Numeri naturali - Dipartimento di Matematica

Università degli Studi di Padova
Facoltà di Agraria
Laurea in Riassetto del territorio e tutela del paesaggio
Corso di Matematica
Padova 16/10/09
1) Un insieme A si può chiamare insieme di numeri se su di esso sono definite certe
operazione che godono di opportune proprietà:
1 Operazione somma: Per ogni coppia di elementi m, n ∈ A esiste un elemento che
chiamiamo somma di m, n. Tale elemento è indicato con il simbolo m + n.
2 Operazione prodotto. Per ogni coppia di m, n ∈ A esiste un elemento che chiamiamo
prodotto di m, n. Tale elemento è indicato con il simbolo m · n (oppure mn. )
Devono valere le seguenti proprietà.
a) associativa:
i. (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈A
ii. (a · b) · c = a · (b · c) ∀ a, b, c ∈A
b) Commutativa:
i. a + b = b + a ∀ a, b ∈A
ii. a · b = b · a ∀ a, b ∈A
c) Esiste un elemento neutro 0 rispetto a + ( esiste un elemento unità 1 rispetto al ·
) tali che per ogni a ∈ A siano valide
a + 0 = a;
a · 1 = a.
d) Proprietà distributiva di + rispetto al ·
a · (b + c) = a · b + a · c ∀ a, b, c ∈ A .
Numeri naturali
I numeri che servono per contare la popolazione di una città, le piante in un bosco le
pagine di un libro ecc. si dicono numeri naturali
Proposizione 0.1 N è un insieme di numeri
In N esiste una “relazione”di ordine indicata con il simbolo < (≤, >, ≥) cioè i numeri
naturali si possono ordinare. Diamo la seguente definizione:
Definizione 0.1
1
a < b ⇐⇒ esiste m ∈ N − {0} tale che a + m = b
I numeri naturali godono della seguente proprietà

 a < b;
a = b; Questa è la proprietà di tricotomia
sia a, b ∈ N allora

b<a
Equazioni in N
m + x = n,
m, n ∈ N
Abbiamo i casi particolare:
a) 2 + x = 3 =⇒ x = 1;
b) 5 + x = 10 =⇒ x = 5;
c) 5 + x = 2 =⇒ x =?
Quest’ultima equazione non ha soluzione in N. Poi ci sono situazioni nella quale i numeri
naturale non sono sufficienti per esprimere tale situazione: le temperature che possino
essere al disotto di un stato terminco di referimento; i bilanci delle aziende, che possono
prevedere attivi e passivi; le altitudini, che possono essere al di sopra o al disotto del
livello del mare, ecc. Dunque per poter risolvere queste tipi di equazioni e di esprimere
quelle situazioni, bisogna ingrandire il nostro insieme.
Numeri interi
Z = {... − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3...}
Osservazioni
a) N ⊂ Z;
b) In Z l’equazione 5 + x = 2 ha soluzione, cioè x = −3.
Proposizione 0.2 Z è un insieme di numeri con una relazione di ordine
I numeri interi( razionali e reali) hanno la seguenti proprietà chiamata regola dei segni
+·+ =+
+·−=−
−·+ =−
−·− =+
Equazioni in Z
2
Questa equazione m + x = n m, n ∈ Z ha sempre soluzione, cioè x = n − m, ma
l’quazione mx = n non ha sempre soluzione. esempi
a) 2x = 4 =⇒ x = 2;
b) 3x = −12 =⇒ x = −4;
c) 2x = 3 =⇒ x =?
Quest’ultima equazione non ha soluzione in Z. Dunque per poter risolvere queste tipi
di equazioni bisogna ingrandire il nostro insieme.
Numeri Razionali
Definizione 0.2 Se a ∈ Z, b ∈ Z − {0} il quoziente di a con b si definisce come
quel numero(simbolo) q tale che a = q · b in tale caso si scrive q = a
b
a
Q = { | a ∈ Z, b ∈ Z − {0}}
b
Osservazioni
a) N ⊂ Z ⊂ Q;
b) In Q l’equazione bx = a, b 6= 0 ha la soluzione, x = a .
b
Siano q1 = 32 , q2 = 46 , q3 = −2
−3 . Come sappiamo tutti questi numeri razionali sono
uguali cioè il modo di scrivere un numero razionale come il quoziente di due numeri
interi non è dunque unico.
Definizione 0.3 Siano q1 = a ,
b
q2 ⇐⇒ ad = bc
q2 = c , due numeri razionali. Si dice che q1 =
d
Proposizione 0.3 Q è un insieme di numeri.
In questo caso daremo sola le definizioni delle operazioni somma e prodotto.
+ : q1 + q2 = a + c = ad + bc ;
b d
bd
a
ċ
ac
· : q1 · q2 =
= .
bd
bd
esempi
4 = 3 · 20 + 5 · 4 = 80 = 4 come sappiamo possiamo simplificare questi
a) 35 + 20
5 · 20
100
5
4 = 3 + 1 = 4.
conti, nella forma seguente 35 + 20
5 5
5
12 = 3 analogamente 3 · 4 = 3 · 1 = 3
b) 53 · 45 = 100
5
5 20
5 5
25
Osservazioni
3
a) ∀q ∈ Q diverso da 0 esiste in suo reciproco di q, cioè un numero razionale che
moltiplicato per q da per risultato 1.
Sia q = a
con a 6= 0 6= b il reciproco di q è ab , che noi denotiamo con il simbolo
b
q −1 = ab allora q · q −1 = a · ab = 1
b
q1
b) q2 = q1 · q2−1 = a · dc = ad , con q1 = a , q2 = c
b
bc
b
d
c)
ATTENZIONE
1
,
0
−3
,
0
0
sono prive di senso
0
q
d) q2 x = q1 , con q2 6= 0, ha sempre soluzione in Q, cioè x = q1 = q1 q2−1
2
Equazioni in Q
L’equazione x2 = b non ha sempre soluzione. Esempii:
a) x2 = 1 =⇒ x = ±1
b) x2 = 4 =⇒ x = ±2
Proposizione 0.4 x2 = 2 non ha soluzione in Q
Prova Non prendere in considerazione Supponiamo che esista una soluzione
razionale, cioè esiste q = a , b 6= 0 tale che q 2 = ( a )2 = 2 ( a, b non hanno fattori
b
b
2
2( primo )
a
=⇒
2 | a =⇒ a = 2r
in comuni) allora 2 = 2 =⇒ a2 = 2b2 =⇒ 2 | a2
b
2
2
2
2
2
2
2
2
a = (2r) = 4r =⇒ 4r = 2b =⇒ 2r = b =⇒ 2 | b =⇒ 2 | b, cioè allora a, b hanno
▽
2 come un fattore comune. •(contraddizione).
Rappresentazione decimale
I sistimi di numerazione furono inventati dall’uomo, infatti ciascuna cultura aveva il suo
diverso sistema. Senz’altro hai visto il sistema numerico usato dai Maya, dai Romani,
ecc. in tutti l’ordine dei simboli non ha importanza perché non viene considerato il
valore della posizione dei simboli.
Il nostro sistema numerico, che è detto hindo-arabico o anche decimale, era già noto nel
IX secolo e verso il XIII secolo era già diffuso in tutta Europa. Ciò che lo rende agevole
è il fatto che, oltre ad essere in base dieci, tiene anche conto della posizione della cifre,
cioè posizionale in base dieci. per esempio 5213 è diverso da 1325 anche se le cifre sono
le stesse. 5123 = 5 × 103 + 1 × 102 + 2 × 101 + 3 × 100 , cioè il 5 occupa la posizione
terza, il 1 occupa la posizione 2,il 2 occupa la prima posizione e il 3 la posizione zero.
Come sapiamo anche i numeri razionali non interi hanno una rappresentazione decimale.
4
0
−1
−2
−3
Esempio 6581
200 = 32.905(32, 905) = 3 × 10 + 2 × 10 + 9 × 10 + 0 × 10 + 5 × 10
cioè 3 occupa la prima posizione, 2 la posizione zero, 9 occupa la -1 posizione, 0 occupa
la posizione -2, e 5occupa la posizione -3.
La rappresentazione decimale dei numeri razionali hanno il seguente comportamento
dopo il punto decimale:
a) sequenza finita 41 = 0.25 Il numero di cifre è finito;
b) sequenza ilimitata e periodica 17 = 0.142857142857.... = 0.142857 = 0.(142857)
c) sequenza ilimitata e periodica con periodo preceduto da alcune cifre (antiperiodo).
1
12 = 0.083333.. = 0.083̄ = 0.08(3).
Dato un numero decimale con le caratteristiche precedente, si può risalire alla frazione
generatrice.
Non prendere in considerazione:
frazione generatrice =
tutte le cifre − cifre a sinistra del periodo
999...000....
Nel cui denominatore ci sono tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante
sono le cifre dopo il punto decimale e prima del periodo.
I numeri reali R
L’insieme R dei numeri reali è costituito da tutte le rappresentazioni decimali ( finite,
periodiche e non peridodiche) positive e negative.
Proposizione 0.5 I numeri reali R sono un insieme di numeri
esempio 3 +
√
2 ∈ R,
√
2 2∈R
Proprietà dei numeri reali
a) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R;
b) I numeri reali sono ordinati: α < β(α ≤ β, ...);
c) α + 0 = α, ∀α ∈ R;
d) α · 1 = α × 1 = α, ∀α ∈ R;
e) ∀α ∈ R esiste il suo opposto (−α) tale che α + (−α) = α − α = 0;
1 = α−1 tale che α( 1 ) = 1;
f) ∀α 6= 0 esiste il reciproco α
α
2
g) α > 0.
Radicali
5
Definizione 0.4 Siano n ∈ N+ = {n ∈ N | n > 0},
r ∈ R+ = {r ∈ R | r > 0}. Si difinisce
√
radice n − esima di r e si indica con il simbolo n r, l’unico numero reale α non negativo
tale che αn = r.
esempi
√
a) 4 16 = 2, poiché 24 = 16;
√
b) 3 125 = 5, poiché 53 = 125;
√
c) 2 −64 non esiste;
√
√
d) 3 2 = α (numero reale) tale che α3 = ( 3 2)3 = 2
Osservazioni
1) Se r < 0 e n pari allora
√
n
r non si può definire.
√
√
√
2) Se r < 0 e n dispari allora n r è definita da n r = − n −r .
Esempi
p
√
√
a) 3 −8 = − 3 −(−8) = − 3 8 = −2
b) NON FARE:
√
3
?
−8 =
p
√
(−8)2 = 6 64 = 2
3×2
▽
-2=2 •
Valore assoluto
| α |=
α
−α
se α ≥ 0
se α < 0.
α − β se α − β > 0
Esempi | −4 |= 4, | 2 |= 2, | α − β |=
β − α se α − β < 0
√
2
Osservazioni α =| α |
q
p
√
√
√
2
Esempi:
(−4) =| −4 |= −(−4) = 4;
(1 − 3)2 =| 1 − 3 |= 3 − 1
Potenza a esponente intero
1) Siano α ∈ R; n ∈ N+ allora denotiamo αn = α
| · α{z· · · α};
n− volte
2) Siano α ∈ R − {0}, n < 0 allora denotiamo αn = α · α1· · · α = 1−n ;
| {z } α
−n− volte
1
esempi: 2−3 = 3
2
Potenza a esponente razionale
6
Siano α ∈ R+ ; q = m
n,
Esempi:
√
3
n ∈ N+ allora definiamo
√
m
αq = α n = n αm .
1
−8 6= (−8) 3
√ 1
x 2 = √2 x
sono vere
3
8
x 8 = x3
√ 1
x 3 = √3 x
in generale sono false
7
5
x 5 = x7
Potenza a esponente reale
1) αβ ha senso se α > 0;
2) 0β = 0 se β > 0;
3) 0β non si definisce se β ≤ 0;
4) 1β = 1 ∀β ∈ R
Proprietà del valore assoluto
1) | x | ≥ 0 e | x |⇔= 0;
2) | xy |=| x | | y |;
3) | x + y |≤| x | + | y |;
4) | x |≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k;
5) | x |≥ k ⇔ x ≤ −k, k ≤ x.
Proprietà della relazione d’ordine
a≤b
1) Proprietà transitiva:
b≤c
⇒a≤c
2) a ≤ b ⇒ a + r ≤ b + r, ∀r ∈ R
a≤b
3)
⇒ a + c ≤ b + d;
c≤d
ar ≤ br se r ≥ 0;
4) a ≤ b ⇒
;
ar ≥ br se r < 0.
7