Esercizi su operatori lineari e continui in spazi di Banach Esercizio 1. Si consideri il seguente insieme © ª E = f ∈ C0 ([0, 1]) : sin(x) ≤ f (x) ≤ 2x ∀ x ∈ [0, 1] , ove si considera su C0 ([0, 1]) la topologia indotta dalla norma k · k∞ . Dimostrare che E è chiuso rispetto alla topologia debole. Esercizio 2. Si consideri il funzionale lineare T : (C0 ([0, 1]), k · k1 ) → R , T (f ) = f (1) ∀ f ∈ C0 ([0, 1]). Dimostrare che T non è continuo. Suggerimento: provare che T non è limitato da (C0 ([0, 1]), k · k1 ) a R, cioè trovare un controesempio che renda falsa la disuguaglianza ∃ C > 0 ∀ f ∈ C0 ([0, 1]) : |T (f )| ≤ Ckf k1 Esercizio 3. Si fissi g ∈ C1 ([0, 1]) e si consideri su C 1 ([0, 1]) la norma naturale kf kC1 := kf k∞ + kf 0 k∞ . Sia T il funzionale Z T : (C1 ([0, 1]), k · kC1 ) → R, T (f ) = 1 Z f (x)g 0 (x) dx + 0 1 g(x)f 0 (x) dx ∀ f ∈ C1 ([0, 1]). 0 • Dimostrare che T è lineare e continuo, e si dia una stima dall’alto per la norma di T . • Osservare che, se g(1) = 0, allora T (f ) = 0 per ogni f ∈ C1 ([0, 1]) tale che f (0) = 0. • Dedurre che, se g(1) = 0, allora T non è iniettivo. Esercizio 4. Sia {bn } una successione di numeri reali e per ogni N ∈ N si consideri il seguente funzionale TN : `2 → R, TN ({an }) := N X bn an ∀ {an } ∈ `2 . n=1 • Dimostrare che per ogni N ∈ N TN : `2 → R è lineare. • Dimostrare che per ogni N ∈ N TN : `2 → R è continuo con norma à kBN k(`2 )0 = N X !1/2 b2n n=1 Suggerimento: usare la disguaglianza di Cauchy-Schwarz: ¯ ¯ à !1/2 à N !1/2 N N ¯X ¯ X X ¯ ¯ 2 2 bn an ¯ ≤ bn an ¯ ¯ ¯ n=1 n=1 1 n=1