Giugno - UniMI

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PROVA SCRITTA DI ALGEBRA 4
19 GIUGNO 2014
NOME, COGNOME, MATRICOLA DELLO STUDENTE:
Esercizio 1. Sia A un anello commutativo con identità, a ∈ A e S = {an |n ≥ 0}.
(1) Dimostrare che S è un sistema moltiplicativamente chiuso.
(2) Dimostrare che S −1 A ∼
= A[x]/(1 − ax).
(3) Dimostrare che se A = Z6 e a = 2 abbiamo S −1 A ∼
= Z3 .
Esercizio 2. Sia S un anello, e R un sottoanello che è anche un addendo diretto. Dimostrare che
se S è Noetheriano allora R è Noetheriano. Vale anche per artiniano?
Esercizio 3. Sia M un R-modulo ciclico. Dimostrare che
(1) Λ2 (M ) = 0,
(2) Λd (M ) = 0 per ogni d ≥ 2.
Esercizio 4. Siano S e T due R-algebre commutative. Consideriamo la mappa φ : (S×T )×(S×T ) → S⊗R T
definita da φ((s1 , t1 ), (s2 , t2 )) = (s1 s2 ) ⊗ (t1 t2 ).
(1) Dimostrare che la mappa φ induce una struttura di R-algebra su S ⊗R T .
(2) Dimostrare che tale R-algebra è il coprodotto di S e T nella categoria delle R-algebre.
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