Università degli studi di Padova a.a. 2012/2013 La costruzione dei numeri reali Conte Greta 2 Indice Introduzione 3 1 Costruzione degli interi e dei razionali 1.1 Gli interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 I razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 10 2 Costruzione dei reali di Dedekind 2.1 Cenni sulla vita e opere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 La continuità dei numeri irrazionali . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Campi ordinati, densi e archimedei . . . . . . . . . . . 2.2.2 Corrispondenza tra numeri razionali e punti della retta 2.2.3 Continuità della retta e costruzione dei reali . . . . . . . . . . . 13 13 14 15 16 18 . . . . 23 23 24 24 25 3 Costruzione dei reali di Cantor 3.1 Cenni sulla vita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Reali come classi di equivalenza di successioni di 3.2.1 Gli irrazionali di Eudosso . . . . . . . . 3.2.2 Successioni di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Unicità del campo ordinato completo 33 Conclusioni 40 3 4 INDICE Introduzione Fino alla metà dell’Ottocento il concetto di numero reale coincideva con il concetto di misura di grandezze ed era fondato sull’intuizione geometrica della continuità della retta. Si fa risalire a Pitagora (500 a.C.) la scoperta che esistono grandezze, come ad esempio la diagonale e il lato del quadrato, che sono incommensurabili, cioè che non possono essere contemporaneamente multipli interi di una terza grandezza che venga usata come unità di misura. Non ci furono progressi significativi nella conoscenza dei numeri reali fino al Cinquecento, quando, con l’introduzione del formalismo algebrico per opera di R. Bombelli (Algebra, 1572), fu possibile definire i rapporti di grandezza e le operazioni algebriche mediante simboli. La costruzione dei numeri reali fu uno dei progressi più importanti del pensiero matematico del XIX secolo. Uno dei fatti più sorprendenti nella storia della matematica fu proprio che la fondazione logica del sistema dei numeri reali non fu costruita prima del tardo XIX secolo. Prima non erano state logicamente definite nemmeno le semplici proprietà dei numeri razionali positivi e negativi e dei numeri irrazionali. Di fronte allo sviluppo dell’algebra e dell’analisi, entrambe le quali usavano i numeri reali, la mancanza delle proprietà e di una precisa struttura di tali numeri mostrò come la matematica progrediva illogicamente e quanto fosse necessaria una chiarezza nel sistema numerico. Il 1872 fu un anno molto importante per l’analisi infatti in quell’anno furono dati contributi decisivi all’aritmetizzazione dell’analisi da parte di cinque matematici: il francese H.C.R. (Charles) Méray (1835-1911), originario della Borgogna, i tedeschi Karl Weierstrass (1815-1897) dell’Università di Berlino, il suo allievo H.E. Heine (1821-1881) di Halle, George Cantor (1845-1918) anch’egli di Halle, e J.W.R. Dedekind (1831-1916) di Braunschweig. Essi rappresentano il culmine di mezzo secolo di ricerche sulla natura della funzione e del numero in quanto si erano manifestate due principali cause di insoddisfazione: la mancanza di fiducia nelle operazioni fatte su serie infinite e la mancanza di una definizione precisa di “numero reale” che sta al centro del programma di aritmetizzazione. L’obbiettivo di definire in modo preciso la costruzione dei reali fu raggiunto con la pubblicazione tra il 1872 e il 1886 di alcuni lavori in cui venivano esposte tre diverse teorie: la costruzione di Dedekind che fa appello alla continuità della retta; la costruzione di 5 6 INDICE Cantor, in cui i reali sono classi di equivalenza di successioni di Cauchy a valori razionali e la teoria di Weierstrass in cui i numeri reali sono definiti attraverso successioni monotone di intervalli. In queste note illustreremo la costruzione degli interi e dei razionali, quindi la costruzione dei reali di Dedekind e di Cantor per provare infine il teorema di unicità del campo ordinato completo. Capitolo 1 Costruzione degli interi e dei razionali Per comprendere più a fondo la costruzione dei reali è interessante studiare come sono stati costruiti altri insiemi numerici, in particolare gli interi e i razionali per capire quali sono state le motivazioni e la procedura. 1.1 Gli interi Sia N l’insieme dei numeri naturali, su N sono definite le operazioni di somma e prodotto che godono delle proprietà commutativa, associativa e vale la distributività del prodotto rispetto alla somma. Indichiamo con 0 l’elemento neutro della somma, la struttura (N, +, 0) dal punto di vista algebrico è piuttosto “povera”, nel senso che non è un gruppo ma solo un semigruppo, infatti manca l’opposto di ogni elemento. Si può dire che gli interi si ottengono da N “aggiungendo” dei numeri in modo che l’equazione: a+x=b a, b ∈ N (1.1) sia sempre risolubile, ciò equivale a dire che la sottrazione b−a sia definita per ogni a, b ∈ N. Si noti che in questa definizione non si fa uso del concetto di numero negativo. Se b < a, b − a non è definito in N, però se poniamo y = a − b si ha b + y = b + (a − b) = a, da cui b+y +x = a+x = b. Allora y +x = 0, quindi la ricerca delle soluzioni dell’equazione (1.1) equivale alla ricerca dell’opposto, infatti basta “aggiungere” a N un numero x = a − b tale che: (a − b) + (a − b) = 0 (1.2) 7 8 CAPITOLO 1. COSTRUZIONE DEGLI INTERI E DEI RAZIONALI Definiamo quindi per ogni numero naturale n il suo opposto n ed estendiamo le operazioni di + e · : 1. Somma: • n+m=n+m m − n • n+m=m+n= se m ≥ n m−n m<n 2. Prodotto: • n·m=n·m • n·m=n·m Inoltre estendiamo la relazione d’ordine di N • n ≥ 0 per ogni n. • n < m se e solo se m < n L’insieme cosı̀ ottenuto, cioè {n : n ∈ N} ∪ N, si indica con Z. Algebricamente Z = (Z, +, ·, 0, 1, ≥) è un anello commutativo, integro (cioè m · n = 0 implica m = 0 oppure n = 0, per ogni m, n ∈ Z), unitario e l’ordine sopra definito è totale. Con anello ordinato intendiamo una coppia (K, ≥) che soddisfi le seguenti proprietà: • K è un anello. • ≥ è un ordine totale su K: x < y oppure x > y oppure x = y, per ogni x, y ∈ K. Inoltre: 1. x < y implica x + z < y + z 2. x > 0, y > 0 implica x · y > 0 Gli elementi di K maggiori di zero si dicono positivi, quelli minori negativi. Proposizione 1. In ogni anello ordinato (K, ≥) valgono le seguenti proprietà: 1. Se x + z < y + z allora x − y < 0. 2. x < y se e solo se 0 < y − x se e solo se x − y < 0 se e solo se −y < −x. 3. Per ogni x, x > 0 oppure x = 0 oppure x < 0. 4. x > 0, y > 0 implica x + y > 0. 9 1.1. GLI INTERI 5. x < y, z > 0 implica xz < yx. 6. x < 0, y < 0 implica xy > 0. 7. x < 0, y > 0 implica xy < 0. 8. x2 > 0 Un anello ordinato che soddisfi le proprietà elencate non è detto che sia isomorfo a Z, ma: Proposizione 2. Due anelli integri che soddisfino la proprietà: per ogni x, o x = 0 oppure x = m·1 , oppure −x = m·1 per qualche m ∈ N, (dove · non è la moltiplicazione dell’anello, ma si intende m · 1 = 1 + · · · + 1, m volte) sono isomorfi. (Cioè c’è un isomorfismo di anelli che rispetta l’ordine). Z soddisfa questa proprietà, quindi ogni altro anello che la soddisfi è isomorfo a Z, possiamo quindi descrivere gli interi in modo più formale. Un modo è definire l’insieme N × N con la relazione: (a, b) ∼ (c, d) ↔ a+d=b+c (1.3) Si verifica facilmente che è una relazione di equivalenza. (L’idea è che (m − n) “esprime” m − n, e quindi varie coppie “esprimono” lo stesso intero). Si pone Z = N × N/∼ . Definizione 3. In Z = N × N/∼ si definiscono le operazioni nel seguente modo: • [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] • [(a, b)] · [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)] • [(a, b)] = [(−b, −a)] • [(a, b)] ≥ [(c, d)] ↔ a+d≥c+d Si dimostra che sono delle buone definizioni. Posto poi 0 = [(0, 0)] e 1 = [(1, 0)] si ha che (Z, +, ·, 0, 1, ≥) è un anello ordinato. Ora basta provare l’ipotesi del teorema precedente. Sia [(m, n)] ∈ Z, se m > n esiste h tale che m = n + h e perciò (m, n) ∼ (h, 0), ossia [(m, n)] = h · 1. Similmente, se n < m, (m, n) ∼ (0, k) per qualche k, allora − [(m, n)] = k · 1 . 10 CAPITOLO 1. COSTRUZIONE DEGLI INTERI E DEI RAZIONALI 1.2 I razionali I motivi che hanno portato alla costruzione dei razionali, a partire dagli interi, sono analoghi a quelli che hanno spinto alla definizione degli interi. Si tratta del desiderio di trovare sempre una soluzione per l’equazione: a · x = b con a, b ∈ Z (1.4) Per risolvere tutte le equazioni di questo tipo è sufficiente risolvere quelle del tipo a · y = 1. Infatti ay = 1 implica ayb = b e, rinominando x = yb, ritroviamo l’equazione (1.4), e similmente vale il viceversa. Costruire intuitivamente i razionali non è facile come per gli interi, in quanto una volta “aggiunti” gli inversi degli interi (cioè le soluzioni di ax = 1), le operazioni di somma e prodotto ci “obbligano” (se vogliamo conservare le usuali proprietà) a introdurre ulteriori elementi. Basta pensare che ad esempio 31 + 13 non può essere un intero, infatti, se 13 + 13 = m, allora 1 1 1 + 1 = 3( + ) = 3m 3 3 cioè 2 = 3m che è falso se m è un intero; né 1 3 + 1 3 = (1.5) 1 , m altrimenti 1 1 1 m · 3( + ) = ·m·3 3 3 m (1.6) che dà 2m = 3. Inoltre ogni frazione può essere scritta in molti (infiniti) modi, ad esempio: 41 = Formalmente si defisce una relazione di equivalenza su Z × (Z \ 0) in questo modo: (m, n) ∼ (p, q) ⇔ m · q = n · p 2 . 8 (1.7) ). (che è la solita definizione di uguaglianza tra rapporti leggendo (m, n) come m n Si verifica subito che è una relazione di equivalenza e si pone Q = [Z × (Z \ 0)]∼ . Si definiscono le operazione nel seguente modo: • Somma [(m, n)] + [(p, q)] = [(mq + pn, nq)]. (Proprio come si fa il denominatore comune) • Prodotto [(m, n)] · [(p, q)] = [(mp, nq)]. • [(1, 1)] è l’elemento unità del prodotto. • E poi − [(m, n)] = [(−m, n)]. • [(0, 1)] è l’elemento zero della somma. 11 1.2. I RAZIONALI Si verifica facilmente che tali operazioni sono ben definite. Infine si prova facilmente che (Q, +, ·, 0, 1) è un campo. Questo procedimento (costruzione delle frazioni) è ripetibile su ogni anello integro K e in ogni caso si ottiene un campo QK , il campo dei quozienti su K. Q è il minimo campo che estende Z, cioè il minimo anello contente Z in cui ax = b ha sempre soluzione, come vediamo subito: Proposizione 4. Valgono le seguenti: 1. Ogni anello integro K si immerge in QK . (Ossia esiste un monomorfismo f : K → QK ) 2. Tale monomorfismo è unico da Z in Q 3. Ogni campo F in cui K è immergibile contiene QK . (Ossia se esiste un monomorfismo h : K → F , esiste anche un monomorfismo da QK a F ) Dimostrazione. Dimostriamo che valgono tutte le precedenti affermazioni: 1. Il monomorfismo è f : a 7−→ a1 . (Chiaramente è un omomorfismo iniettivo) 2. È unico nel caso di Z, infatti se g fosse un altro monomorfismo allora g(1) = g(1·1) = g(1) · g(1) da cui: g(1) = 1. Se n > 0, g(n) = g(1 + · · · + 1) = nn + · · · + nn = n1 = f (n). Inoltre f (0) = g(0) = 0 per definizione di omomorfismo. Infine, se n < 0, g(n) = g(−(−n)) = −g(−n) = −f (−n) e quindi f (n) = g(n) per ogni n. 3. Ancora h(1) = h(1 · 1) =h(1) · h(1) e quindi h(1) = 1F , allora anche h(−1) = −1F . a Definiamo f ponendo: f b = h(a) · (h(b))−1 per a, b ∈ K. f è ben definita: se a0 a = 0 ⇔ ab0 = a0 b ⇔ h(ab0 ) = h(a0 b) ⇔ b b h(a)h(b0 ) = h(a0 )h(b) ⇔ h(a)h(b)−1 = h(a0 )h(b0 )−1 (1.8) Usando ripetutamente il fatto che h è un omomorfismo e che che F è campo, si prova che f conserva le operazioni. Abbiamo dimostrato il teorema nel caso generale, anche se ci interessava solo per Z e Q, perché non richiede nessuna fatica in più. Non è difficile estendere a Q l’ordine di Z. Osserviamo innanzitutto che basta definire quali sono i razionali positivi. In ogni anello ordinato, infatti, x ≤ y ⇔ y − x ≥ 0. 12 CAPITOLO 1. COSTRUZIONE DEGLI INTERI E DEI RAZIONALI Ora se vogliamo che l’ordine ≤ su Q renda (Q, ≤) un campo ordinato (ossia un campo che sia un anello ordinato) dobbiamo porre m > 0 ⇔ m · n > 0. n Infatti se m · n > 0 segue: 1. m > 0, n > 0 2. −m > 0, −n > 0 Studiamo caso per caso: 1. n > 0 ⇒ 1 n 2. −n > 0 ⇒ Viceversa, se m n >0 ⇒ 1 −n m n >0 >0 ⇒ −m −n >0 > 0, allora 1. n > 0 e allora n m = m > 0, quindi m · n > 0 n 2. n < 0 e allora n m = m < 0, quindi m · n > 0 n In questo modo la definizione è obbligatoria, cioè, se esiste un’ordine che estenda quello degli interi e che renda Q ordinato, è unico. Capitolo 2 Costruzione dei reali di Dedekind 2.1 Cenni sulla vita e opere Figura 2.1: Julius Wilhelm Richard Dedekind nel 1850 (circa) Julius Wilhelm Richard Dedekind nasce a Brunswick nel 1831 da una famiglia di religione luterana, egli fu uno di quattro fratelli e non si sposò ma visse con la sorella Julia fino alla morte di lei nel 1914. Dedekind si affermò nel campo della matematica ad una età molto giovane: a 19 anni entra nell’Università di Gottinga e partecipa al Seminario di Matematica e Fisica fondato da M.A. Stern. Lı̀ conosce Reimann e Dirichlet e consegue a soli 22 anni il dottorato con una tesi dal titolo: “Sugli elementi della teoria degli integrali di Eulero” con relatore Gauss. Nel 1858 viene nominato professore ordinario di matematica al Politecnico di Zurigo dove tiene dei corsi sul calcolo differenziale e integrale e dove concepisce la sua teoria sui numeri reali. Nel 1862 inizia l’insegnamento presso il Politecnico di Gottinga. Nel 1888 è eletto 13 14 CAPITOLO 2. COSTRUZIONE DEI REALI DI DEDEKIND membro dell’Accademia delle Scienze di Berlino e nel 1900 viene eletto membro anche dell’Accademia delle Scienze di Parigi. Nel 1872 pubblica Stetigkeit und irrationale Zahlen, ovvero La continuità dei numeri irrazionali, e nel 1888 Was sind und was sollen die Zahlen?, tradotto Che cosa sono e a che cosa servono i numeri?. Nei due lavori espone, come noto, la sua teoria sui numeri reali e sui numeri naturali. La loro origine è molto precedente alla data di pubblicazione: Dedekind stesso ci conferma che la teoria da lui esposta compiutamente in Continuità risale al primo anno del suo periodo di insegnamento al Politecnico di Zurigo, precisamente all’ottobre del 1858. Un tale scarto tra il momento di concepimento e quello di pubblicazione si spiega solo tenendo presente la novità della problematica dei Reali di Dedekind e la sua convinzione che tali ricerche non potessero interessare realmente i matematici. Numeri e Continuità si possono collocare secondo diverse prospettive storiche: come una tappa iniziale della nascita della concezione fondazionale, che verrà poi chiamata logicismo, e come un momento cruciale della tendenza all’assiomatizzazione che si è sviluppata pienamente dalla metà dell’Ottocento, a partire dall’assiomatizzazione dell’aritmetica per opera di Frege, Grassmann, Schroder ecc., per culminare nell’assiomatizzazione hilbertiana della geometria. In particolare la seconda opera, Numeri, andrebbe collocata come capitolo importante della storia della nascita della Teoria degli Insiemi. 2.2 La continuità dei numeri irrazionali Stetigkeit und irrationale Zahlen “Io considero l’intera aritmetica come una conseguenza necessaria, o almeno naturale, dell’atto aritmetico più semplice, quello di contare, il quale, a sua volta, non è altro che la creazione sequenziale della successione infinita dei numeri interi positivi, in cui ogni elemento è definito mediante l’elemento immediatamente precedente. L’atto più semplice è il passaggio da un elemento già creato all’elemento successivo, ancora da creare. La catena di questi numeri costituisce già uno strumento utilissimo per lo spirito umano e fornisce un tesoro inesauribile di leggi notevoli che si ottengono con l’introduzione delle quattro operazioni fondamentali dell’aritmetica. L’addizione è una qualsivoglia ripetizione del suddetto atto semplice concepita come un singolo atto e nello stesso modo dall’addizione proviene la moltiplicazione. Mentre è sempre possibile eseguire queste due operazioni, per le operazioni inverse, la sottrazione e la divisione, vi sono dei limiti. Quale sia stata l’occasione immediata, quali i confronti o le analogie con esperienze o intuizioni, che hanno introdotto la sottrazione e la divisione, qui basta osservare che la vera causa di un nuovo atto creativo è sempre appunto la limitazione della possibilità di eseguire le 2.2. LA CONTINUITÀ DEI NUMERI IRRAZIONALI 15 operazioni indirette; cosı̀ lo spirito umano ha creato i numeri negativi e quelli frazionari, e col sistema di tutti i numeri razionali ha acquisito uno strumento infinitamente più perfetto. Questo sistema è anzitutto chiuso [...] Ma ancora più importante è che questo sistema costituisce un dominio ben ordinato.” Dedekind aveva rivolto la sua attenzione al problema dei numeri irrazionali sin dal 1858, in un corso di lezioni universitarie sul calcolo infinitesimale. Egli si chiese in che cosa una grandezza geometrica continua si distinguesse dai numeri razionali e giunse alla conclusione che “... l’essenza della continuità di un segmento non è dovuta ad una vaga compattezza dei suoi punti, ma a una proprietà esattamente contraria, ossia alla peculiare natura della divisione del segmento in due parti mediante un punto giacente sul segmento stesso. In qualsiasi divisione dei punti del segmento in due classi, tali che ciascun punto appartenga ad una e una sola classe, e che ogni punto di una classe si trovi a sinistra di ogni punto dell’altra classe ,v’è uno ed un solo punto che determina la divisione.” [1] Dedekind stesso scriverà che “con questa osservazione banale si è svelato il segreto della continuità”, tale osservazione potrà anche essere stata banale ma sembra che egli abbia avuto più di qualche dubbio su si essa visto che esitò alcuni anni prima di pubblicarla. Per riuscire ad esprimere in maniera dettagliata la concezione di Dedekind dobbiamo prima ricordare alcuni concetti fondametali che stanno alla base. 2.2.1 Campi ordinati, densi e archimedei Ricordiamo alcune definizioni e proprietà. Definizione 5. Un campo K è una struttura < K, +, ·, 0K , 1K > dove K è un insieme, + e · sono operazioni binarie su K, 0K e 1K sono elementi distinti di K, in cui valgono le seguenti proprietà: • Associatività di + e · : ∀x, y, z [x + (y + z) = (x + y) + z e x · (y · x) = (x · y) · z]; • Commutatività di + e ·: ∀x, y [x + y = y + x e x · y = y · x]; • Distributività di · rispetto a +: ∀x, y, z [x · (y + z) = x · y + x · z]; • Proprietà degli elementi neutri: i) ∀x, x + 0K = x, ii) ∀x, x · 1K = x; • Esistenza dell’opposto e del reciproco: i) ∀x ∃y, x+y = 0K , ii) ∀x 6= 0K ∃y, x·y = 1K . 16 CAPITOLO 2. COSTRUZIONE DEI REALI DI DEDEKIND Definizione 6. Un campo totalmente ordinato è una struttura K =< K, +, ·, ≤, 0K , 1K > in cui < K, +, ·, 0K , 1K > è un campo e ≤ è una relazione d’ordine su K che verifica le seguenti proprietà: • Riflessività: ∀x, x ≤ x; • Antisimmetria: ∀x, y, x ≤ y ∧ y ≤ x → x = y; • Transitività: ∀x, y, z, x ≤ y ∧ y ≤ z → x ≤ z; • Totalità: ∀x, y, x ≤ y ∨ y ≤ x; • Compatibilità dell’ordine con l’addizione: ∀x, y, z, x ≤ y → x + z ≤ y + z; • Compatibilità dell’ordine con la moltiplicazione: ∀x, y, ∀z ≥ 0, x ≤ y → x · z ≤ y · z. Definizione 7. Un campo è denso se ∀a, b con a ≤ b, esiste un elemento c tale che a ≤ c ≤ b. Proposizione 8. Ogni campo ordinato è denso. Dimostrazione. Da a ≤ b ⇒ a + a ≤ a + b ≤ b + b ⇒ ≤ b. qualunque 2 è inteso come 1 + 1) ⇒ a ≤ a+b 2 a+a 2 ≤ a+b 2 ≤ b+b 2 (dato che K è campo Definizione 9. Un campo ordinato K è archimedeo se ∀a, b ∈ K con a > 0 ∃n ∈ N tale che an > b. 2.2.2 Corrispondenza tra numeri razionali e punti della retta Dedekind si rese conto che il campo dei numeri razionali può essere esteso fino a formare un continuo di numeri reali se si ammette che i punti di una retta possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri reali. Infatti i numeri razionali per Dedekind hanno le seguenti proprietà: 1) se a, b, c ∈ Q con a > b e b > c allora a > c; 2) se a, b ∈ Q sono due numeri diversi, allora esistono infiniti numeri tra a e c; 3) Dato un numero razionale a, tutti i numeri razionali si ripartiscono in due classi A1 e A2 contenenti ciascuna infiniti individui; A1 contiene gli elementi a1 < a, A2 contiene gli elementi a2 > a. Il numero a stesso può essere assegnato alla prima classe o alla seconda, nel primo caso a sarà il massimo di A1 , nel secondo caso sarà il minimo di A2 . In ogni caso la suddivisione del sistema Q in due classi è tale che ogni numero della prima classe A1 è minore di ogni numero della seconda classe A2 . 2.2. LA CONTINUITÀ DEI NUMERI IRRAZIONALI 17 Le proprietà dei numeri razionali appena viste ricordano le relazioni di posizione reciproca che sussistono tra i punti di una retta L. Chiamiamo destra e sinistra i due versi opposti sulla retta, quindi dati due punti diversi p e q allora p giace a destra di q, e al tempo stesso q giace a sinistra di p, o inversamente q giace a destra di p e al tempo stesso p giace a sinistra di q. Un terzo caso è impossibile se p e q sono effettivamente punti diversi. Per queste relazioni di posizione sussistono le seguenti leggi: 1) dati tre punti p, q, r sulla retta L, se p è a destra di q e q è a destra di r, allora p è a destra di r; 2) se p e r sono due punti distinti sulla retta, allora ci sono infiniti punti tra p e r; 3) Dato un punto p di L, tutti i punti di L si ripartiscono in due classi P1 e P2 contenenti ciascuna infiniti elementi. P1 contiene tutti i punti p1 a sinistra di p e P2 contiene tutti i punti p2 a destra di p. Il punto p stesso può appartenere a una delle due classi e in ogni caso la suddivisione della retta L in due classi è tale che ogni punto di P1 è a sinistra di ogni punto di P2 . Questa analogia dei numeri razionali con i punti della retta è una vera e propria corrispondenza quando prendiamo sulla retta L un origine O e un unità di misura U , allora ad ogni numero razionale a corrisponde un punto P sulla retta L tale che le lunghezze OP e OU siano commensurabili; ma non vale il viceversa, cioè nella retta L esistono punti che non corrispondono a nessun numero razionale. Già i Greci avevano dimostrato che ci sono grandezze non commensurabili, per esempio la diagonale del quadrato che ha per lato la lunghezza unitaria, ed esistono infinite lunghezze incommensurabili come mostra la seguente: Proposizione 10. Per ogni p primo allora √ p è irrazionale. √ Dimostrazione. Se per assurdo p con p primo è razionale, allora √ p= m con M CD(m, n) = 1, m, n ∈ N n 2 ⇒ n2 p = m2 , cioè p divide m2 , ma p è primo quindi p divide anche m, allora quindi p = m n2 pm1 = m e p2 m21 = m2 sostituendo quest’ultima in n2 p = m2 si ha n2 p = p2 m21 ⇒ n2 = pm21 , cioè p divide n2 , quindi p divide n. Si deduce che p divide sia m che n ed assurdo perché M CD(m, n) = 1. Dall’infinità delle grandezze incommensurabili si ricava il carattere incompleto, discontinuo di Q rispetto alla continuità della retta. Ma in che cosa consiste questa continuità della retta? 18 CAPITOLO 2. COSTRUZIONE DEI REALI DI DEDEKIND 2.2.3 Continuità della retta e costruzione dei reali Nel paragrafo precedente abbiamo ricordato che ogni punto p della retta determina una suddivisione di essa in due parti, in modo tale che ogni punto di una parte giace a sinistra di ogni altro punto dell’altra parte. Dedekind vede l’essenza della continuità della retta nell’inversione di questa proprietà, ossia nel principio seguente: “Se tutti i punti della retta si ripartiscono in due classi tali che ogni punto di una classe giace a sinistra di ogni punto dell’altra, allora esiste uno e un solo punto che determina questa partizione di tutti i punti in due classi, questa scomposizione della retta in due parti.” Dedekind stesso commenta: “Credo di non sbagliare nel presumere che ognuno riconoscerà subito per vero il principio enunciato. La maggior parte dei miei lettori rimarrà alquanto delusa nell’apprendere che il mistero della continuità dovrà essere svelato da una banalità come questa. A questo proposito voglio fare un’osservazione: sono contentissimo che ognuno trovi quel principio tanto evidente e tanto in accordo con la propria rappresentazione della retta, perché né a me né ad altri è possibile dimostrarlo in qualche modo. L’assunzione di questa proprietà della retta altro non è che un assioma mediante il quale anzitutto riconosciamo alla retta la sua continuità, mediante il quale noi pensiamo la continuità nella retta.” Quindi per eliminare la discontinuità dei razionali Dedekind adotta il metodo seguente: Definizione 11. Sia A ⊂ Q, B ⊂ Q con A,B 6= ∅, allora (A, B) è una sezione se: • A ∪ B = Q; • A ∩ B = ∅; • ∀a ∈ A, ∀b ∈ B si ha a < b. Dato un razionale a possiamo costruire una sezione di Q, (A1 , A2 ) mettendo in A1 tutti i razionali a1 < a e in A2 tutti i razionali a2 > a. Quindi per ogni numero razionale a corrisponde una sezione di cui a è l’elemento separatore, e può essere a1 < a ≤ a2 o a1 ≤ a < a2 (dalla definizione di sezione segue immediatamente che l’elemento separatore è unico). 2.2. 19 LA CONTINUITÀ DEI NUMERI IRRAZIONALI Però non tutte le sezioni di Q hanno un elemento separatore in Q, per esempio dati n o n o A = x ∈ Q|x2 < 2 B = x ∈ Q|x2 > 2 (A, B) è una sezione perché A e B non sono vuoti (1 ∈ A e 2 ∈ B) e A < B, però l’elemento separatore ξ dev’essere tale che ξ 2 = 2, ma sappiamo benissimo che un tale numero non può essere razionale. Nel fatto che non tutte le sezioni siano determinate da numeri razionali consiste l’incompletezza o la discontinuità di Q e per superarla dobbiamo “creare” un nuovo numero, un numero “irrazionale” α, che consideriamo come completamente definito dalla sezione stessa. “Quando abbiamo a che fare con una sezione prodotta da un numero non razionale, quindi, ne creiamo uno nuovo, un numero irrazionale, che consideriamo come completamente definito da questa sezione... . D’ora in poi, di conseguenza, per ogni sezione definita corrisponde un numero razionale o irrazionale definito...” da Stetigkeit und irrationale Zahlen, Section IV. Quindi ad ogni sezione corrisponde uno e un solo determinato numero razionale o irrazionale, e due numeri saranno diversi se e solo se essi determinano due sezioni diverse. Attraverso l’uso di questo strumento, si considera esserci un numero reale, che sia razionale o irrazionale, in ogni punto nel continuum della linea numerica, senza discontinuità. Per ottenere una base su cui fondare l’ordinamento di tutti i numeri reali, cioè di tutti i razionali e gli irrazionali, dobbiamo prima studiare le relazioni tra due sezioni (A1 , A2 ) e (B1 , B2 ) prodotte da due numeri α e β. E’ chiaro che una sezione (A1 , A2 ) è già completamente determinata se è nota una sola delle due classi, per esempio la prima classe A1 , perché la seconda classe A2 consta di tutti i razionali non contenuti in A1 . Confrontando tra loro le classi A1 e B1 otteniamo tre casi: 1) A1 e B1 sono identiche, cioè ogni numero appartenente a A1 è contenuto in B1 e viceversa. In tal caso anche A2 è identica a B2 e le due sezioni sono identiche; questo lo esprimiamo dicendo che α = β. 0 2) A1 e B1 non sono essenzialmente diverse, quando a1 è l’unico elemento di A1 non contenuto in B1 , cioè è contenuto in B2 e come elemento di questa classe lo chiamer0 emo b2 . In questo caso tutti gli elementi a1 appartenenti ad A1 sono contenuti anche 0 0 in B1 e sono tutti minori di a1 , cioè a1 è il numero massimo della classe A1 , pertanto 20 CAPITOLO 2. COSTRUZIONE DEI REALI DI DEDEKIND 0 0 la sezione (A1 , A2 ) è determinata dal numero α = a1 = b2 . Dell’altra sezione (B1 , B2 ) già sappiamo che tutti i numeri b1 contenuti in B1 sono contenuti anche in A1 e sono 0 0 minori di a1 = b2 che è contenuto in B2 , e ogni altro numero b2 contenuto in B2 0 0 è maggiore di b2 ; perciò b2 è il minimo numero di B2 , quindi la sezione (B1 , B2 ) è 0 0 determinata dal numero β = b2 = a1 = α. Le due sezioni non sono essenzialmente diverse perché sono determinate dallo stesso numero α = β però nella sezione (A1 , A2 ) α è il massimo di A1 , mentre nella sezione (B1 , B2 ) β è il minimo di B2 . 3) A1 e B1 sono essenzialmente diverse, quando ci sono almeno due numeri diversi di 0 00 A1 , a1 e a1 , che non sono contenuti in B1 , ma sono contenuti in B2 ; quindi avremo 00 00 0 0 a1 = b2 e a1 = b2 . Però sappiamo che tra due numeri diversi ce ne sono infiniti, 0 00 quindi ci saranno infiniti numeri compresi tra a1 e a1 che non sono contenuti in B1 . In questo caso le due sezioni (A1 , A2 ) e (B1 , B2 ) sono essenzialmente diverse e anche i numeri corrispondenti α e β sono diversi; in particolare se B1 ⊂ A1 diremo che α > β, o β < α. Si osservi che sarebbe potuto essere anche il viceversa, cioè α < β nel caso in cui in A1 ⊂ B1 . Possiamo dunque definire numero reale una sezione (A, B) di razionali e R diventa l’insieme di tutte le sezioni, che risulta ben ordinato per quanto appena detto. Valgono inoltre le seguenti leggi: • se α > β e β > γ ⇒ α > γ; • se α 6= β ⇒ esistono infiniti numeri tra α e β; • dato un numero α, tutti i numeri di R si dividono in due sezioni A1 e A2 ; È però necessario definire su R delle operazioni e verificare che R sia un campo completo ben ordinato. • Somma: se α = (A, B) e β = (C, D) allora α + β := (A + C, B + D) dove H + K = {q ∈ Q : q = h + k , h ∈ H , k ∈ K}. L’elemento neutro è la sezione definita dal numero razionale 0 e l’opposto di α = (A, B) è −α = (−B, −A). • Prodotto: se α = (A, B) e β = (C, D) sono positivi, cioè tutti i numeri in B e in D sono positivi, allora α · β := (Q\BD, BD) dove HK = {q ∈ Q : q = hk , h ∈ H , k ∈ K}. Se α e β sono entrambi negativi, allora α · β := (−α) · (−β) e se α < 0 e β > 0 allora α · β := − (−α) · β. L’unità è 2.2. 21 LA CONTINUITÀ DEI NUMERI IRRAZIONALI −1 la sezione definita dal numero razionale 1 e l’inverso di α è α1 := (Q\A−1 + , A+ ) dove 1 1 1 A−1 + = {q ∈ Q : q = a , a ∈ A , a > 0} se α > 0, α := − −α se α < 0. È facile verificare che con queste operazioni R è un campo ordinato. Per mostrare che è completo, introduciamo la seguente Definizione 12. Un campo ordinato K si dice Dedekind-continuo se ogni sezione (A, B) di K ammette un unico separatore in K. Vedremo in seguito che per un campo ordinato essere completo è equivalente a essere Dedekind-continuo, pertanto è sufficiente ora mostrare che R cosı̀ costruito è Dedekindcontinuo. Proposizione 13. R è Dedekind-continuo. Dimostrazione. (Esistenza) Sia (A , B) una sezione di R. Gli elementi di A e di B sono a loro volta sezioni di Q. Poniamo A0 = S (A,B)∈A A B0 = T (A,B)∈B B e dimostriamo che (A0 , B0 ) è una sezione di Q (e quindi un numero reale) che è l’elemento separatore di (A , B). 1. A0 ∪ B0 = Q, infatti se r ∈ / B0 esiste una sezione (A, B) ∈ A con r ∈ / B, pertanto r ∈ A e quindi r ∈ A0 . 2. A0 ∩ B0 = ∅, infatti se r ∈ A0 , r appartiene ad almeno un A e quindi non appartiene al corrispondente B, perciò r ∈ / B0 . 3. Siano p ∈ A0 e q ∈ B0 ; p appartiene ad almeno un A e q a tutti i B. Allora esiste una sezione (A, B) ∈ A con p ∈ A e q ∈ B per cui p < q. Quindi (A0 , B0 ) è una sezione di Q e definisce un numero λ ∈ R che è ≥ di ogni elemento di A0 e ≤ di ogni elemento di B0 . Vediamo che λ è l’elemento separatore di (A , B). Per ogni α ∈ A , α = (A, B), risulta A ⊂ A0 e quindi α ≤ λ. Sia ora β = (A0 , B 0 ) ∈ B; poiché ogni elemento di A è < β, risulta A ⊂ A0 per ogni (A, B) ∈ A e quindi anche A0 ⊂ A0 , dunque λ ≤ β. (Unicità) Con la divisione di R nella sezione (A1 , A2 ), è data anche la divisione di R nella sezione (A1 , A2 ), che è una sezione di Q definita cosı̀: A1 contiene tutti i razionali di A1 e A2 contiene tutti i razionali non contenuti in A1 , ossia tutti i razionali contenuti in A2 . Sia α l’elemento separatore di (A1 , A2 ), dobbiamo provare che è unico. Prendiamo un altro numero β diverso da α; sappiamo che esistono infiniti numeri compresi tra α e β e si distinguono due casi: 22 CAPITOLO 2. COSTRUZIONE DEI REALI DI DEDEKIND • se β < α, allora tra gli infiniti numeri compresi tra α e β considero un numero qualunque c, quindi c < α, allora c ∈ A1 , quindi c ∈ A1 . Ma dato che β < c allora anche β ∈ A1 . • se β > α, allora preso un elemento c compreso tra i due, sarà c > α, allora c ∈ A2 , quindi c ∈ A2 . Ma dato che β > c allora anche β ∈ A2 . Abbiamo mostrato che per ogni β, β ∈ A1 o β ∈ A2 , quindi α è il massimo di A1 o il minimo di A2 , cioè α è l’unico elemento separatore della sezione (A1 , A2 ). Il metodo delle sezioni di Dedekind può essere generalizzato, cioè partendo da un qualunque campo ordinato archimedeo F si può costruire un campo ordinato F̂ che contiene F ed è Dedekind-continuo. Diamo ora una definizione che ci sarà utile in seguito. Poiché una sezione è completamente determinata quando è data una delle due classi, si può introdurre il concetto di semiretta. Definizione 14. Una semiretta in Q è un sottoinsieme S ⊂ Q tale che i) S 6= ∅, S 6= Q ii) ∀x ∈ S , y < x ⇒ y ∈ S. Ogni semiretta S determina la sezione (S, Q\S) e viceversa ogni sezione (A, B) determina la semiretta aperta A. Capitolo 3 Costruzione dei reali di Cantor 3.1 Cenni sulla vita Figura 3.1: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor Georg Cantor nasce a Pietroburgo nel 1845, figlio di Georg Woldemar Cantor, un operatore di borsa danese, e di Marie Anna Böhm, una musicista nata in Russia, ma di origini austriache. Egli trascorre la maggior parte della vita in Germania poichè la sua famiglia si era trasferita a Francoforte quando aveva 11 anni a causa delle condizioni di salute del padre. Studia a Zurigo, Gottinga, Berlino e qui, nel 1867, consegue il dottorato con una tesi sulla teoria dei numeri. Dal 1872 al 1905 è professore all’università di Halle, le sue idee rivoluzionano concezioni tradizionali della matematica e della filosofia e per questo hanno incontrato molti oppositori. Muore nel 1918. A lui si deve la teoria dei numeri razionali, 23 24 CAPITOLO 3. COSTRUZIONE DEI REALI DI CANTOR la teoria dei numeri cardinali transfiniti (fondata sulla trattazione matematica dell’infinito attuale), ma soprattutto a lui si deve la fondazione della teoria degli insiemi. 3.2 Reali come classi di equivalenza di successioni di Cauchy Come anticipa il titolo, Cantor studia le successioni di Cauchy e i campi completi secondo Cauchy, ossia i campi in cui queste successioni di Cauchy convergono. Non essendo il campo dei Razionali completo secondo Cauchy, Cantor trova un completamento per questo campo, che sarà il campo dei Reali, in modo che diventi completo secondo Cauchy e lo definisce partendo dalle successioni di Cauchy a valori razionali. Introduce delle operazioni, una relazione di equivalenza e una relazione d’ordine, in modo che il campo quoziente delle successioni di Cauchy su Q modulo la relazione di equivalenza introdotta sia un campo ordinato e completo secondo Cauchy. 3.2.1 Gli irrazionali di Eudosso Prima di vedere i dettagli, facciamo alcune osservazioni e vediamo alcuni risultati che ci permetteranno di arrivare a capire l’idea intuitiva da cui è partito Cantor per tale costruzione. Partiamo dalla definizione di Eudosso di irrazionali, non molto diversa da quella di Dedekind. Definizione 15. Dati A, B, C, D, A C = ⇐⇒ qualsiasi siano gli interi m ed n , mA Q nB ⇒ mC Q nD . B D La differenza principale con la definizione di Dedekind sta nel fatto che in questo caso è necessario presupporre di avere già i numeri; aggiungendo però il postulato dell’esistenza, n C n A n Q ⇐⇒ Q , quindi la classe dei numeri razionali m segue subito che viene B m D m separata in due categorie. Possiamo pertanto dire che due rapporti saranno uguali quando determinano la stessa sezione di Dedekind. La definizione di Eudosso dà un metodo per trovare il rapporto tra due segmenti; proviamo ad applicarlo per due segmenti dati AB < CD, che supponiamo commensurabili. Si deve trovare un segmento che stia un numero intero di volte in entrambi; tale segmento starà un numero finito di volte anche nella differenza CD − AB, pertanto il problema si riduce a trovare il rapporto tra AB e CD − AB. Se con la differenza riusciamo a misurare AB allora abbiamo finito; altrimenti proseguiamo considerando la differenza tra 3.2. REALI COME CLASSI DI EQUIVALENZA DI SUCCESSIONI DI CAUCHY 25 i due nuovi segmenti e cosı̀ via, finché non troviamo il segmento che risolve il problema, che esiste poiché abbiamo supposto AB e CD commensurabili. Vediamo che in effetti il procedimento ha un termine: sia n1 il segmento che misura i due segmenti, cioè l’unità di lunghezza. Supponiamo che AB = m n1 e CD = p n1 e consideriamo m e p: sottraiamo ripetutamente il più piccolo, ovvero m, dal più grande, finché otteniamo un resto r1 inferiore ad m per cui p = q1 m + r1 . Sottraiamo ora ripetutamente r1 da m fino ad ottenere m = q2 r1 + r2 , r2 < r1 . Iterando il procedimento, si osserva che ha termine perché m > r1 > r2 > r3 > . . . è una successione decrescente che dovrà arrivare all’unità di misura, rappresentata dall’ultimo resto rm = M CD(p, m). Nel caso in cui i due segmenti non siano commensurabili, non ci sarà invece un termine. p r1 m r2 p Osserviamo che possiamo scrivere = q1 + e = q2 + , da cui segue = m m r1 r1 m 1 q1 + . Procedendo cosı̀ troveremo una successione di frazioni finita nel caso di q2 + rr21 p segmenti commensurabili, infinita nel caso contrario. Quindi possiamo scrivere come m frazione continua: 1 p = q1 + . 1 m q2 + q3 +... Possiamo quindi dire che il rapporto tra due numeri è un razionale se la successione di frazioni è finita, sarà invece un nuovo numero se non lo è. Se pensiamo un numero reale a con la consueta notazione decimale, a = n, a0 a1 a2 a3 · · · = a0 a1 n+ + + . . . , possiamo notare che ricorda la frazione continua. 10 100 L’idea di Cantor consiste nell’identificare un numero reale con la successione di somme parziali di elementi di Q a0 a0 a1 n, n + , n + + ,... 10 10 100 e sfrutterà il fatto che in R ogni successione di Cauchy ammette limite. Vediamo ora la trattazione rigorosa. 3.2.2 Successioni di Cauchy Definizione 16. Una successione a valori nell’insieme A è una funzione f : N → A. I valori f (0), f (1), f (2),... verranno indicati con a0 , a1 , a2 ,... e scriveremo (an ) invece di f . Definizione 17. Una successione (an ) è convergente nell’insieme A e converge ad un elemento λ se esiste un elemento λ ∈ A tale che per ogni ε positivo ∃ nε tale che ∀n > nε si ha: |λ − an | < ε . Diremo che il limite di (an ) è λ e scriveremo L(an ) = λ. 26 CAPITOLO 3. COSTRUZIONE DEI REALI DI CANTOR Definizione 18. Una successione (an ) a valori in A è di Cauchy se ∀ε > 0, ∃ nε tale che ∀m, n > nε si ha: |am − an | < ε . Proposizione 19. Sia K un campo ordinato. Ogni successione convergente di elementi in K è una successione di Cauchy. Dimostrazione. Sia (an ) successione convergente, sia λ il limite, allora per ogni ε piccolo a piacere e per ogni m, n > nε si ha ε |λ − an | < 2 e ε |λ − am | < 2 da cui ε ε |an − am | = |an − λ + λ − am | ≤ |an − λ| + |λ − am | < + = ε 2 2 cioè |an − am | < ε . Definizione 20. Un campo ordinato K è completo secondo Cauchy, o Cauchy-completo, se tutte le successioni di Cauchy a valori in K hanno limite in K. Le successioni di Cauchy sono quelle che “si addensano sempre di più”; se le rappresentassimo in una retta avremmo che preso un ε > 0 da un certo valore di nε in avanti, tutti 0 i punti an si trovano in un intervallo I di ampiezza ε. Preso un altro ε diverso dal primo 0 0 avrò un altro intervallo I di ampiezza ε in cui per opportuni n i punti della successione (an ) si “addenseranno sempre di più”. Intuitivamente si capisce che l’intersezione di tutti gli intervalli I dovrebbe essere un solo punto appartenente al sistema che si sta considerando e questo punto sarà il limite della successione, a cui dovrebbe corrispondere una coordinata nel sistema numerico che si sta considerando. Ma se consideriamo successioni di Cauchy sui razionali, allora questo numero non sempre esiste in Q, mentre nei reali esiste. Cioè Q non è Cauchy-completo, P 1 per esempio la successione delle somme ∞ / Q. n=0 n! , che ha valori in Q, converge ad e ∈ Quindi si introducono i Reali per superare questa limitatezza dei razionali. Chiamiamo C(Q) le successioni di Cauchy su Q e considero le seguenti operazioni su C(Q): • Somma: (an ) + (bn ) = (an + bn ) • Prodotto: (an ) · (bn ) = (an · bn ) 3.2. REALI COME CLASSI DI EQUIVALENZA DI SUCCESSIONI DI CAUCHY 27 Proposizione 21. Se (an ) e (bn ) sono successioni di Cauchy, allora anche (an + bn ) e (an · bn ) sono successioni di Cauchy. Dimostrazione. Per la somma: ∀ε > 0 e ∀m, n > nε , devo provare che |(an + bn ) − (am + bm )| < ε. Sappiamo che, per m ed n opportuni, |an − am | < ε 2 |bn − bm | < ε 2 quindi |(an + bn ) − (am + bm )| = |an − am + bn − bm | ≤ |an − am | + |bn − bm | ε ε < + = ε. 2 2 Per quanto riguarda il prodotto consideriamo un numero A ∈ Q tale che ∀n sia |an | < A e |bn | < A e sia n∗ tale che ∀m, n > n∗ si ha |am − an | < ε 2A |bm − bn | < ε 2A per tali m, n abbiamo che |am bm − an bn | = |am bm − am bn + am bn − an bn | = |am (bm − bn ) + bn (am − an )| ≤ |an | |bm − bn | + |bn | |am − an | ε ε ε ε <A· +A· = + = ε. 2A 2A 2 2 Quindi (C(Q), +, ·, (0), (1)) è anello commutativo con unità, dove (0) è la successione costantemente uguale a 0, elemento neutro per la somma, e (1) è la successione costantemente uguale a 1, elemento neutro del prodotto. Su questo anello possiamo definire una relazione di equivalenza. 28 CAPITOLO 3. COSTRUZIONE DEI REALI DI CANTOR Definizione 22. La successione (an ) è una zero-successione, o infinitesima, se L(an ) = 0. L’insieme delle zero-successioni a valori in Q lo indicheremo con Z(Q). Definizione 23. Due successioni (an ) e (bn ) sono equivalenti se ∀ε > 0 ∃ n tale che ∀n > n si ha |an − bn | < ε. Scriveremo che (an ) ≡ (bn ) e indicheremo con [an ]≡ la classe di equivalenza di (an ). Vediamo che la relazione ≡ è davvero una relazione di equivalenza: • riflessiva: (an ) ≡ (an ), ovvio perché |an − an | < ε ∀n; • simmetrica: (an ) ≡ (bn ) ⇒ (bn ) ≡ (an ), ovvio perché |an − bn | = |bn − an |; • transitiva: se (an ) ≡ (bn ) e (bn ) ≡ (cn ) ⇒ (an ) ≡ (cn ). Devo mostrare che ∀ε > 0 ∃n tale che ∀n > n si ha |an − cn | < ε . Per ipotesi (an ) ≡ (bn ) quindi ∀ε > 0 ∃ n0 tale che ∀n > n0 si ha |an − bn | < 2ε e (bn ) ≡ (cn ) quindi ∀ε > 0 ∃n1 tale che ∀n > n1 si ha |bn − cn | < 2ε ; considero n = max {n0 , n1 }, allora ∀n > n si ha |an − cn | = |an − bn + bn − cn | ≤ |an − bn | + |bn − cn | < ε ε + = ε. 2 2 Definiamo ora le seguenti operazioni su (C(Q)/ ≡): • Somma: [an ]≡ + [bn ]≡ = [an + bn ]≡ . L’elemento neutro è la classe delle successioni equivalenti a (O) e −[an ]≡ = [−an ]≡ . • Prodotto: [an ]≡ · [bn ]≡ = [an · bn ]≡ . L’elemento neutro è la classe delle successioni 1 equivalenti a (1) e [an ]−1 ≡ = [ an ]≡ , se [an ]≡ 6= [0]≡ . Sono ben definite e lo proviamo per la somma: da (an ) ≡ (cn ) segue che ∀ 2ε > 0 ∃ n tale che ∀n > n si ha |an − cn | < 2ε ; da (bn ) ≡ (dn ) segue che ∀ 2ε > 0 ∃ m tale che ∀n > m si ha |bn − dn | < 2ε . Si ha [an ]≡ + [bn ]≡ = [an + bn ]≡ [cn ]≡ + [dn ]≡ = [cn + dn ]≡ Per mostrare che la somma è ben definita devo mostrare che è indipendente dai rappresentanti scelti cioè che [an + bn ]≡ = [cn + dn ]≡ cioè devo mostrare che (an + bn ) ≡ (cn + dn ) 3.2. REALI COME CLASSI DI EQUIVALENZA DI SUCCESSIONI DI CAUCHY 29 ossia che ∀ε > 0, ∃ n0 tale che ∀n > n0 si ha |(an + bn ) − (cn + dn )| < ε. Considero n0 = max {n, m}, allora ∀n > n0 |(an + bn ) − (cn + dn )| = |(an − cn ) + (bn − dn )| ε ε + = ε. 2 2 Con queste operazioni sulle classi di equivalenza possiamo dire che (C(Q)/ ≡) è un anello e lo possiamo indicare con (C(Q)/Z(Q)). ≤ |an − cn | + |bn − dn | < Definizione 24. Una successione di Cauchy (an ) è positiva, o (an ) 0, se ∃ q > 0 e un opportuno n∗ tali che an > q ∀n > n∗ . Sull’anello (C(Q)/Z(Q)) possiamo definire la seguente relazione d’ordine: [an ]≡ ≤ [bn ]≡ ⇐⇒ (bn − an ) 0 . La proprietà riflessiva e la proprietà transitiva sono ovvie. Dimostriamo l’antisimmetrica: basta far vedere che se [an ]≡ ≥ 0 e [an ]≡ ≤ 0, allora [an ]≡ = 0. Siano (an ) e (bn ) due rappresentanti di [an ]≡ con an ≥ 0 ∀ n > n̄ e bn ≤ 0 ¯ . Allora ∀ n > max{n̄, n̄ ¯ } si ha 0 ≤ an ≤ an − bn . Ma (an ) e (bn ) sono equivalenti ∀ n > n̄ quindi limn→∞ (an − bn ) = 0 e per il teorema del confronto segue che limn→∞ an = 0, cioè [an ]≡ = [0]≡ . Si verifica inoltre che si tratta di un ordine totale. Quindi con le operazioni di somma e prodotto e con la relazione d’ordine, (C(Q)/Z(Q)) è un campo ordinato e Cantor lo identifica con i Reali: (C(Q)/Z(Q)) = R quindi un numero reale è una classe di equivaleza di successioni di Cauchy in Q. Essendo Q archimedeo, segue facilmente che anche R è archimedeo. Verifichiamo ora che si tratta di un campo Cauchy-completo. Lemma 25. Ogni successione di Cauchy di razionali converge in R e il limite è la classe di equivalenza della successione stessa. Dimostrazione. Definiamo l’applicazione η : Q → R che ad ogni razionale q associa la classe di equivalenza di q, η(q) = [q]≡ . Dobbiamo dimostrare che data (an ) ∈ C(Q), (η(an )) converge in R e LR (η(an )) = [an ]≡ . Prendiamo ε > 0 ∈ R e δ > 0 ∈ Q tali che η(δ) < ε in R. 30 CAPITOLO 3. COSTRUZIONE DEI REALI DI CANTOR Poiché (an ) è di Cauchy su Q, ∃ nδ tale che ∀n, m > nδ si ha |am − an | < δ 2 δ −δ 2 δ δ − |am − an | > 2 quindi ∀m0 ≥ nδ la successione (bn ) = (δ − |am0 − an |) è positiva, allora −δ + |am − an | < [bn ]≡ = [δ − |am0 − an |]≡ > 0 Da [δ − |am0 − an |]≡ = [δ]≡ − [|am0 − an |]≡ = η(δ) − |[am0 ]≡ − [an ]≡ | = η(δ) − |η(am0 ) − [an ]≡ | segue η(δ) − |η(am0 ) − [an ]≡ | > 0 quindi |η(am0 ) − [an ]≡ | < η(δ) < ε e per la definizione del limite di una successione segue quello che volevamo dimostrare [an ]≡ = LR (η(an )) . Teorema 26. Ogni successione di Cauchy in R ha limite in R. Dimostrazione. L’idea è di usare il Lemma precedente e la densità di Q in R. Sia (ξn ) successione di Cauchy in R. Per ogni naturale n scegliamo un razionale an tale 1 che |ξn − η(an )| < η( n+1 ). Vediamo che (an ) è di Cauchy in Q. Dato ε > 0 ∈ Q, ∃n∗ tale che ∀m, n > n∗ , |ξm − ξn | < η( 3ε ), non è restrittivo supporre n∗1+1 < 3ε . Per m, n ≥ n∗ abbiamo dunque: |η(am ) − η(an )| = |η(am ) − ξm + ξm − ξn + ξn − η(an )| ≤ |η(am ) − ξm | + |ξm − ξn | + |ξn − η(an )| < η(ε) 3.2. REALI COME CLASSI DI EQUIVALENZA DI SUCCESSIONI DI CAUCHY 31 da cui segue |am − an | < ε. Quindi possiamo concludere che (an ) è di Cauchy su Q e per il Lemma precedente LR (η(an )) = [an ]≡ . Ma (ξn − η(an )) è una zero successione in R, quindi LR (ξn ) = [an ]≡ . Vedremo in seguito che un campo ordinato archimedeo e Cauchy completo è anche completo, quindi R cosı̀ definito è un campo ordinato completo. 32 CAPITOLO 3. COSTRUZIONE DEI REALI DI CANTOR Capitolo 4 Unicità del campo ordinato completo In quest’ultima parte vogliamo dimostrare che i campi ordinati completi sono unici a meno di isomorfismi; prima di arrivare a questo diamo alcune definizioni. Definizione 27. In un insieme ordinato (X, ≤) • un maggiorante per A ⊆ X è un elemento x tale che a ≤ x per ogni a ∈ A; • un minorante per A ⊆ X è un elemento x tale che x ≤ a per ogni a ∈ A; • l’estremo superiore di A ⊆ X è il minimo dei maggioranti e si indica con SupX (A); • l’estremo inferiore di A ⊆ X è il massimo dei minoranti e si indica con InfX (A). Definizione 28. Il campo ordinato K è completo se per ogni sottoinsieme non vuoto X di K, se X ha un maggiorante, allora X ha estremo superiore (o, equivalentemente, per ogni sottoinsieme non vuoto X di K, se X ha un minorante, allora X ha estremo inferiore). Teorema 29. In ogni campo ordinato K sono equivalenti le seguenti asserzioni: a) K è Dedekind-continuo; b) K è completo. Dimostrazione. Vediamo che le due asserzioni sono equivalenti: (a) ⇒ (b). Sia X ⊆ K, X non vuoto, e supponiamo che l’insieme Y dei maggioranti di X non sia vuoto. Quindi x ≤ y per ogni x ∈ X e y ∈ Y . K è Dedekind-continuo e quindi esiste uno z ∈ K tale che x ≤ z ≤ y. Osserviamo che z ∈ Y perché x ≤ z, ma z ≤ y quindi z è il minimo dei maggioranti, cioè è l’estremo superiore. (b) ⇒ (a). Supponiamo che X, Y siano sottoinsiemi di K non vuoti tali che x ≤ y per ogni x ∈ X e y ∈ Y . Ogni elemento di Y è un maggiorante di X, quindi per (b) possiamo considerare l’estremo superiore di X: z ∈ Y , cioè x ≤ z per ogni x ∈ X. Però poiché z è il minimo dei maggioranti si ha anche che z ≤ y per ogni y ∈ Y . Quindi x ≤ z ≤ y. 33 34 CAPITOLO 4. UNICITÀ DEL CAMPO ORDINATO COMPLETO Sia K un campo e X ⊆ K non vuoto, vediamo le proprietà caratteristiche di SupK (X) e InfK (X): • β ∈ K è SupK (X) se e solo se i) ∀x ∈ X x ≤ β, (β è maggiorante) 0 0 0 ii) ∀β ∈ K con β < β, ∃x ∈ X : β < x, (β è il migliore) • α ∈ K è InfK (X) se e solo se i) ∀x ∈ X α ≤ x, (α è minorante) 0 0 0 ii) ∀α ∈ K con α < α , ∃x ∈ X : x < α , (α è il migliore) Proposizione 30. Ogni campo ordinato completo è archimedeo. Dimostrazione. Sia K un campo ordinato completo. Supponiamo per assurdo che non sia archimedeo, cioè che esistano due elementi a, b, con a > 0, tali che na ≤ b per ogni naturale n. Quindi l’insieme Na = {na|n ∈ N} è superiormente limitato perché b è un suo maggiorante, quindi l’insieme Na avrà un estremo superiore che indichiamo con a∗ . Essendo a > 0 allora a∗ − a < a∗ e per la proprietà del Sup esiste un na tale che a∗ − a < na a∗ < na + a a∗ < a(n + 1) ∈ Na quindi a∗ non è un maggiorante, che è assurdo dato che lo avevamo definito tale. L’assurdo nasce dall’aver supposto na ≤ b, quindi segue che na > b, cioè K archimedeo. Questa proposizione dà una condizione necessaria, cioè se un campo ordinato non è archimedeo allora non è completo. Per mostrare che un campo ordinato è completo se e solo se è archimedeo e Cauchycompleto, dobbiamo introdurre una nuova definizione. Definizione 31. Un campo ordinato K è Cantor-completo se ogni successione di intervalli chiusi In = [an , bn ] tali che I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ . . . e limn→∞ (bn − an ) = 0 ha come intersezione un unico punto. 35 Teorema 32. Per ogni campo ordinato K sono equivalenti le seguenti asserzioni: a) K è completo; b) K è archimedeo e Cantor-completo; c) K è archimedeo e Cauchy-completo. Dimostrazione. Vediamo che le asserzioni precedenti sono equivalenti: (a) ⇒ (b). Sia K completo e sia In = [an , bn ] una famiglia di intervalli chiusi inscatolati t.c. limn→∞ (bn − an ) = 0. Gli estremi degli intervalli formano due successioni an e bn rispettivamente crescente e decrescente. L’insieme {an : n ∈ N} è superiormente limitato, quindi per ipotesi ammette un Sup che chiamiamo a. Vediamo che a è l’elemento cercato, T ossia n In ≡ a. Osserviamo che ∀ j, aj ≤ bj e bj ≤ bi se i < j e pertanto aj ≤ bi ∀ i, j ∈ N; T in particolare si ha che aj ≤ a ≤ bi e quindi a ∈ n In . Supponiamo che esista c ∈ K, c 6= a T e c ∈ n In . Allora aj ≤ c ≤ bi e |c − a| > 0. Per ipotesi K è archimedeo quindi ∃n ∈ N t.c. 0 < n1 < |c − a|; inoltre per ipotesi ∀n ∈ N ∃ i t.c. bi − ai < n1 quindi bi − ai < n1 < |c − a|. Questo ci dice che esiste almeno un intervallo Ii con ampiezza minore di [a, c] e pertanto tale intervallo non può contenere contemporaneamente a e c. Quindi c ≡ a. (b) ⇒ (c). Sia (an ) una successione di Cauchy, t.c. ∀ i ∈ N ∃ ni : ∀ m, n > ni risulta |am − an | < 1i . Considero la successione di intervalli chiusi inscatolati I1 = [a1 − 1, a1 + 1], I2 = [an1 − 21 , an1 + 21 ], . . . In = [ann−1 − n1 , ann−1 + n1 ]. Ora limn→∞ (ann−1 + n1 −(ann−1 − n1 )) = limn→∞ n2 = 0 perché K è archimedeo ed essendo K Cantor-completo esiste un unico T K 3 a = i Ii . Per ogni i, tutti i termini di (an ) che hanno indice maggiore di ni appartengono a [ai − 1i , ai + 1i ]. Poiché K è archimedeo (e quindi denso)1 , dato 2ε > 0 esiste i t.c. 1i < 2ε ; allora preso nε = ni per ogni m > ni risulta |am − a| < 2i < ε. Pertanto limn→∞ an = a ossia K è Cauchy-completo. (c) ⇒ (a). Sia X ⊂ K limitato, mostriamo che ammette Sup. X ha almeno un maggiorante a; se a − 1 non è maggiorante di X 2 allora costruisco la seguente successione, ponendo a − 1 = a0 : ( an−1 + 21n se an−1 + 21n ∈ X an = an−1 se an−1 + 21n ∈ /X Ho potuto costruire tale successione, che è di Cauchy, perché K è archimedeo; osserviamo che an ∈ X ∀ n ∈ N. Sia c il suo limite, si ha |an − c| < 21n . Allora c è un maggiorante di X, infatti se esistesse x ∈ X t.c. x > c allora x − c > 21n per qualche n, in contraddizione con la definizione di (an ). Inoltre c è proprio il minimo dei maggioranti, poiché se c̄ fosse 1 2 vale infatti che ogni campo archimedeo è denso in se stesso. Non ne daremo qui una dimostrazione. se invece lo è, considero a − 2, etc. . . 36 CAPITOLO 4. UNICITÀ DEL CAMPO ORDINATO COMPLETO un maggiorante t.c. c̄ < c, allora c̄ > ai ∀ i ∈ N, ma questo è assurdo. Perciò c = Sup X e quindi K è completo. b Teorema 33. Ogni campo ordinato archimedeo K è completabile, cioè esiste un campo K completo che contiene K. Un esempio di costruzione del completamento di un campo ordinato archimedeo sono b = R. i metodi di Dedekind e Cantor per costruire Q b sarà l’insieme di tutte le semirette sinistre aperte di K. Dimostrazione. K Mostriamo che in tale insieme si possono definire delle operazioni e un ordine che lo rendono un campo completo. Notiamo che ogni elemento a di K determina una semiretta aperta Sa = {x ∈ K : x < a}. Vedremo poi che la funzione b ψ:K→K ψ(a) = Sa b è l’immersione di K in K. Cominciamo col dare un ordine: poniamo S ≤ T ⇐⇒ S ⊂ T b ∀S, T ∈ K. b Vediamo che l’ordine definito è tale che ogni sottoinsieme X superiormente limitato di K b è completo. Sia X = (S ) ha un estremo superiore, cioè che K i i∈I un insieme di semirette b con S ⊆ T ∀i ∈ I. Segue superiormente limitato, cioè tale che esiste una semiretta T ∈ K i S S che i Si ⊆ T . Poiché questo vale per ogni semiretta maggiorante, i Si sarà l’estremo superiore. Vediamo che è una semiretta (definizione 14): S S S i) i Si 6= ∅ poiché Si 6= ∅ ∀i ∈ I e i Si 6= K poiché i Si ⊆ T per qualche T ; S S ii) se x ∈ i Si allora x ∈ Si ∃i ∈ I e se y < x allora y ∈ Si e quindi y ∈ i Si . S S Inoltre i Si è aperta, cioè non ha massimo; infatti se x ∈ i Si allora x ∈ Si ∃i ∈ I e S siccome Si è aperta per ipotesi ∃y ∈ Si t.c. x < y quindi y ∈ i Si e x non può essere il massimo. b campo. Introduciamo ora le operazioni che rendono K b S + T = {x + y : x ∈ S, y ∈ T }. • Somma: per ogni S, T ∈ K, È immediato verificare che tale somma gode delle proprietà commutativa e associativa, valendo esse in K. L’elemento neutro si dimostra essere 0̄ = {x : x < 0} e si definisce l’opposto (−S) = {x : x < −y per qualche y non appartenente a S}3 . 3 Si dimostra facilmente che −S è effettivamente una semiretta e che S + (−S) = 0̄. 37 b S, T ≥ 0̄, poniamo • Prodotto: per ogni S, T ∈ K, S · T = {x · y : x ∈ S, y ∈ T, x, y > 0} ∪ 0̄ ∪ {0}. In generale S·T = come sopra −(S · (−T )) −((−S) · T )) −((−S) · (−T )) se se se se S, T ≥ 0̄ S ≥ 0̄, T ≤ 0̄ S ≤ 0̄, T ≥ 0̄ S ≤ 0̄, T ≤ 0̄ In ogni caso S · T è una semiretta aperta. Il prodotto cosı̀ definito gode delle proprietà associativa e commutativa, poiché ne gode il prodotto su K. Definiamo l’elemento neutro 1̄ = {x : x < 1} e l’inverso S −1 = {x : x < y −1 per qualche y non appartenente a S}4 . Si può provare che tali operazioni rispettano la proprietà distributiva e che conservano b l’ordine. Con ciò abbiamo costruito un campo ordinato completo K. b Resta da vedere che K si immerge in K. Vediamo che la funzione ψ definita sopra è un omomorfismo iniettivo che conserva l’ordine. • omomorfismo: Per essere un omomorfismo deve conservare le operazioni, cioè - ψ(a + b) = ψ(a) + ψ(b) - ψ(ab) = ψ(a)ψ(b) - ψ(a) = ψ(−a). Dimostriamo la prima, ovvero che Sa + Sb = Sa+b , esaminando le due inclusioni: – ⊆: se si prendono due elementi rispettivamente di Sa e Sb , la loro somma è minore di a + b perciò sta in Sa+b ; – ⊇: sia c ∈ Sa+b , allora c < a + b e c − b < a e, per la densità di K, esiste x ∈ K t.c. c − b < x < a. Da c − b < x segue che c − x < b e quindi c − x ∈ Sb e da x < a segue x ∈ Sa . Quindi c = (c − x) + x e pertanto c ∈ Sa + Sb . Analogamente si dimostrano le altre relazioni. • iniettiva: Se a 6= b allora, poiché l’ordine su K è totale, vale a < b o b < a. Se a < b allora b ∈ / Sa , ∈ / Sb e a ∈ Sb , ∈ / Sa perciò Sa 6= Sb . Analogo se b < a. Dunque ψ(a) 6= ψ(b). • conserva l’ordine: Se a < b allora a e tutti gli elementi minori di a stanno in Sb , cioè Sa ⊂ Sb che significa Sa < Sb e ψ(a) < ψ(b). 4 Si dimostra facilmente che S −1 è effettivamente una semiretta e che S · S −1 = 1̄. 38 CAPITOLO 4. UNICITÀ DEL CAMPO ORDINATO COMPLETO Ora vediamo l’unicità del campo ordinato completo: Teorema 34. Tutti i campi ordinati completi sono isomorfi, quindi son isomorfi al completamento di Q. Dimostrazione. Sia K campo ordinato completo, esiste un omomorfismo iniettivo (immersione): i:Q→K tale che per ogni m n ∈ Q si ha i m n = m1K . n1K b = R, cioè Q ,→ Q. b D’altra parte Q è contenuto nel suo completamento Q Vogliamo dimostrare che esiste un isomorfismo b → K. ϕ:Q b S una semiretta aperta di Q e Sia S ∈ Q, i(S) = {i(q) : q ∈ S} . b definiamo: Per ogni S ∈ Q b →K ϕ:Q cosı̀: ϕ(S) = Sup i(S) e vediamo che ϕ è un isomorfismo, cioè che conserva le operazioni e l’ordine e che è iniettiva e suriettiva. a) ϕ conserva le operazioni: dobbiamo provare che ϕ(S + T ) = ϕ(S) + ϕ(T ) cioè Sup i(S + T ) = Sup i(S) + Sup i(T ). Vediamo che Sup i(S + T ) ≤ Sup i(S) + Sup i(T ). Sia x ∈ i(S + T ), allora ∃s ∈ S, t ∈ T tali che x = i(s + t) e dato che i è omomorfismo si ha i(s + t) = i(s) + i(t) inoltre i(s) ≤ Sup i(S) 39 i(t) ≤ Sup i(T ) quindi i(s + t) ≤ Sup i(S) + Sup i(T ) e per l’arbitrarietà di x Sup i(S + T ) ≤ Sup i(S) + Sup i(T ). Ora proviamo che Sup i(S) + Sup i(T ) ≤ Sup i(S + T ). Sia x ∈ (i(S) + i(T )), allora ∃s ∈ S, t ∈ T tali che x = i(s) + i(t), dato che i è omomorfismo si ha i(s) + i(t) = i(s + t) inoltre ∀s ∈ S e ∀t ∈ T i(s + t) ≤ Sup i(S + T ) cioè i(s) + i(t) = i(s + t) ≤ Sup i(S + T ) i(t) ≤ Sup i(S + T ) − i(s) e dato che Sup i(T ) è il più piccolo dei maggioranti di i(t) otteniamo: Sup i(T ) ≤ Sup i(S + T ) − i(s) i(s) + Sup i(T ) ≤ Sup i(S + T ). Facendo variare s ∈ S abbiamo Sup i(S) + Sup i(T ) ≤ Sup i(S + T ). Analogamente per il prodotto. b) ϕ conserva l’ordine: se S ⊆ T allora i(S) ⊆ i(T ) quindi Sup i(S) ≤ Sup i(T ). c) ϕ è iniettiva: dobbiamo provare che da Sup i(S) = Sup i(T ) segue i(S) = i(T ). È vero perché se gli estremi superiori di due semirette sono uguali lo sono anche le semirette. d) ϕ è suriettiva: preso un x ∈ K dobbiamo dimostrare che x è l’estremo superiore 40 CAPITOLO 4. UNICITÀ DEL CAMPO ORDINATO COMPLETO dell’immagine di una semiretta S secondo i; cioè che x = Sup i(S). Prendo S = {q : q ∈ Q, i(q) < x} ovviamente Sup i(S) ≤ x. Non può essere Sup i(S) < x perché Q è denso in K e quindi ci sarebbe un elemento tra Sup i(S) e x che è in contraddizione con la definizione di estremo superiore, quindi Sup i(s) = x. Conclusioni Quest’ultimo teorema ci garantisce che possiamo parlare de il campo ordinato completo, per questo motivo i numeri Reali vengono spesso presentati in modo assiomatico (vedi G. De Marco, Analisi Uno) e le loro proprietà sono quelle deducibili da questi assiomi. Possiamo quindi vedere i Reali come classi di equivalenza di successioni di Cauchy sui Razionali o come sezioni di Dedekind, quello che ci assicura questo teorema è che le proprietà della somma, del prodotto o della relazione d’ordine rimangono sempre le stesse. Dobbiamo però osservare che questo teorema afferma l’unicità, a meno di isomorfismi, del campo ordinato completo, ma non dice nulla riguardo all’esistenza e il senso delle costruzioni veste è appunto mostrare che esiste almeno un campo ordinato completo. La costruzione della struttura dei numeri reali sulla base dei numeri razionali costituisce la conclusione del processo dell’aritmetizzazione dell’analisi il quale mirava alla definizione della struttura dei numeri reali attraverso operazioni insiemistiche sulla struttura dei numeri naturali. 41 42 CAPITOLO 4. UNICITÀ DEL CAMPO ORDINATO COMPLETO Bibliografia [1] Boyer C. B. ’Storia della matematica’, Oscar studio mondadori. [2] Dirk J. Struik ’Matematica: unn profili storico’, Universale Paperbacks il Mulino. [3] Morris Kline ’Mathematical thought from Ancient to Modern Times (volume3), Oxford University Press. [4] Federigo Enriques ’Questioni riguardanti le matematiche elementari - Parte prima’, Zanichelli, 1982. [5] J. W. Dedekind ’Scritti sui fondamenti della matematica’ Bibliopolis, 1982. [6] Alberto Zanardo ’Costruzione della struttura dei numeri Reali’, 2010. [7] Informazioni ricavate in rete. 43