Esercitazione 2 1. Supponiamo di voler condurre un

Esercitazione 2
1. Supponiamo di voler condurre un’indagine statistica sul consumo di
caffè tra gli Italiani. Per questo, interroghiamo 100 soggetti e supponiamo che 70 tra essi consumino caffè e i restanti 30 non ne facciano
uso.
(a) Scrivere il modello statistico delle prove indipendenti associato a
tale esperimento;
(b) disegnare il grafico della funzione di verosimiglianza come funzione
del parametro.
2. Costruire il modello statistico associato alla v.a. X nel caso in cui si
ipotizzi:
(a) una distribuzione uniforme nell’intervallo [0, θ];
(b) una distribuzione geometrica di parametro θ;
(c) una distribuzione esponenziale di parametro 1/θ.
(d) Disegnare i grafici delle corrispondenti funzioni di verosimiglianza.
3. Sia (X1 , · · · , Xn ) un campione casuale estratto dalla densità f (x|θ). Indichiamo con L(θ|x1 , · · · , xn ) la corrispondente funzione di verosimiglianza.
Dimostrare che massimizzare rispetto a θ la verosimiglianza L(θ|x1 , · · · , xn )
è equavalente a massimizzare la funzione log(L(θ|x1 , · · · , xn )).
4. Sia (X1 , · · · , Xn ) un campione casuale estratto dalla densità uniforme
in (0, θ).
(a) Determinare due stimatori di θ usando sia il metodo dei momenti
che il metodo della massima verosimiglianza;
(b) calcolare la media e la varianza di entrambi gli stimatori;
(c) quale dei due preferite e perchè ?
5. Sia (X1 , · · · , Xn ) un campione casuale estratto dalla denistà di Bernoulli.
Mostrare che la statistica T1 = X1 − X2 non è completa, mentre risulta
P
esserlo T2 = ni=1 Xi .
6. Sia (X1 , · · · , Xn ) un campione casuale estratto dalla denistà di probabilità:
2
x
f (x; θ) = (1 − )I(0,θ) (x),
θ>0
θ
θ
• Determinare uno stimatore T = T (X1 , · · · , Xn ) con il metodo dei
momenti;
• Stabilire se T è distorto e calcolarne l’errore quadratico medio.
7. Sia (X1 , · · · , Xn ) un campione casuale estratto dalla denistà uniforme
nell’intervallo (0, θ). Si dimostri che la statistica X(n) = max(X1 , · · · , Xn )
è completa.