Dip. di Ingegneria, Univ. Roma Tre Prof. F. Martinelli Probabilità e Statistica, 2013-14, II semestre 16 Giugno, 2014 II Esonero Cognome Nome Matricola Esercizio 1. (a) Una popolazione è distribuita uniformemente nell’intervallo [0, A] con A ignoto. Dato un campione X1 , . . . , Xn trovare lo stimatore di massima verosimiglianza per A. [ 4 punti ] (b) Lo stimatore sarà corretto ? (Sugg: considerare il caso n = 1) [ 3 punti ] Nome: Esercizio 2. La variabile (logaritmo della concentrazione di D-dimero) X ∼ N (µ, σ 2 ) è un indicatore del rischio di trombosi. Per individui sani si assume µ = −1 mentre per individui a rischio µ = 0. In entrambi i casi σ 2 = 0.09. (a) Dr House, per non allarmare inutilmente i pazienti, quale ipotesi dovrebbe testare, H0 : µ = −1 oppure H0∗ : µ = 0 ? [ 4 punti ] (b) Testiamo l’ipotesi H0 : µ = −1. Per quali valori di X dovremo rifiutare H0 a un livello di significatività del 5% ? [ 4 punti ] Nome: Esercizio 3. Le compagnie A e B producono frigoriferi. Il numero di quelli prodotti dalla compagnia A con un difetto entro il primo anno di garanzia è una variabile casuale con media pA e varianza σ 2 = 4. Per la compagnia B questi dati diventano pB e σ 2 = 4. In una partita di 50 frigoriferi della compagnia A 12 hanno avuto un difetto entro il primo anno mentre in una partita di 60 frigoriferi della compagnia B quelli difettosi sono stati 8. Trovare un intervallo di confidenza al 95% per: (a) pA [ 3 punti ] (b) pA − pB [ 4 punti ] Nome: Esercizio 4. (a) Dimostrare la legge debole dei grandi numeri. [ 4 punti ] (b) Una variabile casuale positiva ha media 1. Cosa posso dire sulla probabilità di osservare un valore maggiore di 10 ? [ 3 punti ] Nome: Esercizio 5. Consideriamo le seguenti coppie di dati (x, y) per le quali si ipotizza una regressione lineare della forma y = ax + b. x 0 1 2 3 4 P x = 10 y 2 3 5 4 6 P y = 20 xy 0 3 10 12 24 P xy = 49 x2 0 1 4 9 16 P 2 x = 30 (a) Come si trovano a, b con il metodo dei minimi quadrati ? [ 3 punti ] (b) Usando i dati della tabella trovare la retta della regressione lineare y = ax + b. [ 2 punti ]