Il Principio di Induzione - Università degli Studi della Basilicata

Il Principio di Induzione
Angelica Malaspina
Di.M.I.E., Università degli Studi della Basilicata, Italy
Denotiamo con
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
l’insieme dei numeri naturali. Indichiamo con Pn una proprietà dei numeri
naturali, cioè una proposizione dipendente da un parametro n che a seconda
del suo valore può essere vera o falsa.
Esempi: Pn : ”(n + 1)2 = n2 + 2n + 1” è vera per ogni n ∈ N.
La proprietà: Pn : ” n3 è un numero pari ” è vera ad esempio per n = 6, è falsa
ad esempio per n = 1.
Talvolta per dimostrare una proprietà dei numeri naturali Pn si adopera
il cosiddetto:
Principio di Induzione. Se una proprietà Pn dipendente da un numero
naturale n è vera per n = 0, cioè
(i) P0 è vera
e se, supposta vera per un certo n ≥ 0, n ∈ N, risulta vera anche per il
successivo n + 1, ovvero
(ii) ∀ n ∈ N, n ≥ 0, se Pn vera ⇒ Pn+1 vera
allora Pn è vera per ogni naturale n, per ogni n ≥ n0 .
Il punto (i) si denomina passo base, (ii) si denomina passo induttivo.
Idea del funzionamento. Per il passo base P0 è vera. Applichiamo
(ii) con k = 0, cioè ”poichè P0 è vera ⇒ P1 è vera”. Applichiamo (ii) con
k = 1, cioè ”poichè P1 è vera ⇒ P2 è vera”. Applichiamo (ii) con k = 2, cioè
”poichè P2 è vera ⇒ P3 è vera”. E cosı̀ via.
Metafora del domino. Il funzionamento del Principio di Induzione si
può comprendere comparandolo ad un effetto domino.
1
Affinchè le tessere di un domino disposte in fila cadano tutte è sufficiente
che siano verificate due condizioni: (i) che cada la prima tessera (il che
equivale al passo base); (ii) che ogni tessera sia posizionata in modo che
cadendo provochi la caduta della tessera successiva (il che equivale al passo
induttivo).
Variante. Il procedimento induttivo parte da un numero diverso da zero:
(i) se Pn0 è vera con n0 ∈ N, n0 ≥ 1 (n0 6= 0);
(ii) ∀ n ∈ N, n ≥ 1, se Pn è vera ⇒ Pn+1 è vera
allora Pn è vera per ogni naturale n ≥ n0 .
Osservazione. Il Principio di Induzione permette di dimostrare rigorosamente una formula ottenuta in un altro modo, non fornisce nessuno
strumento per trovarla.
n
X
n(n + 1)
(somma di Gauss 1 ).
Esempio. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n =
i=
2
i=1
1(1 + 1)
2
Passo base: per n = 1 si ottiene a sinistra 1 e a destra
= = 1,
2
2
quindi P1 è verificata.
Passo induttivo: si suppone vera
Pn :
1 + 2 + ... + n =
n(n + 1)
,
2
n ≥ 1.
Occorre verificare la veridicità della formula per n + 1, cioè
Pn+1 :
1 + 2 + . . . + n + (n + 1) =
1
(n + 1)(n + 2)
.
2
La formula si fa risalire al matematico, fisico e astronomo C. F. Gauss (1777-1855)
quando egli era ancora fanciullo. Si dice che il piccolo Gauss trovò la formula quando il
maestro per punizione gli ingiunse di calcolare la somma di tutti i numeri naturali da 1 a
100.
2
Si ha infatti
1 + 2 + 3 + . . . + n + (n + 1)
= (1 + 2 + 3 + . . . + n) + (n + 1)
n(n + 1)
+ (n + 1) (ipotesi induttiva)
=
2
n(n + 1) + 2(n + 1)
=
2
n2 + n + 2n + 2
=
2
n2 + 3n + 2
=
(scomponendo il polinomio in fattori lineari)
2
(n + 1)(n + 2)
.
=
2
3
(1)