APPUNTI SULLE TEORIE FORMALI
Una teoria formale è costituita da un linguaggio, un insieme di regole di deduzione e un
sistema di assiomi.
Il linguaggio L è composto da:
a) predicati (binari o unari): uguale, maggiore, parallelo, successivo, ecc.
b) simboli funzionali (binari o unari): succ(x), (x)*(y), ecc.
c) costanti: l'elemento neutro e, ecc.
d) variabili: x, y, ecc.
e) connettivi logici (, , , ecc.) e quantificatori ( , , ecc.)
f) simboli accessori (parentesi, virgole, ecc.)
Un'espressione ottenuta combinando correttamente gli elementi del linguaggio (le regole sono
quelle del calcolo dei predicati) è detta formula ben formata o più brevemente formula.
Le regole di deduzione sono le regole del calcolo proposizionale e dei predicati.
Un sistema di assiomi G è un insieme (finito) di formule ben formate, che non costituiscono il
punto di arrivo di alcuna dimostrazione.
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Si dice dimostrazione una successione finita di formule tali che ognuna sia: un assioma
dell'insieme G, oppure una tautologia, oppure una formula ottenuta da una dimostrazione
precedente, oppure una o più formule ben formate qualsiasi (dette ipotesi), combinati fra loro
tramite le regole di deduzione.
Un teorema è una formula A espressa nel linguaggio L della teoria, tale che esista una
dimostrazione la cui formula finale è A. Come detto al punto precedente, per la dimostrazione
di un teorema si adoperano anche una o più formule I dette ipotesi. Se il teorema non utilizza
alcuna ipotesi, ma solo uno o più assiomi di G, si scrive:
G A
Nel secondo caso, in cui si usano anche una o più ipotesi I:
GI A
Teorema di deduzione di Herbrand:
G I A GI A
Una teoria matematica completamente formalizzata, in cui cioè i simboli non sono legati ad
alcun ente, è ridotta a pura sintassi. Si dice invece semantica il rapporto fra gli elementi del
linguaggio e il loro significato.
La dimostrabilità di una formula è una proprietà puramente sintattica. In una data teoria
formale una formula può essere dimostrabile oppure non dimostrabile. Una formula dimostrabile
può essere dimostrata oppure refutata all'interno della teoria.
La verità o falsità di una formula è invece un concetto semantico; in tal caso si può dire di
una formula se è vera o falsa, e quindi essa diventa una proposizione.
Data una teoria formale, si ha un'interpretazione del suo linguaggio se si assegna un insieme
di enti D, detto dominio dell'interpretazione, tale che:
- a ogni costante e a ogni variabile di L corrisponda un elemento di D
- a ogni predicato di L corrisponda una proprietà degli elementi di D
- a ogni simbolo funzionale di L corrisponda una funzione avente dominio D
Data una teoria formale, un'interpretazione del suo linguaggio L è detta modello della teoria
se ogni formula del suo insieme di assiomi G è vera in tale interpretazione. Esempi: modello di
Klein della geometria iperbolica, modello sferico della geometria ellittica.
PROPRIETÀ (POSSIBILI) DI UNA TEORIA FORMALE
Coerenza: una teoria formale si dice coerente se è non contraddittoria. Una teoria formale è
contraddittoria (o inconsistente) se in essa è possibile dimostrare contemporaneamente due
teoremi A e A. In una teoria in cui siano dimostrabili contemporaneamente A e A è
possibile dimostrare qualunque formula (se siamo nell'interpretazione della teoria si dirà: se
sono contemporaneamente vere le proposizioni A e A, è possibile dimostrare la verità di
qualunque proposizione).
Teorema di Gödel: una teoria formale è coerente se e solo se ha almeno un modello
Teorema di Gödel (in altra formulazione): è impossibile dimostrare la coerenza di una teoria
formale dall'interno.
Ciò significa che la coerenza non è una proprietà puramente sintattica. Ad esempio, per
dimostrare la coerenza della geometria iperbolica è stato necessario che ne fosse formulato
almeno un modello (Klein, Poincarè).
Indipendenza: dato un insieme di assiomi G, con P G, detto D l'insieme ottenuto come G\P,
si dice che P è indipendente se non può essere dimostrato a partire da D, cioè se
(D P)
Esempio: il quinto postulato di Euclide è indipendente dai primi quattro.
Completezza: una teoria formale si dice completa se ogni formula espressa nel suo linguaggio è
dimostrabile o refutabile.
Teorema di completezza semantica di Gödel: in una teoria formale una formula è dimostrabile
se e solo se la proposizione corrispondente è vera in ogni modello.
Teorema di incompletezza di Gödel: un'estesa classe di teorie formali (tra cui le teorie formali
sull'aritmetica) è intrinsecamente incompleta. Ciò significa che in esse esiste almeno una
formula che non può essere né dimostrata né refutata (indimostrabile).
