aa 2010/2011 universita` degli studi di trieste

A.A. 2010/2011
UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI TRIESTE
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FACOLTA’ DI INGEGNERIA
PROGRAMMA DEL CORSO DI
DOCENTE
ANALISI NUMERICA I
Alfredo BELLEN
PREMESSE: Conoscenze di base del linguaggio MATLAB e delle funzioni relative ai
temi trattati nel corso. Files script e function. Rappresentazione floating point dei numeri
reali. Errore assoluto e relativo. L’epsilon di macchina. Stabilita’ come dipendenza dalle
perturbazioni sui dati di un problema e di un algoritmo. Analisi differenziale dell’errore e
indici di condizionamento.Calcolo dell’epsilon di macchina. Esempi. L’algoritmo
naturale e di Horner per i polinomi.
INTERPOLAZIONE. Approssimazioni di funzioni. Varie classi di approssimazione
(polinomi algebrici, trigonometrici, esponenziali, polinomi a tratti, splines, ecc).
Polinomio di Taylor. I e II Teorema di Weierstrass. Polinomi di Bernstein. Interpolazione
di Lagrange. Determinante di Vandermonde. Stima dell'errore per funzioni di classe C.
Il caso dei nodi equidistanti. Il fenomeno di Runge. Polinomi di Chebishev e sua
proprieta’ ottimale. Differenze divise e polinomio di Newton. Nodi semplici e multipli.
Interpolazione di Hermite e di Birkoff. Interpolazioni a tratti: errore e convergenza.
Interpolazione “shape preserving”. Interpolazione con funzioni spline cubiche naturali,
periodiche, complete e not-a-knote.
Interpolazione trigonometrica e base esponenziale complessa. Trasformata discreta di
fourier DFT e trasformata inversa IDFT.Applicazione della DFT: filtraggio e ricerca di
cicli nei dati. La trasformata rapida FFT
MINIMI QUADRATI: Interpolazione sopradimensionata e sistemi lineari
sopradimensionati. Premesse di algebra lineare. Soluzione ai minimi quadrati.
L’equazione normale. Esistenza e unicita’ della soluzione ai minimi quadrati. Matrici di
rango massimo e non singolarita’ di ATA. La fattorizzazione QR e l’indice di
condizionamento. La decomposizione ai valori singolari per la soluzione di norma
minima.
FORMULE DI QUADRATURA E APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONALI LINEARI.
Formule Lagrangiane e di Newton-Cotes. Ordine polinomiale per n pari e dispari. Stima
dell'errore e convergenza in base all’ordine polinomiale. Formule composte dei trapezi e
di Cavalieri-Simpson e loro ordine di convergenza. Soglia d’errore di discretizzazione +
errore di troncamento. Estrapolazione di Richardson e quadratura adattativa. Sviliuppo
asintotico dell’errore delle formule di quadratura e di altri funzionali lineari (derivata
prima, derivata seconda).
ALGEBRA LINEARE. Premesse di algebra lineare: Notazione "colonna" dei vettori.
Prodotto scalare e prodotto di matrici. Forme quadratiche, matrici simmetriche,
hermitiane, ortogonali ed unitarie. Matrici di permutazione. Autovalori ed autovettori.
Polinomio caratteristico associato. Matrici definite e semidefinite. Teorema di
Gerschgorin.. Norme di vettori e di matrici. Equivalenza delle norme. Norme compatibili.
Raggio spettrale e sue proprietà. Le norme ||A||1, ||A||2, ||A||. Serie di von Neumann e
condizioni di convergenza. Sistemi lineari strutturati derivati da discretizzazioni di
equazioni differanziali. Discretizzazione del problema dei due punti e positivita’ della
matrice tridiagonale. La matrice di Hilbert ed i sistemi mal condizionati come esempio di
fallacita’ del criterio del residuo per la stima dell’errore.
RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI. Splitting e Metodi iterativi. Il metodo di Jacobi: e
di Gauss-Seidel. Convergenza per matrici a predominanza diagonale e per matrici
tridiagonali Caratteristiche di parallelizzabilita’ del metodi di Jacobi. Criteri d’arresto a
“priori” e “a posteriori”.
Il metodo di riduzione di Gauss e la fattorizzazione LU. Strategie con e senza "pivoting".
Unicità della fattorizzazione LU. Algoritmo della pavimentazione e fattorizzazione di
Choleski. Complessita’ computazionale. Lemma di perturbazione di Banach.
Condizionamento del sistema lineare e indici di condizionamento della matrice. Calcolo
del residuo e stima dell'errore. Analisi “all’indietro” di Wilkinson. Raffinamento iterativo.
EQUAZIONI NON LINEARI. Metodo dicotomico, metodi iterativi e teorema generale di
convergenza per il problema di punto fisso per equazioni scalari e per sistemi.Iterazione
di Picard. Metodo di Newton e delle secanti nel caso scalare e loro ordine di
convergenza. Stima dell’errore e criterio di convergenza locale. Il caso delle radici
multiple. Cenni sui sistemi di equazioni. Il metodo di Newton-Raphson, Newton
modificato e delle secanti. Metodo dell’omotopia per i sistemi.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI: Il problema di Cauchy. Metodi di Eulero Esplicito, Eulero
implicito e Trapezi. Formato generale di un metodo a un passo con la funzione
incrementale. Errore locale di discretizzazione ed errore di propagazione. Teorema di
convergenza dei metodi a un passo e ordine di convergenza globale. La condizione di
stabilita’ per la crescita lineare dell’errore rispetto alla finestra di integrazione. Il metodo
di Heunn e di Eulero Generalizzato come perturbazione del metodo dei trapezi. La
lipschitzianita’ della funzione incrementale dei tre metodi E.E, E.I. e TR. La A-stabilita’.
La funzione di A-stabilita’ dei 3 metodi e loro regione di stabilita’ .
TESTI CONSIGLIATI:
A. Bellen: Corso di Analisi Numerica (gia’ :Calcolo Numerico Triennale)
(appunti disponibili in rete http://www.dmi.units.it/~bellen )
L. Torelli e S. Maset: Introduzione a MATLAB (appunti disponibili in rete
http://www.dmi.units.it/corsi )