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1.5 Definizione dei numeri reali
Mappa dell'Unità
Una conseguenza dell’esistenza di numeri non razionali è che l’insieme dei numeri razionali non è continuo. In maniera
informale si può dire che se si rappresentano tutti i numeri razionali sulla retta orientata allora ci saranno dei buchi nella
retta. Si consideri infatti la figura seguente.
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Il segmento AB è per costruzione lungo esattamente quanto il segmento AC, quindi il segmento AC misura `sqrt(2)`. Il
punto C appartiene alla retta passante per A e C ma, per quanto detto precedentemente, non può essere rappresentato
da un numero razionale. Esistono dunque dei punti sulla retta che non sono numeri razionali, e quindi rappresentando
tutti i numeri razionali sulla retta rimarranno dei buchi.
Per definire formalmente i numeri mancanti si deve aspettare Dedekind (1831-1916), matematico tedesco, che per
definire i numeri reali utilizza il concetto di sezione.
Definizione 1.5.1
Si supponga di dividere l’insieme dei numeri razionali in due parti A e B, in maniera tale che ogni elemento
appartenente ad A sia strettamente minore di ogni elemento di B. Una sezione di Dedekind è una coppia (A,B) con la
suddetta proprietà e ogni sezione rappresenta un numero. I numeri definiti dalle sezioni di Dedekind sono chiamati
numeri reali. Tale insieme è indicato con la lettera `RR` .
Basandosi sulla definizione precedente ci sono tre possibilità:
1) L’insieme A contiene un elemento `a`* `in A` tale che `a`* ` <=a` `AA a in A`. In questo caso le sezioni A e B
definiscono l’elemento `a`* ` in QQ`.
Per esempio `A={a in QQ, a <= 2}` e `B={b in QQ,b>2}` sono una sezione che definisce il numero 2 `in QQ`.
2) L’insieme B contiene un elemento `b`* ` in B` tale che `b`* `<=b` `AA b in B`. In questo caso le sezioni A e B
definiscono l’elemento `b`* `in QQ`. Per esempio `A={a in QQ, a lt 2}` e `B={b in QQ, b>=2}` sono una sezione che
definisce il numero `2 in QQ`.
3) A non contiene un elemento maggiore di tutti gli altri e B non contiene un elemento minore di tutti gli altri. In tal caso
la sezione definisce un numero non razionale. Per esempio la sezione `A={a in QQ, a^2 lt 2}` e `B={b in QQ, b^2 lt 2}`
definisce il numero irrazionale `sqrt(2)`.
I numeri definiti dalle sezioni di Dedekind sono chiamati numeri reali e sono indicati con la lettera `RR`.
È possibile classificare ulteriormente i numeri reali in algebrici e trascendenti.
Definizione 1.5.2
I numeri reali sono detti numeri algebrici se sono soluzioni di una equazione polinomiale a coefficienti interi. I numeri
reali che non sono soluzioni di equazioni polinomiali a coefficienti interi sono invece detti trascendenti.
I numeri razionali sono tutti algebrici, in quanto `a/b` è sempre soluzione dell’equazione polinomiale a coefficienti interi
`bx-a=0`. Esistono poi numeri algebrici non razionali, tra cui per esempio `sqrt(2)` , che è soluzione dell’equazione
polinomiale a coefficienti interi `x^2-2=0`.
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Sono numeri trascendenti `pi` e il numero di Nepero `e=2,71828…` e moltissimi altri. Quanti? Per rispondere serve
definire la cardinalità di un insieme infinito e ciò verrà trattato più avanti.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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