la differenza di numeri primi consecutivi

GIOVANNI RICCI
LA DIFFERENZA DI NUMERI PRIMI CONSECUTIVI^)
SOMMARIO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
•
•
-
Introduzione.
Le funzioni d(n), A(x), A2h(x), B2h(x).
Tabelle e diagrammi.
Alcune questioni che sorgono spontanee.
Una quaterna di funzioni collegata con una funzione A (x),
Prime osservazioni elementari.
Conseguenze dei due teoremi di P. TCHEBYCHEFF.
Il teorema di MERTENS e il ribaltamento del pennello (D, D).
Il « Primzahlsatz» e le sue immediate conseguenze.
L'ipotesi di RIEMANN e il successo di A. W E I L . Il teorema di
H.
CRAMÉR.
1 1 . - La densità in un intervallo ristretto. L'intervallo (k?,
{k-\-1)?).
12. - Ancora sull'abbassamento di A{x). IL successo di G. HOHEISEL.
13. - IL metodo di VIGGO BRUN e il teorema sui «numeri primi gemelli».
14. - Il sollevamento della funzione Dj^x).
15.
] 6.
17.
18.
-
L'abbassamento della funzione D{x). Il successo di P. ERDÒS.
Ritorno ai diagrammi. Il teorema di W. KNÒDEL.
Un cenno su un nuovo problema.
Conclusione.
1. INTRODUZIONE. - La successione dei numeri primi
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...,
che noi denoteremo con
Vii Vii VÓI Vto •••? Vni •••?
è distribuita irregolarmente nella successione dei numeri interi
(*) Si riproduce con qualche maggiore ampiezza e con qualche aggiornamento la
conferenza che, sotto lo stesso titolo, venne tenuta in questo Seminario il 9 maggio 1950.
10
— 150 —
naturali: questo è un fatto a t u t t i noto. In altre parole: se n(x)
è il numero degli interi primi non superiori a so, la funzione
monotona n {oc), che ha il diagramma costituito da tratti di
invariabilità fra pn e pn+1, cresce irregolarmente.
È evidente che la irregolarità di cui parliamo viene posta
meglio in evidenza (si potrebbe dire che « viene esaltata ») quando
si consideri la successione delle differenze di numeri primi consecutivi
d(n) = Pn + l — Pn
cioè la successione
1 2
2 4 2 4 2 4-
ci si persuade di questo fatto dando uno sguardo a una tavola
di numeri primi un po' estesa e anche riflettendo che ljd(n) è
il rapporto incrementale della funzione n(x) relativo al passaggio
da Pn a
pn+i-
La differenza d (ri) è una funzione aritmetica di n che ha
« dato filo da torcere » ai matematici che si sono proposti di
descriverla, cercando di segnalarne quelle proprietà che fossero
adatte a delinearne l'andamento.
Il nostro proposito è di richiamare i risultati di queste ricerche: un tale richiamo ci consentirà di intravedere quali fatiche
può richiedere, qualche volta, la descrizione di una funzione
aritmetica e quale sia l'impianto per cercare di « incastonarla >>
in un complesso di funzioni tipiche ad essa connesse.
2. L E FUNZIONI d{n), A {co), A2h (x), B2h (x). - Cominciamo col
porre, accanto alla funzione d (n) = pn+1—pn?
un'altra funzione
A {x) ad essa legata in modo ovvio: anziché riportare in ascissa
l'intero n, indice di pn, riportiamo pn stesso e definiamo
A(x)=d(n)
per pn^x<
pn+1 .
La funzione A (OD) risulta a tratti (orizzontali) di invariabilità
almeno fra un numero primo e il successivo. È noto (e fra poco,
ci ritorneremo) che (1)
TI(x) ~x/logx
pn ~n log n ,
(1) La notazione f(x)~g(x)
significa
,
per
#-> + oo
per
n -• -|- oo
f(x)/g(x)->l.
— 151 —
e pertanto il passaggio da d(n) a, A (oc) porta a dilatare, sebbene
irregolarmente, l'ascissa secondo un rapporto di circa I/log x.
Essendo A (pn) = Vn+i — Vni ^a funzione A (x) ha il diagramma
che si ottiene semplicemente costruendo sull'asse delle x e al
disopra di questo, i quadrati aventi per lati gli intervalli (pny
Vn+i) e considerando i lati opposti a questi intervalli. Si tratta
di descrivere questa funzione A (x).
Può avvenire che p e p 4- 2Ji = p' (h intero > 0) siano ambedue
primi (non necessariamente consecutivi): ebbene, fissato h, denoteremo con A2h(x) il numero degli interi primi p non superiori
a x tali che p e p' = p + 2h siano ambedue primi.
Può avvenire che sia pn+1 ^pn + 2h, cioè che fra pn e pn+2h
si trovi (eventualmente uguale a pn + 2%) il numero primo successivo a pn: ebbene, fissato li denoteremo con B2h (x) il numero
degli interi primi pn non superiori a x tali che sia
pn+i^pn+2h,
cioè tali che sia d (n) ^ 2h.
In simboli si pone:
A2h{x)=
I
p+2h = p'
1,
B2h{x) =
2
1.
pn+l^pn+2h
Per h = 1, 2, 3, ... avremo la successione delle funzioni A2h(x)
e quella delle funzioni B2h (x).
Queste successioni risultano utili per lo studio di d (n).
Intanto osserviamo per ^esempio che (per h = 1) in A2(x)
si compuntano le coppie p, p' = p + 2 di « numeri primi gemelli»
cioè coppie di numeri primi a differenza 2. In i 4 (x) si computano le coppie p, p' = p + 4 di numeri primi a differenza 4: in
questo caso, eccettuato il caso ovvio 3,7 in cui è inserito il 5,
ogni coppia p, p'=p + 4 è di numeri primi consecutivi. Non è
più così per 7ii^3, poiché, per esempio in AQ (x) si computano
anche (5, 11), (7, 13), (11, 17), ..., (97, 103), ... che non sono
costituite di numeri primi consecutivi.
3. TABELLE E DIAGRAMMI. - Qui di seguito è riportata una
tabella che assegna, nelle diverse colonne, ordinatamente, i valori
n, pm d(n)\
A2, Air AQ, A8ì A1Q, A12, A l 4 ; B2, Bé, B6, B8,
per n da 1 a 170 e quindi pn da 2 a 101.3.
Bì0.
152
n
Pn d(n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
1
2
2.
3
5 2
7 4
11 2
13 4
17 2
19 4
23 6
29 2
31
6
4
37
41
2
43
4
47
6
53
6
59 2
61
6
4
67
71 2
73
6
79 4
83 6
89 8
97 4
J01 2
4
103
107 2
109 4
113 14
127 4
131 6
137 2
139 10
149 2
151 6
6
157
163 4
167 6
173 6
179 2
181 10
191 2
-^2
1
2
—
3
—
4
—
—
5
—
•—
6
—
—
—
7
—
—
8
—
—
—
—
—
9
—
10
—
—
—
—
11
—
12
—
—
—
—
—
13
—
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^
1
—
2
—
3
—
4
—
—
—.
5
—
6
—
—
—
—
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—
—
8
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11
—
12
—
—
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—
—
13
—
—
—
—
—
^6
•
^8
•
1
2
3
4
5
—
6
—
7
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—
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15
16
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—
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—
21
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—
23
24
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25
1
2
—
3
—
—.
4
5
—
—
—
—
—
6
7
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—
8
—
—
—
9
—•
10
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—
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—
—
11
•—
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—
—
—
—
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—
14
^10
1
—
2
—•
3
—
4
—
—
5
6
—
i
—
—
—
8
—
—
9
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—
—
•
11
—
12
—
—
—
13
—
—
14
—
—
15
16
—
__
—
17
—
A
12
1
2
3
—
4
5
—
6
7
—
8
—
9
—.
10
11
12
13
—
—
—
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—
—
—
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—
18
19
—
20
—
—
21
—
22
23
—-
A
u
1
2
—
—
—
3
—
4
5
—
—
—
—
6
7
8
—
—
—
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9
10
—
—
—
—
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11
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—
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—
13
—
—
—
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—
15
—
—
B
2
1,
2
3
—
4
—
5
—
—
6
—
—
7
—
. —
—
8
—
—
9
—
—
—
—
—
10
—
11
—
—
—
—
12
—
13
—
—
—
—
—
14
—
15
B,
1
2
3
4
5
6
7
8
—
9
—
10
11
12
—
—
13
—
14
15
.
—
•
16
—
—
17
18
19
20
21
_ „ .
22
—
23
—
24
—
—
25
—
—
26
—
27
*6
*8
*10
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10 10
11 11
12 12
13 13
14 14
15 15
16 16
17 17
18 18
19 19
20 20
21 21
22 22
23 23
—
24
24 25
25 26
26 27
27 28
28 29
—
—
29 30
30 31
31 32
—
—
32 33
33 34
34 35
35 36
36 37
37 38
38 39
—
—
39 40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
—
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
153
n
Vn d(n)
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
193 4
197 2
199 12
211 12
223 4
227 2
229 4
6
233
239 2
241 10
6
251
6
257
6
263
2
269
6
271
277 4
2
281
283 10
293 14
307 4
2
311
313 4
317 14
6
331
337 10
347 2
4
349
6
353
8
359
6
367
373 6
379 4
383 6
389 8
397 4
8
401
409 10
2
419
421 10
2
431
6
433
4
439
6
443
A2
^4
^6
14
26
Ao
*8
Y1
12
15
—
—
—
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—
—
—
—
—
—
—
24
25
15
—
—
—
18
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—
19
26
27
—
—
28
16
—
27
28
—
—
16
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17
—
—
—
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19
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—
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20
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—
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—
•
29
15
—
.—
—
—
—
•
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—
—
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30
31
32
17
33
34
—
—
—
—
•—•
—
18
35
36
•
—
19
—
—
_._
21
—
38
—
—
—
—
20
—
—
39
—
—
—
—
18
40
41
—
—
—
-—
—
—
—
—-'
22
—
37
—
21
—
—
42
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—
—
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—
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22
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44
23
43
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31
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—•
—
—
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•
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•
•
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—
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17
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—
34
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—
—
—
•—
36
26
27
—
—
—
—
•
—
—
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—
—
29
21
-
—
—
30
31
—
—
—
37
38
—
39
40
41
42
—
—
—
Au
B
2
*4
#6
^8
*10
16
16
28
29
40
41
41
42
43
44
—
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—
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—
—
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—
—.
—
—
17
17
—
—
—
—
—
—
—
42
43
44
45
46
43
44
45
46
47
—
—
35
36
47
48
49
50
51
52
53
,48
49
50
51
52
53
54
—
—
—
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—
—
45
46
47
48
49
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55
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—
—
—
—
—
37
38
39
54
55
56
55
50
57
59
CO
61
—.
—
—
—
—
—
57
58
—
—
22
40
58
59
60
59
60
61
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63
64
65
66
67
68
69
62
63
64
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18
19
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23
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—
—
25
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—
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—
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21
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-
—
—
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—
—
—
—
—
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•
—
•—
•
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—
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61
62
63
64
—
43
65
—
—
—
—
—•
66
70
26
23
44
—
—
—
—
—
—
—
—
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—
—
—
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—.
—
67
68
69
70
71
72
73
74
46
6Q
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
154
n
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
no
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
Vn d(n)
4 49
457
461
463
467
479
487
491
499
503
509
521
523
541
547
557
563
569
571
577
587
593
599
601
607
613
617
619
631
641
643
647
653
659
661
673
677
683
691
701
709
719
8
4
2
4
12
8
4
8
4
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12
2
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6
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10
6
6
2
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4
2
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6
6
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^
^4
A
^8
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24
24
—
45
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—
25
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—
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B2
43
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—
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32
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A
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JB6
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47
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73
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—
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—
—
—
—
—
—
50
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—
—•
51
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81
82
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26
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—
—
—
—
—
—
—
—
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97
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99
100
101
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105
—
25
—
—
—
—
—
—
—
48
29
25
—
—
—
—
26
—
—
—
—
27
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
48
—
49
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—
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—
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—
—
—
—
34
25
26
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
29
—
—
—
—
—
—
—
58
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—
—
—
—
—
—
—
35
27
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55
56
28
—
—
—
—
—
36
—
—
—
—
49
30
31
—
—
—
—
50
29
—.
—
—
57
•
—
—
•
~
—
30
•
—
—
—
—
—
—
60
—
—
—
—
•—•
—
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—
•
—.
—
51
52
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—
—
•
27
53
—
—
—
—
—
—
—
—
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85
78
85
—
—
79
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81
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—
—
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—
—
—
—
28
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—
—
—
—
35
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55
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84
85
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88
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—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
30
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—
38
—
—
—
—
—
37
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91
92
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57
—
—
—
—
—•
—
39
—
—
60
102 112
103 113
104 114
.—. —
115
—
105 116
—
—
117
106 118
56, 36
30
—
—
—
—
—
—
—
—
—
B
53
54
55
37
29
•
32
33
34
28
—
—
—
—
#4
—
38
—
—
—
•
—
—
—
•
—
30
—
40
31
—
—
41
32
—
—
—
—
—
—
—
__
39
—
—
—
—
—
—
—
—
95
96
•
—
•
106
97 107
98 108
99 109
100 110
101 111
— 155 —
n
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
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148
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150
151
152
153
154
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156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
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6
6
4
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6
4
8
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14
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12
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2
4
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10
8
4
6
6
14
4
6
6
8
6
12
4
1009
6
1013
727
733
739
743
751
757
761
769
773
787
797
809
811
821
823
827
829
839
853
857
859
863
877
881
883
887
907
911
919
929
937
941
947
953
967
971
977
983
991
997
•
—
—
—
—
—
—
—
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—
61
62
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—
—
—
—
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33
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—
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—
60
61
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
61
—
—
62
—
63
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^8
*]0
97 107 119
98 108 120
99 109 121
—
110 122
100 111 123
101 112 124
—
113 125
102 114 126
41
—
—
32
—
—
—
—
—
—
34
64
65
33
—
—
—
—
—
—
31
—
—
—
—
35
—
—
—
—
—
—
—
__.
35
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67
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—
—
—
—
36
—
35
—
68
69
—
38
—
39
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—.
—
—
•—•
37
—
—
—
40
—
—
—
41
—
—
—
—
—
42
•
—
—
—
—
•
—
—
—
—
—
-—
—
—
—
—
36
—
62
63
64
42
43
45
—
—
—
—
—
46
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
47
—
—
—
48
—
—
—
—
49
37
—
72
73
—
38
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—
—
—
—
—
75
39
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
70
71
44
—
—
65
44
—
—
—
45
—
—
—
66
—
—
67
•
50
—
.—
—
—
68
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—
—
—
—
—
52
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
46
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—
—
—
—
47
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•
—
•
70
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—
—
—
—
—
—
—
32
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—
—
33
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66
67
—
34
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—
—
35
—
—
—
36
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
•
—
—
103 115 128
—
•— 129
104 116 130
105 117 131
106 118 132
—
•— 133
—
68
69
70
127
—
'
—
—
107 119 134
108 120 135
109 121 136
—
—
—
71
72
73
110 122 137
111 123 138
112 124 139
74
113 125 140
—
126 141
—
—
142
— 127 143
114 128 144
115 129 145
116 130 146
—
—
—
75
—
—
—
—
76
—
—
—
•
—
•
—
77
•
—
—
117 131 147
118 132 148
119 133 149
—
134 150
120 135 151
—
—
—
121 136 152
122 137 153
— 156 —
Si vedano anche le figure 1 e 2:
1° La prima (fìg. 1) ci dà il diagramma di d (n) (1 ^ n ^ 170)
nel quale i nodi (n, d (n)) vengono congiunti mediante una spezzata per renderne più appariscente l'andamento. Ì3 segnato anche
il diagramma della funzione log n la cui utilità verrà spiegata in
seguito.
2° La seconda figura (figg. 2a, 2b) ci fornisce schematicamente
i diagrammi delle funzioni
A(3B),
A2{X),
AA{<V),
At(<D),- A8(x),
A12(x),
Au{x))
(quelli delle funzioni A2 (a?), A± (%), ... sono contrassegnati per
comodità con 2, 4, ...): diciamo schematicamente perchè, in verità,
queste sono funzioni a tratti (orizzontali) di invariabilità almeno
fra un numero primo e il successivo, mentre qui il loro diagramma
è sostituito da una spezzata che ne rende meglio apprezzabile
l'andamento e il mutuo intrecciarsi.
È segnato anche il diagramma della funzione Ioga?.
Diamo uno sguardo alla tabella e ai diagrammi: teniamo
presente che tabelle e diagrammi come questi sono utili per
appoggiare la mente sulle funzioni di cui dovremo discorrere e
sono eventualmente utili per suggerire attendibili proprietà; è
ovvio che queste proprietà rimangono allo stato di « congettura »
finche non siano dimostrate. L'Aritmetica è ricca di queste proprietà intravedute e poi faticosamente dedotte oppure non ancora
dimostrate oppure dimostrate false. Il « banco di prova » di
quelle proprietà, non soltanto è « troppo lungo », ma non si sa
neppure dove « cominci » : in generale si tratta di proprietà asintotiche che solo la deduzione logica consente di appurare, poiché,
nell'ambiente ristretto della tavola o del diagramma, una proprietà
può o essere soltanto apparente o non essere ancora manifesta.
4. ALCUNE QUESTIONI CHE SORGONO SPONTANEE. - Possiamo porre
le seguenti domande, tutte molte naturali:
1° Al crescere di n avverrà di trovare dei valori d (n)
(magari molto rari ma) grandi quanto si vuole? E come è
maggiorato l'accrescimento della funzione d (n) ?
2° Se esistono i valori di d(n) che sono « giganti » rispetto
—
157 —
120
120
130
14-0
150
FlG. 1.
160
170
ci
te
J3
fu
__. 160 —
a quelli del loro intorno, come sono regolati la loro distribuzione
e il loro andamento ?
3° La differenza d(n)j pur avendo un andamento irregolare, presenterà « in media » un valore crescente regolarmente ?
E quale è questo valore 1
4° E , la stessa differenza d(n), presenterà «nella maggior
parte dei valori » un andamento crescente regolarmente ?
5° L'ispezione sulle tavole mostra che fra due quadrati
perfetti successivi qualunque ci sono dei numeri primi. E
domandiamoci: È vero che, per qualunque intero &,! fra le2 e
(&4-1)2 esiste almeno un numero primo?
j
Osserviamo, di sfuggita, che se
!
i
Ù2<Pn <(& + l ) 2 < p w < ( & + 2) 2
è anche
i
2
a
Pn+i — Pn < (7c + 2) — & =4&.+ 4 < 4j/^_)_^:
e quindi perchè la risposta sia affermativa occorre intanto che
sia, per ogni n
din)
= Pn + l—,Pn
< ±ÌPn + 4 .
Ma possiamo porre una domanda meno impegnativa e cioè:
6° È vero che, esiste un numero K > 0 abbastanza grande,
tale che, per qualunque intero Jc, fra le due potenze ltK e (& + 1)K
si trova almeno un numero primo ?
K può essere anche grande (ma fisso!), mentre la domanda
precedente esigeva K = 2.
7° L'ispezione sulle tavole dei numeri primi, anche molto
estese, ci mostra che si trovano, anche in zone inoltrate, coppie
di numeri primi gemelli (a differenza 2): per esempio
(3, 5), (5, 7), ( U , 13), (17, 19), ... (10*006-427, 10'006'429);
queste coppie sono in numero finito oppure no? Questa domanda
si può porre così: La funzione monotona non decrescente A2 (x)
— 161 —
rimarrà stazionaria a partire da un certo x0 in poi oppure tenderà a + oo al crescere indefìnitivamente di x ?
Analoga domanda si può porre per le coppie di numeri
primi (consecutivi oppure no) p, p' = p + 2h (li intero naturale
fìsso).
Ma possiamo anche qui porre una domanda meno esigente
e cioè:
8° Esiste oppure no un intero K abbastanza grande tale
che per infiniti valori n" di n si abbia d(n") <K?
Questa
domanda si può porre così: Esiste oppure no un intero H abbastanza grande, tale che B2H (x) -> -f- °o per x indefinitamente
crescente ? Questo accadrebbe se e soltanto se esistesse almeno
un numero li ^ H tale che A2h(x)-> + oo per x-+ -\- co.
A tutte queste domande e ad altre analoghe, le tabelle e i
diagrammi, per quanto utili e istintivamente cordiali, non danno
alcuna risposta; mentre gli studi degli analisti rispondono a molte
delle questioni sopra elencate ed è nostro compito presentarne i
risultati: talvolta potremo avere l'impressione che la risposta
sia debole o elusiva ma essa sarà sempre precisa.
5. UNA QUATERNA DI FUNZIONI COLLEGATA CON UNA FUNZIONE A
(x).
Sia A (x) una qualunque funzione di x che ci proponiamo di
descrivere, e, per fissare le idee, la supporremo definita per x^i 0
e positiva per qualunque x; quando A (x) sia analiticamente
complicata, le informazioni che la riguardano sono di solito fornite attraverso alcune funzioni ad essa connesse, analiticamente
semplici e intuitivamente apprezzabili (potremmo dire funzioni
«standard»). A una prima descrizione ne sono veramente utili
quattro; diciamole:
A(oo), A(x),
D(x),
D(x)
per le quali si abbia
(1)
A(x) ^i A(x)
(funzione
minorante)
o, per lo meno, questa disuguaglianza valga per x ^ xx conveniente: si dice A (x) funzione definitivamente minorante di A(x).
(2)
A(x)^A(x)
(funzione maggiorante)
— 162
FIG.
3.
o, per lo meno, questa disuguaglianza valga per x^x0
conveniente: si dice A (co) funzione definitivamente maggiorante di A (x).
Esistono valori x' e x" di x, grandi quanto si vuole, pei
quali si verifica
(3)
A{x')
^JD(x')
A{x")
^D{x")
I vincoli (1), (2), (3) e (4) vengono illustrati schematicamente
da questa fig. 3.
II diagramma di A (x) si trova, almeno a partire da un certo
~x in poi entro il « pennello » (zi, A) (2), mentre i vertici delle
« punte alte » e quelli delle « buche profonde » si trovano rispettivamente al di sopra di D (x) e al disotto di D(x). Quando
(2) Per pensare {A, A) come un pennello, si immagini l'insieme dei diagrammi delle
funzioni della forma a A (x) + (1 — a) A (x) con 0 < a < 1. Per a = 0 e a = l si hanno
rispettivamente ì diagrammi estremi A (x), A (x).
— 163 —
D (x) > D(x) esistono, lontano quanto si vuole, tratti di A (x)
interni al pennello (B, D); quando 1) (x) <D(x) (come nel caso
della fig. 3) il diagramma A (x) taglia, in zone lontane quanto si
vuole, il pennello (Z>, D).
Si può anche porre la questione dell'orarne medio e dell'orarne
normale della funzione A (x): si chiamano così due funzioni monotone (quando esistano) M (x) e N (ce) per le quali sussistano
rispettivamente le seguenti proprietà:
(5)
(6)
— / A(x)dx ~ — / M(x)dx,
per £-^ + oo
« quasi sempre » è
(1 — «) N{x) < A(x) < (1 + e) X{x)
(fi > 0)
(per spiegare con precisione: fissato e > 0 qualunque, l'insieme
\ye(x)~\ dei valori u^x pei quali
(1 - e)J\7(^) < A(u) < ( 1
+e)N(u)
ha una misura Ve (x) tale che
VE(x)/x-+l,
per$-* + oo).
È evidente che quando sia accertato un ordine medio M (x)
si può assumere [(1 — e) M, (1 + e) M] come pennello (Z), D)\
infatti se fosse definitivamente A (x) ^ (1 — e) M (x) non potrebbe
valere la (5); lo stesso si dica per A (x)^(ì + e) M(x).
Un'osservazione analoga vale per l'ordine normale N(x).
La descrizione di A (x) potrà essere migliorata con le operazioni seguenti:
a) abbassare A (x) o sollevare A(x): e così contrarre il
pennello (A, zi);
b) abbassare D (x) o sollevare D(x): e così contrarre i pennelli (zi, D) e (I), zi); questa contrazione, quando sia D(x)<D(x)
ci informa del comportamento di zi (x) alla periferia del pennello
(Zi, Zi); ecc.
Si consideri la famiglia di funzioni e A (x) (e reale positivo);
— 164 —
può avvenire che per ogni e > 0, esistano, grandi quanto si
vuole, valori x' tali che sia A (x') > (1 — e) A (a?); allora si può porre
.D (x). •= (I — e) A (x) e la funzione A (x) non è più abbassabile
se si vuole sceglierla in quella famiglia cA(x): come si suol dire
A (x) è « la migliore » funzione maggiorante di quella famiglia.
Un'osservazione analoga vale per A (x).
Avendo da confrontare A (x) con funzioni « standard » si comprende bene che la contrazione del pennello (A, A) si potrà spingere fino a ottenerne uno del tipo [(1 — e) M, (1 + e) M] a condizione che l'andamento di A {x) sia abbastanza regolare: in
qualche caso felice si potrà assumere
A(x) = M(x) — q>(x),
con
cp(x)l M(x) + 0,
A (oc) = M(x) + yj{x)
yj(x)/M(x)-+0.
Una interessante osservazione riguarda lo scavalcamento di
B(x) e B(x): È ovvio che A (x) è una B(x) e che A (x) è una
B(x); ora, se B(x)<B(x)
può avvenire che A (x) sia tutta
interna al pennello (A, B), oppure (D, A), o anche tutta interna
al pennello (D, D); mentre, se B (x)> B{x), queste circostanze
non si presentano, poiché in questo caso è garantito che A (x)
taglia, lontano quanto si vuole e infinite volte, il pennello (B9B):
allora questo pennello segnala, come minorante, l'ampiezza delle
oscillazioni di A (x); queste oscillazioni non si smorzano a meno
che non si smorzi l'ampiezza dal pennello (B, B).
Si aggiunga che la descrizione di A (x) sarebbe migliorata se,
per esempio, nel sollevare B(x) si precisasse anche la « densità »
decrescente degli insiemi dei punti x' pei quali A (x') > D (xf).
Per la funzione A (x), che forma l'oggetto della nostra esposizione, dovremo segnalare convenienti, anzi, sempre più convenienti funzioni A(x), A (x), B (x), B (x) che servano alla sua
descrizione.
6. PRIME OSSERVAZIONI ELEMENTARI. - Poiché ogni numero primo
maggiore di 2 è dispari, risulta ovviamente valida la disuguaglianza attenuata
(6.1)
Pn+i~Pn= d(n)^2
,
per%^2,
— 165 —
e anche l'analoga ed equivalente disuguaglianza
(6.1')
A{x)^2
,
per x^
2.
Questa è una osservazione evidente e modesta: la costante 2
può funzionare come minorante, cioè si può assumere A(%) = ' 2 .
L'alzare questa minorante per sostituirla con una più favorevole
[anche soltanto A (x) = K(> 2)] costituisce un problema che ha
resistito agli sforzi dei matematici e li illustreremo nei n. 12 e 15
(rivediamo il n. 5, là dove si parla di abbassare..., sollevare...,
contrarre...; può dar l'impressione di cose da nulla e allora provvediamo a cautelarci dalle impressioni). In sostanza alla domanda 8°
e neppure alla meno esigente 7° (n. 4) i matematici non hanno
ancora risposto.
Si vede immediatamente che d (ri) non è limitato, cioè che
(6.2)
lim d(n) = + co ,
lim A(x) = + co ;
infatti, è ben noto che « quasi tutti » gli interi non sono primi,
cioè n (x)fx^O, e se fosse d (n) <K (fìsso) allora i numeri primi
sarebbero « troppo addensati », poiché in questo caso risulterebbe
evidentemente n (x) > x (1—1/K)
contro la relazione limite
n(x)/x-+0. Si è risposto in parte alla domanda 1° (n. 4); ma
conviene aggiungere anche la seguente osservazione.
Si consideri il prodotto Pn~p1P2
••• Vn\ 8& m ^eri
Pn + 2 , Pn'+ 3 , ..., Pn + pn+i
—1
evidentemente non sono primi, perchè ognuno di essi è divisibile
per uno almeno dei numeri primi p19 p2, ..., pn. Si conclude
(6.3)
A(Pn+l)^pn
+1
— 2.
Non appena saremo riusciti a esprimere in qualche modo il
prodotto Pn per pn, potremo precisare un confine inferiore per
questi grandi valori: cioè istituire, anche se grossolana, una
funzione i) (x). Ma su questo argomento torneremo nel n. seguente e al n. 8.
li
— 166 —
7. CONSEGUENZE DEI DUE TEOREMI DI P. TCHEBYCHEFF. - Sono
ormai classici, e ottenuti con mezzi elementari, i due seguenti
teoremi dovuti a P. TCHEBYCHEFF (1851, 1852) ( 3 ).
I. - Fissato £ > 0, arbitrario, esistono infiniti interi x' e
infiniti interi x" pei quali
(7.1)
JI(X')
> ( 1 — e) x'/log co',
n{x")< (1 +
E)X"
/logx".
I I . - Esistono due costanti positive A e B\ con 0 < A< 1 <B1
per le quali è
(7.2)
v—
v
< nix) <
Ioga?
, (per x > xfì conveniente)
Ioga?
Tenendo conto che pn-^+co
si ottiene dal teor. II.:
ìogpn ~
ìogn,
e i due teoremi, con facile modificazione possono essere espressi
dalle disuguaglianze analoghe (si tenga conto che 7l(pn) = n, rj>0)
(7.1')
(7.2')
Pn">
(1 "
n) n"
log9?" ,
Vn'<
( 1 + V) n' lOgW/
Aì • n log ri < p n < Bt • wlogn .
Non è il caso di richiamare in questa sede la dimostrazione
del teorema I; accenniamo, e soltanto brevemente, alla dimostrazione del teorema I I che è semplice e istruttiva (4).
/2n\
Si consideri il coefficiente binomiale I \ (n^2)
per il quale
valgono le limitazioni evidenti:
k=o
n— h
\n)
(3) Ved. P. TCHEBYCHEFF, Oeuvres, voi. I, pp. 27-48, 49-70; G. TORELLI, Sulla totalità
dei numeri primi fino ad un limite assegnato, «Atti R. Acc. Se. Napoli» (2), 11, n. 1,
pp. 20-30; E. LANDAU, «Handbuch der Primzahlen », Leipzig 1909, pp. 71-97.
(') Vedi per la dimostrazione in questa forma E. LANDAU, Zahlentheorie, I, Leipzig
1927, pp. 66-70.
— 167 —
in questo coefficiente binomiale i divisori primi dell' intervallo
n<p < 2n figurano alla prima potenza e tutti gli altri a u n
esponente r = r (n, p) tale che pr^2n;
si potrebbe facilmente
vedere che questa osservazione sugli esponenti di p porta a concludere a sinistra e a destra rispettivamnnte
n (2n) > cn/ìog n9
n {2n) — n (ri) < e" n/ìog n
e quindi, perfezionando ovviamente la seconda:
e n/log n < n (2n)< e' n/ìog n.
Il passaggio dall'intero pari 2n alla variabile continua x si
compie facilmente e ne risulta il teorema II.
Una dimostrazione più complicata, ma sempre elementare,
conduce al seguente risultato di J. J. SYLVESTER (5).
Esiste un numero x0 tale che per %2^x0 risulta
(1 — a) -^— < n(x) <{l + b) ^ ìogx
logie
dove a - 0,007388 e b = 0,006775.
Da questo teorema segue che la differenza n (2x)—n
risulta, per x ^ x0 conveniente,, superione a
2(1—a) x.
log (2.¾)
(x)
(l + b)x
log»
e tende all'infinito per x-> + c o . Questo risultato, accompagnato
dall'esame suppletivo di ciò che accade per i valori di x^ x0
(un valore precisato!), si può ricavare la seguente classica proposizione (ammessa come postulato da J. BERTRAND):
Fra x e 2x ~— 2 (x^.2) esiste almeno un numero primo.
Dunque è
(7.3)
A(x) ^x
—2 .
Si può assumere A{x) =x — 2. Conduciamo la bisettrice y=--x
degli assi: essa è il diagramma di una funzione maggiorante.
(5) Vedi G.
TORELLI,
loc. cit., p. 29.
— 168 —
Ma il teorema di TCHEBYCHEFF-SYLVESTER ci dice di più: infatti>
tenuto conto ancora che n (pn) — ne log pn ~log n risulta:
L
T^ -<n<(l
logpn
(1-a)
+
b)T^logp
n
da cui (assumendo 0 < a < a', 0 < b < b')
(I — a') pn<n
log n < ( l + 6') pn.
Pensando a queste limitazioni per n e per n + 1 e facendo la
differenza, si ricava subito
pn +i — pn < cpn
e=
(per n ^ n0)
h e = 0,015 .
1 — a
Si conclude
(7.4)
A (so)< 0,015 • x,
(per#^#0).
Dunque: Za funzione A (x) = 0,015 a? è definitivamente maggiorante. (Il suo diagramma è una retta poco inclinata; ma è
sempre una r e t t a ! si potrà flettere verso il basso questa maggiorante ?)
D'altronde le (7-1') che esprimono il teorema I ci dicono che
Fissato e > 0 esistono infiniti interi x' e infiniti interi x" tali
che si abbia
A{x')>
(1 —e) Ioga?',
A(x") < (1 + e) Ioga?"
cioè si può assumere
(7.5)
D{x) = (1 - e) Ioga?,
D{x) = (1 + e) log x .
Infatti, se fosse definitivamente A (x) ^ (1 — e) log x, dalla
uguaglianza
pn=2+
A(Pl) + ... +
Aip^)
si avrebbe per ogni n, essendo K indipendente da n, la disu-
— 169 —
guaglianza
pn < K{E) + (1 —e)(logp,+ . . . + logp ro _i)
= K(e) + ( l - e ) ^ìogu
(1 + f}u) ,
(*1u-+0)
ì
< K(e) + (1 - fi) n log w (1 + on) ,
( a n - 0),
e questo, al crescere indefinitamente di n, va contro il teorema I
[verrebbero a mancare gli infiniti n" della (7.r)]Analogamente si procede per la seconda in (7-5).
Osserviamo che per adesso è 2) (a?) < D (#), e d'altronde il
rapporto D {x)jD (x) si può rendere prossimo a 1 quanto si vuole.
8. IL TEOREMA DI MERTENS E IL RIBALTAMENTO DEL PENNELLO (_D,
D). Fissiamo l'attenzione sulle (7.5): in questo numero ci proponiamo di mostrare con mezzi elementari (i quali si trovano
sostanzialmente alla profondità dei teoremi di TCHEBYCHEFF) che
Fissato e > 0, esistono infiniti n' tali che
(8.1)
pn>+i — Pn' > (ec —[e) logpn>
(0=0,5772... costante diEULER-MASCHERONI) e, poiché e° = l,781...,possiamo dire:
Esistono infiniti n' tali die
2V+ i — pn> > 1,781 • l o g j v
•
In altri termini si può assumere
(8.17)
D{x) = 1,781 Ioga?.
Questa osservazione è molto interessante; infatti essa ci dice
che il pennello
(8.2)
(1 + e) Ioga;,
1,781 Ioga?
viene tagliato infinite volte dal diagramma di A (x) le cui oscillazioni hanno dunque ampiezza per lo meno dell'ordine di log x
e non si smorzano neppure rispetto a questo ordine.
Cominciamo con l'osservare che il teor. I I di TCHEBYCHEFF
— 170 —
ci dà log pn ~ log n e quindi si può ricavare il valore asintotico
della funzione
(8.3)
ft(pn)
= log{pxp2 -"Pn) = 2 ìogp ~ 2 ioga
~n\ogn
e d'altronde il teorema di MERTENS (6) (che si trova in sede
elementare, circa come i teoremi di TCHEBYCHEFF) ci dà
Si tratta di stabilire che esistono tratti abbastanza ampi,
costituiti di interi consecutivi tutti composti.
Siano a?!, oc2, ..., xN, N interi distinti; è evidente che, fissato p,
si può dare a questo sistema di N interi una traslazione conveniente
l i + »i, X1 + x21 ..., X1+xN
(0^X1<2?)
in guisa che almeno Njp siano divisibili per p, cioè in guisa che
quelli non divisibili per p siano al più
N-N/V-N(I-^
Quando si voglia un numero almeno del sistema divisibile
per p, ancora la traslazione è possibile e i rimanenti sono al
più N—l. Se poi si considerano un nuovo numero p' e gli
interi non divisibili per p, si può trovare una nuova traslazione X2
in guisa che, degli N numeri
X2+xXì
X2+oc2,
..., X2+ooN
(0 ^X?< pp'),
quelli non divisibili né per p né per p' siano al più
Così si può continuare con un terzo numero p", ecc.
(G) Vedi F. MERTENS, «Journ. fiir Mathem. », 78 (1874), pp. 46-62; E. LANDAU,
loc. cìt. in (3), p. 140; A. E. INGHAM, The distribution of prime numbers, Cambridge
Tracts, N° 30 (1932), pp. 22-24.
_
]7l
_
Premessa questa osservazione si considerino gli N numeri
interi consecutivi
1,2,...,N
e fissiamo un numero «' > 0 piccolo quanto si vuole (lo scegliamo
0<«'<l/2).
Sia
e quindi, pel teor. I I [vedi (11)]
u — 1 < B , -—^- = e B
log{e'N)
log ^7"+log e'
e anche
(8.5)
u
< 2a'B j
^
(per N ^ N0)
Per l'osservazione precedente, è possibile trovare una traslazione
Xu+1,
Xu+2,
..., Xu+N
(0^Xu<Plp2...pu)
in guisa che fra questi interi ve ne siano al più v non divisibili
per alcuno degli interi primi pv p2, ..., pu ed è (pel teorema di
MERTENS)
(8.6)
0<v<N
~ —
II
1
P^PU\
~
Pi
~logPu
-.
log*?
Questi v interi (quando ne siano rimasti) si sistemano con v
traslazioni che li prendano in considerazione singolarmente e li
rendano divisibili per pu+1, pu+2, ..., pu+v.
In definitiva si giunge al sistema
Xu+V -f- 1 j Xu+v-{-2f
... , Xu+V~{-N
(0 ^ Xu+V < P1P2 "• Pu+v)
nel quale ogni intero è divisibile per uno almeno degli interi
Pi, Pi, -9 Pu+v e P 0 S t 0
XQ — P1P2 •••• Pu+v JrXUjrV
— 172 —
siamo certi che tutti gli interi
XQ + 1,
X0 + 2 ,
..., X0 + N
sono composti. Sia pn il numero primo per il quale
(8.7)
pn£X0'<X0+N<
pn + l
allora risulta
(8.8)
pn + 1 — pn > N
e d'altronde, tenendo conto ordinatamente di (8.7), (8.3) e (8,5;,
si ricava:
log p B ^ log X 0 < log ( 2 ^ 2 ...pu+v) ~ {u + v)\og{u + v)
< \2e'B.
\
~(e-c
= +=
logN
^ log [2s'B-
logN/
*\
=-, +
logJV
(1 + oN)
ìogNJy
+ 2e'B) j Z ^ - logtf,
(a*-0)
=
{e-G+2e'B)N.
Assumendo e' abbastanza piccolo si ottiene
N > (ec — e) log p n
e dalla (8,8) si ricava la (8.1). Il teorema risulta così dimostrato.
9.
I L « PRIMZAHLSATZ » E LE SUE IMMEDIATE
CONSEGUENZE. -
Il teorema fondamentale sulla distribuzione dei numeri primi,
il cosiddetto « Primzahlsatz », dovuto a J . HADAMARD e OH. DE
7
LA VALLEE POUSSIN (1896) ( ) si enuncia semplicemente con la
formula asintotica
(9.1)
\ /
7i(x)~-
.
Ioga? '
per #-• + oo
^
(7) Vedi E. LANDAU, loc. cit. in (3), pp. 189-197; A. E. INGHAM, loc. cit. in (°),
pp. 25-40. Per una esposizione che vuol dare una prospettiva sull'argomento, vedere
G. RICCI, II teorema fondamentale sulla distribuzione dei numeri primi, « Il Filomate »,
voi. I (1948), pp. 1-14, 90-99.
— 173 —
e anche con la formula
equivalente
(9.2;
pn ~ n log n ,
per n •+ + oo.
(L'equivalenza di queste due formule si stabilisce immediatamente osservando, come più volte abbiamo già fatto, che n(pn) = n
e che log pn ~log n -> + oo). Esso ci dice che la densità ™(x)jx
dei numeri primi nell'intervallo (0, x) è asintotica a 1/log oc. Esso
porta anche porta come immediata conseguenza
Pn+i/Pn-+l,
per 7i-*+ oo
8
e quindi ( )
(9.3)
d(n) = pn + 1 —
pn=o(pn)
cioè
(9.4)
A{x)=--o{x);
dunque la maggiorante di TCHEBYCHEFF-SYLVESTER A (x) = ex
[vedi (7.4)] a diagramma rettilineo può essere sostituita da
un'altra il cui diagramma si flette verso il basso; per dare qualche
ragguaglio su questa flessione, conviene invocare la maggiorazione del resto della formula asintotica del « Primzahlsatz » e la
vedremo fra un momento. Per adesso osserviamo che La funzione d (n) ammette Vordine medio
(9.5)
~(d(l)
n
+ d(2) + ... +d(w)) ~ l o g w .
Infatti
(9.6)
d(l) + <Z(2)+ ... + d(n) = pn+1 — 2
~(w + l ) l o g ( w + l)
~ n log n .
Che cosa si può dire riguardo alla funzione analoga A (so)?
Si osservi che
Pn+l
n
/
A(oo)dx= 2 \~A(pk)]* = 2 d2(k)
fc=i
8
o
Scriveremo, come
()
->• 0 e f (x) = 0(g(x))
n
&=i
ormai è di uso comune, f(x) = o (g(x)) per indicare
per indicare che \f(x)\/g(x) si mantiene limitato.
f(x)/g(x)
— 174 —
e poiché vale la '(9.6), questa somma di quadrati non è inferiore
a quella ottenuta con n basi uguali e pertanto
2
2
l
^
l
H
Y
n
H
) 'I
*-i ) a i \
n
I
\
n
fn logn (1 + ??n)\2
—n
.
„
...
.,
n
~ pn+1 •
logpn+1
Dunque
Pn+1
A(x)dx >pn+1
ìogpn+i
[1—o(l)].
0
Immaginiamo scritta questa disuguaglianza anche per l'intervallo (0, pn) e osserviamo che, per pn<x<pn
+ 1, risulta
Pn
lo
g Pn ~
X
lOg
X
~ Pn + 1 ] ° g Pn + 1 5
allora, per il valore medio di A (x) si ricava:
X
- j A (x) dx > log x[l — o (1)] .
Ma si osservi che se non è vn+1 — pn = o{^pnlogpn),
la
funzione A (x) non ammette l'ordine medio della forma ft Ioga?;
infatti, se per qualche e > 0 esistono infiniti indici v pei quali
Pv+i-
pv
>c^pv\ogpv,
risulta
Pv + 1
Pv
I A(x)dx = I A(x)dx + (pv+1 — pv)2
o
o
> ~kpv log pv [1 — o (1)] + e2 pv log p v
> [& + e2 - o (1)] pv log p„
> [& + c 2 - o ( l ) ] p v + i l o g p „ + i
e il coefficiente le + e2 garantisce l'asserto.
— 175 —
Introduciamo adesso il resto del « Primzahlsatz ») per considerare il resto è opportuno assumere come funzione di confronto
la trascendente detta « integral-logaritmico » e cioè
1-c
X
X
f du
T
/ f
C du
Li x = / ,
= hm / +
ìogu
a-K)\J
J logu
Ò
0
1 +e
e la sua funzione inversa hi'1 x.
Poiché, come si potrebbe subito verificare mediante integrazioni per parti, è
Lia?"*',
,
log x
L i - 1 x ~ #log# ,
il teorema fondamentale si enuncia
(9.7)
pn~Li-1w,
n(x) ~1J\X ,
e per il resto abbiamo il risultato classico
POUSSIN
[CH. DE LA
VALLEE
9
( )]
(9.8)
n(x)= Lia? + 0
(xe-^ìofw)
essendo a > 0 costante precisata. Questo teorema ha subito molti
perfezionamenti per la maggiorazione del resto [J. E. LITTLE WOOD (1924), E". TCHUDAKOFF, E. C. TITCHMARSH (1936-1938)] e
oggi si può enunciare così
,.
a(x)=liix+0(x'e-Q°8x)f*)
(9.9)
4
(
P — i; — e
(e > 0 qualunque)
Si ricava anche
(9.10)
(°)
N° 1.
pn = L i " 1 n + 0 (n log2 n e-a**»)")
CH. DE LA VALLÈE POUSSIN,
«Mém. couronnés Acad. Belgique », 59 (1899-1900),
— 176 —
Infatti, posto x = pn in (9.9) otteniamo
pn =
Jji^[n+0(pne~(^pnr)];
le derivate delle due trascendenti sono:
—- Li x — ,
dx
log x '
— L i - 1 y = logx ,
dy
"
'
(y = Li so)
"
v7
e, applicando il teorema del valor medio, si ottiene
pn = L i - 1 ^ + 0{pne-(lo%vnV') • log w
con
n = n + 0 ( p n e - ( l o g ^ ) , log ^ ^ log w
da cui l'asserto per una costante p! < /LI che tuttavia è ancora
/=(4/7)-6.
La (9.10), scritta per p w + 1 e per pn, porge mediante la differenza fra due formule consecutive (osservando che pn ~ n log n7
log n ~ log pn)
(9.11)
.
d(n) = Pn + i-Vn
= 0 (Pne-^VnV)
,
che si può scrivere
j
\ogd{n) = ìog{pn+1
— pn) < ìogpn -
(
per /LI — (4/7) — e e
{ìogpj1
n = % (dipendente da e).
Dunque
(9.12)
A{x) <x e-^lo^x^
per
x^x0.
e siamo giunti alla funzione definitivamente maggiorante
~A{x) =
xe-<lo^x^.
Osserviamo cha, malgrado il notevole e pesante lavoro, la
funzione A (a?), sebbene « flessa » verso il basso, è ancora definitivamente superiore a ogni parabola della forma y = xl~e (e > 0
piccolo quanto si vuole!).
177
10.
—
L'IPOTESI DI EIEMANN E IL SUCCESSO DI A. W E I L . I L TEOREMA
- È ben noto che, nelle questioni aritmetiche, sostiene,
di solito, una parte notevole la funzione £(«) di EIEMANN, cioè
la trascendente
DI ORAMÉR.
C(s) = 1 + Ys + j s + • - + ~ + - .
(s = a + it)
e il LA VALLEE POUSSIN pervenne al suo teorema dopo aver dimostrato che esistono le > 0 e t0 tali che
(10.1)
C(s) ^ 0
per
a> 1 - ^
,
t> t0 ,
e assumendo poi a < )lk. Gli ulteriori perfezionamenti furono
conseguiti maggiorando somme di esponenziali e ampliando il
campo (10.1). B. EIEMANN in una classica memoria (1859) collegava n(x) alla trascendente Li # e agli zeri della trascendente
'Q (s), e ammetteva la seguente proposizione:
Gli zeri dì £(s) appartenenti alla striscia O ^ o ^ l hanno tutti
la parte reale 1/2., cioè stanno tutti sulla mediana o = 1/2.
Questa affermazione costituisce la famosa ipotesi di Eiemann
ed è prodigiosamente ricca di conseguenze molto interessanti nel
campo aritmetico: essa ha resistito ai tentativi che numerosi
insigni analisti hanno compiuto durante gli ultimi cinquant'anni.
Finalmente, dopo un singolare aggiramento della questione, sviluppatosi ad opera di matematici della Scuola tedesca (H. HASSE,
F. K. SCHMIDT ecc.) con la considerazione delle funzioni nei
cosiddetti corpi di caratteristica finita e il trasporto della questione stessa sotto le vedute della Geometria algebrica, A. W E I L
nel 1948 (10) ha pubblicato la dimostrazione di questa famosa
ipotesi.
Da lungo tempo era noto, con H. VON KOCH (1901), (11) che
Se vale Vipotesi di EIEMANN,
(10.2)
n(x) = Li x-V O (}l~x log x) ;
(10) A. WEIL, Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent, « Act.
Scient. », 1041, Paris, Hermann, 1948, pp. 60-72.
( u ) H. VON KOCH, «Acta Mathem. », 24 (1901), pp. 159-182.
•— 178 —
anzi più in generale:
Se 0 è Vestremo superiore delle parti reali degli zeri di £(s)
contenuti nella striscia 0 S o ^ 1, e quindi 1 / 2 ^ 0 ^ 1 , risulta
(E. LANDAU, 1909)
(10.3)
(12)
n(x) = Lia? -f
0{xGlogx)
Dalla (10.2), con l'osservazione analoga a quella svolta per
ricavare la (9.io) e la (9.il) dalla (9.9), otteniamo l'espressione
di pn e della differenza pn + x — pn nella forma
(10.4)
pn = L i - 1 n -'r 0
{)fnìog5l2n)
= Li~ 1 n +
0{Ìpnlog2pn),
d{n)=
Pn + l ~ Pn=
0 ipnìOg2
pn) .
H. ORAMÉR (13) è riuscito a perfezionare la (10.4) sostituendo,
sempre nell'ipotesi di BIEMANN, log22>„ con ìogpn pervenendo a
(10.5)
d(n) = pn+1 — pn = 0{)lpn\ogpn)
.
A. PILTZ (1884) avanzò la congettura che per ogni e > 0 valga
la limitazione
afa)
=-Vn + l—Pn
=
°(Pn)
(cioè che si possa assumere A (x) = af) e H . ORAMÉR (1921), in
questo ordine di idee, è riuscito a dimostrare che
NelVipotesi di Riemann, fissato un numero y con 0 < y ^ 1/2,
il numero dei numeri primi pn^oc pei quali la differenza soddisfa la condizione
à{n) =
pn+1~pn>pyn
è maggiorato daWespressione O (%yf) con y' = 1 —3/2 y -f e (e > 0
piccolo quanto si vuole).
Adesso si riguardi la (9.12): l'ipotesi di BIEMANN, del resto
ormai dimostrata, e il teorema di H . ORAMÉR hanno portato un
(12) Vedi E. LANDAU, loc. cit. in ( a ), pp. 385-388.
(13) H . CRAMÉR, « A r k i v f. Mat. Astr. och Fys. », 15 (1920), N° 5.
(") H . CRAMÉR, « P r o c . Cambr. Phil. Soc. », 20 (1921), pp. 272-280.
— 179 —
notevole progresso nell'abbassamento della maggiorante A (a?).
Vale la funzione maggiorante
(10.6)
~A(x) =
K]/xlogx
e questa funzione ha il diagramma << di poco più elevato » di
quello della parabola y = K]/x di ordine 1/2.
Eiprendiamo l'osservazione svolta al n. 9, a proposito dell'ordine medio di A (a?); possiamo constatare che, anche applicando l'ipotesi di RIEMANN e il teorema di H. CRAMÉR, non
siamo in grado di affermare che l'ordine medio di A (x) sia della
forma ~k log x, poiché questa affermazione richiede la condizione
necessaria A (x) = o {)lxìogx) che ancora non è accertata.
11.
LA DENSITÀ IN UN INTERVALLO RISTRETTO. L'INTEVALLO
|~F,
Y
(lc~\-ì) ]. - Il « Primzahlsatz » si esprime con la formula
(11.1)
jz{x) - JAx + 0 [(j{x)} ,
essendo g(x) = o (se/log x) una funzione diversa, da caso a caso,
a seconda della rafi&natezza conseguita nella maggiorazione del
resto [vedi la (9.8), la (9.9) e la (10.2)]; esso ci dice, come g'm
abbiamo osservato al n. 9, che la densità TI (X)/X dei numeri
primi nell'intervallo (0, x) è asintotica a I/log x. Adesso poniamo
la questione seguente: È possibile stabilire il valore medio della
densità dei numeri primi in un intervallo più. ristretto, cioè del
tipo [Xj x ~\- f (x)] di ampiezza f (x) = o (x) ? E, in caso affermativo, quale è questo valore medio ?
È evidente all'intuizione che il problema sarà tanto più
difficile quanto più è ristretto l'intervallo, cioè quanto più è
basso l'ordine di grandezza di / (x) : qui procediamo per ordini
di grandezza, poiché le costanti moltiplicative eludono il « potere
risolutivo » del nostro strumento. Parlando per immagini, pensiamo la ricerca come una ispezione « al tatto » lungo la retta
sostegno dei « nodi » interi primi: il « polpastrello » di cui disponiamo è la formula (ll.i) e la sua « carenza di sensibilità » è,
in certo senso, misurata dall'ordine di grandezza della funzione
g (x) che entra nel termine complementare. Da questo ordine di
grandezza dipenderà quello dell'ampiezza f{x) dell'intervallo per
il quale ci proponiamo di determinare la densità media.
— 180 —
Premesso questo accenno intuitivo veniamo a parlare con
precisione: faremo osservazioni che sono immediata conseguenza
degli sviluppi elementari in serie geometrica e in serie logaritmica e anche conseguenza dell'andamento della trascendente Li x1
e precisamente del fatto che la sua derivata è I/log x.
Sia f(x) = o(x)i per il teorema dell'incremento finito abbiamo:
f(x)
Li (a?+ /(#)) = Lia? + -^-L , [x = x + Xf{x), 0 < X< 1)
Ioga?
e poiché
log a = log j x f 1 + X — ) |
= Ioga? + log 1 + 1
X
logj1+0(Jm),
l
\xlogx)}
7
ricaviamo
(11.2)
Li
(.+ /(*))=
L
i«+gUo(_g_).
Adesso immaginiamo scritta la (11.1) per x + f (x) e per x,
e facciamo la differenza a membro a membro; in questo modo
otteniamo
(11.8)
„[«+/<*)]-*(») •= j g + o y g y + o [»(*)].
Se assumiamo / (x) = o(x), il primo termine al secondo membro è preponderante sul secondo; esso sarà preponderante anche
sul terzo se e soltanto se g (x). log x = o [/ (OD)].
La formula (9.9), dimostrata indipendentemente dall'ipotesi
di EIEMANN fornisce
g{x) = xe-^^%
L = l_8\
e quindi consente, per esempio, di assumere f(x) = x e-(ioga;)" con
r < 4 / 7 e, poiché si può sempre pensare v<ju< 4/7, essa ci dà:
(11.4)
v
'
rc(0
x
+ 0 6 - ( 1 0 ^ ) - r a t ov ) ~ ,
e-V°8*)v
*
log a?
— 181 —
Malgrado questo esponenziale, l'intervallo « saggiato » ha un'ampiezza di ordine superiore a xx~E per ogni e > 0 (piccolo quanto
si vuole !).
Adesso ammettiamo l'ipotesi di RIEMANN, la formula (10.2),
conseguenza di quella ipotesi, ci fornisce
g(x) = )lx log x
e ci consente di assumere, per esempio / (x) = xe, ( 1 / 2 < 0 < 1 ) .
Con questa espressione di / (co) il termine intermedio al secondo
membro di (11.3) ha l'ordine
f{x)
x log2 x
xw~x
log2 x '
e sarà preponderante su g (x) oppure no senonchè 3/4 < 6 < 1
oppure 1/2 < 0 ^ 3/4.
Si perviene quindi al risultato
xG
n(x + xe)-~ nix) ~ ,
. I o g a ? '
(11.5)
/1
-<0<1
\2
e quindi anche (con e > 0)
(11.6')
d(n) = pn+1-pn=.
0(Vnm
+s
)
Più precisamente
(11.6)
n(x+xe)-n(x)
i ° ìo^ '
V g
7
= ,-^- + J
Ioga?
,( 0 (yxìogx),
P6r
4<0<
2
1
3
per - < 6 ^ - .
Constatiamo così che la « densità media » dei numeri primi
nell'intervallo (co, x + x6) è ancora I/log x; per di più abbiamo
maggiorato anche il resto attinente a questo valore medio. Conviene aggiungere che, per 0 < 6 ^ 1/2, non soltanto la (9.9) ma
neppure la (10.2) non ci consente alcun risultato, poiché l'affermazione che ne discende
nix + x6) — n(x) = 0 [ÌX log x) ,
12
— 182 —
pur essendo vera, è ovvia; infatti è evidentemente
71 (X + XG) ~~ 71 (x) < X° + 1 .
Possiamo tuttavia affermare che:
Per ogni funzione
f{x) = ixlogx
' fx(x) ,
f1(x)-> + co
risulta
(11.7)
TI[X + |/a? log x • f^x)] — 7i(x) ~ ix • /j(a?) ,
essendo fx (x) una qualunque funzione indefinitamente crescente
anche lentamente quanto si vuole, per esempio f1(x) = log* x,
fx (x) = log log x ecc.
Anzi, volendo sfruttare al massimo lo strumento di cui disponiamo e osservando l'ordine Otfxlogx)
del termine complementare, si vede che
È possibile scegliere una costante K abbastanza grande in
guisa che la differenza
n(x+ K^x log x) —n(x)
risulti maggiore di cK ]lx log x {cK> 0 costante dipendente solo
da K). Siamo così pervenuti alla (10.5) e alla (10.6) di H. CRAMÉR.
Consideriamo la domanda (vedi le 5° e 6° formulate al n. 4):
È vero che esiste un numero K > 0, abbastanza grande, tale
che fra le due potenze di interi successivi kK, (fc + 1)K si trovi
definitivamente contenuto almeno un numero primo ?
A questa domanda fra poco risponderemo: la risposta sarà,
come al solito, di carattere asintotico. Cominciamo con l'osservare che è
(11.8)
fcv
+ yfty-1 < (le + l)y,
(¾ > 0 , y > 1 ) .
Infatti, se a> 0 risulta
1 + ya < (1 + a)v
perchè i due membri di questa disuguaglianza, pensati, per a
positivo fìsso, come funzioni di y coincidono per y = 0 e per y = \
— 183 —
e inoltre si verificano queste due circostanze: il primo membro
è lineare ed ha il diagramma rettilineo, mentre il secondo membro ha il diagramma concavo verso l'alto. Ponendo in questa
disuguaglianza a = X/le e moltiplicando per W si ottiene la (11.8).
Adesso poniamo
ler=x,
y = 1/(1 — 0),
(1/2<0<1)
e questo porta
itr-i = x°,
e={y-i)ir,
(y>2).
La (11.7) ci dà
JCY
= x < le? + yk^1
= X + yx° < (le +
ly
e l'ampiezza dell'intervallo che ci interessa è per lo meno y
volte quella dell'intervallo {x, x + xe). Pertanto la (11.6) ci dà:
Fissato il numero y>2, fra le due potenze W e (lc-\-ì)Y di
due interi consecutivi, le e le + 1, sono compresi, per le abbastanza
grande, sempre dei numeri primi il cui numero per le-*- + oo è
asintoticamente almeno non inferiore a
le^1/logie.
Abbiamo risposto affermativamente alla domanda 6° (vedi
n. 4), ma non a quella più esigente 5° che costituisce ancora
una congettura [di L. OPPERMANN ( 15 )]: infatti la risposta vale
per l'esponente y = 2 + <5 ( ó > 0 ) sempre maggiore di 2.
Assumiamo nella (11.7) f± (x) = Kx costante abbastanza grande:
avendo riguardo ai termini complementari della relazione (11.3)
e ponendo x = le2 si perviene al risultato :
Esiste una costante K tale che per ogni le ^ 2 fra i due numeri le2 e {le-\-K log2 le)2 esiste almeno un numero primo: anzi il
numero di tali numeri primi, per le abbastanza grande, ha un
valore non inferiore a cKlc log le.
(È naturale: abbiamo diminuito l'esponente da 2 + ò a 2 e
abbiamo dovuto necessariamente dilatare l'intervallo !).
12. ANCORA SULL'ABBASSAMENTO DELLA FUNZIONE ~À(X). I L SUCCESSO
DI
G.
HOHEISEL.
(1G) L.
- Il n. precedente era dedicato ai risultati otte-
OPPERMANN,
« Overs. Dansk. Vidensk. Selsk. Forh. », 1882, pp. 169-179.
_
184 —
nuti come conseguenza dell'ipotesi di EIEMANN, ma è doveroso
e istruttivo ricordare anche quelli faticosamente raggiunti al
tempo in cui l'ipotesi di EIEMANN non era dimostrata: in particolare vogliamo porre in rilievo che, mentre il « Primzahlsatz »
col resto della forma (9.9) conduceva alla (11.4) e non consentiva
neppure un intervallo nell'ordine xl~s (e > 0) (anche con e piccolissimo !), un successo notevole venne conseguito da G. HOHEISEL
nel 1930 (16). Infatti questo autore dimostrò il teorema:
Esiste una costante Q < 1 tale che
(12.1)
n(x + x°)~7i{x
~xe/\ogx.
Egli si valeva sostanzialmente di due teoremi riguardanti la
distribuzione degli zeri della trascendente C(s), (s = a + it), e
precisamente: di un teorema di J. E. LITTLEWOOD che assicura
essere £ ( s ) ^ 0 in un campo
a > 1
(12.2)
~
a
l f f f '
*>*<>(> 3),
«>0
e di un teorema di E. CARLSON, opportunamente perfezionato,
che maggiora il numero degli zeri di £(«) in un campo rettangolare 1/2 + ò ^ o^ì,
0 <t ^T (<5> 0) e che qui non è il caso
di ricordare.
11 calcolo effettivo di quella costante 0 conduceva a un
numero molto prossimo a l e cioè 6=1 — (33000)" 1 : il risultato
potrebbe sembrare singolarmente tenue, ma intanto era stata
aperta la via per nuove ricerche in questa direzione. In particolare G. HOHEISEL aveva osservato che, se in luogo della costante a in (12.2) si fosse potuto sostituire una funzione a (t)
con a(t) -> + oo per t-+ + oo, allora si sarebbe potuto dimostrare
3
6 = — | - e (e > 0 piccolo a piacere).
Sono venuti gli studi successivi e cioè:
H. HEILBRONN (1933) (17) aumentando il valore di a riuscì a
dimostrare 6 = 249/250; nel suo studio si stabiliscono teoremi
analoghi per la progressione aritmetica k x -\-l e per la funzione
di MÒBIUS p
(10) G.
(17) H.
(ri).
HOHEISEL, « Sitzungsberichte Akad. », Berlin 1930,
HEILBRONN, «Math. Zeit. », 36 (1933), pp. 394-423.
pp. 580-588.
— 185 —
N.
GRADOFF
e «
T
(1936) ( i8 ), applicando un metodo di I. VINOper la valutazione di somme di esponenziali, dimostrò
TCHUDAKOFF
+ «•
In fine A. E.
INGHAM
/
19
( ) ha dimostrato che se
\
u--{-it)=0(t?)
per /,-* + co (e costante) allora valgono (11.6) e (11.5') con l'esponente
(12.3)
0 = (1 + le)/(2 + 4c) + e
e in base ai noti valori di e risulta
577
^-925 + ^
I n questo lavoro viene citato anche un risultato non pubblicato sulla costante e, di E. C. TITCHMARSH che dà
(12.4)
48
0= — + e.
Il teorema di A. E. INGHAM è interessante perchè consente
anche di riattaccarsi a una classica ipotesi di LINDELOF, secondo
la quale per ogni A > 0 è £1 — + it\=0(tf).
Infatti, la (12.3) ci
mostra che, in tale ipotesi, vale la (11.5) con 0 = 1 / 2 + « e
quindi vale anche la (11.5') (questo risultato è prossimo a quello
di H . ORAMÉR espresso dalla (10.5)).
Abbiamo così, in questo n., prospettato i risultati ottenuti
per l'abbassamento della funzione A (oc), senza fare uso dell'ipotesi di EIEMANN: il risultato migliore è quello corrispondente al
valore assegnato da (12.4), cioè
Pn+i-Pn=0(pn"),
13.
GEMELLI.
6> 48/77.
IL METODO DI VIGGO BRUN E IL TEOREMA SUI NUMERI PRIMI
- Consideriamo le coppie [p, p' = p + 2) di numeri primi
(1S) N. TCHUDAKOFF, « Recueil Mathém. Moscou », nouv. sèrie, 1 (43) (1936),
pp. 799-814.
(10) A. E. INGHAM, « Quarterly Journ. of Math. » (Oxford series) 8 (1937), pp. 255-266.
— 186 —
gemelli
(3, 5), (5, 7), (11, 13), ..., (10-006-427, 10"006"429), ...
e (vedi al n. 4 la domanda 7°) domandiamoci: Questa classe è
finita oppure no ? Ancora non è nota la risposta a questa domanda;
sull'argomento VIGGO BRUN dimostrò, nel 1919, il seguente interessante teorema (20):
La somma degli inversi dei numeri primi gemelli
„ / 1 1 X 1 1 1 1
\p
p/
3
5
5
7
1
11
1
13
o è somma di un numero finito di termini o è una serie convergente.
Per comprendere il significato della seconda alternativa dobbiamo riflettere che la serie E 1/p degli inversi dei numeri primi
P
è divergente (come lo è la serie armonica E 1/n) e pertanto i
numeri primi p sono abbastanza «frequenti» da produrre questa
divergenza, mentre, secondo V. BRUN, le coppie (p, p' =p + 2)
sono abbastanza «rare» da produrre quella convergenza; anzi,
questo autore perviene al seguente teorema (meno pronunciabile
ma più significativo del precedente):
Detto B (x) il numero delle coppie (p, p'^p -\-2) di numeri
primi gemelli, per le quali p ^x,
risulta
B(x) = 0 {x/ìog2 x) .
Appunto da questo segue, in modo ovvio, il teorema precedente.
Il metodo seguito da V. BRUN è veramente brillante: esso si
riattacca al più che bimillenario « crivello di Eratostene » e sono
intermediari, sostanzialmente, alcune osservazioni primordiali di
Analisi combinatoria; esso sembra voler documentare l'eterna
freschezza delle risorse di cui dispongono le Scienze matematiche.
Questo metodo, come fra poco accenneremo, risolve il problema
(20) V. BRUN, « Comptes rendus Ac. d. Sciences», Paris 168 (1919), pp. 544-546;
«Bulletin d. Se. Mathém. », 43 (1919), pp. 100-104, 124-128; «Videnskap. Skrifter I.
Mat. Nat. Klasse », Kristiania 1920, n° 3.
— 187
che potrebbe dirsi dell' « onere della condotta del crivello » ed
ha già reso utili servizi nel campo dell'Aritmetica. Eiflettiamo
che quando si applica il crivello di Eratostene all'insieme di
numeri interi 1, 2, 3, ..., N per ottenerne i numeri primi occorre
operare con gli «stacci» ( ^ ) , (p a ), ..., (pk) (pk^W<pk+1),
poi
in senso inverso con gli «stacci» (px p2), (p1p3), ..., {pk-iPk)\
poi ancora in senso diretto con gli «stacci» {PiPzPz), ... ; ecc.
ecc. I numeri interi risultanti alla fine del processo sono i numeri
primi pk+1,pk
dove pn^N<pn
n~k
+ 2, .-.,Pn,
+ l . Il numero
21
di tali interi primi è (si vedrebbe facilmente) ( )
7i{N)—7i{ÌN)
= N —E
v'
+ 27
N
p'p'
- E
iV
p'p" p'
e il problema consiste nel calcolare questo numero.
Osserviamo che
N
p'p"... p (0
N
— Q(p',p",
p'p" ...p (i)
... ,p<0),
(O^0<1)
dove 6 (p% p", ..., p{l)) è la mantissa della frazione Nj{p' p" ...
p{l)): sulla mantissa generica non abbiamo alcuna informazione
ali'infuori di quella ovvia 0 ^ 6 < 1, e il calcolo del numero
intero n (N)—TI()/N)
comporta 1'« onere » di tante (troppe!)
mantisse, poiché il numero delle frazioni (e quindi quello delle
mantisse) è dell'ordine 2n{N)~n^N).
Questo gravame (che potrebbe
pensarsi come « il noleggio del crivello ») non ci consente alcun
risultato perchè l'operazione porta «in deficit». L'idea di V. BRUN
consiste nel « noleggiare gli stacci » corrispondenti soltanto ad
alcune delle troppo numerose combinazioni (p', p", ..., p{l}) e
scelte con legge appropriata: il risultato sarà « spurio » ma presenterà il vantaggio, insieme alla informazione globale precisa
sulla sua « mancanza di purezza », di ridurre 1' « onere » in guisa
da lasciare l'operazione in un apprezzabile «attivo». Anzi, di
più, la scelta delle combinazioni può essere fatta tanto in guisa
che il computo porti a un risultato maggiorante, quanto in
guisa che l'analogo computo porti a un risultato minorante.
(21) Per ogni numero reale a si denota con [a] la parte intera di « cioè il massimo
intero relativo che non supera a.
— 188 —
In particolare, applicando il crivello di Eratostene con la
scelta degli « stacci » al modo di VIGGO BRUN, si scopre per
esempio che:
Il numero B8 (x) dei numeri interi ^g. x pei quali il minimo
divisore primo supera xs (0 < ò < 1) soddisfa alla limitazione
logie
logx
{c1(ò), c2(à) costanti dipendenti da d) e per ò < 1/5 è c1(ò)>0.
Si osservi che, per ó = 1/2, risulta E8 (x) = n(x) — n (\lx) e la
parte a destra della limitazione di questo teorema fornisce la
parte a destra del secondo teorema di P . TCI-IEBYCHEFF (n. 7):
un risultato modesto (viene fatto di osservare !). Ma ancora non
abbiamo dichiarati due pregi fondamentali del metodo di V. BRUN
e cioè: 1° il metodo non si preoccupa della « fase » in cui entra
in azione lo «staccio» generico ip' p" ... p®) e quindi conduce
a risultati riguardanti un qualunque intervallo (X, X -f x) validi
uniformemente rispetto a X; 2° il metodo può applicarsi anche
a due o più crivelli « in parallelo » comunque « sfasati ».
Applicando detto metodo alla coppia di interi x, x + 2 si
ottiene il teorema sulle coppie di numeri primi gemelli enunciato
al principio di questo n.
Conviene enunciare qui, accanto alla proposizione precedente
e troppo primordiale, un'altra proposizione come tipo di quelle
a cui si perviene col metodo suddetto.
Siano a, b interi; | , rj t £ numeri non superiori a xò(0 <ò<l).
Il mimerò A (co) dei numeri interi u non superiori a x e tali che
u, u + a, u -f- b n®n ammettano divisori primi inferiori ordinatamente a £, rj, £ soddisfa alle limitazioni
T
X
c^ò: a, b) • . r ^
=
< A(x) < c„(d; a, b)
—
:
1
y
2V
' '
log £ log r] log l;
'
' ' l o g ! log ?? log £
Un teorema di questo tipo non è più significativo dalla parte
minorante quando è c1(à) rg 0.
Esso, per ciò che riguarda la sua parte a destra, diventa
più significativo quando si abbassa il valore di c2 ( d) e, per ciò
che riguarda la sua parte a sinistra diventa più significativo
quando si solleva l'esponente ò che misura la potenza del me-
— 189 —
todo (l'ideale sarebbe di poter porre ò = 1/2 !) e, per un ò fissato,
quando si solleva il valore di e± ( ò). Questi problemi di raffinamento tecnico hanno costituito l'oggetto di numerose ricerche da
parte di H. RADEMACHER, E. LANDAU, T H . ESTERMANN, G. RICCI,
A. BUCHSTAB, A. SELBERG (22). In ispecial modo è da segnalare
l'impianto del « crivello » costruito secondo A. SELBERG; questo
autore pone in modo penetrante il problema di minimo connesso
alla scelta degli « stacci » e al relativo « noleggio » globale e
procede a scelte vantaggiose, anche se in generale non corrispondenti a quel minimo (23).
Per chiudere questo n. ritorniamo alle coppie di numeri
primi gemelli.
Al seguito di uno studio di N. M. SHAH e B. M. WILSON
rivolto ad analizzare varie congetture riguardanti il problema
di GOLDBACH e quello dei numeri primi a distanza fìssa (fra le
quali quelle di J. J. SYLYESTER e di V. BRUN), G. H. HARDY eJ. E. LITTLEWOOD (24) avanzarono la congettura che il numero B(x)
di tali coppie non superiori a x sia assegnato dalla relazione
asintotica
B{x) ~ = - ^2 - . *dove 6 = 2 JT (l — 7 — ì — ^ = 1-320...
log » ' '
{p-l)V
pè3\
Su questo ritorneremo nel n. 16.
Il teorema di V. BRUN assegna una maggiorazione del numero
B(x); ma il metodo stesso non consente di stabilirne un confine
(22) Vedi H. RADEMACHER, « A b h a n d . Math. Sem. H a m b u r g » , 3 (1924), pp. 12-30;
E. • LANDAU, Zahlentheorie,
I, Leipzig 1927, pp. 71-78; « Nachrichten Ges. Wiss. » Gòt-
tingen 1930, pp. 255-276; Fortschritte der addittiven Zahlentheorie, Cambridge Tracts
1937; T H . ESTERMANN, «Journal fiir Mathem. », 168 (1932), 106-116; G. RICCI, « Rend.
Palermo», 57 (1933), pp. 433475; «Annali Scuola Normale Sup. Pisa» (2), 6 (1937),
pp. 71-116; H. HEILBRONN - E. LANDAU - P. SCHERK, « Casopis Matem. Fys. », 65 (1936),
pp. 117-140. A. BUCHSTAB, «Ree. Mathém. » (4), 46 (1938), pp. 375-387; « Comptes
rendus Ac. Soc. U.R.S.S. », 29 (1940), pp. 544-548; A. SELBERG, « Norske Vid. Selsk.
Forh. », Trondhjem 19, n. 18, pp. 64-67 (1947).
Per alcuni cenni di carattere generale sul metodo di V. BRUN vedi G. RICCI, « Rend.
Semin. Mat. Fis. Milano», 13 (1939), pp. 204-226 e «Atti d. Convegno matematico»,
Roma, novembre 1942, pp. 105-107, Roma (1945).
( 23 ) Il lettore può vedere A. SELBERG, The general sieve-method and its place in
prime number theory, « Proceedings International Congress of Mathem. », Cambridge
Mass. U.S. A., Aug. 30-Sept. 6, 1950; A. M. S. Providence 1952, pp. 286-292 (pubblicata dopo che fu tenuta questa conferenza).
H N. M. SHAH - B. M. WILSON, «Proc. Cambridge Phil. Soc», 19 (1919),
pp. 238-244; G. H. HARDY - J. E. LITTLEWOOD, ibidem, pp. 245-254.
— 190 —
inferiore; al riguardo vale per esempio la proposizione seguente:
Sia Z (x; a, b) il numero delle coppie di interi u, u + 2ni
(m intero positivo) tali che u ^ x e inoltre:
u è composto di al pie a fattori primi uguali o distinti, tutti
maggiori di ^ 1 / ( a + 1 ) ; u + 2m è composto di al piii b fattori primi
uguali o distinti tutti maggiori di ull{b+1). Allora, esistono due
costanti positive c1 = cl(m; a, b), c2(m; a, b) tati che
'V
X
e,1 =—^—
< Z (x: a, b) < c2 -.—5—
log 2 x
' '
log2 x
per le seguenti coppie di valori a e b:
a = 6,
b = 6 (TH. ESTERMANN);
a = 5,
b = 7 ; a. = 4, b = 9 ; a-----3,
b = 15
(G. RICCI).
Per potere assicurare l'esistenza di infinite coppie (u, u+2m)
occorre concedere ai due interi componenti anche pochi divisori
primi, ma più di un divisore primo; pertanto non si sa se le
coppie p, p' = p-\- 2 siano in numero finito oppure infinito. La
funzione minorante A (x) rimane ancora la costante A {x) = 2
(vedi fìg. 3, n. 5), e riguardo ai diagrammi presentati nella
fìg. 2 (n. 4) delle funzioni A2, A±, ... (e contrassegnati con 2,
4, ...) non è noto se l'ordinata resterà stazionaria a partire da
un certo punto in poi, oppure se crescerà indefinitamente.
14. I L SOLLEVAMENTO DELLA FUNZIONE D (X). - Riprendiamo
la questione che grosso modo può essere posta così: Di quanto
almeno si trovano distanti fra loro numeri primi consecutivi
scelti fra quelli che sono fra loro più lontani? Abbiamo già
veduto (al n. 8), come conseguenza del teorema di F. MERTENS,
che esistono infiniti valori n' di n tali che
(8.1)
Pn' + i — Pn' > {ec~
e)log?v
(0=0,5772... costante di EULER-MASCHERONI) e questo risultato
ha portato 11 sollevamento della funzione D {x) da
(1 — e) log ^ a (ec— e) log x = (1,781... —e) log x.
In tempi relativamente recenti è stata studiata la differenza
d(n) per ciò che riguarda i suoi valori « giganti » e, non essendo
— 191 —
possibile entrare in particolari, ci limitiamo a segnalare i risultati
successivamente raggiunti: per semplificare la scrittura poniamo
log2 OD = log log OD,
log3 OD = log log log x,
ecc.
Fissato £ > 0, esistono infiniti valori n' di n pei quali sussiste
la disuguaglianza (25)
d(n') = pn'+i—
pn' > (2 -- e) logpn
(E. J.
> (4:— s)ìogpn
>{2ec—
(A.
e) l°gP"
'
log3
l-n
BACKLUND)
BRAUER-H.ZEITZ)
(E.
WESTZYNTHIUS)
ÌOgtPn
log pn lOg., pn
> 7
/i
—^¾^
._ _
.. .
P. ERDOS
a
(log8Pn)
(7 > 0 conveniente)
Si è dunque riusciti ad acquistare vantaggio nell'ordine di
grandezza, anche se le funzioni moltiplicatrici di log pn sono
molto lentamente crescenti.
A questi risultati si è giunti con la scelta, effettuata ingegnosamente, della traslazione X che porta l'intervallo (0, y) nell'intervallo (X, X+ y) nel quale si addensano interi aventi piccoli divisori primi: trova applicazione anche il metodo di V. BRUN.
Il migliore limitato noto (quello di E . A. EANKIN) ci assicura,
pertanto, la possibilità di assumere la fu azione
D x
()
.—
/1
\ log a? loglog a? i i i i
= (w — e r r h — 1
xo loglogloglog x 7,
V2
/ (logloglog.^)2
come bordo superiore del «pennello» {D,D) (vedi figura 3, n. 5).
Questo bordo superiore lascia al di sopra i punti rappresentativi dei valori d(n) «anormalmente grandi»; il loro presentarsi può essere segnalato dai posti w*, che potremmo chiamare
(23) R. J. BACKLUND, «Annales Acad. Scient. Fennicae », ser. A, 32 n. 2, Helsinki
(1929); A. BRAUER - H. ZEITZ, « Sitzungsber. Berliner Math. Gesel », 29, pp. 116-125;
E. WESTZYNTHUIS, « Comment. Phys. - Mathem. », 5, n. 25, Helsingfors (1931); P. ERDOS,
«Quarteiiy Journ. of Mathem.» (Oxford series), 6 (1935), pp. 124-128; R. A. RANKIN.
«Journ. London Math. Soc. », 13 (1938), pp. 242-247.
— 192
«posti record» nei quali d(n*) ha un «valore record», cioè maggiore di ogni altro che lo precede: vai quanto dire che d(n) <d(n*)
per ogni n < n*. Consideriamo la successione costituita da tutti
e soli i «posti record» nì > n 2 > n 3 5
%*,
; la tabella e
i diagrammi del n. 3 ci segnalano i primi sette di questi posti
e cioè 2, 4, 9, 24, 30, 99, 154 ai quali corrispondono i numeri primi 3, 7, 23, 89, 113, 523, 887 con le « differenze record » 2, 4, 6,
8,14, 18,20. La successione degli interi n* è effettivamente
« molto rarefatta » e, a questo proposito, riteniamo interessante
segnalare una nota di A. È. WESTERN (25*) che presenta la tabella
dei «valori record» per i numeri primi non superiori ai 10 milioni: tali valori sono in numero di 20 e la tabella, che porta
anche alcune funzioni di confronto scelte appropriatamente (i
logaritmi sono intesi in base 10), è la seguente (l'autore dice: «It
is highly probable, but not certain, that my table is complete »).
A. E . WESTERN osserva che risultano avvalorate le due congetture: 1° che sia definitivamente d{n) <}/'pn, 2° che esista c > 0
tale che d{n) > e log 2 pn .
d(n)
d(rì)
(Log pn)2
d(n)
(Log pnffr
d(n)
d{n)
Pnll2
3
7
2389
113
523
887
1129
1327
9551
15683
19609
31397
155921
370261
492113
1319533
1357201
2010733
4652353
2
4
6
8
14
18
20
22
34
36
44
52
72
86
112
114
118
132
148
154
8,79
5,60
3,24
2,10
3,32
2,44
2,30
2,36
3,49
2,27
2,50 '
2,82
3,56
3,19
3,62
3,52
3,14
3,51
3,73
3,46
15,24
6,09
2,77
1,51
2,32
1,48
1,34
1,35
1,97
1,14
1,22
1,36
1,68
1,40
1,53
1,48
1,27
1,42
1,48
1,34
1,52
2,46
2,74
2,60
4,29
3,76
3,66
3,80
5,63
3,64
3,39
4,39
5,41
4,33
4,54
4,30
3,46
3,87
3,93
3,32
1,155"
1,512
L251
0,848
1,317
0,787
0,672
0,655
0,935
0,368
0,351
. 0,371
0,406
0,218
0,184
0,163
0,102
0,113
0,104
0,071
(25*) A. E.
WESTERN,
Vn
« Journ. London Math. Soc. » 9 (1934), pp. 276-278.
— 193 —
15.
L'ABBASSAMENTO
DELLA
FUNZIONE
Z> (X).
IL
SUCCESSO
DI
P. ERDÒS. In questo numero prendiamo in esame la questione,
in certo senso, duale di quella trattata al numero precedente
e cioè: di quanto al più potremo trovare distanti fra loro numeri primi consecutivi che sono fra loro vicini? Abbiamo già
veduto in sede elementare (al n. 7, vedi la (7.5)) che, per ogni
£ > 0, esistono infiniti n" tali che
d(n")
= Vn"+1 — Pn" < ( 1 + £) l o g pn» .
e l'attesa di un miglioramento di questa disuguaglianza è stata
molto lunga.
In uno studio manoscritto : Partitio Numerorwm VII di
G. H. HARDY e J. E. LITTLEWOOD citato da E. A. EANKIN (26) si
trova citata un risultato di quegli autori che fa appello alla
« ipotesi estesa di Eiemann »•; questa ipotesi riguarda le funzioni
analitiche che per o > 1 sono definite dalla serie di DIRICHLET
V ( ti ì
L{s) = L(s, %) = E ^ - ,
(s = a + it; %{n) carattere di n)
e, precisamente, la collocazione dei loro zeri nella striscia critica O ^ a ^ 1 . Diciamo (9 l'estremo inferiore di tutti i numeri
positivi oQ tali che nessuna i-funzione di DIRICHLET L (S, %) abbia
uno zero in s = a + U con à>aQ (notiamolo: nemmeno sull'asse
reale), l'ipotesi estesa di Eiemann afferma che
0=1/2.
Ebbene, in questa ipotesi, quegli autori dimostrano che per
ogni o> 0, esistono infiniti n" tali che
d(n") = Pn"+i — Pn" < (2/3 + e) log pn» .
Nel 1940 lo stesso E. A. EANKIN con metodi analoghi riusciva
a dimostrare il seguente teorema che perfeziona il precedente
e, fra l'altro, assegna anche « una cadenza » secondo la quale
(20) R. A.
RANKIN,
«Proc. Cambridge Phil. Soc. », 36 (1940), pp. 255-266.
— ]94 —
almeno si deve trovare una coppia ravvicinata entro il limite
segnalato.
Fissato « > 0, per N^N0(e)
esiste sempre almeno una coppia
di interi primi consecutivi pn„, pn»+1 soddisfacenti alle due relazioni
i
N^Pn"
< Pn"+l< ^N
)
f
/1 -f 4(9
d{ll")
= pn»
+ 1
— Pn"<
\
g
\
+ fi) 10g^?n"
dove 0 è Vestremo inferiore che abbiamo definito sopra (attinente
alle funzioni L (s, %) del DIRICHLET).
Osserviamo che nell'ipotesi estesa di Eiemann è 0 = 1/2 e
quindi risulta
d{n") = pn» + 1— pn»< (3/5 + e ) log 2?«»
e quindi si può assumere
2>(o?)= (3/5 + e ) log*'.
Osserviamo ancora che questo teorema è significativo soltanto
per 0<1 poiché per 0 = 1 conduce a D (x) = (1+ e) log x già
noto elementarmente.
Ancora nel 1940, P , ERDÒS conseguiva un vero successo nella
studio di questo problema; infatti, indipendentemente dall'ipotesi
di Eiemann, egli dimostrò (27).
Esiste una costante a < 1 tale che, per N abbastanza grande,
fra N e 2N si trova almeno una coppia di numeri primi consecutivi
N ^pn»<
pn»+i < 2N
tali che sia
d{n") = pn» + 1 — Pn" < a * log yn.> .
Pertanto si può assumere
D(x) = a • log x .
(27) P.
ERDÒS,
«Duke Math. Journal», 6 (1940), pp. 438-441.
— 195 —
La dimostrazione segue questa linea: il numero delle coppie
di interi primi (anche non consecutivi) p, p' = p +- a è maggiorato col teorema di V. BRUN; fra queste coppie, quelle per le
quali (1 —e) log n ^ a ^ (1 +- e) log n «non sono troppe »j per e
abbastanza piccolo, l'ammettere d (n) = pn+1 — pn>(l — e) log n
per ogni pn compreso fra N e 2N porta all'assurdo, poiché non
ci sarebbero sufficienti coppie da costituire gli ~N/ìog N interi
primi che cadono nell'intervallo (N, 2N).
E . A. EANKIN (28) ha recentemente (1947) calcolato un valore
possibile della costante a, e precisamente quello che risulta dalle
maggiorazioni eseguite col metodo di V. BRUN secondo lo schema
di A. BUCHSTAB (1938) (29); questo calcolo ha condotto al seguente
risultato: Il teorema di P . Erdòs vale con a — 57/59.
Il bordo inferiore del pennello (D, D) risulta
j5(a>) = (3/5 + fi) l o g x ,
D(x) =
(67/59)logx
secondochè si ammetta oppure no l'ipotesi estesa di Eiemann.
16. EITORNO AI DIAGRAMMI. I L TEOREMA DI W. KNÒDEL. - Eiprendiamo in esame i diagrammi del n. 3 che danno sostanzialmente
l'immagine della tabella numerica. La flg. 1 presenta il diagramma
della funzione d (n) per 0 < n^.110. e anche quello della funzione
log n: risulta confermato dalla figura il fatto che log n sia l'ordine medio di d (n) (vedi n. 9).
La fìg. 2 porta i diagrammi delle due funzioni ^ (x) e log x
(si può pertanto riflettere sul pennello (D, D) illustrato ai due
nn. 14 e 15) e anche quelli delle sette funzioni A2h(x) (fe = l , 2 , . . , , 7 )
che sono contrassegnati coi numeri 2,4, ...,14. Fissiamo l'attenzione su questi ultimi: si vede che A2, A 4 , A8 procedono insieme,
mutuamente intrecciandosi, mentre A6 e A12 hanno un'ordinata
all'incirca doppia di quella di A2 e, infine, A10 e A2i hanno
rispettivamente ordinate che sono circa 4/3 e 6/5 di quella di A2
(per lo meno nella zona finale del diagramma). Di questi fatti
possiamo dare una spiegazione euristica molto semplice.
La crivellazione dell'intervallo {0,N) eseguita conio «staccio»
(p) riduce il numero degli interi da N a N(l—l/p);
e anche
(28) R. A. RANKIN, «Journ. London Math. Soc. », 22 (1947), pp. 226-230.
P ) Vedi n. 3 e nota (22).
— 196 —
sappiamo che (vedi n. 8)
II
fi -- 1 )
•
^>
pi
2e-°
n{N) ~
.
Ioga?
N
ìogN '
La crivellazione dell'intervallo (0, JV) eseguita con due «stacci»
(p) in parallelo, sfasati di 2¾ riduce il numero degli interi da JSf
a N (1 — 2/p), a meno che p non sia divisore di 2h, poiché quando
p divide 2h7 le due crivellazioni, in apparenza sfasate, si sovrappongono (i numeri up e up -\~2h percorrono lo stesso insieme); il
uumero degli interi viene ridotto da N a JV (1 — ljp)> Si vede
che i numeri primi p dispari divisori di 2¾ hanno influenza sul
risultato nel senso di sollevare il diagramma della funzione A2h (x)
nei confronti di A2 (OD) allungandone le ordinate nel rapporto
(1 - l/p)/(l - 2/p) = (p - 1 )/(p - 2 ) ;
se 21i è potenza di 2 i numeri primi dispari mancano.
Osserviamo che per p ^ 3 è
2
p
1 \2 1
p/
p2
(
\"
1 \2 (
pi \
/
\
1
)
2
(p — l) 1
e che converge il prodotto infinito
p= 2 n
il--—1—-! .
p£3 '
(P — l ) 2 I
Introdotta questa costante /5 e osservato che col numero
primo 2 si crivella una sola volta per qualunque A2h(x), abbiamo
i-d
-'
n
i--j =-./z
3^p^z V
pi
*3^p^x\
i__ •
P>
p„t^.
&
log-^
Riguardando quello che accade con un solo crivello (cioè
al passaggio dal coefficiente e~c al coefficiente 1) si può prevedere (30)
M®)~ r^r~
2
' log2 x
()8=1-320..)
'
(80) Per interessanti e acute osservazioni su questo argomento vedere loc. cit. in (21).
— 197 —
Per la valutazione di AG(x) tutto corre nello stesso modo:
la sola modificazione (poiché il numero primo 3 opera una sola
volta) consiste nel sostituire il fattore 1 —1/3 al fattore .1 — 2/3
e poiché (1 - 1/3)/(1 - 2/3) = 2 ne segue
...
b
20x
log2 a?
In generale
A2h(x) ~ p n £—p\h V ~~ ^
— j i0
8
x
(essendo il prodotto esteso ai divisori p primi dispari dell'intero Ji).
Vengono così giustificate in qualche modo le osservazioni già fatte
empiricamente e cioè:
J. a (x) ~At
1
3
5
(x) ~ - A6 (x) ~ A8 (x) ~ - A1Q (x) ~ - Au
(x).
Il punto essenzialmente incerto di queste nostre osservazioni
sta nell'ammettere che le mantisse non abbiano influenza sul
risultato della crivellazione (si rivedano le considerazioni del n. 13)
e che statisticamente si presentino delle mutue compensazioni:
questo non è rigorosamente provato e la diffìcile domanda sul
comportamento di A2h (x) non ha ricevuto risposta.
Per decidere se A2h (x) rimane definitivamente stazionaria
oppure cresce indefinitivamente si può, almeno in un primo
esame, prendere in considerazione un insieme abbastanza esteso
di tali funzioni e porre la seguente domanda:
Se arrestiamo l'intervallo al punto x, quanti sono i diagrammi
A2h{x)ì con 1 ^ h^ [log x] che sono arrivati «abbastanza in
alto » ? (Questo « abbastanza in alto» può intendersi in relazione
all'ordine di grandezza x/ìog2 x che maggiora secondo V. BRUN
le A2h (x) stesse).
Da questo punto di vista si è collocato W. KNÒDEL (31) che
(31) W. KNÒDEL, « Nachrichten der Oestev. Math. Ges », 3 Jahrg. Nr. 8/9, p. 35
(riassunto); «Monatshefte fiir Math.», 55 (1951), pp. 62-75; ibidem 56 (1952),
pp. 137-143. Ringrazio il prof. U. RICHARD che, in occasione della mia conferenza, mi
segnalò gentilmente il riassunto del lavoro di W. KNÒDEL comparso in « Nachrichten ».
Ho ritenuto opportuno di aggiungere anche il risultato di questo giovane autore per rendere più completo il quadro sull'argomento esposto.
13
198 —
ha studiato le &-uple p,p'=p
+ alf p" = PJr^2i •••? P{ — p-\-<*k-i
di numeri primi ottenute per traslazione: ci limitiamo a enunciare il suo risultato nel caso k = 2, cioè della coppia p,p' = p-\-2h,
essendo questa la forma particolare che interessa più da vicino
la nostra esposizione.
Siano :
A2h (x) il numero delle coppie di interi primi p, p'= p -{- 2k
con p ^ x,
Z (y, OD) il numero degli interi h tali che
0 < h < 2 log x , A2h{x) > yx/log2x
;
allora, esistono due numeri positivi y e ò indipendenti
tali che
Z (y, X) > òlogX .
da
x,
Anche con questo teorema non possiamo né affermare l'esistenza di qualche A2h (x) indefinitamente crescente per a?-^+00,
ne affermare l'esistenza di qualche A2h (x) definitivamente stazionaria: infatti, per ogni x, avremo un sistema di diagrammi
A2h{x) con 0 < h< 2 log x che sorgeranno nella prima parte
dell'intervallo (0, x) e, nel passaggio da xx a x2 (> ,^), vi saranno
diagrammi sopraggiunti da unire ai precedenti. In queste condizioni, si può presentare, una qualunque delle tre circostanze
seguenti :
1° A ogni x si può coordinare un y (x) (y < x, y-+ + oo
per x -• -j- oo ) tale che i diagrammi che sono « alti » all'ascissa x
siano t u t t i fra quelli « sopraggiunti » da y a x, mentre tutti quelli
pertinenti a y, ormai già « stanchi », siano divenuti stazionari.
In questo caso ogni A2h (x) risulta definitivamente stazionaria,
2° Ogni A2h(x) cresce indefinitamente sempre in accordo
con le limitazioni note.
3° Per qualche valore di h la A2h (x) è definitivamente
stazionaria e pei rimanenti valori è indefinitamente crescente: tutto
sempre in accordo con le limitazioni note.
In questo modo si vede che le domande 7a e 8 a del n. 4
sono rimaste senza risposta.
— 199 —
17. U N CENNO SU UN NUOVO PROBLEMA. - Per indagare come
sono distribuite le coppie pn, vn + i di interi primi consecutivi
e tra loro vicini, fissiamo l'attenzione sull'intervallo [(1 — ò) x, x]
di ampiezza ò x e denotiamo con Bs (OD; a) (0 < 6^1) il numero
delle coppie (pn, pn+ i) che verificano le condizioni
(1 — d) x <pn^x,
pn
+ 1—
pn<a
log pn .
Il teorema di P. ERDÒS ricordato nel n. 15 ci dice che per
ò — 1/2 la funzione D 1/2 (OD; a) è definitivamente positiva per
qualche a < 1. Denotiamo con E l'estremo inferiore dei valori a
tali che, per ogni ò > 0, Dò(x; a) risulti definitivamente positiva
(cioè dei valori a tali che esistano per ogni x^x0(a,
ó), delle
coppie di interi primi consecutivi per i quali pn+ y — pn < a log pnì
(1 — d) OD < pn^x):
accanto a E introduciamo anche il seguente
numero A che à connesso con Vordine dì grandezza di Dò (OD; a).
Se a > l si vedrebbe facilmente che esistono costanti positive e
tali che
Ds (x, a) > e òx/ìog2x .
Denotiamo con A l'estremo inferiore degli a pei quali, qualunque sia ò, esiste o(d, a)> 0; pel significato di E abbiamo:
E^A
^
1.
Nei riguardi di questa costante A sussiste la seguente limitazione [G. EICCI (32)]
A ^ 1 — pjZB ,
dove p - 1,320... è la costante di N. M. SHAH e B. M. WILSON
(vedi n. 13 e n. 16) e B è la costante (che potremmo chiamare)
di VIGGO BRUN, cioè è l'estremo inferiore dei numeri e tali che
per ogni x ^ x0 (e) (indipendente da a) il numero delle coppie
(pn, pm) con pm — pn = a, pn^oo,
( a è 2) non supera
P — 1
p\ap
(32) G.
cazione.
RICCI,
— 2
OD
ÌOg2X
'
\
=
)
«Rivista di Matem. Univ. Parma», 3 (1952), in corso di pubbli-
— 200 —
Una maggiorazione numerica di B calcolata secondo lo schema
di G-. RICCI (33) conduce alla limitazione A < 47/48.
È interessante osservare che, se è valida la congettura di
G. H. HARDY e J. E. LITTLEWOOD (vedi n. 13) secondo la quale
B = fi, si perviene all'uguaglianza espressiva E
<A<lj2.
18. CONCLUSIONE. - Riepiloghiamo qui le informazioni raccolte
sulle funzioni aritmetiche d (n) e A (co). Possiamo dire che:
1) d (n) ha l'ordine medio log n.
2) Non è stabilito se A [oc) ammette un valore medio definito in relazione all'ascissa x.
Scriviamo j con R ] e j senza B j per indicare che il risultato
è ottenuto assumendo l'ipotesi (estesa oppure no) di EIEMANN
o senza tale ipotesi: allora abbiamo
A(x) = 2
i
D(x) = (3/5 + e) log x , \ con B j
(
D(x) = (57/59) Ioga?, \ senza K \
n/ \ A
\ l°£x log Ioga?. . , .
D (x) = - — e
-z——f—^-logloglogloga?
—
\2
J (logloglog®)*
i
A(x) = K ]/QD logie,
\ con B \
<
( ~A(x) = Kxe , {6 = (48/77) + e),
\ senza B \ .
Queste sono le quattro funzioni indicatrici che, come fu detto
al n. 5 (vedi fìg. 3), ci segnalano, purtroppo ancora molto vagamente, l'andamento della funzione A (x) e, implicitamente, anche
quello della funzione d(n).
(33) G.
RICCI,
« Annali Scuola Normale Sup. Pisa » (2), 6 (1937), pp. 71-117.
NOTE