in generale, cioè per una distribuzione esponenziale negativa
abbiamo che:
 X  X 
1

16
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 5: testo e svolgimento
ESERCIZIO
6:
Sia
X
una
f X ( x) 
v.a.
con
la
seguente
funzione
di
densità
1
 1

exp  - (x - 1) 2  dove -   x  
2 2
 8

Calcolare P(X>5) e P(|X|>4).
SVOLGIMENTO
Dalla funzione di densità deduciamo che X ha distribuzione normale con
media 1 e varianza pari a 4. Per calcolare le probabilità richieste
bisogna standardizzare X e poi utilizzare le tavole. Si ha che
 X 1 5 1 
P( X  5)  P

  P( Z  2)  1  P( Z  2)  1  0,9772  0,228
2
2


Inoltre
Quindi
Perciò
P( X | 4 |)  1  P(| X | 4)  1  P(4  X  4)
P(4  X  4)  P(2,5  Z  1,5)  P( Z  1,5)  P( Z  2,5) 
0,9332  (1  P( Z  2,5))  0,9332  1  0,9938  0,927
P(| X | 4)  1  0,927  0,073
17
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 6: testo e svolgimento
18
ESERCIZIO7: In un gioco si può vincere o perdere una somma aleatoria X
(vinco se X>0, perdo se X<0). Supponiamo che X sia una v.a. con
distribuzione normale standardizzata. Se gioco 5 volte e se gli esiti sono
tra loro indipendenti, con quale probabilità posso vincere almeno una
volta? E vincere esattamente due volte?
SVOLGIMENTO
X~N(0,1) quindi P(vincere)=P(X>0)=0,5; gioco 5 volte e le prove sono
indipendenti. Chiamo Yi il numero aleatorio pari a 1 se vinco l’i-esima giocata,
pari a 0 se perdo (i=1,2,3,4,5). Si ha che P(Yi=1)=P(vincita)=0,5, in altre
parole Yi è una bernoulliano da parametro θ=0,5. Gli sono Yi indipendenti.
Dunque il numero di vincite nelle 5 prove, che indichiamo con Y è dato da
5
Y   Yi
ed ha una distribuzione binomiale di parametri n=0,5 e
i 1
θ=0,5.
Le probabilità cercate sono quindi
P(almeno una vincita)=P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0,55=0,96875
e
5 
5 
P(esattamente due vincite)=P(Y=2)=  0,520,53=  0,55=0,3125
 2
 2
19
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 7: testo e svolgimento
Esercizio 8: Sapendo che il 30% dei passeggeri che hanno prenotato non
si presenta alla partenza, una compagnia aerea accetta fino a 28
prenotazioni in un volo con una capienza di 24 posti. Qual è la probabilità
che almeno un passeggero che ha regolarmente prenotato resti a terra? Si
supponga che i comportamenti dei passeggeri siano indipendenti.
SVOLGIMENTO
X = numero passeggeri che si presentano
Poiché in ipotesi i comportamenti dei passeggeri sono indipendenti, X conta
il numeri di successi in 28 prove indipendenti: X~B(28; 0,7).
 28  k 28k  28  25 2825  28  26 2826
P( X  25)   p(k )    0,7 0,3
  0,7 0,3
  0,7 0,3

k  25
k  25 k 
 25 
 26 
 28  27 2827  28  28 2828
 0,7 0,3
  0,7 0,3
 0,0157
 27 
 28 
28
28
20
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 8: testo e svolgimento
Esercizio 9: Un centralino riceve in un minuto di tempo un
telefonate X avente legge di Poisson di parametro λ=10.
probabilità
1)
non
arrivino
2)
arrivino
10
3) arrivino almeno 3 telefonate?
numero di
Qual è la
che:
telefonate?
telefonate?
SVOLGIMENTO
X = numero di telefonate in un minuto
In ipotesi si ha X ~P(10).
1)
e   0
P( X  0)  p(0) 
2)
3)
0!
 e 10
e 
P( X  10) 
 0,125
10!
10 10
P( X  3)  1  P( X  3)  1  ( p(0)  p(1)  p(2)) 
10
1
10
2
e
10
e
10
1  (e 10 

)  0,997
1!
2!
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 9: testo e svolgimento
21
Esercizio 10: Si suppone che la speranza di vita X di ogni membro di un
certo gruppo di persone sia una v.a. avente distribuzione esponenziale di
media 50 anni. Calcolare la probabilità che un individuo del gruppo in
questione
1) sopravviva fino all’età della pensione (65anni);
2) viva almeno fino a 70 anni, sapendo che ha appena festeggiato il suo
40-esimo compleanno;
3) calcolare la mediana, il primo ed il terzo quartile della distribuzione;
4) per quale valore di c tale che P(X>c)=0,6.
SVOLGIMENTO
X= speranza di vita, E(X)=50, X~E (50);
1)
P( X  65)  1  P( X  65)  1  FX (65)
y


50
1

e
FX ( x)  
0
 1  (1  e

65
50
)e

65
50
x0
altrove
 e1,3  0,27
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 10: testo e svolgimento
22
2)
P( X  70 | X  40) 
e
e


70
50
40
50
e

70 40

50 50
e

30
50
P( X  70, X  40) P( X  70)


P( X  40)
P( X  40)
 e 0, 6  0,55
Osserviamo che, come la legge geometrica, anche l’esponenziale gode
della proprietà di mancanza di memoria.
e

Infatti
e

30
50
30
50
è P(X>=30).
23
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 10: svolgimento
3)
x p : P( X  x p )  p
p  0,5

F ( x0,5 )  0,5
1 e

x0 , 5
50
 0,5
x0,5  50 ln( 0,5)
p  0,25

1 e
e

x0 , 5
50
 0,5

x0,5
50
 ln( 0,5)
 50 ln( 2)  34,7
F ( x0, 25 )  0,25

x0 , 25
50
 0,25
e

x0 , 25
50
 0,75

x0, 25

x0,75
50
 ln( 0,75)
x0, 25  50 ln( 0,75)  14,4
p  0,75

1 e
F ( x0,75 )  0,75

x0 , 75
50
 0,75
e

x0 , 75
50
 0,25
50
 ln( 0,25)
x0, 75  50 ln( 0,25)  69,3
24
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 10: svolgimento
4) Trovare c tale che P(X>c)=0,6
P( X  c)  0,6  1  P( X  c)  0,6 

c
50

c
50
1  (1  e )  0,6  e  0,6
c

 ln( 0,6)  c  50 ln( 0,6)  c  25,5
50
25
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 10: svolgimento
ESERCIZIO 11: Sia Z~N(0,1). Calcolare
1) P(0,53<=Z<=2,06)
2) P(Z>-1,77)
3) P(-0,79<=Z<1,52)
4) P(Z>2,89)
5) P(|Z|<1)
6) P(|Z|>2)
Determinare il valore c tale che
7) P(Z>=c)=0,05
8) P(|Z|<=c)=0,8
SVOLGIMENTO
1) P(0,53<=Z<=2,06)= P(Z<=2,06)- P(Z<=0,53)=Φ(2,06)-Φ(0,53)=0,980770,70194=0,0279
2) P(Z>-1,77)=1- P(Z<=-1,77)=1- Φ(-1,77)=1-(1- Φ(1,77))=Φ(1,77)=0,9616
3) P(-0,79<=Z<1,52)=Φ(1,52)-Φ(-0,79)=Φ(1,52)-(1-Φ(0,79))= Φ(1,52)1+Φ(0,79)=0,93574-1+0,78524=0,721
26
Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 11: testo e svolgimento
4) P(Z>2,89)=1-Φ(2,89)=1-0,99807=0,002
5) P(|Z|<1)= P(-1<Z<1)=Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-1+Φ(1)=2Φ(1)-1=2 0,841341=0,683
6) P(|Z|>2)=P(Z<-2)+P(Z>2)=Φ(-2)+1-Φ(2)=1-Φ(2)+1-Φ(2)=2-2Φ(2)=22·0,97725=0,0455
7) P(Z>=c)=0,05 implica 1-P(Z<c)=0,05, cioé 1-Φ(c)=0,05, Φ(c)=0,95 c=1,64
8) P(|Z|<=c)=0,8 implica P(-c<Z<c)=0,8, cioé Φ(c)-Φ(-c)=0,8, Φ(c)-1+Φ(c)=0,8
2Φ(c)-1=0,8 , 2Φ(c)=1,8, Φ(c)=0,9 c=1,28
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Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 11: testo e svolgimento
ESERCIZIO 12: Il punteggio ottenuto dagli studenti ad una prova scritta di un
esame universitario si può modellizzare con una v.a. continua di legge normale di
media 21 e varianza 9. Qual è la percentuale di studenti che hanno ottenuto un
voto superiore al 24? Qual è la percentuale degli studenti che hanno ottenuto un
voto inferiore alla sufficienza (<18)?
SVOLGIMENTO
X=punteggio alla prova scritta, X~N(21,9)
1)
X  21 24  21
P( X  24)  1  P( X  24)  1  P(

)
3
3
Z :
X  21
 N (0,1)
3
1  P( Z  1)  1  (1)  1  0,84134  0,159
Il 15,9% degli studenti ha ottenuto un voto maggiore o uguale a 24.
X  21 17  21

)  P( Z  1,333) 
2) P( X  17)  P(
3
3
(1,333)  1  (1,333)  1  0,90824  0,092
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Marta Giorgetti  Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue  Esercizio 12: testo e svolgimento