Istituzioni di Analisi Superiore Esercizi

Istituzioni di Analisi Superiore
Esercizi
G.P.Leonardi
13 aprile 2010
Nota: gli esercizi delle sezioni 2–4 sono stati tratti in buona parte da una raccolta di esercizi di Analisi Funzionale ad opera
di H.Brezis e G.Tronel (mai pubblicata), ad eccezione dell’esercizio 3.1, tratto dal “Functional Analysis” di W. Rudin.
1
Spazi metrici e normati
1.1 Dimostrare che se (X, d) è uno spazio metrico completo e (B̄n )n = (B̄(xn , rn ))n è una successione di palle chiuse, tali
che B̄n+1 ⊂ B̄n per ogni n e limn rn = 0, allora
∞
\
B̄n 6= ∅.
n=1
1.2 Dato n ∈ N, sia Σn il sottospazio di C 0 ([0, 1]) costituito dalle funzioni affini a tratti sugli intervalli di tipo [k/n, (k+1)/n],
con 0 ≤ k < n intero. Dimostrare che (Σn , k · k∞ ) è isometrico a Rn+1 munito della norma | · |∞ , ovvero esibire un’isometria
fra i due spazi.
1.3 Sia k · k una norma su Rn . Si chiede di:
1. dimostrare che, preso un generico y ∈ Rn , la funzione gy (x) = kx − yk è convessa;
2. dedurre dal punto precedente che, dato un insieme S ⊂ Rn , si ha
diam(coh(S)) = diam(S),
dove diam(A) = sup{kx − yk : x, y ∈ A}, mentre coh(S) indica il convessificato di S, ovvero il più piccolo insieme
convesso contenente S.
1.4 Dato l’intervallo [0, 1] ed un intero n, si consideri l’insieme Fn costituito dalle funzioni f ∈ C 0 ([0, 1]) che sono affini (cioè
a derivata costante) su ogni intervallo di tipo (i/n, (i + 1)/n) con i = 0, . . . , n − 1 e per cui valga kf k∞ ≤ 100. Dimostrare
che
(i) Fn è chiuso e limitato nello spazio C 0 ([0, 1]) munito della norma k · k∞ ;
(ii) Fn è totalmente limitato (rispetto alla norma k · k∞ );
(iii) Fn è sequenzialmente compatto.
1
1.5 Dire se le seguenti funzioni sono semicontinue inferiormente/superiormente (s.c.i. / s.c.s) sul relativo insieme di
definizione, e rispetto alle relative metriche euclidee:

(
 sin x
1 se x ≥ 3,
se x ∈ R \ {0},
g(x) =
f (x) =
x
0
0 se x < 3.
se x = 0,
x2
,
ε→0 x2 + y 2 + ε2
h(x, y) = lim
(x, y) ∈ R2 .
1.6 Dimostrare che il Lemma di Baire, enunciato in termini di una successione di aperti densi, è equivalente al seguente:
sia
S
(Cn )n una successione di chiusi dello spazio metrico completo (X, d) privi di punti interni, allora la loro unione n Cn è un
insieme privo di punti interni. Dimostrare inoltre che
• se E ⊂ X è un insieme magro (cioè unione numerabile di insiemi - detti radi - la cui chiusura è priva di punti interni),
allora il suo complementare non può essere magro;
• l’unione numerabile di insiemi magri è un insieme magro;
• l’intersezione numerabile di aperti densi non può essere magra.
1.7 Dimostrare che il sottoinsieme D ⊂ C 0 ([a, b]) (con la norma/metrica del sup) delle funzioni che hanno derivata in almeno
un punto dell’intervallo è un insieme magro (vedere definizione nell’esercizio 1.6). Suggerimento: scrivere
[
D=
An,m ,
n,m
dove
An,m = {f ∈ C 0 ([a, b]) : ∃ x ∈ [a, b], |f (x + t) − f (x)| ≤ n|t|, ∀ |t| ≤ 1/m},
quindi mostrare che An,m è un chiuso privo di punti interni (attenzione! il punto x rispetto al quale f ∈ An,m ha rapporto
incrementale localmente limitato può dipendere dalla f stessa, quindi per mostrare la chiusura di An,m occorre usare ad un
certo punto la compattezza di [a, b]...)
1.8 Sia X = R munito della metrica euclidea e sia E un suo sottoinsieme. Dimostrare che
• se E è (al più) numerabile, allora è magro (ad esempio, i numeri razionali sono un insieme magro);
• esistono insiemi chiusi aventi misura di Lebesgue positiva e che sono radi (quindi a maggior ragione magri), mentre
esistono insiemi di misura nulla che non sono magri: ciò dimostra che la categoria di Baire è un concetto puramente
metrico, in generale non collegato alla teoria della misura. Suggerimento: costruire una sequenza di aperti densi in R
ma aventi misura di Lebesgue via via sempre più piccola.
2
Uniforme limitatezza
2.1 Siano E ed F due spazi di Banach e sia (Tn )n una successione di operatori lineari da E in F , tale che Tn (x) converge ad
un elemento di F (denotato con T (x)) per n → ∞ e per ogni x ∈ E. Dimostrare che xn → x in E implica Tn (xn ) → T (x)
in F .
2.2 Siano E ed F due spazi di Banach e sia a(x, y) : E × F → R una forma bilineare separatamente continua, ovvero tale
che
1. x → a(x, y) è continua per ogni y ∈ F ;
2. y → a(x, y) è continua per ogni x ∈ E.
2
Si dimostri che esiste una costante C ≥ 0 tale che |a(x, y)| ≤ C kxk kyk, per ogni x ∈ E ed ogni y ∈ F , e quindi che la forma
bilineare a(x, y) è continua rispetto alla topologia prodotto su E × F . (Suggerimento: dimostrare attraverso il principio di
uniforme limitatezza che la mappa che associa a x ∈ E il funzionale lineare e limitato Ax ∈ F ∗ definito come Ax (y) = a(x, y)
è anch’essa lineare e limitata...)
0
2.3 Sia a = (an )n una successione di numeri reali e sia 1 ≤ p ≤ ∞. Dimostrare che a ∈ lp (dove p0 è l’esponente coniugato
di p) se e solo se per ogni x = (xn )n ∈ lp vale
X
|an ||xn | < ∞.
n
2.4 Siano 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ e sia a(x) una funzione misurabile su Ω (rispetto ad una misura che diamo per sottintesa).
Supponiamo che per ogni u ∈ Lp (Ω) si abbia au ∈ Lq (Ω). Dimostrare che a ∈ Lr (Ω), dove 1q = p1 + 1r . (Suggerimento:
usare la disuguaglianza di Hölder nella forma equivalente kf gkq ≤ kf kp kgkr - vedere esercizio 5.1 - quindi applicare il
teorema del grafico chiuso combinato col fatto che la convergenza in norma Lq implica la convergenza quasi ovunque per una
sottosuccessione.)
2.5 Sia X uno spazio metrico compatto e sia µ una misura di Borel finita su X. Indichiamo con C 0 (X) lo spazio delle
funzioni continue su X munito della norma k · k∞ . Sia (uk )k una successione di funzioni densa in C 0 (X). Diciamo che la
sequenza di funzionali
n
X
Jn (f ) =
ρnj f (xnj ),
j=0
ciascuno definito a partire dai coefficienti ρnj e dai reticoli di punti {xnj } ⊂ X, rappresenta una formula di quadratura se
per ogni n, k ∈ N vale
Z
Jn (uk ) =
uk dµ.
X
Si chiede di dimostrare la caratterizzazione seguente: una formula di quadratura è convergente su C 0 (X), ovvero Jn (f ) ha
limite finito per n → ∞ e per ogni f ∈ C 0 (X), se e solo se esiste una costante C > 0 tale che, per ogni n ∈ N, valga
n
X
|ρnj | ≤ C.
j=0
Infine, si dimostri che una formula di quadratura convergente verifica in effetti
Z
lim Jn (f ) =
f dµ
n
X
per ogni f ∈ C 0 (X).
3
Teorema di Hahn-Banach e separazione di convessi
3.1 (Limite di Banach) Consideriamo l’insieme M ⊂ l∞ definito da
M = {x ∈ l∞ : ∃ lim
n
x1 + · · · + xn
∈ R},
n
ovvero, M è costituito dalle successioni limitate che sono convergenti nel senso di Cesàro. Si dimostri che
(i) M è un sottospazio vettoriale di l∞ ;
(ii) p : l∞ → R definito da
p(y) = lim sup
n
y1 + · · · + yn
n
è un funzionale omogeneo convesso che verifica p(y) ≤ kyk∞ per ogni y ∈ l∞ ;
(iii) λ : M → R definito da λ(x) = lim
n
ogni x ∈ M ;
x1 + · · · + xn
è un funzionale lineare e limitato su M , verificante λ(x) ≤ p(x) per
n
3
(iv) esiste un funzionale lineare e continuo Λ su l∞ che estende λ e verifica per ogni y ∈ l∞
lim inf yn ≤ Λ(y) ≤ lim sup yn ;
n
n
(v) Λ(y) = Λ(τ y) per ogni y ∈ l∞ , dove (τ y)n = yn+1 per ogni n ≥ 1. Λ viene detto limite di Banach.
3.2 Siano X, Y i due sottoinsiemi di l1 definiti come segue:
X = {x = (xn )n ∈ l1 : x2n = 0 ∀ n ≥ 1},
Y = {y = (yn )n ∈ l1 : y2n =
1
y2n−1 ∀ n ≥ 1}.
2n
(i) Verificare che X e Y sono due sottospazi chiusi di l1 , tali che X + Y è un sottospazio denso in l1 .
(ii) Detta c ∈ l1 la successione definita da c2n−1 = 0 e c2n =
1
2n
per ogni n ≥ 1, verificare che c ∈
/ X +Y.
(iii) Posto Z = X − c, si osservi che Z ∩ Y = ∅, ma Z e Y non possono essere separati da alcun iperpiano chiuso (ovvero
da alcuna forma lineare continua su l1 ).
4
Convergenze e topologie deboli
4.1 Dimostrare che il limite di una successione (xn )n debolmente convergente in uno spazio normato è unico. Idem per una
successione debolmente ∗ convergente nel duale di uno spazio normato.
4.2 Supponiamo xn * x nello spazio normato E. Dimostrare che, detta σn =
x1 +···+xn
,
n
si ha σn * x.
4.3 Supponiamo xn successione in E equilimitata in norma e tale che, per un certo sottoinsieme denso S ⊂ E ∗ , si abbia
σ(xn ) → 0 per n → ∞, per ogni σ ∈ S. Dimostrare che xn * 0 debolmente in E. Valutare poi se la convergenza debole
continua a sussistere anche in assenza dell’ipotesi di equilimitatezza di kxn k.
4.4 Sia E uno spazio normato e C ⊂ E un sottoinsieme convesso. Dimostrare che la chiusura di C nella topologia forte
coincide con quella rispetto alla topologia debole σ.
4.5 (Lemma di Mazur) Sia xn * x (debole) in E. Allora per ogni n esiste N ≥ n ed yn ∈ coh{xn , . . . , xN }, tale che yn → x
(forte) in E. (Suggerimento: sfruttare il fatto dimostrato nell’esercizio 4.4.)
4.6 Sia E = l∞ e si consideri la successione di funzionali fn : E → R definita da fn (x) = xn per ogni x = (xi )i ∈ l∞ .
Dimostrare che
1. fn è continuo per ogni n e vale kfn k = 1;
2. la successione (fn )n non ammette sottosuccessioni debolmente
∗
convergenti.
Infine, valutare come mai questo fatto non contraddice il teorema di Banach-Alaoglu ed il teorema sulla compattezza
sequenziale debole ∗ negli spazi duali.
5
Spazi Lp e distribuzioni
5.1 Denotiamo con Lp lo spazio Lp (Ω, µ), dove µ è una misura su un insieme Ω e p ∈ [1, ∞]. Dati p, q, r ∈ [1, ∞] tali che
1
1
1
r = p + q , dimostrare che kf gkr ≤ kf kp kgkq per ogni f, g funzioni µ-misurabili su Ω.
5.2 Dati 1 ≤ p ≤ r ≤ q ≤ ∞, e preso λ ∈ [0, 1] tale che
1
r
=
λ
p
+
1−λ
q ,
dimostrare che
kf kr ≤ kf kλp · kf k1−λ
.
q
(1−λ)r
= 1, quindi distinguendo eventualmente i casi in cui si presenti l’esponente ∞ dagli
(Suggerimento: osservare che λr
p +
q
altri, concludere utilizzando la disuguaglianza di Hölder).
4
5.3 Sia µ(Ω) < ∞ e sia k · kp la norma dello spazio Lp (Ω, µ). Dimostrare che lim kf kp = kf k∞ (il che peraltro giustifica la
p→∞
notazione k · k∞ ).
5.4 Verificare che la successione di funzioni (fn )n definite da
(
n se x ∈ [0, 1/n],
fn (x) =
0 altrimenti
è equilimitata in L1 (R), ma non ammette sottosuccessioni debolmente convergenti ad alcuna funzione di L1 (R) (ciò conferma
la non riflessività di L1 ...)
5.5 Sia 1 < p < ∞ e sia (fn )n una successione in Lp (Ω) (la misura µ è sottintesa) tale che
1. (fn )n è limitata in Lp (Ω);
2. fn → f quasi ovunque su Ω.
Allora fn * f debolmente in Lp (Ω). (Suggerimento: prima di tutto, si supponga che fn * f˜ debolmente in Lp (Ω), quindi
utilizzando il Lemma di Mazur di cui all’esercizio 4.5 si dimostri che f˜ = f quasi ovunque su Ω. Dopodiché, si utilizzi la
compattezza debole sequenziale combinata con un ragionamento per assurdo.)
5.6 Dimostrare che la successione fn (x) = sin(nx) per x ∈ (0, 1) converge debolmente a 0 in L2 (0, 1), ma non ammette
alcuna sottosuccessione convergente quasi ovunque a 0. (Suggerimento: usare la densità delle funzioni costanti a tratti su
intervalli diadici per testare la convergenza debole - vedere anche esercizio 4.3 - applicando il teorema di integrazione per
parti su tali sottointervalli. Quindi, dimostrare l’ultima parte dell’asserto ragionando per assurdo ed applicando il teorema
di convergenza dominata). Ciò significa che in generale la convergenza debole non implica la convergenza quasi ovunque
(confrontare con l’esercizio 5.5).
5.7 Dimostrare che l∞ non è separabile. Per quali spazi di misura (Ω, µ) si ha che L∞ (Ω, µ) è separabile?
5.8 Sia T ∈ D0 (R) una distribuzione, ovvero un funzionale lineare sullo spazio delle funzioni test D(R) sequenzialmente
continuo rispetto alla convergenza di successioni (ϕn )n definita in D(R). Dimostrare che T è continuo rispetto alla topologia
introdotta in D(R).
5.9 Dimostrare che la successione di funzioni sommabili (fn )n definite da fn (x) = n se x ∈ [0, 1/n] e fn (x) = 0 altrimenti,
converge (debolmente) nel senso delle distribuzioni alla delta di Dirac centrata in 0.
5.10 Dimostrare che, data una funzione f ∈ L1loc (R) e ponendo g(t, x) = f (x − t) per (t, x) ∈ R2 , si ha
(i) g ∈ L1loc (R2 );
(ii)
∂2g
∂t2
=
∂2g
∂x2 ,
dove le derivate sono da intendersi nel senso delle distribuzioni su R2 .
5.11 Consideriamo la serie di Fourier
X sin(nx)
, convergente puntualmente su [−π, π] alla funzione
n
n≥1

π−x

 2
f (x) = − π+x
2


0
se 0 < x ≤ π,
se − π ≤ x < 0,
se x = 0.
(i) Mostrare che la derivata di f (x) (intesa come funzione periodica definita su R) in senso distribuzionale è data da
+∞
X
1
Df = − + π
δ(x − 2kπ).
2
k=−∞
(ii) Verificare che la serie delle derivate termine a termine
X
n≥1
5
cos(nx) converge nel senso delle distribuzioni a Df .