Istituzioni di Analisi Superiore, I modulo

Università degli Studi di Udine
Anno Accademico 96/97
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Matematica
Istituzioni di Analisi Superiore, primo modulo
Prova Scritta del 3 aprile 1997
Cognome e Nome:
Documento di identità (se chiesto):
Matricola:
Tempo a disposizione: 90 minuti. Si è a punteggio pieno con 30 punti.
1.
Verificare che
Z
Z
π/2
sen
2z
0
π/2
sen2z 2θ dθ
θ dθ =
se <z > −1/2
0
(cambio di variabile e simmetria), e dedurne la formula di duplicazione per la funzione
Gamma:
³
22z−1
1´
Γ(2z) = √ Γ(z)Γ z +
2
π
se
<z > 0
e i due membri sono 6= 0
(duplicazione del seno, formula trigonometrica della funzione Beta e sua relazione con la
Gamma). La formula di duplicazione si estende agli z con <z ≤ 0 per i quali i due membri
hanno senso e sono 6= 0?
2. a. Sia f ∈ L1 ([0, 1]). Dimostrare che esiste g: [0, 1] → R misurabile tale che g(x) → +∞
per x → 0+ e f g ∈ L1 ([0, 1]).
Ra
(Esiste una successione an & 0 tale che 0 n |f | ≤ 2−n . Definire g con una costante
opportuna su ciascun intervallo [an+1 , an [).
b. Data unaPsuccessione an P
reale e divergente a +∞, esiste una seconda successione bn ≥ 0
tale che
bn < +∞ ma
an bn = +∞?
(Se an diverge rapidamente è facile; altrimenti si può estrarre una sottosuccessione).
c. Sia g: [0, 1] → R misurabile tale che g(x) → +∞ per x → 0+ . Dimostrare che esiste
f ∈ L1 ([0, 1]) tale che f g ∈
/ L1 ([0, 1]).
(Ci si può riportare al problema del punto b minorando g con una funzione tipo “gradino”).
Punti: 12, 6+6+6