T d N Verardi cap I

Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
Cap. 1. – EQUAZIONI E SISTEMI DIOFANTEI
I sistemi di equazioni che hanno i coefficienti ed i termini noti interi, e di cui si
cercano le soluzioni intere li chiamerò per semplicità diofantei.
Ovviamente, i meno difficili sono i sistemi lineari. In questo caso, possiamo
considerarli casi particolari di sistemi lineari nel campo razionale, quindi applicare
algoritmi e teoremi di Algebra lineare ben noti e validi in tutti i campi, quali Gauss-Jordan e
Rouché-Capelli. In particolare, per un sistema lineare di m equazioni ed n incognite, dette A
[
la matrice incompleta, B la colonna dei termini noti, C = A
]
B la matrice completa e X la
colonna delle incognite, avremo la consueta condizione necessaria per l’esistenza di
soluzioni del sistema A " X = B : i due ranghi di !
A e C devono essere uguali: r(A) = r(C).
Questo però non garantisce che le soluzioni siano intere.
Per esempio, per
! un sistema “di Cramer”, nel quale si ha m = n e r(A) = r(C) = n, nel campo
razionale la matrice A è invertibile e si ha X = A "1 # B . Tuttavia, occorre ricordare che il
calcolo di A "1 richiede di dividere per det(A): se non è ±1, si potrebbero trovare radici non
intere. Più in dettaglio, ricordando !
la formula di Cramer, detta A j la matrice ottenuta
!
sostituendo
alla j-esima colonna di A la colonna B dei termini noti, l’incognita x j è uguale a
!
( ) . Se det(A) divide tutti quei determinanti al numeratore,
la soluzione è intera.
det( A )
!
det A j
n
Per esempio, l’equazione
!
# a i " x i = 0 nello spazio n-dimensionale razionale rappresenta un
i=1
iperpiano, e possiede una base
sia
{B1,K, Bn "1}
a coordinate razionali. Per ogni j, 1 " j " n # 1
! comune denominatore delle n coordinate di
m j il minimo
B j. A quest’ultimo
!
!
sostituiamo m jB j ed otterremo
una nuova base a coordinate intere. Non solo, ma, volendo,
!
possiamo dividere ogni vettore per il MCD delle sue coordinate,!ottenendo una base intera
!
ad elementi primitivi
n #1
{E1,K, En "1} .
Allora ogni X =
$ k j " E j, k j % Z
è soluzione intera
j=1
n
dell’equazione ! a i " x i = 0 . Tuttavia, non vale il viceversa, ossia non ogni base intera dà
!
#
i=1
!
17
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
tutte le soluzioni intere. Per esempio, una base intera per l’equazione 5x " 3y " z = 0 è
("2% "2%,
"1%
*$ ' $ '*
$ '
)$1', $3'- , ma la soluzione $1' non è combinazione lineare a coefficienti interi di quella base.
!
*$7' $1'*
$2'
# &
+# & # &.
)"1% " 0 %#x = c
1
+$ ' $ '+
%
Invece, ponendo !
, otteniamo la base *$0', $ 1 '. , che ci dà tutte le soluzioni
$ y = c2
+$5' $(3'+
%z = 5c " 3c
1
2
&
,# & # &/
!
intere.
Passiamo quindi
ad esaminare la teoria dei sistemi
lineari diofantei, incominciando dal caso
!
!
di una sola equazione.
§ 1.1. Equazioni diofantee lineari in Z.
Dai corsi di Algebra I e II è noto che l’anello Z degli interi relativi ha gli ideali
principali. La dimostrazione è semplice: l’ideale nullo è generato da 0. Un ideale non nullo I
è un sottogruppo additivo, quindi se contiene un elemento x, contiene anche l’opposto –x,
quindi contiene almeno un numero positivo. Per il principio del minimo, l’insieme dei
numeri positivi di I ha il minimo m. Se dividiamo ogni x∈I per m, otteniamo x = m " q + r ,
con 0 " r < m . Allora, r = x " m # q $ I , quindi essendo minore di m, non può essere positivo.
Dunque, r = 0 e x è multiplo di m.
!
Ciò
posto,
siano
!
a,b∈Z,
non
!
nulli.
L’insieme
{
}
I = c " Z c = a # x + b # y, x, y " Z
delle
combinazioni lineari di a e b a coefficienti interi è un ideale di Z (dimostrazione per
esercizio) e quindi esiste d∈Z che lo genera. Poiché
anche –d è un suo generatore, possiamo
!
supporre d > 0. Dunque, ogni c∈I è un multiplo di d. D’altra parte, anche a e b
appartengono ad I, quindi sono multipli di d. Allora d è un divisore comune di a e b. Poiché
d∈I, esistono u,v∈Z tali che d = a " u + b " v . Allora ogni altro divisore comune k di a e b è
divisore
di
d:
infatti
!
da
$ a = k " a#
%
, segue
& b = k " b#
(
)
d = a " u + b " v = k " a# " u + b# " v .
Ne
segue:
d = MCD(a,b). Ricordiamo infine che tra numeri positivi si ha: se x divide y allora x ≤ y.
Abbiamo allora dimostrato
il
!
!
TEOR E MA 1. 1.1. (Bézout). Sono equivalenti:
a) d = MCD(a,b) (positivo)
b) d è il minimo intero positivo tale che esistono u,v∈Z tali che d = a " u + b " v .
18
!
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
COR OLLAR IO 1.1.2. I numeri a e b sono coprimi se e solo se esistono u,v∈Z tali che
1 = a " u + b " v.
NOTA. Come trovare i due interi u e v del teorema è mostrato negli esempi che vedremo: si usa il
!
procedimento euclideo delle divisioni successive ed uno schema facilmente eseguibile anche con
Excel, perché basato sul calcolo ricorsivo dei coefficienti u m, v m tali che rm = a " u m + b " v m ,
dove rm è l’m−esimo resto nel citato procedimento.
!
!
!
A questo punto occupiamoci dapprima delle equazioni diofantee lineari in due
incognite. Nell’introduzione abbiamo visto un esempio in N, ma qui lavoriamo in Z,
l’ambiente più adatto. Una tale equazione si presenta nella forma a " x + b " y = c , con a, b, c
interi. Il caso in cui a = 0 oppure b = 0 è lasciato per esercizio.
Siano quindi a, b non nulli. Come sempre, occorre
! esaminare i tre aspetti del
problema: esistenza di soluzioni, numero delle soluzioni, algoritmi risolutivi .
Siano nel seguito: d = MCD(a, b), a = da’, b = db’.
LE MMA
1. 1.3.
E s is te nza.
Esiste
una
soluzione
dell’equazione
diofantea
a a " x + b " y = c se e solo se d = MCD(a,b) divide c.
Dimostrazione. Segue subito dal fatto che c appartiene all’ideale I =
!
({a, b}) , di cui d è
un generatore.
Volendo provarlo esplicitamente, siano x, y interi tali che a " x + b!" y = c . Allora:
c = ax + by = da’x + db’y = d(a’x + b’y)
quindi d divide c. D’altra parte, se d divide c, posto
c = dc’, esistono u, v interi tali che
!
d = a " u + b " v , quindi:
a(c’u) + b(c’v) = c’d = c
!
e una soluzione (x, y) = (c’u, c’v) esiste.
LE MMA
1.1 .4.
Nu mero
so luz io ni.
Se esiste una soluzione dell’equazione
diofantea ax + by = c allora ce ne sono infinite.
Dimostrazione. Sia (u,v) una soluzione dell’equazione ax + by = c . Consideriamo
l’equazione
omogenea associata ax + by = 0 . Dividiamo per d ed otteniamo a"x + b"y = 0 ,
!
ossia a’x = −b’y. Poiché MCD(a’,b’) = 1, allora, per il lemma
! di Euclide, a’ divide y, ossia
!
!
19
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
esiste k intero tale che y = ka’. Ma allora x = -kb’. Inversamente, per ogni k intero, la coppia
(-kb’, ka’) è soluzione dell’equazione omogenea associata.
Pertanto, per ogni k intero si ha
a(u-kb’) + b(v+ka’) = au + bv +a(-kb’)+b(ka’) = c+0 = c,
ossia la coppia
(u " k # b$, v + k # a$)
è soluzione dell’equazione data per ogni k intero.
(
Inversamente, per ogni altra soluzione (u’,v’) dell’equazione data, la differenza u" # u, v" # v
)
!
%u" # u = #k $ b
è soluzione dell’equazione omogenea associata. Allora esiste k intero tale che &
,
' v" # v = k $ a
!
%u" = u # k $ b
ossia &
. Abbiamo così un insieme numerabile di soluzioni, una per ogni k intero.
' v" = v + k $ a
!
! ALGORI TMI
RI S OLUTI VI . Un algoritmo per risolvere l’equazione diofantea lineare
a " x + b " y = c , in cui d = MCD(a, b) e c = dc’, è già stato indicato:
!
•
con l’algoritmo euclideo si determinano u, v tali che au + bv = d
•
si trova la soluzione particolare x0, y0 = u " c#, v " c#
•
si aggiungono le soluzioni dell’equazione omogenea associata:
(
-
) (
)
(x,! y) = (x0 " k # b$, y0 + k # a$) , k∈Z.
Tuttavia, la soluzione particolare potrebbe essere migliorata, nel senso che potrebbe essere
utile “minimizzarla”, ossia!trovare soluzioni con x0 < b" o y0 < a" . Vediamo come, con un
esempio.
!
!
ES E MPI O 1.1.5 . Vediamo l’equazione diofantea 120x + 85y = 50.
Si ha MCD(120, 85) = 5, che divide 50. Allora risolviamo dapprima l’equazione
120u + 85v = 5 (o equivalentemente 24u + 17v =1).
!
resti
un
120
1
85
0
35
1
15
-2
5
5
0
-17
vn
0
1
-1
3
-7
24
1
2
2
3
quozienti
!
! sono svolti con Excel: si inseriscono i due numeri in A1 e B1, poi 1 e 0 in A2 e
NOTA. I calcoli qui ed altrove
B2, 0 ed 1 in A3 e B3. In B4 si colloca il quoziente tra A1 e B1 (=int(A1/B1)) mentre C1 = A1-B1*B4 è il resto.
Si ha poi C2=A2-B4*B2, C3=A3-B3*B4.
20
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
Per calcolare C4 si prolunga B4 col riempimento
automatico, poi le colonne successive sono ottenute
dalla C col riempimento automatico. Ci si ferma
quando il resto è zero.
Le soluzioni sono dunque: u = 5, v = -7. Poiché c’ = 50/5 = 10, si ha così:
(x0, y0 ) = (u " c#, v " c#) = (50, $70)
Si ha poi a’ = 120/5 = 24, b’ = 85/5 = 17. Pertanto, la soluzione generale è:
(x, y!) = (x0 " k # b$, y0 + k # a$) = (50 " 17k, "70 + 24k) , k∈Z.
Per migliorare la forma delle soluzioni, dividiamo 50 per 17, ottenendo quoziente 2 e resto
16, oppure quoziente
3 e resto -1.
!
Nel primo caso si ha 50 – 17k = 16 – 17k’, dove k’ = k-2, e si ha anche
-70+24k = -70+24(k’+2) = -22+24k’.
Perciò (x, y) = (16-17k’, -22+24k’), k’∈Z.
$ x = "1 + 17k#
Nel secondo caso, posto k” = k+3, si ha %
, k” ∈Z. Quest’ultima forma delle
& y = 2 + 24k#
soluzioni è assai più semplice delle precedenti.
!
( ) (
)
NOT A . Sia x, y = 50 " 17k, "70 + 24k la soluzione trovata con l’algoritmo. Facciamo variare per il
momento k in R e cerchiamo la soluzione di norma minima. Minimizziamo cioè x2 + y2 al variare di
!
k. Ossia, minimizziamo la funzione f k = 865k 2 " 5060k + 7400 . Annullando la derivata di f,
()
!
(oppure, per chi non sa le derivate, prendendo l’ascissa k del vertice della parabola grafico di
questa funzione), troviamo k !=
506
" 2, 92. Gli interi più prossimi sono k = 2 e k = 3, ma 3 è più
173
vicino al valore trovato. Per questi due valori interi di k si trovano le due soluzioni particolari
!
!
(16,−22) e (-1, 2) già
! note, e la seconda è migliore dell’altra.
Nel caso generale di ax + by = c si trova k =
(
" a# $ y0 " b# $ x0
a#2 + b#2
).
ES ER CI ZI O 1.1.6 . Risolvere l’equazione
diofantea 12856⋅x+3347⋅y = 329
!
Troviamo dapprima d = MCD(12856, 3347) ed i due numeri u, v.
12856 3347 2815 532 155 67
21
4
1
0
1
-1
6 -19
44 -151
0
1
-3
4 -23 73 -169 580
3
1
5
3
2
3
5
21
0
1
799 -3347
-3069 12856
#
4
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
Allora 12856⋅799+ 3347⋅(-3069) = 1, quindi i due numeri sono coprimi ed il problema ha
soluzione.
Una soluzione particolare è allora (799⋅329, -3069⋅329) = (262871, -1009701)
Poiché i due coefficienti sono coprimi, segue che la soluzione generale è data da:
$ x = 262871 " 3347 # k
%
.
& y = "1009701 + 12856 # k
Per trovare soluzioni con numeri più vicini a zero, usiamo la formula sopra trovata:
!
k=
(
" a# $ y0 " b# $ x0
a#2 + b#2
) = 78,539...
I due interi più prossimi a questo valore sono 78 e 79. Abbiamo allora le due forme:
$x !
$ x = "1542 " 3347 # k
= 1805 " 3347 # k
%
oppure %
& y = "6933 + 12856 # k
& y = 5923 + 12856 # k
Esistono altri metodi per trovare queste soluzioni, di cui uno dovuto ad Eulero, ma sono più
lenti e complessi
dei due indicati.
!
!
Il caso più generale di equazione lineare in n ≥ 3 incognite presenta risultati simili
per quanto riguarda l’esistenza ed il numero delle soluzioni:
n
PR OP OSI ZI ONE 1. 1.7. Sia data l’equazione
# a i " x i = c , con 0 " a i ∈Z ∀i e c∈Z.
i=1
a) Essa ha soluzioni intere se e solo se il massimo comune divisore dei coefficienti a i
!
divide il termine noto c.
!
!
b) Se ha una soluzione x1,K, xn " Z n , allora ogni altra soluzione si trova sommando
(
)
n
ad essa le soluzioni intere dell’equazione omogenea associata
!
# a i " x i = 0.
i=1
Dimostrazione. a) La necessità è immediata. Per la sufficienza, dividiamo coefficienti e
termine noto per il loro MCD. Ossia, supponiamo che il! MCD dei coefficienti sia 1.
Procediamo per induzione rispetto ad n ≥ 2. Il caso n = 2 sappiamo che ha soluzioni.
Sia n > 2. Se ci sono due coefficienti, per esempio a n"1 ed a n , coprimi o tali che il loro
MCD divida c, allora basta porre x i = 0 "i # n $ 2 ed il problema si riconduce al caso delle
#!
&
!
%
0, xn"1, xn ( ) Z n del sistema.
due incognite. Avremo allora una soluzione 0,K,
1
424
3
%
(
!
$ n"2
'
!
22
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
Altrimenti, se MCD( a n"1 , a n ) = d, introduciamo un’incognita ausiliaria y e risolviamo il
%a
#x
+ a n # xn = d # y
'' n"1 n"1
n"2
sistema &
. La prima equazione ha soluzioni per ogni y, la seconda
!
!
a i # xi + d # y = c
'
'( i=1
$
ha n-1 incognite ed i coefficienti coprimi, quindi per l’ipotesi induttiva ha una soluzione
(!x1,K, xn"2, y) # Zn"1 .
Sostituiamo
y
alla
y
nella
prima
equazione
e
risolviamo
a n"1 # xn"1 + a n # xn = d # y . Avremo allora anche gli interi xn"1, xn , quindi avremo una
!
!
soluzione x1,K, xn"2, xn"1, xn # Z n del sistema dato.
!
b) Si dimostra come nel caso n = 2.
(
)
!
!
ES ER CI ZI O 1.1.8 . Risolvere l’equazione diofantea 21x+35y+15z = 8.
Svolgimento: dato che MCD(21,35) = 7, introduciamo l’ulteriore incognita t tale che:
"21x + 35y = 7t
#
.
$7t + 15z = 8
La seconda equazione ha soluzione (-1,1). Allora, sostituendo t = -1 nella prima, si ottiene
!21x+35y = -7, ossia 3x+5y = -1. Una soluzione è (3,-2), quindi (3,-2,1) è una soluzione
dell’equazione data: 21⋅3+35⋅(-2)+15⋅1 = 8.
Ce ne sono altre? L’equazione omogenea associata è 21x+35y+15z = 0.
Poiché MCD(21,35) = 7, allora 7 divide 15z, ossia z = 7z’. Abbiamo allora 3x+5y+15z’ = 0.
Analogamente, 5 = MCD(5,15) divide 3x, quindi x = 5h. Ne segue 3h+y+3z’ = 0.
Infine, 3 = MCD(3,3) divide y, quindi y = 3k, e resta: h+k+z’= 0.
Ricaviamo di qui z’ = -h-k, quindi z = -7h-7k, dunque (5h, 3k, -7h-7k) è la soluzione
generale dell’equazione omogenea associata.
Allora, le soluzioni dell’equazione 21x+35y+15z = 8 sono (3+5h, -2+3k, 1-7h-7k), con h, k
interi qualsiasi.
In questo caso particolare, le stesse soluzioni le possiamo trovare anche così: risolviamo
l’equazione 21x+35y+15z = 0 rispetto a z: z = "
7
7
x " y e poniamo x = 5h, y = 3k e allora la
5
3
)# 5 & # 0 &+% ( % (+
base è *% 0 (, % 3 (. , corrispondente a z = -7h-7k trovata sopra.
!
+%"7( %"7(+
,$ ' $ '/
!
23
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
§ 1.2. Sistemi diofantei lineari in Z.
Osserviamo prima di tutto che una matrice quadrata ad elementi interi ha il
determinante intero, perché ottenuto solo con somme, differenze e prodotti.
Sia M una matrice di tipo mxn e supponiamo m ≤ n. Chiamiamo divisore d di M il
massimo comune divisore dei determinanti dei suoi minori(1) di ordine massimo, ossia di
quelli di ordine m.
Se M è quadrata, allora d = det(M). Se r(M) < m, tutti i minori d’ordine massimo sono
nulli, quindi d = 0. Vale allora il seguente teorema:
TEOR E MA 1.2 .1. Un sistema lineare diofanteo di m equazioni ed n incognite, con
m " n ed r(A) = m, ha soluzioni intere se e solo se la matrice incompleta A e la completa C
hanno lo stesso divisore.
Traccia della dimostrazione. Vediamo prima due casi particolari:
!
a) Nel caso di una sola equazione, la matrice incompleta A è di tipo 1xn, ed il suo
divisore è il MCD dei coefficienti: per avere soluzioni intere, dunque, esso deve dividere
anche il termine noto, come già sappiamo.
b) Nel caso m = n, i minori d’ordine massimo di C sono la matrice A e le matrici
ottenute dalle matrici A j , quelle che compaiono nei numeratori delle formule di Cramer,
riportando la colonna B all’ultimo posto, il che al massimo cambia il segno del loro
determinante. Poiché
il divisore di A è d = det(A), ecco che A e C hanno lo stesso divisore se
!
( )
e solo se d divide ciascuno dei minori det A j ; come già rilevato all’inizio del capitolo, in
questo caso le soluzioni sono intere.
Un metodo per dimostrare! il teorema e trovare le soluzioni del sistema è quello di
“completare” il sistema stesso aggiungendovi equazioni fino a portarlo ad un sistema di
Cramer con le stesse soluzioni e gli stessi divisori.
Chiamiamo primitivo un vettore-colonna (o vettore-riga) a coefficienti interi coprimi.
Denotiamo poi con M t la trasposta di una matrice M.
!
(1)
In molti testi un minore di una matrice è una sottomatrice quadrata, mentre in altri è il suo determinante. Qui
intenderemo la sottomatrice quadrata.
24
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
LE MMA 1.2.2. Data una matrice A m di tipo mxn, con m < n e rango m, esistono
infiniti modi per ampliarla ad una matrice quadrata A n il cui determinante sia, in valore
assoluto, uguale al divisore di A m . !
L’algoritmo è il seguente:
!
1.
Si sceglie un!vettore primitivo X1 soluzione del sistema omogeneo A m " X = 0
2.
Si sceglie un vettore intero primitivo R1 soluzione dell’equazione X1
!
!
3.
Si aggiunge la riga
4.
! .
Se m+1 < n, si!ripete il procedimento a partire da A m+1
( )
(R1)
t
" X = 1.
t
come ultima riga alla matrice A m , ottenendo una
!
!
matrice A m+1 . Si dimostra che A m ed A m+1 hanno lo stesso divisore.
!
!
!
Osserviamo che il procedimento non è proprio
agevolissimo, ma non richiede il
!
( )
calcolo preventivo del divisore d, che si può trovare solo alla fine come det A n .
Ciò posto:
!
TEOR E MA 1.2.3 . Sia dato il sistema lineare diofanteo A×X = B, con m equazioni ed
[
n " m incognite, tale che r(A) = m e che le matrici A e C = A
]
B abbiano lo stesso divisore
d. Le soluzioni intere del sistema sono tutte e sole quelle che si ottengono risolvendo il
!
sistema di Cramer A’×X = B’, dove A’ è un ampliamento
di A ottenuto come nel lemma
!
precedente, e i termini noti delle ultime n-m equazioni sono parametri interi arbitrari.
Dimostrazione. Mediante l’algoritmo sopra descritto, possiamo trasformare il vettore
primitivo X1 soluzione del sistema omogeneo A " X = 0 aggiungendovi uno zero come n+1esima coordinata, in modo che sia soluzione del sistema omogeneo C " X# = 0 . Se ora
!
aggiungiamo
come n+1-esima coordinata
ad R1 il parametro intero
!
t1 , abbiamo la
!
possibilità di ingrandire anche C senza cambiarne il divisore. Iteriamo
il procedimento fino
a ottenere la matrice A’, e contestualmente
hanno gli stessi divisori
! anche C’: le due matrici !
di A e C, e se e solo se d(A) = d(C) si ha d(A’) = d(C’), qualunque sia il valore intero
attribuito agli n-m parametri. Pertanto, al variare di questi ultimi abbiamo tutte soluzioni
intere del sistema dato.
Viceversa, presa una soluzione intera X del sistema A×X = B, se si esegue il prodotto
A " # X si trova un vettore B" le cui prime m coordinate sono quelle di B e le altre sono valori
interi, che si possono attribuire ai parametri
t1,K, tn "m .
!
!
!
!
25
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
"5x + 4x + 7x = 2
2
3
ES E MPI O 1. 2.4. a) Si abbia il sistema lineare diofanteo # 1
. In questo caso,
$6x1 + 5x2 + 4x3 = 7
5 4
= 1 , basta risolvere, per esempio con la regola di Cramer, il sistema
6 5
!
poiché
!
#5x + 4x
2
$ 1
%6x1 + 5x2
!
#
% x1 =
%
%%
= "7x3 + 2
, ottenendo: $ x2 =
= "4x3 + 7
%
%x =
% 3
%&
2 " 7t 4
7 " 4t 5
# x = "19t " 18
% 1
5 2 " 7t
' $ x2 = 22t + 23 , t∈Z.
6 7 " 4t
%x = t
& 3
t
# 3x + 4x + 5x + 7x = 9
2
3
4
b) Si abbia il sistema lineare diofanteo $ 1
.
2x1 + 5x2 " 4x3 + 3x4 = 14
%
!
Qui è agevole calcolare i divisori delle due matrici A e C:
3 4
2 5
!
= 7,
3
5
2 "4
!
= "22 sono coprimi, quindi certamente d = 1 senza ulteriori calcoli sia per A
"4%
sia per C. Allora ci sono soluzioni intere. Però nessuno dei $$ '' = 6 minori d’ordine 2 di A ha
#2&
!
determinante uguale ad 1 o a -1, quindi il metodo precedente non funziona.
Proviamo ad ampliare la matrice A dei coefficienti
risolvendo il sistema omogeneo
!
associato:
#3x + 4x + 5x + 7x = 0
#3x + 4x = "5x
2
3
4
2
3 . Si ha
$ 1
. Per questo prendiamo x4 = 0 e risolviamo $ 1
%2x1 + 5x2 " 4x3 + 3x4 = 0
% 2x1 + 5x2 = 4x3
!
subito x1 =
intera
["39
"5x3 4
4x3 5
7
"39x3
=
7
]
22 7 0 .
, x2 =
Un
3 "5x3
2 4x!3
vettore
7
R1
=
22x3
7
tale
!
. Allora, posto
x3 = 7 , si ha la soluzione
che
["39
]
22 7 0 # R1 = 1
è
tale
che:
!
!"39y + 22y + 7y = 1. !
Posto y1 = 0 , si trova subito y2 = 1 ed y3 = "3. Allora, per esempio
1
2
3
!
!
!
!
#3 4
5
7&
%
(
t
prendiamo R1 = 0 1 "3 0 e lo aggiungiamo come ultima riga ad A: A 1 = %2 5 "4 3( .
!
!
!
[
]
%0 1 "3 0(
$
'
A questo punto, o calcoliamo i quattro minori d’ordine 3 cercandone uno che sia ±1,
!
oppure aggiungiamo la quarta riga.
!
26
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
3 4
5
2 5 "4 = 1 , allora possiamo risolvere il sistema
Il primo minore fa al caso nostro:
0 1 "3
# x = "41t + 26t + 139
1
2
# 3x + 4x + 5x = "7x + 9
% 1
1
2
3
4
%
% x2 = 22t1 " 15t2 " 72
!
, t1, t2 " Z .
$
$2x1 + 5x2 " 4x3 = "3x4 + 14 ottenendo:
% x3 = 7t1 " 5t2 " 24
%
x
"
3x
=
t
2
3
1
&
%& x = t
4
2
(
)
In alternativa, possiamo cercare la quarta riga di A,
! risolvendo dapprima il sistema
!
#3x + 4x + 5x + 7x ! = 0
2
3
4
% 1
omogeneo $2x1 + 5x2 " 4x3 + 3x4 = 0 . Una soluzione non nulla è
%
x2 " 3x3 = 0
&
vettore R 2 tale che
[26
[26
]
"15 "5 1
ed un
]
"15 "5 1 # R 2 = 1 è tale che: 26y1 " 15y2 " 5y3 + y4 = 1. Una
!
!
soluzione
è per esempio la riga 1 0 5 0 , e la collochiamo come quarta riga di A:
[
!
#3
%
2
A2 = %
%0
%
$1
!
!
]
!
!
4 5 7&
(
5 "4 3(
! che det A 2 = 1 = divisore di A. Il sistema finale è allora:
. Si noti
1 "3 0(
(
0 5 0'
( )
#3x + 4x + 5x + 7x
2
3
4
% 1
%2x1 + 5x2 " 4x3 + 3x4
$
x2 " 3x3
%
%&
x1 + 5x4
# x = 115t + 26t " 355
=!
9
1
2
% 1
%
= 14
x = "68t1 " 15t2 + 213
e le soluzioni sono: $ 2
, t1, t2 " Z .
= t1
% x3 = "23t1 " 5t2 + 71
%& x = 6t + t " 19
= t2
4
1
2
(
)
" t % ! "1%
Come verificare che le soluzioni sono le stesse? Posto $ 1 ' = $ ' nell’ultima formula, si
# t2& #0&
!
["240
ottiene la quaterna
]
145 48 "13 , che con la formula precedente si ottiene per
!
"t % " 1 %
" t % "0%
$ 1' = $
' . Analogamente, posto $ 1 ' = $ ' nell’ultima formula, si ottiene la quaterna
# t2& #(13&
# t2& #1&
!
["329
!
"t % " 0 %
198 66 "18 , ottenibile con la prima formula con $ 1 ' = $
'.
t2& #(18&
#
!
]
Allora, una trasformazione di parametri unifica le due formule: la stessa soluzione che con
!
la
seconda
formula
"t % "
%
h
$ 1' = $
'.
# t2& #6h + k ( 19&
!
si
trova
con
" t % "h % !
$ 1 ' = $ ' si
# t2& #k &
trova
dalla
prima
formula
!
Un caso particolare di sistemi diofantei è il seguente: n-1 equazioni in n incognite
a i " x + m i " ti = c i , 2 # i # n $ 1, a i " 0 " m i
!
27 !
con
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
Affinché ogni equazione abbia soluzioni per ogni scelta dei termini noti, supponiamo
(
)
MCD a i , m i = 1 . Allora esistono u i , v i tali che a i " u i + m i " v i = 1. Possiamo allora ottenere
!
$x = c " u # m " q
i
i
i
i , dove i q sono parametri.
%
i
& ti = c i " v i + a i " q i
!
!
!
Poniamo b i = c i " u i . Allora il sistema diventa: x + m i " q i = b i , 2 # i # n $ 1, e risolvere questo
!
sistema porta a risolvere quello di partenza. Per farlo, serve un lemma.
!
!
LE MMA 1.2. 5. Siano dati h numeri interi m i a due a due coprimi. Allora gli h+1
h
numeri m =
"mi ,
i=1
m
mi
, 1 " i " h , sono coprimi, ossia il loro MCD è 1.
!
"
m
m %
,K,
''.
Dimostrazione. Sia d = MCD$$m,
m1
mh &
!
#
!
"
"m m
m %
m
m
,
,K,
'' =
Poiché MCD$$m,
, allora d = MCD$$
m
m
m
m
m
# 1
1&
1
2
h
!#
%
'' .
&
"m m %
m
,
'' =
Analogamente, dato che gli m i sono a due a due coprimi, segue MCD$$
,
m
m
m
( m2
#
&
1
2
1
!
!
#
m
m
m
,
K,
%%
che implica d = MCD!
mh
$ m1 " m 2 m3
&
m
= 1.
(( . Così seguitando, si trova d =
m1 " m 2 L m h
'
!
! Siamo in grado ora di dare una dimostrazione di un!teorema antico e famoso, del
quale esistono altre numerose formulazioni, dimostrazioni e generalizzazioni:
TEOR E MA 1. 2.6. (Teorema cinese del resto). Sia dato il sistema lineare diofanteo
x + m i " y i = bi , 1 # i # n $ 1 , con gli m i positivi. Se questi sono a due a due coprimi, allora il
n#1
!
sistema ha soluzioni intere. Inoltre, c’è un’unica soluzione intera in cui 0 " x < m =
!
$mi .
i=1
Dimostrazione. Consideriamo la matrice incompleta A del sistema: è di tipo (n-1)xn
#1 m
0
1
%
1
0 m2
A =%
%K K
K
%
0
0
$1
K
0 &
!
(
K
0 (
. I minori A j di ordine massimo si ottengono sopprimendo a
K
K (
(
K m n"1'
j
!
turno una delle colonne. Si ha A 1 = m , A j = "1
( )
!
m
per j > 1, e questi numeri sono
m j"1
coprimi, per il lemma. Allora possiamo procedere come al solito, ossia cercare un vettore
!
!
28
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
# "m &
%
(
% m m1 (
primitivo X tale che A " X = 0 . Una soluzione è X = % m m 2 ( . Poi cerchiamo un vettore R
%
(
K
%
(
%$m m
(
n"1'
!
tale che X t " R = 1 . Posta = 0 la prima coordinata di R, resta l’equazione
!
n"1
# mmj x j = 1 , che ha
j=1
soluzione
perché i coefficienti sono coprimi. Aggiungiamo allora la riga trovata ed abbiamo
!
la matrice A’ il cui determinante è = 1. Completata anche la colonna
B dei termini noti con
!
l’aggiunta del termine t, si ricava con la formula di Cramer:
b1
m1 0
b2
0 m2
x= K
K
K
bn"1 0
0
t
u1 u 2
n"1
Posto k =
!
$ ("1)
i +1
# bi # c i #
i=1
K
0
K
0
n"1
j+1
n +1
m
"1
# bj # u j #
+ "1
# m # t.
K
K =
mj
K m n"1
j=1
K u n"1
$( )
( )
m
, ed inglobato il segno di m in t, si ha quindi x = k + m " t .
mi
Se 0 " k < m , allora la soluzione x tale che 0 " x < m si ottiene per t = 0. Se no, dividiamo k
!
! per m, k = m " q + r , con 0 ≤ r < m. Basta porre allora t = -q e si ottiene 0 " x = r < m . Gli altri
!
valori di t danno soluzioni
! negative!o maggiori di m, quindi c’è una sola soluzione x tale
!che 0 " x < m .
!
!
!
# x + 3y = "8
1
%
ES E MPI O 1.2 .7. Risolviamo $ x + 4y2 = 11 . I coefficienti 3, 4, 5 sono a due a due coprimi. A
% x + 5y = "6
3
&
differenza di come fatto nel teorema, seguiamo un altro procedimento: aggiungiamo una
riga incognita ad A! e imponiamo che il determinante della matrice ottenuta sia 1.
1
3
0
0
1
0
4
0
= 1 , ossia 60u 0 " 20u1 " 15u 2 " 12u3 = "1 ha per esempio la
L’equazione
1
0
0
5
u 0 u1 u 2 u3
[
]
soluzione 0 "1 "1 3 .
!
!
!
29
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
#
x + 3y1
%
%
x + 4y2
Allora consideriamo il sistema $
x + 5y3
%
%&"y " y + 3y
1
2
3
(
= "8
"8 3 0
= 11
11 0 4
. Si ricava x =
= "6
"6 0 0
=t
t "1 "1
0
0
= "60t " 221,
5
3
)
da cui segue x = x = "60t " 60 # 4 + 19 = "60 # t + 4 + 19 = 19 " 60$ , dove t = " # 4
!
Allora, la soluzione principale,
minore di 60 = 3 " 4 "5 , è!19, ottenuta per t = -4.
A
questo
!
punto,
volendo,
# "60t " 221 + 3y = "8
1
%
$"60t " 221 + 4y2 = 11 '
% "60t " 221 + 5y = "6
3
&
!
si
ricavano
!
direttamente
le
altre
tre
incognite:
# y = 20t +!71
$ y = 20" # 9
% 1
& 1
$ y2 = 15t + 58 , o anche % y2 = 15" # 2 .
% y = 12t + 43
& y = 12" # 5
& 3
' 3
NOTA. Questo teorema ha formulazioni assai
diverse, una delle quali in termini di ideali. In un
!
()
()
I + J = ({a, b}) = (MCD(a, b)) , I " J = (mcm (a, b)) .
!
!
Se a e b sono coprimi, allora I + J = (1D ) = D , I " J = (a # b) = I # J .
dominio D ad ideali principali (PID) come Z, dati gli ideali I = a , J = b , si ha, come noto:
!
Inoltre, è noto che! se A e B sono anelli, ogni ideale
del prodotto diretto A×B è prodotto diretto I×J,
!
! A "B A B
#
" .
con I ideale di A e J ideale di B, e inoltre
I"J
I
J
()
()
Pertanto, in un PID D, dati gli ideali I = a , J = b , se a e b sono coprimi si ha:
!
(
D
D D
#
$ , dove
I "J
I
J
)
l’isomorfismo è, "x # D, x + I $ J a x + I, x + J .
!
!
!
#x + a " q = c
1
1,
Se si esplicita questo risultato, segue l’esistenza della soluzione x del sistema: $
% x + b " q 2 = c2
!
perché
alla
(c1 + (a), c2 + (b)) = (x + (a), x + (b)) " DI # DJ
coppia
(
)
l’elemento c = x + a " b #
!
D
.
I $J
!
30
corrisponde
!
biunivocamente
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
§ 1.3. Equazioni diofantee lineari in N.
In vari problemi interessano le soluzioni in N, ossia le soluzioni non negative
dell’equazione a " x + b " y = c , con a e b positivi e c multiplo di
MCD(a,b). Per trovarle,
& x " k # b$ % 0
usando i simboli della sezione precedente, basta porre ' 0
e trovare le soluzioni
y 0 + k # a$ % 0
(
!
intere, se ce ne sono. Vediamo alcuni esempi
!
ES E MPI O 1. 2.1. L’equazione 120x + 85y = n.
a) 120x + 85y = 50 non ha soluzioni in N, in quanto 50 è minore dei due coefficienti.
b) 120x + 85y = 85 ha la soluzione (0,1)
c) 120x + 85y = 120 ha la soluzione (1,0)
Basta tentativi, ora procediamo come nel quesito della Susy.
Sappiamo
(
che
)
(
( )
( )
120 " 5n + 85 " #7n = 5n
per
)
ogni
(
n.
)
Sappiamo
(
anche
che
)
120 " #17k + 85 " 24k = 0 per ogni k, quindi 120 " 5n # 17k + 85 " #7n + 24k = 5n per ogni k.
!
!
$ 5n " 17k # 0
7n
5n
Poniamo allora %
, da cui segue
o anche, riducendo allo stesso
"k"
24
17
&"7n + 24k # 0
!
denominatore,
119n
408
"k"
120n
408
. Certamente ci sono soluzioni intere non negative se
!
!
n " 408 , perché la differenza delle frazioni è ≥ 1, quindi ce ne sono se il termine noto è
" 408 #5 !
= 2040 . Tuttavia, ci sono soluzioni anche per numeri minori di questo: i multipli di
!
uno dei due coefficienti e le loro combinazioni lineari minori di 2040.
!
Quante sono? Sono tante quante le coppie (h, k) tali che 17x+24y ≤ 408, ossia 225, come
mostra la tabella seguente, calcolata con Excel, ed in cui sono rese illeggibili le
combinazioni lineari maggiori di 408.
In questa tabella, trasformata in una riga e riordinata, si osserva che solo il 408 è ripetuto
due volte. Dal 368 in poi, sono presenti tutti i numeri fino al 408, senza lacune. Quindi
l’ultimo numero senza soluzioni è n = 367, ossia, nel problema iniziale, il massimo termine
noto non ammesso è 367⋅5 = 1835.
(
)
Si noti che 367 = 17 " 24 # 17 + 24 . Sarà un caso?
Inoltre, i termini noti c’ senza soluzioni nel problema ausiliario 17x+24y = c’, ossia quelli
che!mancano nella tabella sono 184. Si può determinare questo numero con qualche
formula?
31
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
x\y
0
1
2
3
0
0
24
48
72
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
17
41
65
89 113 137 161 185 209 233 257 281 305 329 353 377 401 425
2
34
58
82 106 130 154 178 202 226 250 274 298 322 346 370 394 418 442
3
51
75
99 123 147 171 195 219 243 267 291 315 339 363 387 411 435 459
4
68
92 116 140 164 188 212 236 260 284 308 332 356 380 404 428 452 476
5
85 109 133 157 181 205 229 253 277 301 325 349 373 397 421 445 469 493
96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408
6 102 126 150 174 198 222 246 270 294 318 342 366 390 414 438 462 486 510
7 119 143 167 191 215 239 263 287 311 335 359 383 407 431 455 479 503 527
8 136 160 184 208 232 256 280 304 328 352 376 400 424 448 472 496 520 544
9 153 177 201 225 249 273 297 321 345 369 393 417 441 465 489 513 537 561
10 170 194 218 242 266 290 314 338 362 386 410 434 458 482 506 530 554 578
11 187 211 235 259 283 307 331 355 379 403 427 451 475 499 523 547 571 595
12 204 228 252 276 300 324 348 372 396 420 444 468 492 516 540 564 588 612
13 221 245 269 293 317 341 365 389 413 437 461 485 509 533 557 581 605 629
14 238 262 286 310 334 358 382 406 430 454 478 502 526 550 574 598 622 646
15 255 279 303 327 351 375 399 423 447 471 495 519 543 567 591 615 639 663
16 272 296 320 344 368 392 416 440 464 488 512 536 560 584 608 632 656 680
17 289 313 337 361 385 409 433 457 481 505 529 553 577 601 625 649 673 697
18 306 330 354 378 402 426 450 474 498 522 546 570 594 618 642 666 690 714
19 323 347 371 395 419 443 467 491 515 539 563 587 611 635 659 683 707 731
20 340 364 388 412 436 460 484 508 532 556 580 604 628 652 676 700 724 748
21 357 381 405 429 453 477 501 525 549 573 597 621 645 669 693 717 741 765
22 374 398 422 446 470 494 518 542 566 590 614 638 662 686 710 734 758 782
23 391 415 439 463 487 511 535 559 583 607 631 655 679 703 727 751 775 799
24 408 432 456 480 504 528 552 576 600 624 648 672 696 720 744 768 792 816
Occupiamoci del problema, limitandoci al caso di due incognite, anche se pure il
caso di tre incognite è stato risolto.
Nel seguito supporremo a,b > 0, c ≥ 0, MCD(a,b) = 1. Per l’equazione a " x + b " y = c si
presentano tre problemi:
a) Trovare la configurazione dei valori di c per i quali non ci sono
! soluzioni in N o in
N+ = N \ 0 .
{}
b) (Problema lineare di Frobenius) Trovare il massimo c per il quali non ci sono
!
soluzioni in N o in N + .
c) Trovare il numero di soluzioni dell’equazione a " x + b " y = c in in N o in N + .
!
Siano F il massimo valore di c per il quale non ci sono soluzioni positive e F0 il massimo
!
!
valore di c per il quale non ci sono soluzioni in N.
!
32
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
TEOR E MA 1. 3.2. Sia data l’equazione a " x + b " y = c , a,b > 0, c ≥ 0, MCD(a,b)=1.
Allora F = a⋅b ed F0 = F " (a + b) = a # b " (a + b)
Dimostrazione. Consideriamo l’equazione! a " x + b " y = a " b . Poiché a e b sono coprimi, allora
$ x = b " x#
!
a deve dividere y e b deve dividere x. Ossia %
, con x’ ed y’ positivi. Si ottiene
& y = a " y#
!
(
)
a " b = a " b " x# + y# $ 2a " b , assurdo. Ora proviamo che per ogni c > a⋅b le soluzioni positive ci
!
sono. Poniamo c = a⋅b+q, q > 0.
Troviamo dapprima le soluzioni in Z, poi le trattiamo col procedimento visto:
!
# x = x " kb
0
$
. Imposto che x ed y siano entrambi positivi, si ottiene:
y
=
y
%
0 + ka
"y0
a
!
Ora,
!
a " x0
a"b
#
#b " y0
a"b
=
a " x 0 + b " y0
a"b
<k<
x0
b
c
=
#
= 1+
a"b
"b $ y0
a$b
q
a"b
<k<
a $ x0
a$b
> 1, perciò almeno un valore intero di k
!
# "y
x &
nell’intervallo % 0 , 0 ( esiste. Allora effettivamente F = a⋅b.
b'
$ a
Verifichiamo ora che F0 = F " (a + b) = a # b " (a + b) .
(
)
(
)
L’equazione
!
a " x + b " y = a " b # a # b si riconduce a a " x + 1 + b " y + 1 = a " b , che non ha
!
soluzioni positive,
quindi i numeri positivi x+1 ed y+1 non esistono. D’altra parte, posto
(
)
(
)
!
c = a⋅b+q-a-b,
si ha l’equazione a " x + 1 + b " y!+ 1 = a " b +q, che le soluzioni positive le ha.
% x = x" # 1 $ 0
Dette x’, y’ tali soluzioni, si ha ovviamente &
, e si ha una soluzione non
y = y" # 1 $ 0
'
!
negativa. Il problema lineare di Frobenius in due incognite è così risolto.
!
Completiamo le informazioni su queste equazioni. Una soluzione
(x, y)
si dice
minimale se si ha x " b # 1 , y " a # 1 . Negli esempi precedenti ne abbiamo trovate con due
!
approcci diversi. Tuttavia non sempre esistono.
!
!
( )
ES E MPI O 1. 3.3. Risolviamo l’equazione 3x+5y = 26. Una soluzione particolare è 2, 4 , che
# x = 2 " 5k
non è minimale, perché 4 non è ≤ 2 = 3-1. La soluzione generale è $
, con k∈Z.
% y = 4 + 3k
!
k
x
y
-5
27
-11
-4
22
-8
-3
17
-5
-2
12
-2
-1
7
1
0
2
4
1
-3
7
2
-8
10
33
3
-13
13
5
4
-18 -23
16 ! 19
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
Come si vede dalla tabella, niente da fare. Però, se come termine noto prendiamo 22,
otteniamo la soluzione particolare
(4,2) ,
che è minimale. Se prendiamo c = 7, troviamo
("1,2) e (4, "1) . Qual è la soglia?
!
!
!
PR OP OSI ZI ONE 1. 3.4. Siano dati a,b > 0, c ≥ 0, MCD(a,b)=1.
a) Se l’equazione ha soluzioni minimali, allora c " 2a # b $ a $ b
b) Se c < a " b allora ci sono due soluzioni minimali, che coincidono se e solo se sono
non negative.
!
!c) Se a " b # c # 2a " b allora esiste al massimo una soluzione minimale, ed è positiva.
( )
(
)
Dimostrazione. a) I valori massimi di x, y sono b " 1, a " 1 : sostituendoli nell’equazione
!
si ottiene a " b # 1 + b " a # 1 = 2a " b # a # b .
(
)
(
)
!
b) Abbiamo già visto nell’esempio
1.1.5 !che una soluzione particolare
! x " b # 1 si trova sempre con una semplice divisione, ed è anche unica :
0"
1
(
(x1, y1)
trovata
con
una
)
! positivo. Le altre
soluzione particolare x0, y0 si divide infatti x0 per b e si prende il resto
!
soluzioni hanno valori di x negativi o maggiori di b.
$x =
!
Allora la soluzione generale è %
&y =
x1 +!k " b
, k∈Z.
y1 # k " a
(
)
(
)
Ora, se y1 = a + h, h " 0 , allora a " b > c = a " x1 + b " a + h = a " b + a " x1 + h # a " b , assurdo.
Pertanto, se y1 " 0,
(x1!, y1) è minimale ed è l’unica, come si vede dando a k valori negativi
!
! però y < 0 . In tal caso, deve risultare
o positivi. Potrebbe essere
1
y1 " a # 1 . In caso
!
contrario, se!cioè fosse y1 = "a " h, h # 0 , allora
(
)
(
)
(
)
0 " c = a # x1!+ b # $a $ h " a # b $ 1 + b # $a $ h = $a !
$ b #h < 0,
! x , y è minimale. Naturalmente è possibile scambiare i ruoli delle due
assurdo. Dunque,
1 1
(
)
incognite,! scegliendo una soluzione particolare
anche x2 "!0 si ritrova la stessa soluzione di
(
!
!
)
minimale, ma diversa da x1, y1 .
(x2, y2) con 0 " y2 " a # 1. In tal caso, se
prima, ( x1, y1) . Altrimenti, la soluzione è
!
c) Se una soluzione minimale x1, y1 esiste, e se!una delle due componenti della coppia è
(
)
negativa o nulla, !
il termine noto c non può essere maggiore di ab-1. Allora sono entrambe
positive, ed in tal caso ce
! n’è solo una.
34
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
PR OP OSI ZI ONE 1.3 .5 Siano dati a,b > 0, c ≥ 0, MCD(a,b)=1. Se c < a⋅b e non è
multiplo né di a né di b, allora una ed una sola delle due equazioni a " x + b " y = c oppure
a " x + b " y = ab # c ha una soluzione non negativa. Inoltre, tale soluzione è positiva.
Dimostrazione. Ovviamente, se c = a " h , con necessariamente
!
!
h " b # 1 allora una
( )
(
)
soluzione di a " x + b " y = c è h, 0 . L’altra equazione a " x + b " y = ab # c ha soluzione b " h, 0 .
Stesso discorso se c è multiplo di!b.
!
!
Vediamo
ora il caso!di c < a⋅b, non multiplo! né di a né di b. Allora tale è! anche a " b # c .
Perciò le due equazioni non hanno soluzioni con un’incognita nulla. Ciò posto:
Esistenza. Supponiamo che a " x + b " y = c non abbia soluzioni positive. Ha comunque
una
!
soluzione minimale
(x1, y1)
con 0 < x1 " b # 1 e "a + 1 # y < 0 . Allora,
(b " x1, "y1)
è una
soluzione positiva di !a " x + b " y = ab # c .
(
)
!
Unicità. Sia x!1, y1 una soluzione
positiva !
di a " x + b " y = c , che se
! esiste è unica per 1.3.4.
Se anche a " x!+ b " y = ab # c avesse una soluzione positiva
(x2, y2) , allora (x1 + x2, y1 + y2)
!
! una soluzione positiva di a " x +
sarebbe
b " y = ab , contro il teorema 1.3.2. Dunque, una sola
! due ha soluzioni positive.
delle
!
!
!
NOTA. Il caso delle tre incognite è stato studiato e risolto in varie epoche con approcci a
volte diversi, ma tutti riconducibili alle soluzioni minimali di tre casi in due incognite
ricavati dall’equazione data. Ricordo solo il contributo del mio collega e predecessore in
questo insegnamento di Teoria dei Numeri, Calogero Tinaglia, il quale ha tra l’altro
perfezionato e spiegato numeri ausiliari proposti da altri autori, Johnson in particolare. Chi
è interessato al problema può consultare i suoi lavori e la bibliografia che essi riportano.
I casi di n ≥ 4 incognite sono tuttora aperti. Ossia, non si conosce un modo generale per
n
determinare il massimo numero naturale m per il quale l’equazione
# a k " xk = m
a
k=1
coefficienti interi positivi coprimi non ha soluzioni naturali o soluzioni intere positive.
!
Ora cambiamo il punto di vista: per cominciare, dato che i coefficienti dell’equazione
n
# a k " x k = m sono
positivi, si possono interpretare come le frequenze delle rispettive
k=1
n
!
incognite, quindi, posto r =
"ak ,
l’equazione data si può interpretare come un caso
k=1
!
35
Teoria dei numeri I 2013-14, modulo prof. Verardi – Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei
r
particolare dell’equazione
" x j = m , della quale si cercano le soluzioni con
a k coordinate
j=1
consecutive uguali ad x k . Per esempio, 2x + 3y = 8 si può riscrivere x + x + y + y + y = 8 .
!
!
Allora si pone un altro problema: quante equazioni della forma
!
!
!
n
" xk = m
hanno
k=1
soluzioni positive e quante ne hanno? Ossia, in quanti modi si può scrivere m come somma
di numeri interi positivi? Ovviamente, deve essere 1 " n " m , perché
! ci siano soluzioni.
Se imponiamo x1 " x2 " K " xn , le soluzioni sono dette partizioni di m in n addendi. Per
!
avere poi le soluzioni senza questa restrizione,
basta contare per ogni partizione il numero
di suoi “anagrammi”
e sommare.
!
ES E MPI O 1. 3.6. Vediamo il caso di m = 8.
n° incognite
1
equazione
x1 = 8
partizioni:
8
2
x1 + x2 = 8
x1 + x2 + x3 = 8
7+1
6+2
5+3
4+4
6+1+1
2
2
2
1
3
x1 + x2 + x3 + x4 = 8
5+2+1
4+3+1
4+2+2
3+3+2
5+1+1+1
6
6
3
3
4
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 8
4+2+1+1
3+3+1+1
3+2+2+1
2+2+2+2
4+1+1+1+1
12
6
12
1
5
20
10
6
35
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 8
3+2+1+1+1
2+2+2+1+1
3+1+1+1+1+1
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 8
2+2+1+1+1+1
2+1+1+1+1+1+1
15
7
21
7
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 8
1+1+1+1+1+1+1+1
1
1
22
128
128
!
3
!
!
4
!
5
6
!
7
8
!
totale
!
n° soluzioni
1
parz.
1
7
21
35
!
Esistono
algoritmi, ma anche formule complicatissime per trovare il numero p(m) delle
partizioni di m, mentre il numero complessivo delle soluzioni, per 1 " n " m , è 2m"1 .
!
36
!