Terzo foglio di esercizi

Esercizi su operatori lineari e continui in spazi di Banach
Esercizio 1. Si consideri il seguente insieme
©
ª
E = f ∈ C0 ([0, 1]) : sin(x) ≤ f (x) ≤ 2x ∀ x ∈ [0, 1] ,
ove si considera su C0 ([0, 1]) la topologia indotta dalla norma k · k∞ . Dimostrare che E è chiuso rispetto alla
topologia debole.
Esercizio 2. Si consideri il funzionale lineare
T : (C0 ([0, 1]), k · k1 ) → R ,
T (f ) = f (1) ∀ f ∈ C0 ([0, 1]).
Dimostrare che T non è continuo.
Suggerimento: provare che T non è limitato da (C0 ([0, 1]), k · k1 ) a R, cioè trovare un controesempio che
renda falsa la disuguaglianza
∃ C > 0 ∀ f ∈ C0 ([0, 1]) :
|T (f )| ≤ Ckf k1
Esercizio 3. Si fissi g ∈ C1 ([0, 1]) e si consideri su C 1 ([0, 1]) la norma naturale
kf kC1 := kf k∞ + kf 0 k∞ .
Sia T il funzionale
Z
T : (C1 ([0, 1]), k · kC1 ) → R,
T (f ) =
1
Z
f (x)g 0 (x) dx +
0
1
g(x)f 0 (x) dx ∀ f ∈ C1 ([0, 1]).
0
• Dimostrare che T è lineare e continuo, e si dia una stima dall’alto per la norma di T .
• Osservare che, se g(1) = 0, allora T (f ) = 0 per ogni f ∈ C1 ([0, 1]) tale che f (0) = 0.
• Dedurre che, se g(1) = 0, allora T non è iniettivo.
Esercizio 4. Sia {bn } una successione di numeri reali e per ogni N ∈ N si consideri il seguente funzionale
TN : `2 → R,
TN ({an }) :=
N
X
bn an ∀ {an } ∈ `2 .
n=1
• Dimostrare che per ogni N ∈ N TN : `2 → R è lineare.
• Dimostrare che per ogni N ∈ N TN : `2 → R è continuo con norma
Ã
kBN k(`2 )0 =
N
X
!1/2
b2n
n=1
Suggerimento: usare la disguaglianza di Cauchy-Schwarz:
¯
¯ Ã
!1/2 Ã N
!1/2
N
N
¯X
¯
X
X
¯
¯
2
2
bn an ¯ ≤
bn
an
¯
¯
¯
n=1
n=1
1
n=1