MATEMATICA NUMERICA

A. Quarteroni • R. Sacco • R Saleri
MATEMATICA
NUMERICA
Springer
Indice
Prefazione
XIII
1.
Elementi di analisi delle matrici
1.1 Spazi vettoriali
1.2 Matrici
y
1.3 Operazioni su matrici
'
1.3.1 Inversa di una matrice
1.3.2 Matrici e trasformazioni lineari
1.3.3 Operazioni sulle matrici partizionate a blocchi
1.4 Traccia e determinante
.'
1.5 Rango e nucleo di una matrice
1.6 Matrici particolari
1.6.1 Matrici diagonali a blocchi
1.6.2 Matrici trapezoidali e triangolari
1.6.3 Matrici a banda
1.7 Autovalori e autovettori
1.8 Trasformazioni per similitudine
1.9 La decomposizione in valori singolari (SVD)
1.10 Prodotto scalare tra vettori e norme vettoriali
1.11 Norme matriciali
1.11.1 Relazione tra le norme ed il raggio spettrale di una matrice
1.11.2 Successioni e serie di matrici
1.12 Matrici definite positive, a dominanza diagonale e M-matrici . .
1.13 Esercizi
1
1
3
4
7
8
8
9
10
11
11
12
12
13
14
17
18
22
27
28
29
32
2.
Stabilità, condizionamento e analisi dell'errore
2.1 Buona posizione e numero di condizionamento di un problema .
2.2 Stabilità di metodi numerici
2.2.1 Le relazioni tra stabilità e convergenza
2.3 Analisi a priori ed a posteriori
35
35
39
42
43
VI
Indice
2.4
2.5
Sorgenti di errore nei modelli computazionali
Rappresentazione dei numeri
2.5.1 II sistema posizionale
2.5.2_ II sistema dei numeri
floating-point
2.5.3 Distribuzione dei numeri floating-point
2.5.4 Aritmetica IEC/IEEE
2.5.5 Arrotondamento di un numero reale nella sua rappresentazione di macchina
2.5.6 Operazioni di macchina effettuate in virgola mobile
2.5.7 Operazioni floating-point fra matrici
2.6 Test d'accuratezza
2.7 Esercizi
3.
44
46
46
48
50
50
52
53
56
57
58
Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti
61
3.1 Analisi di stabilità per sistemi lineari
62
3.1.1 II numero di condizionamento di una matrice
62
3.1.2 Analisi a priori in avanti
64
3.1.3 Analisi a priori all'indietro
67
3.1.4 Analisi a posteriori
68
3.2 Risoluzione di sistemi triangolari
68
3.2.1 Aspetti implementativi dei metodi delle sostituzioni . . . .
69
3.2.2 Analisi degli errori di arrotondamento
71
3.2.3 Calcolo dell'inversa di una matrice triangolare
72
3.3 II metodo di eliminazione gaussiana (MEG) e la fattorizzazione LU 73
3.3.1 II MEG interpretato come metodo di fattorizzazione . . . .
76
3.3.2 L'effetto degli errori di arrotondamento
80
3.3.3 Aspetti implementativi della fattorizzazione LU
80
3.3.4 Forme compatte di fattorizzazione
82
3.4 Altri tipi di fattorizzazione
83
3.4.1 Fattorizzazione LDM T
83
-- ' 3.4.2 Matrici simmetriche e definite positive: fattorizzazione di
Cholesky
84
3.4.3 Matrici rettangolari: fattorizzazione QR
86
3.5 Pivoting
89
3.6 II calcolo dell'inversa
92
3.7 Sistemi a banda
93
3.7.1 Matrici tridiagonali
94
3.7.2 Aspetti computazionali
95
3.8 Sistemi a blocchi
97
3.8.1 Fattorizzazione LU a blocchi
97
3.8.2 Inversa di una matrice a blocchi
98
3.8.3 Sistemi tridiagonali a blocchi
99
3.9 Matrici sparse
100
3.9.1 L'algoritmo di Cuthill-McKee
102
Indice
4.
VII
3.9.2 Decomposizione in sottostrutture
3.9.3 Nested dissection
3.10 Accuratezza della soluzione generata dal MEG
3.11 Calcolo approssimato di K00(A)
3.12 Aumento dell'accuratezza
3.12.1 Scaling
3.12.2 Raffinamento iterativo
3.13 Sistemi indeterminati
3.13.1 Sistemi sovradeterminati
3.13.2 Sistemi sottodeterminati
3.14 Applicazioni
3.14.1 Analisi di una struttura iperstatica
3.14.2 Regolarizzazione di una griglia di discretizzazione
3.15 Esercizi
103
106
106
110
Ili
Ili
112
113
113
116
117
117
119
122
Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi
4.1 Generalità
4.2 Costruzione di metodi iterativi lineari
4.2.1 I metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e del rilassamento . . .
4.2.2 Risultati di convergenza per i metodi di Jacobi e di GaussSeidel
4.2.3 Risultati di convergenza per il metodo di rilassamento . . .
4.2.4 II caso di una matrice a blocchi
4.2.5 Forma simmetrica dei metodi di Gauss-Seidel e di SOR . .
4.2.6 Aspetti implementativi
4.3 Metodi iterativi stazionari e non stazionari
4.3.1 Analisi di convergenza per i metodi stazionari
4.3.2 Matrici di precondizionamento
4.3.3 II metodo del gradiente
4.3.4 II metodo del gradiente coniugato
4.3.4.1 II metodo del gradiente coniugato, precondizionato
4.4 Metodi di tipo gradiente per sistemi non simmetrici
4.5 Criteri di arresto
4.5.1 Un criterio basato sul controllo dell'incremento
4.5.2 Un criterio d'arresto basato sul controllo del residuo . . . .
4.6 Applicazioni
4.6.1 Analisi di urta .rete elettrica di resistori
4.6.2 Studio con differenze finite della flessione di una trave . . .
4.7 Esercizi
125
125
128
129
130
133
134
134
135
137
138
141
145
148
152
153
158
159
161
162
162
164
166
Vili
Indice
5.
Approssimazione di autovalori e autovettori
5.1 Localizzazione geometrica degli autovalori
5.2 Analisi di stabilità e condizionamento
5.2.1 Stime a priori
5.2.2 Stime a posteriori
5.3 II metodo delle potenze
5.3.1 Calcolo dell'autovalore di modulo massimo
5.3.2 Calcolo dell'autovalore di modulo minimo
5.3.3 Aspetti computazionali e di implementazione
5.4 Metodi basati sulle iterazioni QR
5.5 II metodo QR
5.6 II metodo QR per matrici in forma di Hessenberg
5.6.1 Matrici di trasformazione di Householder e di Givens . . . .
5.6.2 Riduzione di una matrice in forma di Hessenberg
5.6.3 Fattorizzazione QR di una matrice in forma di Hessenberg .
5.6.4 La tecnica dello shift
5.6.5 Aspetti di implementazione delle matrici di trasformazione .
5.7 Metodi per il calcolo di autovalori di matrici simmetriche . . . .
5.7.1 II metodo di Jacobi
5.7.2 II metodo delle successioni di Sturm
5.8 II metodo di Lanczos
5.9 Applicazioni
5.9.1 Calcolo delle frequenze naturali di una rete RLC
5.9.2 Determinazione del carico critico di una trave
5.10 Esercizi
169
169
172
173
176
178
178
181
181
185
186
188
189
191
193
194
197
199
199
202
205
207
207
209
211
6.
Ricerca di radici di equazioni non lineari
6.1 Condizionamento di un'equazione non lineare
6.2 Un approccio geometrico per la ricerca delle radici
6.2.1 II metodo di bisezione
6.2.2 I metodi delle corde, secanti, Regula Falsi e Newton . . . .
6.2.3 II metodo di Dekker-Brent
6.3 II metodo delle iterazioni di punto
fisso
6.3.1 Risultati di convergenza per alcuni metodi di punto fisso . .
6.4 Radici di polinomi algebrici
6.4.1 II metodo di Horner e la deflazione
6.4.2 II metodo di Newton-Horner
6.4.3 II metodo di Muller
6.5 Criteri d'arresto
6.6 Tecniche di post-processing per metodi iterativi
6.6.1 La tecnica di accelerazione di Aitken
6.6.2 Tecniche per il trattamento di radici multiple
6.7 Applicazioni
6.7.1 Analisi dell'equazione di stato di un gas reale
215
216
218
219
221
226
227
230
232
232
234
237
240
242
242
245
247
247
Indice
6.8
7.
8.
6.7.2 Analisi di un circuito elettrico non lineare
Esercizi
Metodi per sistemi non lineari e problemi di ottimizzazione
7.1 Risoluzione di sistemi di equazioni non lineari
7.1.1 II metodo di Newton e le sue varianti
7.1.2 Metodi di tipo secanti
7.1.3 Metodi di punto
fisso
7.2 Ottimizzazione non vincolata
7.2.1 Metodi di tipo gradiente: caso generale
7.2.2 Metodi di tipo gradiente per funzioni quadratiche
7.2.3 Metodi di tipo Newton per la minimizzazione di funzioni . .
7.2.4 Metodi quasi-Newton
7.2.5 Metodi di tipo secanti
7.3 Ottimizzazione vincolata
7.3.1 II metodo di penalizzazione
7.3.2 II metodo dei moltiplicatori di Lagrange . .,7.4 Applicazioni
7.4.1 Risoluzione di un sistema non lineare nella simulazione di
dispositivi a semiconduttore
7.4.2 Regolarizzazione di una griglia di discretizzazione con una
procedura non lineare
7.5 Esercizi
IX
248
250
253
254
255
260
262
264
266
267
269
270
274
276
278
279
281
281
284
286
Approssimazione polinomiale di funzioni e dati
289
8.1 Interpolazione polinomiale
289
8.1.1 L'errore di interpolazione
291
8.1.2 Limiti dell'interpolazione polinomiale su nodi equispaziati e
controesempio di Runge
292
8.1.3 Stabilità dell'interpolazione polinomiale
293
8.2 Forma di Newton del polinomio interpolatore
294
8.2.1 Alcune proprietà delle differenze divise di Newton
296
8.2.2 L'errore di interpolazione usando le differenze divise . . . . 299
8.3 Interpolazione composita di Lagrange
299
8.4 Interpolazione di Hermite
301
8.5 L'estensione al caso bidimensionale
302
8.5.1 Interpolazione polinomiale semplice
•
302
8.5.2 Interpolazione polinomiale composita
303
8.6 Funzioni spiine monodimensionali (univariate)
306
8.6.1 Spiine cubiche interpolatorie
307
8.6.2 B-spline.
311
8.7 Curve spiine di tipo parametrico
316
8.7.1 Curve di Bézier e B-spline parametriche
318
8.8 Applicazioni
321
Indice
8.8.1 Studio con elementi finiti della flessione di una trave incastrata322
8.8.2 Ricostruzione geometriche da TAC
325
8.9 Esercizi
327
9.
Integrazione numerica
9.1 Formule di quadratura interpolatorie
9.1.1 La formula del punto medio o del rettangolo
9.1.2 La formula del trapezio
9.1.3 La formula di Cavalieri-Simpson
9.2 Formule di Newton-Cotes
9.3 Formule di Newton-Cotes composite
9.4 Formule di quadratura di Hermite
9.5 L'estrapolazione di Richardson
9.5.1 II metodo di integrazione di Romberg
9.6 Integrazione automatica
9.6.1 Algoritmi di integrazione non adattivi
9.6.2 Algoritmi di integrazione adattivi
:
9.7 Integrali generalizzati (o impropri)
9.7.1 Integrali di funzioni con discontinuità di prima specie . . . .
9.7.2 Integrali di funzioni con discontinuità di seconda specie . .
9.7.3 Integrali su intervalli illimitati
,. .
9.8 Integrazione numerica in più dimensioni
9.8.1 II metodo della formula di riduzione
9.8.2 Quadrature composite bidimensionali
9.8.3 Metodi di integrazione di tipo Monte Carlo
9.9 Applicazioni
9.9.1 Calcolo della superficie di un ellissoide
9.9.2 Calcolo della forza del vento sull'albero di una barca . . . .
9.10 Esercizi
329
330
330
332
334
336
341
344
346
348
349
350
352
356
357
357
360
361
361
363
366
367
368
369
371
10. I polinomi ortogonali nella teoria dell'approssimazione
10.1 Approssimazione di funzioni con serie generalizzate di Fourier . .
10.1.1 I polinomi di Chebyshev . . . :
10.1.2 I polinomi di Legendre
10.1.3 I polinomi di Jacobi
10.2 Integrazione ed interpolazione Gaussiana
10.3 Integrazione ed interpolazione di Chebyshev
10.4 Integrazione ed interpolazione di Legendre
10.5 Integrazione Gaussiana su intervalli illimitati
10.6 Programmi per l'implementazione delle formule Gaussiane . . . .
10.7 Approssimazione-di una funzione nel senso dei minimi quadrati .
10.7.1 I minimi quadrati discreti
10.8 II polinomio di migliore approssimazione
10.9 I polinomi trigonometrici di Fourier
375
375
377
378
379
379
383
386
387
389
391
391
393
394
Indice
10.10 La trasformata rapida di Fourier
10.11 Approssimazione delle derivate di una funzione
10.11.1 Metodi alle differenze finite classiche
10.11.2 Differenze finite compatte
10.11.3 La derivata pseudo-spettrale
10.12 Applicazioni
10.12.1 Calcolo della radiazione da corpo nero
10.12.2 Risoluzione dell'equazione di Schrodinger
10.13 Esercizi
XI
398
401
402
403
406
408
408
410
412
11. Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie
415
11.1 II problema di Cauchy
415
11.2 Metodi numerici ad un passo
418
11.3 Analisi dei metodi ad un passo
420
11.3.1 La zero-stabilità
421
11.3.2 Analisi di convergenza
423
11.3.3 L'assoluta stabilità
426
11.4 Le equazioni alle differenze
:'
429
11.5 I metodi a più passi (o multistep)
433
11.5.1 I metodi di Adams
435
11.5.2 I metodi BDF
437
11.6 Analisi dei metodi multistep
437
11.6.1 Consistenza
437
11.6.2 Le condizioni delle radici
439
11.6.3 Analisi di stabilità e di convergenza per i metodi multistep 440
11.6.4 L'assoluta stabilità nei metodi multistep
444
11.7 I metodi predictor-corrector
448
11.8 Metodi di tipo Runge-Kutta
450
11.8.1 Derivazione di un metodo RK esplicito
453
11.8.2 Adattività del passo per i metodi RK
454
11.8.3 Metodi RK impliciti
456
11.8.4 Regioni di assoluta stabilità per i metodi RK
458
11.9 II caso dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie
459
11.10 I problemi stiff
461
11.11 Applicazioni
463
11.11.1 Studio del movimento di un pendolo senza attrito
464
11.11.2 Un modello semplificato della turbolenza atmosferica . . . . 465
11.12 Esercizi
467
Bibliografìa
471
Indice dei programmi MATLAB
481
Indice analitico
483