UMI - CIIM
Contenuti matematici irrinunciabili delle Indicazioni Nazionali per il quinto anno dei licei scientifici, licei scientifici
opzione scienze applicate, licei scientifici a indirizzo sportivo
Marzo 2015
Premessa
Il presente documento, che si affianca al Syllabus già redatto dall’UMI-CIIM maggio 2015, si propone di precisare, in maniera molto analitica, i
contenuti irrinunciabili (dunque essenziali) di matematica che tutti gli studenti devono conoscere al termine del percorso di studi della scuola
secondaria di secondo grado nei licei scientifici. Riteniamo, infatti, che non tutti gli argomenti proposti nelle Indicazioni abbiano la stessa
importanza per il conseguimento di una buona cultura matematica e per affrontare la prova scritta di matematica a conclusione del percorso di studi.
Soprattutto siamo del parere che non tutte le tecniche hanno la stessa importanza concettuale e culturale: alcune di esse sono “di base”, di altre la
conoscenza può essere utile a quegli studenti che hanno maggiore interesse per la disciplina.
Per questo motivo il presente documento deve essere consultato e letto insieme al Syllabus già pubblicato che riporta tutti gli argomenti dell’ultimo
anno di corso oltre a quelli considerati come prerequisiti.
Abbiamo anche indicato esempi di esercizi – problemi per dare un’idea del livello di competenze tecniche che necessariamente uno studente deve
possedere relativamente agli argomenti irrinunciabili al termine del quinto anno di corso. Pertanto, quando è stato possibile, abbiamo fatto
riferimento a esercizi e problemi assegnati nelle prove di esame degli ultimi anni, anche per mostrare che le nuove Indicazioni possono innestarsi in
un contesto già adatto a recepire le novità.
Il dettaglio di talune indicazioni è dovuto all’opportunità di essere chiari sul livello di complessità che non dovrebbe essere superato nei quesiti atti a
sondare il possesso delle conoscenze irrinunciabili.
Auspichiamo che il documento redatto possa essere utile sia agli insegnanti che agli studenti, per individuare priorità nei percorsi di insegnamentoapprendimento, sia agli estensori della prova scritta di matematica, affinché possano strutturarla in modo tale da prevedere una parte fondamentale,
irrinunciabile, che è necessario affrontare e risolvere per ottenere la sufficienza e una parte rivolta a evidenziare e valutare il possesso di conoscenze
e competenze di livello più elevato.
!
!
1!
Liceo scientifico
Matematica
Conoscenze irrinunciabili
Quinto anno
Ambito
Geometria
Argomento
Coordinate cartesiane
nello spazio
Distanza tra due punti
nello spazio.
Punto medio di un
segmento.
Equazione cartesiana di
un piano nello spazio.
Equazione del piano
passante per tre punti
non allineati.
Eventuali esempi di esercizi - quesiti – problemi
Verificare che il triangolo di vertici A(-3, 1, 1), B(1, 5, -2), O(0, 0, 0) è un triangolo rettangolo.
Fra gli infiniti piani rappresentati dall’equazione kx + y – z + 1 = 0, determinare:
a) l’equazione del piano parallelo al piano di equazione 2x + y – z + 1 = 0;
b) l’equazione del piano passante per A (2, 3, – 2 ).
Si considerino i punti A (1; 0; 1), B (0; 1; 2) e C (2 ; 2; 6).
a. Mostrare che A, B e C non sono allineati.
Mutue posizioni fra due b. Determinare l’equazione del piano ABC.
piani: condizioni di
incidenza, parallelismo.
Equazioni cartesiane e Dato il sistema:
parametriche di una
#x + y − z = 0
retta nello spazio.
"
! x + y =1
dire che cosa rappresentano, nello spazio Oxyz, le soluzioni del sistema e le soluzioni di ciascuna
equazione.
Equazioni di una retta Determinare le equazioni della retta passante per i punti P(2, -1, 1) e Q(0, 1, 3)!
!
!
2!
per due punti nello
spazio.
Equazione del piano
passante per una retta e
un punto a essa non
appartenente.
Mutue posizioni di un
piano e di una retta
nello spazio: retta e
piano
incidenti,
paralleli,
perpendicolari.
!
Determinare l’equazione del piano passante per la retta di equazioni x – 3=0, y = 0 e per il punto P(2, -1, 1)
Determinare l’equazione del piano passante per il punto P(2, 1, 4) e perpendicolare alla retta di equazione
x/1 = y/3 = z/(-3).
Determinare l’equazione del piano passante per il punto P(2, 1, 4) e perpendicolare alla retta di equazione
x/1 = y/3 = z/(-3).
Determinare le equazioni della retta passante per il punto P(2, 3, –2) e perpendicolare al piano di equazione
x + y + z = 1.
Determinare il volume del cono di vertice V(1, 1, 0), base nel piano di equazione x+ y –z= 0 e apotema di
lunghezza 5.
Fascio di piani nello
spazio. Stella di piani
nello spazio.
Stella di rette nello
spazio
Equazione di una
superficie sferica.
Mutue posizioni di una
sfera e di un piano
!
!
Determinare le equazioni della retta parallela alla retta di equazioni x – 3 = 0, y = 0 e passante per il punto
P(2,-1, 1).
Determinare l’equazione di una superficie sferica di centro C(1, 1, 0) e raggio 2.
Dire se il punto A (2, 4, 2) è interno, esterno o appartiene alla superficie sferica di centro (1, 1, 0) e raggio
2, giustificando la risposta.
3!
Relazioni e
funzioni
Conoscenza delle
principali caratteristiche
(insieme di definizione,
comportamento agli
estremi dell’ insieme di
definizione1, crescenza,
concavità) delle
seguenti funzioni reali
di variabile reale
(caratterizzate, da ora in
avanti come “funzioni
elementari”):
f(x) = px + q
f(x) = xn con n numero
naturale
f(x) = ax2 + bx + c
f(x) = 1/x
f(x) = n x , con n
numero naturale > 1
f(x) =ax con a reale
positivo ≠ 1
f(x)= log a x con a reale
positivo ≠ 1
f(x) = sin(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tan(x)
f(x) = arctan(x)
f(x) = arcsin(x)
f(x) =arccos(x)
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1
Se l’ insieme di definizione non viene dato esplicitamente si intende quello che alcuni chiamano “insieme di definizione naturale”, ossia l’insieme di tutti i numeri reali per cui
la funzione può essere definita.
!
!
4!
Definizione di funzione
composta
Insieme di definizione
di funzioni ottenute
come composizione di
“funzioni elementari”
(un’indicazione è quella
di limitarsi a funzioni
che si ottengono come
composizioni di due
“funzioni elementari”)
Teoremi sulla crescenza
di funzioni risultanti
dalla composizione di
due “funzioni
elementari”
Date le funzioni f(x) = ex + x e g(x) = sin(2x), scrivere f(g(x)) e g(f(x))
Determinare l’insieme di definizione delle funzioni definite dalle seguenti formule:
f(x) = ln(sin(x))
f(x) = e(1/x)
f(x) = ln(2x2 – x – 1)
f(x) = log 1 ( x 2 − 1)
2
Determinare l’insieme di definizione e la crescenza delle funzioni definite dalle seguenti formule:
f(x) = ln (2x2 – 3x)
3
f(x) = 2
x − x −1
2
f(x) = e2− x
f(x) = log 1 ( 2x − x 2 )
2
f(x) = arcsin(x2 + 1)
f(x) = arccos(x2 – x)
Limiti:
a) limite di
funzioni
composte
b) teorema del
confronto
sin( x)
c) lim
=1
x →0
x
Continuità:
a) definizione di
continuità in un
!
!
Determinare:
x
lim
2
x →+∞
x +1
sin( x)
lim 2
x →∞ x + 1
$ sin x
!
Dire quanto deve valere a affinché la funzione # x per x ≠ 0 sia continua nel suo insieme di definizione
!" a per x = 0
5!
punto
b) teorema degli
zeri per le
funzioni
continue
c) riconoscere se
una data
funzione è o
meno continua
in un punto o
nel suo insieme
di definizione
Asintoti del grafico di
“funzioni elementari” o
ottenute come
composizione di
“funzioni elementari”
(si consiglia di limitarsi
a composizioni di due
funzioni) o come
rapporti o come
prodotti di “funzioni
elementari”
Derivate:
a) definizione di
derivata in un
punto limite del
rapporto
incrementale in
quel punto
b) retta tangente al
grafico di una
funzione in un
!
!
Dimostrare che la funzione f(x) = cos x - x ammette almeno uno zero nell’intervallo [0,1].
Dimostrare che l’equazione cos x − x + 2 = 0 ha una sola radice nell’intervallo I = [0;2]
Studiare la continuità di f ( x) =
x−2
x2 − 4
Quesito 2 Corso di ordinamento 2012
Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione f(x) il cui grafico presenti un
asintoto orizzontale e due asintoti verticali.
Si scriva il limite del rapporto incrementale in un punto generico della funzione f(x) = 3x + 2.
Si scriva il limite del rapporto incrementale in un punto generico della funzione f(x) = 3x2 + 2x – 1 .
Sia data la funzione f definita da
!ax3 + bx + 3, x ≥ 0
f ( x) = #
%4ax − b, x < 0
6!
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
!
!
punto, sua
esistenza, sua
pendenza e sua
equazione (se
esiste)
relazioni tra
derivabilità e
continuità di una
funzione in un
punto
differenziale di
una funzione e
suo significato
geometrico(line
arizzazione di
una funzione in
un punto)
derivate delle
“funzioni
elementari”
derivata della
somma o
differenza di
due funzioni
derivata del
prodotto di due
funzioni
derivata della
funzione
reciproca
derivata della
funzione
composta
derivata della
a) Si determini, se esistono, valori reali di a e di b per cui f è continua e derivabile su R.
b) Si disegni il grafico di f (x) per a = 1 e b = – 3.
c) Si determini l’equazione della tangente,nel punto di ascissa ½, al grafico della funzione f(x)
considerata al punto b).
Il segmento in figura è il grafico della funzione f ’(x), derivata prima della funzione f(x). Si dica per quali
valori di x la funzione f(x) è crescente o decrescente e per quali valori di x si ha, se esistono, massimi
relativi, minimi relativi, flessi e si giustifichino le risposte.
(5,2)
1
1
(2,-1)
_____________________________________________________________________________________
Il segmento in figura, che ha estremi nei punti A(xA, yA) e B(xB, yB), con xA<xB, interseca l’asse delle
ascisse nel punto C(xC, 0) ed è il grafico di una funzione f ’(x), derivata prima di una funzione f(x). Si dica
per quali valori di x la funzione f(x) è crescente o decrescente e per quali valori di x presenta, se esistono,
massimi relativi o minimi relativi, e si giustifichino le risposte.
7!
funzione inversa
k) segno della
derivata e
monotonia,
massimi e
minimi relativi e
assoluti,
concavità e
flessi del grafico
di una funzione
l) velocità
istantanea di
variazione di un
processo
descritto da una
funzione
B
C
A
_____________________________________________________________________________________
La parabola che interseca l’asse delle ascisse nei punti A(xA,0), B(xB, 0), con xA< xB, ha il vertice nel punto
V di ordinata VC<0,è il grafico di una funzione f ’(x), derivata prima di una funzione f(x). Si dica per quali
valori di x la funzione f(x) è crescente o decrescente e per quali valori di x presenta, se esistono, massimi
relativi o minimi relativi, e si giustifichino le risposte.
_____________________________________________________________________________________
Dimostrare che la funzione f ( x ) = x 3 + x + 1 è invertibile in R . Indicata con g(x) la funzione inversa,
determinare g’(3).
Sia f ( x ) la funzione definita “a tratti”:
"
se x < 0
#a
#
3π
#
f ( x ) = %cos x se 0 ≤ x ≤
2
#
3π
#
#&bx + c se x > 2
Determinare le costanti a, b, c in modo che la funzione sia derivabile per ogni x reale. Disegnare il grafico
di f ( x ) .
_____________________________________________________________________________________
Quesito 10 Corso ordinamento 2013
!
!
8!
!
!
9!
Quesito 3 Corso ordinamento 2012
_____________________________________________________________________________________________
Quesito 3 Corso PNI 2012
NB Si presuppone che la “curva” di cui si parla nel quesito sia il grafico della funzione f(x).
Calcolo di
un’approssimazione
dello zero di una
funzione con il metodo
di bisezione
Teorema di Weierstrass
sull’esistenza di minimi
e massimi assoluti per
una funzione continua
definita su un insieme
chiuso e limitato
Quesito 6 Corso di ordinamento 2014
____________________________________________________________________________________________
Quesito 6 Corso PNI 2014
____________________________________________________________________________________________
Problemi di massimo e
di minimo.
Quesito 3 Corso di ordinamento e PNI 2013
___________________________________________________________________________
!
!
10!
Quesito 4 Corso ordinamento 2012
Integrali:
a) nozione di
integrale
definito di una
funzione in un
intervallo
b) interpretazione
dell’integrale
definito di una
funzione come
area
c) teorema della
media integrale
e suo significato
geometrico
d) espressione per
mezzo di
integrali
dell'area di
insiemi di punti
del piano
compresi tra due
grafici di
funzioni del
tipo:
f(x) = px + q
f(x) = xn con n
numero naturale
f(x) = ax2 + bx +
!
!
Quesito 7 Corso di ordinamento 2007
Se f(x) è una funzione reale dispari (ossia il suo grafico cartesiano è simmetrico rispetto all’origine),
definita e integrabile nell'intervallo [-2, 2], che dire del suo integrale esteso a tale intervallo? Quanto vale
nel medesimo intervallo l'integrale della funzione 3+ f(x)?
_____________________________________________________________________________________
Quesito 7 Corso di ordinamento 2014
_____________________________________________________________________________________
Quesito 8 Corso di ordinamento 2012
11!
c, più, in
generale
funzioni
polinomiali
f(x) = n x con n
numero naturale
>1
f(x) = ax con a
reale
positivo ≠ 1
f(x) = sin(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = (ax +
b)/(cx + d)
e) determinazione
del volume di
solidi ottenuti
dalla rotazione
di grafici di
funzioni
“elementari”.
f) primitiva di una
funzione e
nozione
d’integrale
indefinito
g) calcolo di
primitive delle
funzioni del
tipo:
f(x) = xn con n
numero naturale
f(x) = ax2 + bx +
c, più in
!
!
12!
generale
funzioni
polinomiali
f(x) = n x con n
numero naturale
>1
f(x) = ax con a
realepositivo ≠ 1
f(x) = sin(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = (ax +
b)/(cx + d)
f(x) = 1/(x2 + 1)
h) teorema
fondamentale
del calcolo
integrale
i) calcolo di un
integrale
definito di una
funzione di cui
si conosce una
primitiva (o la si
può ricavare
integrando
funzioni del tipo
sopra precisato).
Equazioni differenziali: Esempio 1 Bac 2009 scuole europee
a) concetto di
equazione
differenziale e
sua utilizzazione
per la
descrizione e
!
!
13!
modellizzazione
di fenomeni
fisici o di altra
natura.
b) risoluzioni di
equazioni
differenziali del
tipo
g ’(x) = f(x)
dove f(x) è una
funzione del
tipo:
f(x) = xn con n
numero naturale
f(x) = ax2 + bx +
c, più in
generale
funzioni
polinomiali
f(x) = n x con n
numero naturale
>1
f(x) = axcon
areale
positivo ≠ 1
f(x) = sin(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = (ax +
b)/(cx + d)
c) risoluzioni di
equazioni
differenziali del
tipo f ’(x) = (ax
+ b) f(x)
!
!
___________________________________________________________________________
Esempio 2. Bac scuole europee 2008
14!
Dati e
previsioni
!
!
Concetto di variabile
aleatoria discreta e
distribuzione binomiale
(valor medio e
deviazione standard)
Quesito 3 Corso PNI 2014
15!
_____________________________________________________________________________________
Quesito 7
Esame di Stato 2011 PNI Quesito 7
Un test d’esame consta di dieci domande, per ciascuna delle quali si deve scegliere l’unica risposta corretta
tra quattro alternative. Qual è la probabilità che rispondendo a caso, almeno due risposte siano esatte?
Esame di Stato 2006 PNI Quesito 8
_____________________________________________________________________________________
Esame di stato PNI 2005 quesito 9
Qual è la probabilità di ottenere 10 lanciando due dadi? Se i lanci vengono ripetuti qual è la probabilità di
avere due 10 in sei lanci?
!
!
16!
Concetto di variabile
aleatoria continua e
distribuzione normale
(valor medio e
deviazione standard)
Il punteggio X assegnato ad un test segue una distribuzione Normale di media µ=117 e deviazione
standard σ=28,5. Il candidato:
a) descriva le caratteristiche della distribuzione di probabilità della variabile casuale X.
b) calcoli la probabilità che il punteggio superi (µ+σ)
c) valuti,in un insieme di 150 studenti, quanti mediamente otterrebbero, nel test, un punteggio
maggiore di 145
____________________________________________________________________________________________
La variabile casuale X che descrive la spesa al bar della scuola, in euro, di uno studente da distribuzione Normale di
media µ =2,75 e deviazione standard σ=1,25. Il candidato:
a) calcoli la probabilità che uno studente spenda più di 3 euro
b) individui il valore x, assunto dalla variabile X, che corrisponde al valore standardizzato z=-1,26
____________________________________________________________________________________________
Un dispositivo è formato da 5 componenti che si possono guastare indipendentemente l’uno dall’altro.
È noto che ciascun componente ha probabilità di guastarsi uguale a 0,08. Il candidato :
a) fornisca la distribuzione di probabilità della variabile casuale X= “numero di componenti guasti”
b) Valuti la probabilità che al massimo uno dei componenti si guasti.
____________________________________________________________________________________________
Di una variabile casuale binomiale X si conoscono Il numero di prove n=10 e il valore della varianza uguale a 0,9.
Il candidato:
a) Fornisca il valore della probabilità p di “successo”
b) Calcoli la probabilità che X appartenga all’intervallo ]2, 6[.
_____________________________________________________________________________________
Quesito 4 PNI 2007
!
!
17!
Operazione di
standardizzazione: sua
importanza nel
confronto e studio di
distribuzioni statistiche
e di probabilità e per
l'utilizzo in modo
corretto delle tavole
della distribuzione
normale standardizzata
(della densità e della
funzione di
ripartizione).
Che cosa si intende per operazione di standardizzazione? L’operazione di standardizzazione è applicabile a
qualsiasi variabile casuale? Quali sono le caratteristiche della variabile risultante dall’operazione di
standardizzazione?
Esempi di problemi d’esame che non richiedono altre conoscenze oltre a quelle che abbiamo considerato come irrinunciabili
Problema n. 1 corso PNI 2014
!
!
18!
Problema n. 1 Corso di ordinamento 2014
!
!
19!
I primi tre quesiti del problema 1 Corso ordinamento 2013
!
!
20!
I primi tre quesiti del problema 1 Corso ordinamento 2012
!
!
21!
