II Esonero bis - mat.uniroma3

Dip. di Ingegneria, Univ. Roma Tre
Prof. F. Martinelli
Probabilità e Statistica, 2013-14, II semestre
16 Giugno, 2014
II Esonero
Cognome
Nome
Matricola
Esercizio 1.
(a) Una popolazione è distribuita uniformemente nell’intervallo [0, A] con A ignoto. Dato un
campione X1 , . . . , Xn trovare lo stimatore di massima verosimiglianza per A. [ 4 punti ]
(b) Lo stimatore sarà corretto ? (Sugg: considerare il caso n = 1) [ 3 punti ]
Nome:
Esercizio 2. La variabile (logaritmo della concentrazione di D-dimero) X ∼ N (µ, σ 2 ) è un
indicatore del rischio di trombosi. Per individui sani si assume µ = −1 mentre per individui a
rischio µ = 0. In entrambi i casi σ 2 = 0.09.
(a) Dr House, per non allarmare inutilmente i pazienti, quale ipotesi dovrebbe testare, H0 : µ =
−1 oppure H0∗ : µ = 0 ? [ 4 punti ]
(b) Testiamo l’ipotesi H0 : µ = −1. Per quali valori di X dovremo rifiutare H0 a un livello di
significatività del 5% ? [ 4 punti ]
Nome:
Esercizio 3. Le compagnie A e B producono frigoriferi. Il numero di quelli prodotti dalla
compagnia A con un difetto entro il primo anno di garanzia è una variabile casuale con media
pA e varianza σ 2 = 4. Per la compagnia B questi dati diventano pB e σ 2 = 4. In una partita di
50 frigoriferi della compagnia A 12 hanno avuto un difetto entro il primo anno mentre in una
partita di 60 frigoriferi della compagnia B quelli difettosi sono stati 8. Trovare un intervallo di
confidenza al 95% per:
(a) pA [ 3 punti ]
(b) pA − pB [ 4 punti ]
Nome:
Esercizio 4.
(a) Dimostrare la legge debole dei grandi numeri. [ 4 punti ]
(b) Una variabile casuale positiva ha media 1. Cosa posso dire sulla probabilità di osservare un
valore maggiore di 10 ? [ 3 punti ]
Nome:
Esercizio 5. Consideriamo le seguenti coppie di dati (x, y) per le quali si ipotizza una regressione
lineare della forma y = ax + b.
x
0
1
2
3
4
P
x = 10
y
2
3
5
4
6
P
y = 20
xy
0
3
10
12
24
P
xy = 49
x2
0
1
4
9
16
P 2
x = 30
(a) Come si trovano a, b con il metodo dei minimi quadrati ? [ 3 punti ]
(b) Usando i dati della tabella trovare la retta della regressione lineare y = ax + b. [ 2 punti ]