9
Operatori di spazi di Hilbert
Definizione 9.1 Sia (V, h , i) uno spazio di Hilbert. Allora chiamiamo f ∈ End (V ) operatore
unitario se
hf (v) , f (w)i = hv , wi
∀v, w ∈ V.
Si tratta dell’analogo, nel caso degli spazi di Hilbert, dell’ isometria nel caso euclideo. Come
per le isometrie si mostra che l’insieme degli operatori unitari di uno spazio di Hilbert è un
gruppo con l’operazione di composizione.
Definizione 9.2 Una matrice B ∈ Mn×n (C) è detta unitaria se soddisfa + BB = In . Ricordiamo che + B = t B. Equivalentemente, una matrice B è unitaria se e solo se è invertibile con
inversa + B.
Definiamo Un (C), detto gruppo unitario, come l’insieme delle matrici unitarie e SUn (C),
detto gruppo unitario speciale, come l’insieme delle matrici unitarie A tali det (A) = 1.
Si verifica che tali insiemi sono sottogruppi di GLn (C).
Teorema 9.3 Sia (V, h , i) uno spazio di Hilbert di dimensione finita. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1) f è un operatore unitario;
2) kf (v)k = kvk (∀v ∈ V ), cioè f preserva la norma;
3) se B = {v1 , . . . , vn } è una base di V , si ha
hf (vi ) , f (vj )i = hvj , vi i
∀i, j, 1 ≤ i, j ≤ n,
in particolare f e manda una base ortonormale in una base ortonormale;
4) se B = {v1 , . . . , vn } è una base di V , con G = M B (h , i) e B = B MB (f ) le matrici
rappresentative di h , i e f , si ha + BGB = G. In particolare, se B è ortonormale, B è
unitaria.
La dimostrazione è analoga al caso euclideo ed è lasciata al lettore. Introduciamo ora gli
operatori autoaggiunti.
Definizione 9.4 Sia (V, h , i) uno spazio di Hilbert. Allora chiamiamo f ∈ End (V ) operatore
autoaggiunto se
hf (v) , wi = hv , f (w)i
∀v, w ∈ V.
85
9. Operatori di spazi di Hilbert
Proposizione 9.5 Siano (V, h , i) uno spazio di Hilbert di dimensione finita e sia f ∈ End (V ).
Allora f è autoaggiunto se e solo se, se B = {v1 , . . . , vn } è una base di V , con G = M B (h , i)
e A = B MB (f ) le matrici rappresentative di h , i e f , si ha + AG = GA. In particolare, se B è
ortonormale, A è una matrice Hermitiana (ovvero da una matrice tale che + A = A).
Dim. La dimostrazione è uguale al caso simmetrico reale ed è lasciata al lettore.
9.1
Aggiunto di un operatore
Proposizione 9.6 Sia (V, h , i) uno spazio di Hilbert di dimensione finita. Sia f ∈ End (V ).
Allora esiste unico l’operatore + f ∈ End(V ) tale che per ogni v, w ∈ V :
hf (v) , wi = v , + f (w) .
Inoltre, fissata una base ortonormale, se f è rappresentato, rispetto a tale base, dalla matrice A,
allora + f è rappresentato dalla matrice aggiunta + A = t A. L’ operatore + f è detto aggiunto
di f .
Dim. Per l’esistenza, si fissi una base ortonormale A = {v1 , . . . , vn } di V e sia A la matrice
rappresentativa di f rispetto a tale base. Sia + f l’operatore che ha come matrice rappresentativa
P
rispetto alla base ortonormale A la matrice aggiunta + A. Allora per ogni v, w ∈ V , v = i ai vi
P
e w = i bi vi , si ha:
hf (v) , wi = + (Aa)b = + a + Ab = v , + f (w) .
Quindi + f è un aggiunto dell’operatore f .
Per l’unicità se + f e g sono aggiunti di f allora, per per ogni v, w ∈ V :
+
v , f (w) = hf (v) , wi = hv , g(w)i
da cui
v , (+ f − g)(w) = 0.
Ponendo v := (+ f − g)(w) si ottiene hv , vi = 0, e quindi v = 0 e perciò + f (w) = g(w).
Osservazione 9.7 Sia (V, h , i) uno spazio di Hilbert di dimensione finita. Segue dalle definizioni
che
1) f ∈ End(V ) è autoaggiunto se e solo se f = + f se e solo se f è rappresentato rispetto a
una base ortonormale da una matrice Hermitiana.
2) f ∈ End(V ) è unitario se e solo se + f f = f + f = idV cioè se e solo se f è invertibile
con inversa + f , se e solo se è rappresentato rispetto a una base ortonormale da una matrice
unitaria (cioè tale che A−1 = + A).
Seguono inoltre dalla caratterizzazione matriciale dell’ autoaggiunto le seguenti proprietà di cui
lasciamo al lettore la verifica:
a) dato f ∈ End(V ) si ha ++ f = f ;
b) dati f e g ∈ End(V ) ed α e β ∈ C allora + αf + βg = α + f + β + g.
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9.2 Teorema spettrale complesso
Definizione 9.8 Sia (V, h , i) uno spazio di Hilbert di dimensione finita.
End(V ) è detto normale se commuta con il suo aggiunto, cioè + f f = f + f
L’operatore f ∈
Osservazione 9.9 Gli operatori unitari e quelli autoaggiunti sono esempi di operatori normali.
Infatti, gli operatori unitari sono gli operatori normali invertibili con + f = f −1 e gli operatori
autoaggiunti sono gli operatori normali con + f = f .
9.2
Teorema spettrale complesso
Lemma 9.10 Siano (V, h , i) uno spazio di Hilbert di dimensione finita e f ∈ End(V ) normale.
Allora
i) Per ogni v, w ∈ V :
hf (v) , f (w)i =
+
f (v) , + f (w) .
ii) Ker(f ) = Ker(+ f ).
iii) Se v è un autovettore per f relativo all’autovalore λ, allora v è un autovettore per
relativo all’autovalore λ.
+f
iv) Se v ∈ Vλ (f ) e w ∈ Vµ (f ) con λ 6= µ, allora hv , wi = 0, ovvero autovettori relativi ad
autovalori diversi sono ortogonali.
Dim. (1) Per ogni v, w ∈ V si ha:
hf (v) , f (w)i = v , + f f (w) = v , f + f (w) = hf + f (w) , vi = h+ f (w) , + f (v)i = + f (v) , + f (w)
(2) Segue dalle proprietà del prodotto hermitiano e dal punto precedente che f (v) = 0 se e
solo se 0 = hf (v) , f (v)i = h+ f (v) , + f (v)i se e solo se + f (v) = 0.
(3) Se v è un autovettore per f relativo all’autovalore λ, si consideri g := f − λidV , con
aggiunto + g = + f − λidV . Si noti che Vλ (f ) = Ker(g) e Vλ (+ f ) = Ker(+ g). Se f è normale
anche g è normale e quindi per il punto (2) Vλ (f ) = Vλ (+ f ).
(4) Per la definizione di autovalore e per le proprietà del prodotto hermitiano abbiamo:
hf (v) , wi = λ hv , wi .
Poichè f è normale, per il punto (3) del Lemma si ha anche:
hf (v) , wi = v , + f (w) = µ hv , wi .
Dalle due precedenti uguaglianze si ottiene:
hv , wi (λ − µ) = 0
Essendo λ 6= µ, segue hv , wi = 0, ossia v ⊥ w.
87
9. Operatori di spazi di Hilbert
Teorema 9.11 (Teorema Spettrale Complesso ) Sia (V, h , i) uno spazio di Hilbert di dimensione finita. L’operatore f ∈ End(V ) è normale se e solo se esiste una base ortonormale di
autovettori di f .
Dim. ⇐= Sia A = {v1 , . . . , vn } una base ortonormale di autovettori tali che per ogni i = 1, . . . , n
esiste λi ∈ C tale che f (vi ) = λi vi . Allora la matrice rapresentativa A = A MA (f ) è diagonale e
quindi anche la sua aggiunta + A = A MA (+ f ) è diagonale. Perciò le due matrici commutano e
quindi commutano i corrispondenti operatori, cioè f è normale.
=⇒ Procediamo per induzione sulla dimensione n di V . Se n = 1 allora V = L (v) e
v
f (v) = λv, ovvero v è autovettore di f . L’insieme {u}, con u = kvk
il corrispondente vettore
di norma 1, costituisce quindi una base ortonormale di V di autovettori di f . Supponiamo, per
ipotesi induttiva, che il teorema valga per gli operatori normali di spazi di Hilbert di dimensione
≤ n − 1 e dimostriamo che vale per un operatore normale f di uno spazio di Hilbert V di
dimensione n. Poichè f è definito su uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita esiste
λ ∈ C e v ∈ V , autovettore di f , relativo all’ autovalore λ. Si consideri W = L (v)⊥ . Essendo
V = L (v) ⊕ W , risulta dim W = dim V − 1 = n − 1. Lo spazio W con il prodotto hermitiano
definito positivo h , iW dato dalla restrizione di h , i a W × W è quindi uno spazio di Hilbert di
dimensione ≤ n − 1. Si noti inoltre che f (W ) ⊆ W ; infatti per ogni w ∈ W abbiamo hw , vi = 0,
da cui
hf (w) , vi = w , + f (v) = w , λv = λ hw , vi = 0,
quindi anche f (w) ∈ W . Si può allora definire l’operatore ottenuto dalla restrizione di f a W :
f|W : W → W,
che è normale per h , iW in quanto f lo è per h , i. Si può quindi applicare a f|W l’ipotesi
induttiva, perciò f|W ammette una base ortonormale {u2 , . . . , un } di autovettori di fW . In
particolare u2 , . . . , un sono autovettori di f . I vettori di tale base sono inoltre per definizione
v
di W ortogonali a v e quindi a u1 := kvk
, che è anche esso, per costruzione, autovettore di f .
Quindi {u1 , . . . , un } è una base ortonormale di V = L (v) ⊕ W costituita da autovettori di f .
Osservazione 9.12 Si noti che il teorema spettrale garantisce, in particolare, che gli endomorfismi normali di uno spazio di Hilbert di dimensione finita V sono sempre diagonalizzabili. Per
costruire una base ortonormale di autovettori la procedura da seguire è la seguente:
i) Si trovano tutti gli autovalori .
ii) Si calcola una base di ogni autospazio.
iii) Si applica il processo di ortonormalizzazione di Gram Schmidt a tali basi per ottenere una
base ortonormale di ogni autospazio.
iv) Si prende come base per per l’intero spazio V l’unione di tali basi ortonormali. Quest’unione
è una base ortonormale di V .
Corollario 9.13 Sia A ∈ Mn×n (C) una matrice che commmuta con la sua aggiunta + A. Allora
A è diagonalizzabile mediante matrici unitarie, ovvero esiste una matrice B unitaria tale che
A0 = B −1 A B = + B A B è diagonale.
88
9.2 Teorema spettrale complesso
Dim. La matrice A è la matrice che rappresenta l’operatore LA : Cn → Cn rispetto alla base
canonica, che è una base ortonormale per Cn con il prodotto hermitiano standard. Poichè A
commuta con + A segue che LA è normale e pertanto per il teorema spettrale ammette una base
ortonormale B di autovettori. Quindi A0 = B −1 A B è diagonale, con B = C MB (id) la matrice
di cambio di base dalla base B alla base canonica.
D’altra parte la matrice B si può pensare anche come la matrice rappresentativa, rispetto
alla base canonica, dell’operatore h : Cn → Cn che manda i vettori della base canonica nei
vettori della base B. Tale applicazione è operatore unitario perchè manda una base ortonormale
di una base ortonormale e quindi B è una matrice unitaria in quanto rappresenta un operatore
unitario rispetto a una base ortonormale (la base canonica).
Corollario 9.14 Sia (V, h , i) uno spazio di Hilbert di dimensione finita n.
Un operatore f ∈ End(V ) è unitario se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori di
f con autovalori tutti di norma 1. Infatti, f è normale se e solo se esiste una base ortonormale
di V di autovettori, rispetto a cui la matrice A associata ad f risulta quindi diagonale. In
particolare, A ha come entrate sulla diagonale gli autovalori λ1 , . . . , λn di f . La condizione che
f sia unitario si traduce nella richiesta che + AA = In quindi che i suoi autovalori soddisfino
λi λi = 1 per ogni i = 1, . . . , n.
Similmente si mostra che un operatore f ∈ End(V ) è autoaggiunto se e solo se esiste una
base ortonormale di autovettori di f con autovalori tutti reali. Infatti, sia A la matrice diagonale,
con elementi λ1 , . . . , λn ∈ C sulla diagonale, associata ad f rispetto ad una base ortonormale
di autovettori V . La condizione che f sia autoaggiunto si traduce nella richiesta che + A = A
ovvero che per ogni i = 1, . . . , n si abbia λi = λi ovvero che λi sia reale.
Come ultima cosa mostriamo come ottenere il teorema spettrale reale 8.7 da quello complesso.
Ne dimostriamo l’enunciato matriciale cioè il corollario 8.9:
Corollario 9.15 Sia A ∈ Mn×n (R) simmetrica. Allora A è diagonalizzabile mediante matrici
ortogonali.
Dim. Considero A come matrice complessa A ∈ Mn×n (C). Allora, A = A e quindi + A = t A.
Poichè A è simmetrica, concludiamo che + A = A e quindi per il corollario 9.14 deduciamo che
A ha tutti autovalori reali.
Sia dato un autovalore λ. Denotiamo con Vλ l’autospazio di A relativo all’autovalore λ in
n
R e denotiamo con Wλ l’autospazio di A relativo all’autovalore λ in Cn . Abbiamo sicuramente
che Vλ ⊂ Wλ . Se λ e µ sono autovalori distinti, sappiamo dal lemma 9.10 che vettori di Wλ e di
Wµ sono fra loro ortogonali. Poichè il prodotto scalare standard su Rn è indotto per restrizione
dal prodotto hermitiano standard su Cn , concludiamo che vettori di Vλ e di Vµ sono fra loro
ortogonali.
Dato un vettore v ∈ Wλ , scriviamolo nella forma a + ib con a e b ∈ Rn . Abbiamo che
λa + iλb = λv = Av = Aa + iAb.
Quindi a e b sono autovettori di A in Rn e quindi sono in Vλ , ovvero Wλ = Vλ + iVλ . Segue
che la dimensione di Vλ come R-spazio vettoriale è uguale all dimensione nλ di Wλ come Cspazio vettoriale. Poichè A è diagonalizzabile come matrice complessa, deduciamo dal criterio
P
di diagonalizzabilità che λ nλ = n, dove la somma è presa su tutti gli autovalori di A. Quindi,
89
9. Operatori di spazi di Hilbert
per il criterio di diagonalizzabilità, A è diagonalizzabile come matrice reale. Quindi Rn = ⊕λ Vλ .
Sia Bλ una base ortonormale di ciascun Vλ . Sia B = ∪λ Bλ . Abbiamo anche visto che autospazi
associati ad autovalori distinti sono fra loro ortogonali. Allora, B è una base ortonorormale di
Rn composta di autovettori per A. Quindi, se B è la matrice che ha per colonne i vettori di B,
allora B è una matrice ortogonale e B −1 AB è diagonale.
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