Corso di laurea in Matematica
Analisi Matematica 3
1. a) Dimostrare che per ogni z ∈ C
sin2 z + cos2 z = 1.
b) Dimostrare le formule di addizione del seno e del coseno in C.
(Si sfruttino le formule di Eulero).
2. Risolvere l’equazione cos z = 1/2,
(z ∈ C).
3. Verificare che
a) sin(ix) = i sinh x,
b) cos(ix) = cosh x
per ogni x ∈ R.
4. Dati z, w ∈ C, con zw 6= 1, dimostrare che
w−z se |z| < 1 e |w| < 1,
1 − wz < 1
e che vale l’uguaglianza se e solo se |z| = 1 o |w| = 1.
[Suggerimento: osservare che è sufficiente trattare il caso z ∈ R].
5. Sia φ : z 7→ sin z : C → C. Verificare che l’immagine tramite φ delle
linee parallele all’asse reale sono ellissi, mentre le immagini delle linee parallele
all’asse immaginario sono iperboli.
6.
ez − 1
= 1.
z→0
z
Dimostrare che lim
7. Siano G e Ω aperti di R2 per i quali la funzione
φ(ϑ, ̺) = (̺ cos ϑ, ̺ sin ϑ) ,
φ: G → Ω
sia biiettiva. Verificare che f = u + iv : Ω → C soddisfa le condizioni di CauchyRiemann se e solo se f˜ = ũ + iṽ = f ◦ φ soddisfa le condizioni:
∂ ũ
1 ∂ṽ
=
,
∂̺
̺ ∂ϑ
∂ ũ
∂ṽ
= −̺ .
∂ϑ
∂̺
8. Sia Ω un aperto di C simmetrico rispetto all’asse reale e f ∈ H (Ω). Si
definisca la funzione g(z) = f (z). Dimostrare che g ∈ H (Ω).
1
9. Studiare la convergenza delle seguenti serie di potenze:
a)
X zn
,
nα
d)
g)
b)
X
X (n!)2
zn;
(2n)!
e)
X log n
X 2n
h)
X
n2
(α > 0);
z n;
n!(z/n)n ;
n2n
zn;
2
c)
X
z n /n!
f)
X
an
zn
+ bn
(a, b > 0);
z n! .
Può essere utile utilizzare la formula di Stirling
n!
= 1.
lim √
2πn (n/e)n
n→+∞
10. Sia a ∈ [0, 2π). Studiare la convergenza della serie
∞
X
cos(na)z n
n=0
e calcolarne la somma.
11. Sia f una funzione analitica su un aperto connesso Ω di C. Sia φ : G →
R di classe C 1 su un aperto G di C e sia c un valore regolare per φ (cioè dφ non
si annulla mai nei punti di φ−1 (c)). Dimostrare che se f ∈ H (Ω) è una funzione
la cui immagine è contenuta nella curva C = φ−1 (c)), allora f è costante.
[Si sfrutti il fatto che se f ′ ≡ 0 allora f è costante].
12. Scrivere lo sviluppo di Taylor della funzione f (z) = 1/(z 2 − z − 2)
relativo al punto z0 = 0 (si utilizzi la decomposizione in frazioni parziali).
z2
e
. Qual è il raggio di convergenza della serie di Taylor
13. Sia f (z) = z2 (2−z)
di f relativa al punto z0 = i?
14. Scrivere alcuni termini dello sviluppo di Taylor della funzione f (z) =
ez sin z relativo al punto z0 = 0.
15. Scrivere lo sviluppo di Taylor delle funzioni
(1 − z)−2 ,
(1 − z)−3
a partire dallo sviluppo di (1 − z)−1 (si derivi).
16. Verificare che:
Z
|z|=2,
ℜz≥0,ℑz≥0
1
dz ≤ π/3;
z2 + 1
2
Z
|z|=1
sin z dz ≤ 2πe.
z2
17. Utilizzando la formula di Cauchy per i coefficienti dello sviluppo in serie
di Taylor, calcolare
Z
Z
cos z
sin z
a)
dz (k = 1, 2),
dz,
b)
k
z
|z|=1
|z|=1 z
c)
Z
|z|=r
ez + z
dz,
z−2
(r = 1, r = 3).
R
18. Calcolare γ (z − 1/z) dz, dove γ è il segmento di punto iniziale z0 = 1
e punto terminale z1 = i.
19. Calcolare
Z
γ
1
dz,
z + z2
dove γ è il segmento di primo estremo z0 = 1 e secondo estremo z1 = i.
20.
Scrivere lo sviluppo di Laurent della funzione
f (z) =
1
(z − 2)(z + i)
relativo al punto z0 e ai seguenti domini:
a) |z| < 1,
b) 1 < |z| < 2,
c) |z| > 2.
21. Scrivere lo sviluppo in serie di Laurent delle funzioni seguenti nei domini
indicati:
z
a)
, 0 < |z| < 1
b) sin(1/z), |z| > 0,
c) ez /z 2 , |z| > 0.
z+1
3
