Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale e integrale

a.a. 2012/13
Laurea triennale in Informatica
Corso di Analisi Matematica
Calcolo differenziale e integrale
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
Variazione e rapporto incrementale
In questo capitolo, salvo avviso contrario, A è un intervallo oppure
l’unione di intervalli disgiunti. Denotiamo con Å l’insieme dei punti
interni di A, cioè i punti diversi dagli estremi.
Sia f : A → R e sia x0 ∈ Å. Per ogni x ∈ A \ {x0 } consideriamo:
• f (x) − f (x0 ): variazione assoluta della grandezza espressa da f ;
•
f (x) − f (x0 )
: variazione media della grandezza espressa da f ;
x − x0
Interpretazione cinematica?
Definiamo la funzione rapporto incrementale di f in x0 :
x ∈ A \ {x0 } 7→
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
Ha senso considerarne il limite per x → x0 ?
Derivata e derivabilità in un punto
Sia f : A → R e sia x0 ∈ Å.
Se la funzione rapporto incrementale di f in x0 è regolare per x che
tende a x0 , il suo limite si chiama derivata di f in x0 e si denota con
f 0 (x0 ). In simboli:
f 0 (x0 ) := lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
Notazione alternativa:
df
(x0 ), Df (x0 )
dx
Se f 0 (x0 ) ∈ R, diciamo che f è derivabile in x0 .
Nota: la derivata corrisponde alla variazione istantanea della
grandezza espressa da f . Interpretazione cinematica?
Esempi
Stabilire se le seguenti funzioni sono derivabili nei punti indicati:

1

f (x) = x 2 , x0 = 1
x sin
per x 6= 0 , x = 0
h(x)
=
0
√
x
3

g (x) = x, x0 = 0
0
per x = 0
Se la funzione rapporto incrementale di f in x0 è regolare per x che
tende a x0 da sinistra, il suo limite si chiama derivata sinistra di f in
x0 e si denota con f−0 (x0 ). In simboli:
f−0 (x0 ) := lim
x→x0 −
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
Se f−0 (x0 ) ∈ R, diciamo che f è derivabile a sinistra in x0 .
Se la funzione rapporto incrementale di f in x0 è regolare per x che
tende a x0 da destra, il suo limite si chiama derivata destra di f in x0
e si denota con f+0 (x0 ). In simboli:
f (x) − f (x0 )
f+0 (x0 ) := lim +
.
x − x0
x→x0
Se f+0 (x0 ) ∈ R, diciamo che f è derivabile a destra in x0 .
Osservazione
Le derivate unilaterali in x0 possono essere definite anche se x0 è un
estremo del dominio di f .
Osservazione
Se x0 è interno al dominio di f :
• la derivata di f in x0 esiste se e solo se esistono le derivate sinistra
e destra in x0 e tali derivate coincidono; in tal caso:
f 0 (x0 ) = f−0 (x0 ) = f+0 (x0 );
• f è derivabile in x0 se e solo se è derivabile a sinistra e a destra
in x0 (e le derivate unilaterali sono uguali).
Esempi
Per f (x) =
p
(x − 1)3 , si ha f+0 (1) = 0. E f−0 (1)?
Per f (x) = |x|, si ha f−0 (0) = −1 e f+0 (0) = 1.
Una funzione si dice derivabile in un insieme se è (definita e) derivabile
in tutti gli elementi dell’insieme. In particolare, una funzione è
derivabile in un intervallo se è derivabile bilateralmente in tutti i punti
interni e unilateralmente negli estremi dell’intervallo, se inclusi.
Derivabilità e continuità
Proposizione
Se f è derivabile (a sinistra, a destra) in x0 , allora è continua
(a sinistra, a destra) in x0 .
Verifica . . .
Corollario
Se f non è continua in x0 , allora non è derivabile in x0 .
Esempi
Le funzioni parte intera e mantissa non sono derivabili in x ∈ Z.
Osservazione
La continuità in un punto è condizione necessaria ma non sufficiente
per la derivabilità.
Esempi?
Retta tangente e significato geometrico della derivata
Sia f : A → R, sia x0 ∈ A e supponiamo che f sia derivabile in x0 .
Chiamiamo retta tangente in x0 al grafico di f la retta di equazione
y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
Motivazione?
Esempio
Scrivere l’equazione della retta tangente in x0 = 1 al grafico di
f (x) = x 2 .
Questa definizione fornisce il significato geometrico della derivata:
se f è derivabile in x0 , f 0 (x0 ) è il coefficiente angolare della retta
tangente nel punto di coordinate (x0 , f (x0 )) al grafico di f .
Se f è derivabile a sinistra [a destra] in x0 , la derivata sinistra [destra]
in x0 è il coefficiente angolare della retta tangente nel punto di
coordinate (x0 , f (x0 )) alla porzione del grafico di f posta a sinistra
[destra] della retta di equazione x = x0 .
Come si interpreta geometricamente una derivata infinita?
Supponiamo f continua in x0 . L’interpretazione geometrica della
derivata (finita o infinita) giustifica la seguente terminologia.
Se x0 è un estremo di dom(f ), diciamo che x0 è un
• punto a tangente verticale se la derivata (sinistra o destra)
√
di f in x0 è infinita. Esempio: f (x) = x , x0 = 0
Se x0 è interno a dom(f ), diciamo che x0 è un
• flesso a tangente verticale se la derivata di f in x0 è infinita;
√
esempio: f (x) = 3 x , x0 = 0
• punto cuspidale se le derivate sinistra e destra di f in x0 sono
diverse tra loro epentrambe infinite;
esempio: f (x) =
|x| , x0 = 0
• punto angoloso se le derivate sinistra e destra di f in x0 sono
diverse tra loro e almeno una di esseè finita.
esempi: f (x) = |x| , x0 = 0 ;
f (x) =
−x
√
x
se x ≤ 0
, x0 = 0
se x > 0
Funzione derivata
Sia f : A → R. Sia A0 := {x ∈ A | f è derivabile in x }.
La funzione x ∈ A0 7→ f 0 (x) ∈ R si chiama funzione derivata (prima)
di f e si denota con f 0 .
Esempi (Catalogo-base)
• Ogni funzione costante f è derivabile in R con derivata f 0 (x) ≡ 0.
• La funzione identica f (x) = x è derivabile in R con derivata
f 0 (x) ≡ 1.
• La funzione valore assoluto f (x) = |x| è derivabile in R∗ con
derivata f 0 (x) = sign(x); ha in x = 0 un punto angoloso.
• La funzione seno f (x) = sin(x) è derivabile in R con derivata
f 0 (x) = cos(x).
• La funzione esponenziale f (x) = e x è derivabile in R con derivata
f 0 (x) = e x .
Come ottenere funzioni derivabili da funzioni derivabili
Derivabilità e operazioni algebriche
Se f e g sono derivabili in x e λ ∈ R, anche le funzioni f +g , f −g ,
f · g , λ f sono derivabili in x e si ha
(f +g )0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
regola della somma
(f −g )0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x)
regola della differenza
(f · g )0 (x) = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
regola del prodotto
(λ f )0 (x) = λ f 0 (x)
regola del multiplo
1
f
Se g (x) 6= 0, anche le funzioni
e
sono derivabili in x e si ha
g
g
1 0
g 0 (x)
(x) = −
regola del reciproco
g
g (x)2
f 0
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
(x) =
regola del rapporto
g
g (x)2
Verifica delle regole di somma, prodotto e reciproco . . .
Derivabilità e composizione funzionale
Siano f e g due funzioni tali che la funzione composta f ◦g sia
definita in un intorno di x .
Se g è derivabile in x e f è derivabile in g (x), allora la funzione
composta è derivabile in x e si ha
(f ◦g )0 (x) = f 0 (g (x)) · g 0 (x).
Motivazione . . . ; generalizzazione a più funzioni . . .
Derivabilità e inversione funzionale
Sia f la funzione inversa di una funzione g strettamente monotona
e continua in un intervallo.
Sia x ∈ dom(f ) tale che g sia derivabile in f (x) con g 0 (f (x)) 6= 0.
1
Allora: f è derivabile in x e si ha f 0 (x) = 0
.
g (f (x))
Interpretazione geometrica . . .
Catalogo-esteso
Le seguenti funzioni sono derivabili nei rispettivi domini:
FUNZIONE
MOTIVAZIONE
DERIVATA
xn
f (x) =
(n ∈ N∗ , n ≥ 2)
prodotto
di funzioni derivabili
f 0 (x) = n x n−1
1
x
reciproco
di funzione derivabile
f 0 (x) = −
f (x) =
1
x2
funzione polinomiale
combinazione lineare
di funzioni derivabili
... ... ...
funzione razionale
rapporto
di funzioni derivabili
... ... ...
cos(x)
composta
di funzioni derivabili
tan(x)
rapporto
di funzioni derivabili
ax
composta
di funzioni derivabili
− sin(x)
1
= 1 + tan(x)2
cos(x)2
ln(a) ax
(segue)
FUNZIONE
√
n
MOTIVAZIONE
x
inversa di funz. deriv.
ln(x)
inversa di funz. deriv.
loga (x)
multiplo di funz. deriv.
x α (α ∈ R) composta di funz. deriv.
arcsin(x)
inversa di funz. deriv.
arccos(x)
inversa di funz. deriv.
arctan(x)
inversa di funz. deriv.
∗
∗∗
DERIVATA
1
√
n
n x n−1
1
x
PUNTI “SINGOLARI”
x = 0∗
1
ln(a) x
α x α−1
1
1 − x2
1
−√
1 − x2
1
1 + x2
√
←− casi particolari . . .
x = ±1∗∗
x = ±1∗∗
punto o flesso a tangente verticale, a seconda che n sia pari o dispari
punti a tangente verticale
Esercizio
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni applicando le regole di
derivazione. Individuare e classificare i punti di non derivabilità.
f (x) = 3 x 4 −
5
+ e 1/x
x
f (x) = cos(x 4 − 3e x ) − sin(x)
f (x) =
p
5
f (x) =
p
4
arctan(ln(x))
3x 2 − 4x + 1
f (x) = x|x|
f (x) =
3x 2 − 2x + 1
x3 − x
f (x) = (x 2 + 2e 3x − tan(x))4
√
f (x) = (x − 1) 3 x 2 − 3x + 2
f (x) = |3x 2 − 4x + 1|5
f (x) =
p
|x|(x + 1)3
Esercizio
Sia f la funzione inversa della funzione g (x) = x 3 + 5x .
Calcolare f 0 (6).
Derivata seconda e derivate successive
Sia f una funzione derivabile in un insieme A; ciò significa che la
derivata f 0 è una funzione definita in A.
Se f 0 è derivabile in x ∈ A, si dice che f è derivabile due volte in x .
La derivata di f 0 in x si denota con f 00 (x) e si chiama derivata
seconda di f in x .
La funzione che a ogni x in cui f è derivabile due volte associa la
derivata seconda di f in x si chiama funzione derivata seconda di f
e si denota con f 00 .
Iterando il ragionamento, possiamo introdurre la nozione di funzione
derivabile in un punto tre volte, quattro volte, e cosı̀ via, e definire la
derivata terza, quarta, e cosı̀ via.
La derivata n -esima si denota con f (n) .
Esempi
La funzione f (x) = x 2 è derivabile due volte in R con f 00 (x) ≡ 2.
La funzione f (x) = x|x| è derivabile in R con f 0 (x) = 2|x|;
è derivabile due volte in R∗ ; non è derivabile in x0 = 0
(di più: non ha derivata seconda in x0 = 0).
Esercizio
Calcolare la derivata seconda delle funzioni del “catalogo”.
Alcune applicazioni del calcolo differenziale
• Studio della monotonia di una funzione
• Ricerca di estremi di una funzione
• Risoluzione di alcune forme di indecisione
• Risoluzione qualitativa di equazioni
• Approssimazione locale
• ... ... ...
Teorema del valor medio
Premessa: legame tra variazione media e variazione istantanea
Teorema del valor medio (o di Lagrange)
Sia A un intervallo.
Sia f : A → R, continua in A e derivabile in Å.
Allora: per ogni x1 , x2 ∈ A esiste x̄ compreso tra x1 e x2 tale che
f (x2 ) − f (x1 )
x2 − x1
coefficiente angolare della
retta secante
variazione media
Interpretazione cinematica?
=
f 0 (x̄).
coefficiente angolare della
retta tangente
variazione istantanea
Conseguenze del teorema del valor medio
1
Criterio di monotonia
stesse ipotesi
Sia A un intervallo e sia f : A → R.
del teorema
Supponiamo f continua in A e derivabile in Å. del valor medio
Se f 0 (x) ≥ 0 per ogni x ∈ Å, f è crescente in A.
Se f 0 (x) > 0 per ogni x ∈ Å, f è strettamente crescente in A.
Se f 0 (x) ≤ 0 per ogni x ∈ Å, f è decrescente in A.
Se f 0 (x) < 0 per ogni x ∈ Å, f è strettamente decrescente in A.
Dimostrazione . . .
Esercizio
Verificare le proprietà di monotonia delle funzioni del “catalogo”
attraverso lo studio del segno delle rispettive derivate prime.
2
Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla
Sia A un intervallo e sia f : A → R.
Supponiamo f continua in A e derivabile in Å.
Allora: f 0 ≡ 0 in Å se e solo se f è costante in A.
Dimostrazione: immediata!
Esercizio
2
arctan(x) + arctan (1/x)
Verificare che la funzione f (x) =
π
coincide con la funzione segno.
3
Sia f continua in [x0 , x0 + δ) e derivabile in (x0 , x0 + δ).
Se f 0 è regolare per x che tende a x0 da destra, si ha:
lim f 0 (x) = f+0 (x0 ).
x→x0+
Analogamente per la derivata sinistra, supponendo che f sia
continua in (x0 − δ, x0 ] e derivabile in (x0 − δ, x0 ).
Risultato non banale: non si presuppone alcuna ipotesi sulla continuità
delle derivate . . .
Osservazione
Il risultato precedente fornisce un procedimento alternativo per la
classificazione dei punti di non derivabilità di una funzione:
invece di calcolare il limite destro / sinistro del rapporto incrementale
di f in un punto x0 , possiamo determinare la derivata di f vicino a
x0 e poi calcolarne il limite destro / sinistro per x che tende a x0 .
Esempio
p
Verificare che x = 0 è punto cuspidale per la funzione f (x) = |x|.
Ricerca di estremi globali e locali
Premessa: una condizione sufficiente per l’esistenza di estremi globali
Teorema di Weierstrass
Sia f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b].
Allora: f ammette minimo e massimo globale in [a, b], cioè :
esistono x1 , x2 ∈ [a, b] tali che
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 )
per ogni x ∈ [a, b].
Illustriamo il ruolo delle ipotesi mediante qualche esempio:
1
1
f (x) = , x ∈ (0, 1]
f (x) = , x ∈ [1, +∞)
x
x
( 2
x se x ∈ [−2, 0) ∪ (0, 3]
f (x) = x − bxc, x ∈ [−1, 5]
f (x) =
1 se x = 0
f (x) = (1 − x 2 )2 , x ∈ R
←− non ha massimo globale, però. . .
Siano A un intervallo, f : A → R, x0 ∈ A.
x0 si dice punto di massimo locale per f in A se esiste un intorno U
di x0 tale che
f (x) ≤ f (x0 ) per ogni x ∈ A ∩ U ;
x0 si dice punto di minimo locale per f in A se esiste un intorno U
di x0 tale che
f (x) ≥ f (x0 ) per ogni x ∈ A ∩ U .
x0 si dice punto di estremo locale/globale se è punto di massimo
oppure di minimo locale/globale.
Un punto di estremo globale è anche di estremo locale; il viceversa
non è vero. Esempi?
Il valore di f in un punto di estremo si chiama estremo di f .
Unicità? Molteplicità?
Teorema di Fermat
Sia A un intervallo e sia f : A → R.
Sia x0 ∈ Å un punto di estremo locale per f in A.
Se f è derivabile in x0 , allora si ha f 0 (x0 ) = 0.
Interpretazione
geometrica?
Dimostrazione . . .
Nota
I punti in cui la derivata di f è uguale a 0 si chiamano punti stazionari.
Corollario
Condizione necessaria affinché un punto interno al dominio di f
sia di estremo locale è che il punto sia di non derivabilità oppure
stazionario per f .
Osservazione
La condizione non è sufficiente. Esempi?
Test della derivata prima
Sia f : A → R una funzione continua e sia x0 ∈ Å candidato punto di
estremo locale. Supponiamo f derivabile vicino a x0 .
Se, per x vicino a x0 , f 0 (x) ha lo stesso segno a sinistra e a destra di
x0 , allora x0 non è un punto di estremo locale.
(È un punto di flesso a tangente orizzontale, se stazionario.)
Se, per x vicino a x0 , f 0 (x) ha segni discordi a sinistra e a destra di
x0 , allora x0 è un punto di estremo locale. Precisamente:
segno di f 0 (x)
vicino a x0 , a sinistra
segno di f 0 (x)
vicino a x0 , a destra
classificazione di x0
positivo
negativo
punto di massimo locale
negativo
positivo
punto di minimo locale
Dimostrazione: immediata!
Esercizio
Individuare i possibili punti di estremo locale per le funzioni del
“catalogo” e classificarli.
Esercizio
Per ciascuna delle seguenti funzioni, determinare i punti stazionari e
i punti di non derivabilità, stabilendo se si tratta di punti di estremo
locale:
√
|x|
x 2 − 5x + 6
f (x) = 2
f (x) =
x +1
x +1
Attraverso l’analisi del comportamento di f agli estremi del dominio,
stabilire se f ha estremi globali; in caso affermativo, determinarli.
Come si giustifica il modo in cui disegniamo i grafici?
Teorema dei valori intermedi
Sia f una funzione continua nell’intervallo A.
Allora f assume tutti i valori compresi tra inf f e sup f , cioè:
per ogni c ∈ (inf f , sup f ) esiste x0 ∈ A tale che f (x0 ) = c .
Interpretazione “grafica” della continuità . . .
Ruolo delle ipotesi . . .
Corollario (Immagine di funzioni continue in intervalli)
L’immagine di una funzione f , continua in un intervallo A,
è l’intervallo di estremi inf f e sup f .
Osservazione
Se f ammette massimo e minimo in A, allora l’immagine di f
è l’intervallo chiuso di estremi min f e max f .
Esempi
L’immagine della funzione affine f (x) = ax + b (a 6= 0) è R.
L’immagine della funzione potenza a esponente naturale pn (x) = x n
è R se n è dispari, R+ se n è pari.
−→ cf. lucidi-2
L’immagine della funzione esponenziale è (0, +∞).
−→ cf. lucidi-2
L’immagine delle funzioni seno e coseno è [−1, 1].
L’immagine della funzione tangente è R.
−→ cf. lucidi-2
Caso particolare del teorema dei valori intermedi:
Teorema degli zeri (o di Bolzano)
Sia f una funzione continua in un intervallo A. Se f assume valori
discordi in A, allora f si annulla in almeno un punto di A.
Più precisamente: se esistono a, b ∈ A tali che f (a) · f (b) < 0, allora
esiste c ∈ A, compreso tra a e b , tale che f (c) = 0.
Interpretazione grafica . . .
Osservazione
Nelle ipotesi del teorema degli zeri, f potrebbe annullarsi in due, tre,
addirittura infiniti punti dell’intervallo A. Esempi?
Una condizione sufficiente affinché f si annulli esattamente in un
punto è che f sia strettamente monotona in A.
Corollario: condizioni per l’esistenza di radici di un polinomio
Sia P(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 ;
• se n è dispari, l’equazione P(x) = 0 ammette almeno una
soluzione;
• se n è pari e an · a0 < 0, l’equazione P(x) = 0 ammette almeno
una soluzione negativa e una positiva.
Esempi
P(x) = 2x 3 − 4x 2 + 1
P(x) = −x 6 + 3x 2 + 1
P(x) = x 6 − 3x 2 + 1
Esercizio (Risoluzione approssimata di equazioni)
Si considerino le seguenti equazioni, non risolvibili esplicitamente:
2x 3 − 4x 2 + 1 = 0
3x 2 − x 6 = 1
2x = −x
Determinare il numero esatto di soluzioni in R; determinare
approssimativamente ciascuna soluzione con una cifra decimale
corretta.
Risoluzione di alcune forme di indecisione
Regola di de l’Hôpital
Siano f e g due funzioni e sia x0 ∈ R un punto di accumulazione
f
per il dominio della funzione rapporto .
g
Supponiamo che:
(a) f e g siano entrambe infinitesime oppure entrambe infinite
per x che tende a x0 ;
(b) f e g siano derivabili vicino a x0 ;
(c) esista il limite
lim
x→x0
f 0 (x)
= ` ∈ R.
g 0 (x)
Allora:
f (x)
anche il rapporto
ha limite in x0 e si ha
g (x)
f (x)
lim
= `.
x→x0 g (x)
Esempi
ln(x)
Calcolare lim
,
x→1 1 − x 2
lim
x→0
sin(x) − x
x5
lim
x→0
sin(x)
???
x
Ruolo delle ipotesi
f
Se (a) non è soddisfatta, non è detto che il limite di
sia uguale
g
0
f
x
al limite di 0 . Esempio: lim+
g
x→1 ln(x)
f
Se (c) non è soddisfatta, niente può dirsi sul limite di , che può
g
x − sin(x)
esistere o non esistere. Esempio: lim
x→+∞ x + sin(x)
Gerarchia degli infiniti – caso continuo
Come applicazione della regola di de l’Hôpital calcoliamo i seguenti
limiti, che nei casi indicati presentano la forma di indecisione ∞/∞:
lim
x→+∞
ax
= +∞
xp
a > 1, p > 0
lim
x→+∞
loga (x)
=0
xp
p>0
Questo permette di affermare che:
• la funzione esponenziale con base maggiore di 1 è infinito di
ordine superiore rispetto alla funzione potenza con esponente
positivo qualsiasi;
• la funzione logaritmo con base qualsiasi è infinito di ordine
inferiore rispetto alla funzione potenza con esponente positivo
qualsiasi.
Esempi
Calcolare
(log3 (x))2
,
x→+∞
x3
lim
lim
x→+∞
√
x − ln(x),
3x − x 2
x→+∞ 2x + x 3
lim
Esercizio
Per ciascuna delle seguenti funzioni, tracciare un grafico
approssimativo e utilizzarlo per determinare il numero di soluzioni
dell’equazione f (x) = λ, al variare di λ ∈ R.
f (x) = |x + 1|e −x
f (x) = x ln(x)
f (x) =
ln(x)
x −2
Polinomio di Taylor
Sia f : A → R, sia x0 ∈ Å e sia n ∈ N∗ .
Supponiamo che f sia derivabile n volte in x0 .
La funzione polinomiale
Pn (x) :=
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k
= f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + · · · +
f (n) (x0 )
(x − x0 )n
n!
si chiama polinomio di Taylor di f di ordine n e centro x0 . Grado?
Casi particolari
Il polinomio di Taylor di ordine 0 è
P0 (x) = f (x0 );
il suo grafico è la retta orizzontale passante per il punto (x0 , f (x0 )).
Il polinomio di Taylor di ordine 1 è
P1 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 );
il suo grafico è la retta tangente al grafico di f nel punto (x0 , f (x0 )).
Il polinomio di Taylor di ordine 2 è
f 00 (x0 )
(x − x0 )2 ;
2
se f 00 (x0 ) 6= 0, il suo grafico è una parabola tangente al grafico di f
nel punto (x0 , f (x0 )) (parabola osculatrice).
P2 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
Polinomio di Taylor di alcune funzioni elementari
Funzione esponenziale: f (x) = e x ,
Pn (x) = 1 + x +
x2
2
+
x3
3!
+
x4
4!
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P2n+1 (x) = P2n+2 (x) = x −
+ ... +
xn
n!
x0 = 0
x3 x5 x7
x 2n+1
+
−
+ . . . + (−1)n
3!
5!
7!
(2n + 1)!
Funzione coseno: f (x) = cos(x),
P2n (x) = P2n+1 (x) = 1 −
x0 = 0
x0 = 0
x2 x4 x6
x 2n
+
−
+ . . . + (−1)n
2
4!
6!
(2n)!
(segue)
Funzione logaritmo: f (x) = ln(x), x0 = 1
Pn (x) = (x − 1) −
(x − 1)2 (x − 1)3 (x − 1)4
(x − 1)n
+
−
+ . . . + (−1)n−1
2
3
4
n
Equivalentemente: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
Pn (x) = x −
x2 x3 x4
xn
+
−
+ . . . + (−1)n−1
2
3
4
n
Guardiamo qualche grafico . . .
vai
Introduciamo la funzione differenza Tn (x) := f (x) − Pn (x) (x ∈ A)
che si chiama resto di Taylor di ordine n e centro x0 .
I grafici che abbiamo visto suggeriscono le seguenti proprietà:
1
per ogni n fissato:
Tn (x) è uguale a zero in x0 , “piccolo” vicino a x0 ,
“grande” lontano da x0 .
2
per x fissato (in R per exp, sin; in (0, 2) per ln):
al crescere di n , Tn (x) decresce e tende a zero.
Alcune proprietà della funzione resto Tn
Supponiamo f derivabile n volte in A. Allora:
• anche Tn è derivabile n volte in A;
• Tn e tutte le sue derivate fino all’ordine n sono nulle in x0 ;
• Tn (x) è infinitesimo di ordine superiore rispetto a (x − x0 )n ,
cioè
lim
x→x0
Tn (x)
= 0.
(x − x0 )n
Si può verificare con la
regola di de l’Hôpital
Parentesi: notazione degli “o piccolo”
Siano f e g siano due funzioni infinitesime per x che tende a x0 ∈ R.
Se f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g per x che
tende a x0 scriviamo f (x) = o(g (x)) (si legge “f è o piccolo di g ”).
Esempio: 1 − cos(x) = o sin(x) per x → 0
Notiamo esplicitamente che
def
f (x) = o(g (x)) per x → x0 ⇐⇒
lim
f (x)
= 0.
g (x)
lim
f (x)
= 0.
(x − x0 )n
x→x0
In particolare,
def
f (x) = o((x − x0 )n ) per x → x0 ⇐⇒
x→x0
Utilizzando la notazione degli “o piccolo”, otteniamo:
Formula di Taylor con il resto di Peano
Siano A un intervallo, f derivabile n volte in A, x0 ∈ Å.
Allora: per ogni x ∈ A si ha
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k + o((x − x0 )n ).
polinomio di Taylor
resto di Peano
Formula di Taylor con resto di Peano per alcune funzioni elementari
(centro x0 = 0)
ex
=
n
X
xk
+ o(x n )
k!
k=0
sin(x) =
n
X
(−1)k
x 2k+1
+ o(x 2n+2 )
(2k + 1)!
(−1)k
x 2k
+ o(x 2n+1 )
(2k)!
k=0
cos(x) =
n
X
k=0
ln(1 + x) =
n
X
k=1
(−1)k−1
xk
+ o(x n )
k
Applicazione: risoluzione di alcune forme di indecisione
Supponiamo che
• il limite per x → x0 di una certa funzione f presenti una forma
di indecisione;
• f sia ottenuta come combinazione di funzioni, almeno una delle
quali non è di tipo polinomiale;
• tali funzioni non polinomiali siano derivabili un certo numero di
volte nel punto x0 .
Procediamo cosı̀:
• per ciascuna delle funzioni non polinomiali coinvolte nel limite,
scriviamo lo sviluppo di Taylor (con resto di Peano) con centro
nel punto in cui calcoliamo il limite, troncato a un ordine
opportunamente scelto;
• sostituiamo gli sviluppi nel limite e trascuriamo gli infinitesimi
di ordine superiore.
Esempi
ex − x − 1
x→0
x2
lim
lim
sin(x 2 ) − ln(1 + x 2 )
3x 4
lim
arctan(ln(x)) − x + 1
(x − 1)2
x→0
x→1
lim
sin(x) − x
x5
lim
x ln(1 − x) + tan(x 2 )
x(cos(2x) − 1)
x→0
x→0
Formula di Taylor con il resto di Lagrange
Siano A un intervallo, f derivabile n+1 volte in A, x0 ∈ Å.
Allora: per ogni x ∈ A esiste un punto cx , compreso tra x e x0 ,
tale che
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k +
polinomio di Taylor
f (n+1) (cx )
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
resto di Lagrange
Per n = 0: teorema del valor medio di Lagrange.
Applicazione: interpretazione geometrica della derivata seconda
Dalla formula di Taylor con il resto di Peano di ordine 2:
h
i f 00 (x )
0
f (x) − f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) =
(x − x0 )2 + o((x − x0 )2
2
Conseguenza:
f 00 (x0 ) determina lo scostamento del grafico di f dalla retta tangente
al grafico in x0 , nei punti vicini a x0 .
Sia A un intervallo e sia f : A → R, continua in A e derivabile in Å.
Diciamo che f è
• (strettamente) convessa se per ogni x0 ∈ Å si ha
f (x) >
f (x0 ) + f 0 (x0 )(x
− x0 )
∀ x ∈ A \ {x0 }
• (strettamente) concava se per ogni x0 ∈ Å si ha
f (x) <
f (x0 ) + f 0 (x0 )(x
− x0 )
∀ x ∈ A \ {x0 }
il grafico di f
è al di sopra
della retta
tangente in x0
il grafico di f
è al di sotto
della retta
tangente in x0
Sia f derivabile in x0 .
Diciamo che x0 è un punto di flesso se f cambia concavità in x0 ,
ossia se esistono un intorno sinistro di x0 in cui f è convessa e un
intorno destro di x0 in cui f è concava, o viceversa.
Osservazioni
In un punto di flesso la tangente al grafico di f attraversa il grafico.
Flessi a tangente verticale / orizzontale . . .
Un punto stazionario di massimo o di minimo locale non è mai punto
di flesso!
Partendo dalla formula di Taylor con il resto di Lagrange di ordine 1
si può provare il seguente
Criterio di convessità
Sia A un intervallo e sia f : A → R una funzione derivabile due volte
in A. (Basta un po’ meno. . . )
• f 00 (x) > 0 ∀ x ∈ Å =⇒ f strettamente convessa in A
• f 00 (x) < 0 ∀ x ∈ Å =⇒ f strettamente concava in A
Cosa si può dire se f 00 (x) = 0 ∀ x ∈ A?
Osservazioni
Non è detto che in un punto di flesso la derivata seconda esista.
Esempio?
Tuttavia, se esiste, la derivata seconda è uguale a 0.
Non vale il viceversa. Esempio?
I punti di flesso sono punti di estremo locale per la derivata prima.
Interpretazione “pratica”?
Esercizio
Verificare le proprietà di convessità delle funzioni del “catalogo”
attraverso lo studio del segno delle rispettive derivate seconde.
Esercizio (da ricordare)
Studiare le proprietà asintotiche, di monotonia e di convessità delle
seguenti funzioni, e tracciarne un grafico approssimativo:
1
2
φ(x) = √ e −x /2
2π
funzione Gaussiana
sinh(x) =
e x − e −x
2
seno iperbolico
cosh(x) =
e x + e −x
2
coseno iperbolico
Applicazione: calcolo approssimato di valori di funzioni
Rileggiamo la formula di Taylor con il resto di Lagrange:
f (x) =
Pn (x)
| {z }
polinomio di Taylor
+
f (n+1) (cx )
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
|
{z
}
resto di Lagrange
↑
↑
↑
valore incognito
valore noto
errore
Casi particolari:
f (x)
valore
incognito
=
f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
valore noto
errore
f 00 (x0 )
f 000 (cx )
(x − x0 )2 +
(x − x0 )3
2
3!
valore noto
errore
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
valore
incognito
f 00 (cx )
(x − x0 )2
2
Esempio
Utilizzare il polinomio di Taylor di centro 9 e ordine√2 della funzione
√
f (x) = x per calcolare un valore approssimato di 11.
Fornire una stima dell’errore commesso √
nell’approssimazione e
determinare un intervallo che contiene 11.
Funzioni integrabili (secondo Cauchy-Riemann)
Siano a, b ∈ R con a < b ; sia n ∈ N∗ . Poniamo
b−a
xk := a + k
per k = 0, 1, 2, . . . , n .
n
L’insieme Pn := {x0 , x1 , . . . , xn } si chiama partizione uniforme
n -esima dell’intervallo [a, b].
I punti di Pn suddividono l’intervallo [a, b] in n sottointervalli
b−a
di ampiezza ∆x :=
. Esempio . . .
n
Sia f : [a, b] → R una funzione limitata.
Segliamo un punto x̄k ∈ [xk−1 , xk ] per ogni k = 1, . . . , n
e definiamo la somma n -esima di Cauchy-Riemann di f :
Sn (f ) :=
n
X
k=1
f (x̄k ) (xk − xk−1 )
Significato geometrico
per funzioni
non negative?
Osservazioni
• Fissato n , in generale Sn (f ) dipende dalla scelta dei punti di
riferimento x̄k .
• Variando il modo in cui, per ogni n , si scelgono i punti di
riferimento, possiamo costruire infinite successioni di somme
di Cauchy-Riemann di f . (In teoria, ovviamente.)
Esempio
Data la funzione f (x) = x 2 , x ∈ [2, 5]:
• calcolare le somme di Cauchy-Riemann con n = 3 e n = 4,
scegliendo come punti di riferimento i punti medi dei
sottointervalli;
• calcolare le somme di Cauchy-Riemann con n = 4 ottenute
scegliendo come punti di riferimento rispettivamente i primi
estremi e i secondi estremi dei sottointervalli.
Interpretare geometricamente le somme ottenute.
Se tutte le successioni di somme di Cauchy-Riemann di f
convergono al medesimo limite, diciamo che f è integrabile secondo
Cauchy-Riemann in [a, b], denotiamo il limite delle successioni di
Cauchy-Riemann con il simbolo
Z b
f (x)dx
a
e lo chiamiamo integrale di Cauchy-Riemann di f in [a, b].
Motivazione per il simbolo?
Due esempi “agli antipodi”
• La funzione costante f (x) ≡ c è integrabile in [a, b] e
Z
b
f (x) dx = c (b − a).
a
(
• La funzione di Dirichlet f (x) =
non è integrabile in [a, b].
1 se x ∈ [a, b] ∩ Q
0 se x ∈ [a, b] \ Q
Teorema (Classi di funzioni integrabili)
1
Se f è continua in [a, b], allora è integrabile.
2
Se f è monotona in [a.b], allora è integrabile.
3
Se f1 è integrabile in [a, c] e f2 è integrabile in [c, b],
allora la funzione definita ponendo

se x ∈ [a, c)

 f1 (x)
un qualsiasi valore
se x = c
f (x) =


f2 (x)
se x ∈ (c, b]
è integrabile in [a,b] e
Z b
Z
f (x)dx =
a
4
a
c
Z
f1 (x)dx +
Motivazione. . .
b
f2 (x)dx.
c
Se f è continua a tratti in [a, b], allora f è integrabile.
Proprietà di monotonia dell’integrale
Siano f , g funzioni integrabili in [a, b].
Z b
• f ≥ 0 in [a, b] =⇒
f (x) dx ≥ 0
a
Z
• f ≥ g in [a, b] =⇒
b
Z
f (x) dx ≥
a
Z
• a
b
Z
f (x) dx ≤
a
b
g (x)dx
a
b
|f (x)| dx
(disuguaglianza triangolare)
↑
f integrabile =⇒ |f | integrabile
Proprietà di linearità dell’integrale
Siano f , g funzioni integrabili in [a, b].
Per ogni α, β ∈ R, la funzione αf + βg è integrabile in [a, b] e
Z b
Z b
Z b
αf (x) + βg (x) dx = α
f (x)dx + β
g (x)dx.
a
a
a
Proprietà di additività dell’integrale
Sia f integrabile in [a, b].
Se c ∈ [a, b], allora f è integrabile in [a, c] e in [c, b] e
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
c
Confronto con la terza classe di funzioni integrabili. . .
Integrali e aree
Sia f una funzione integrabile in [a, b] non negativa.
La regione piana compresa tra il grafico di f e l’asse delle ascisse
prende il nome di rettangoloide o trapezoide sotteso al grafico di f .
Poniamo
Z b
Interpretazione
area del rettangoloide
geometrica
:=
f (x) dx
individuato da f
dell’integrale
a
Motivazione. . .
Se f è una funzione integrabile in [a, b] di segno qualsiasi, poniamo
Z b
area della regione piana
compresa tra il grafico :=
|f (x)| dx
Motivazione. . .
a
di f e l’asse delle ascisse
Se f , g sono funzioni integrabili in [a, b], poniamo
Z b
area della regione piana
compresa tra il grafico :=
|f (x) − g (x)| dx
a
di f e il grafico di g
Motivazione. . .
Media integrale
Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile. Il numero
Z b
1
Media(f ) :=
f (x) dx
b−a a
si chiama media integrale di f in [a, b].
Motivazione . . .
Teorema della media integrale
Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile.
1
inf f ≤ Media(f ) ≤ sup f .
2
Se f è continua in [a, b], allora esiste x0 ∈ [a, b] tale che
f (x0 ) = Media(f ).
Interpretazione geometrica?
Dimostrazione . . .
Tutto bello, ma... come si calcolano gli integrali?
La formula e il teorema fondamentale del calcolo integrale
Sia A un intervallo e siano f , g : A → R.
Diciamo che g è una primitiva (o anti-derivata) di f in A se
g è derivabile in A e g 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ A.
Esempi?
Osservazione
Sia g primitiva di f in A.
• Per ogni c ∈ R: g + c è primitiva di f in A.
• Per ogni h primitiva di f in A esiste c ∈ R tale che h = g + c
Verifica . . .
Formula fondamentale del calcolo integrale
Sia f una funzione continua nell’intervallo [a, b] e sia g una qualsiasi
primitiva di f in [a, b]. Allora:
Z b
b
f (x) dx = g (b) − g (a) =: g (x) a .
a
Dimostrazione . . .
Esempi
h π πi
Calcolare l’integrale della funzione cos(x) nell’intervallo − ,
.
2 2
2
Calcolare la media integrale di f (x) = x in [−2, 3] e verificare che
soddisfa le proprietà della media.
Calcolare l’area del rettangoloide sotteso al grafico della funzione
f (x) = x 2 in [2, 5].
Calcolare l’area della regione piana compresa tra i grafici di f (x) = x ,
g (x) = x 2 e le rette x = 0, x = 4.
Osservazione
Nella definizione di integrale di Cauchy-Riemann abbiamo supposto
a < b . Possiamo eliminare questa restrizione ponendo


0
se a = b
Z b

Z a
f (x) dx :=

f (x) dx
se a > b
a
 −
b
(integrale definito)
Con questa convenzione, se f e g sono continue nell’intervallo A,
le uguaglianze
Z b
Z b
Z b
αf (x) + βg (x) dx = α
f (x)dx + β
g (x)dx
a
Z
a
b
Z
f (x) dx =
a
c
Z
f (x) dx +
a
valgono per ogni a, b, c ∈ A.
a
b
f (x) dx
c
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Sia A un intervallo e sia f : A → R una funzione continua.
Sia a ∈ A. La funzione F : A → R definita ponendo
Z x
funzione integrale di f
F (x) :=
f (t) dt per ogni x ∈ A
a
di punto iniziale a
è una primitiva di f in A.
Dimostrazione . . .
Corollario
Una funzione continua in un intervallo ha infinite primitive.
Osservazione
Una funzione non continua potrebbe non avere alcuna primitiva.
Esempio?
Ricerca di primitive
Sia f una funzione continua in un intervallo.
L’insieme di tutte le primitive diZf si chiama integrale indefinito
di f e si denota con il simbolo f (x) dx .
Osservazione
Per determinare l’integrale indefinito di f è sufficiente determinare
una primitiva di f .
Integrali indefiniti immediati
Z
1 dx = x + c
Z
x p+1
x dx =
+c
↑ p+1
p
Z
1
dx = ln |x| + c
x
p6=−1
Z
e x dx = e x + c
Z
ax dx =
Z
ax
+c
ln(a)
Z
sin(x) dx = − cos(x) + c
Z
1
dx =
cos(x)2
Z
Z
1
√
dx = arcsin(x) + c
1 − x2
cos(x) dx = sin(x) + c
1 + tan(x)2 dx = tan(x) + c
Z
1
dx = arctan(x) + c
1 + x2
Regole di integrazione
1
(corrispondono a regole di derivazione)
Integrazione per scomposizione
Z
f1 (x) + f2 (x) dx =
Z
λ f (x) dx =
(regola della somma e del multiplo)
Z
Z
f1 (x) dx +
Z
λ f (x) dx
f2 (x) dx
Esempi
Calcolare l’integrale indefinito delle seguenti funzioni:
x 3 − 4x 2
3e x − 2x 4 + 5
4
2
+ − 3 cos(x)
x3 x
2
Integrazione per sostituzione
(regola della funzione composta)
Z
Z
f (ϕ(x)) ϕ0 (x) dx = f (t) dt |t=ϕ(x)
Esempi
e sin(x) cos(x)
(arcsin(x))2
√
1 − x2
ex
e 2x + 1
√
e ax ; cos(ax); sin(ax)
1
2
x + a2
1
p
3
x ln(x) + 2
5
+ e −3x
2
1−x
ϕ0 (x)
ϕ(x)
Esercizio
Calcolare la media integrale della funzione f (x) =
nell’intervallo [0, π].
sin(x)
cos(x)2 + 1
Calcolare l’area del rettangoloide sotteso al grafico della funzione
ln(x)
nell’intervallo [1, e].
f (x) =
x
3
Integrazione per parti
(regola del prodotto)
Z
Z
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g (x) − f 0 (x)g (x) dx.
Esempi
x e −x
x sin(2x)
(x 2 + x) cos(3x)
e 2x sin(x)
ln(x)
arctan(x)
arcsin(x)
(x 2 + 3x) ln(x)
Esercizio
Calcolare l’area della regione piana compresa tra il grafico di
f (x) = x cos(x), l’asse delle ascisse, le rette x = 0, x = 3π/2.
Integrazione di alcune funzioni razionali
Vogliamo determinare una primitiva della funzione
f (x) =
P(x)
Q(x)
con P(x) e Q(x) funzioni polinomiali tali che deg(P) < deg(Q).
Osservazione
La condizione sui gradi non è restrittiva: se deg(P) ≥ deg(Q),
eseguiamo la divisione tra polinomi ottenendo
P(x)
R(x)
= A(x) +
Q(x)
Q(x)
con A(x), R(x) funzioni polinomiali e deg(R) < deg(Q).
Esempi
x2
1 + x2
x 2 + 3x + 2
x 2 + 5x + 10
x5 − x + 1
x3 + 1
Funzioni razionali “semplici”:
A
(a x + b)p
Ax + B
+bx +c
a x2
a 6= 0, p > 0
a 6= 0, b 2 − 4ac < 0
Esempi
1
3x − 1
1
2x + 5
x
1 + x2
x +3
x2 + 9
2x + 2
x 2 + 2x + 5
1
x 2 + 2x + 5
1
(4x − 1)3
x −3
x 2 − 4x + 7
Procedimento nel caso generale:
1
scomponiamo Q nel prodotto di fattori lineari a x + b e di fattori
quadratici irriducibili a x 2 + bx + c (con b 2 − 4ac < 0);
2
decomponiamo f nella somma di funzioni razionali “semplici”;
3
determiniamo una primitiva per ogni singolo addendo;
4
sommiamo le primitive trovate al passo precedente e otteniamo
una primitiva di f .
Esempi
x 2 − 2x + 5
(2x − 1)3
2x + 7
2
x −x −2
2x + 3
x3 − x2
3x 2 − 2x + 5
(x − 2)(x 2 + 9)
3x 2 − 2x + 5
(x − 2)4 (x 2 + 3x + 9)
Integrali impropri (solo qualche cenno)
Ci proponiamo di generalizzare la nozione di integrale rimuovendo
l’ipotesi di limitatezza sulla funzione e/o sull’intervallo.
Per semplicità, supporremo che f sia una funzione di segno costante.
Siano a, b ∈ R. Poniamo
Z t
lim
f (x) dx
Z b
t→b − a
Z b
f (x) dx :=
a
f (x) dx
lim+
t→a
+∞
Z
f (x) dx :=
a
Z
Z
t→+∞ a
−∞
Z
lim
se f è continua in (a, b]
illimitata in un intorno di a
t
lim
b
f (x) dx :=
t
se f è continua in [a, b)
illimitata in un intorno di b
t→−∞ t
f (x) dx
se f è continua in [a, +∞)
b
f (x) dx
Interpretazione geometrica . . .
se f è continua in (−∞, b]
Osservazioni
La continuità di f ne garantisce l’integrabilità secondo
Cauchy-Riemann in ogni intervallo chiuso e limitato.
Il segno di f garantisce che le funzioni integrali siano monotone
e quindi ammettano limite.
L’integrale introdotto come limite di integrali definiti si chiama
integrale improprio (o generalizzato).
Se il limite è finito, diciamo che l’integrale improprio converge e che
la funzione f è integrabile in senso improprio.
Se il limite è infinito, diciamo che l’integrale improprio diverge.
Se f è integrabile in senso improprio in (−∞, a] e in [a, +∞),
per qualche a ∈ R, diciamo che f è integrabile in senso improprio
in R e poniamo
Z
+∞
f (x) dx :=
−∞
Z
a
Z
f (x) dx +
−∞
+∞
f (x) dx.
a
Nota: la scelta di a
è irrilevante.
Esempi
2
La funzione f (x) = x 3−x è integrabile in senso improprio in [1, +∞).
La funzione f (x) =
1
è integrabile in senso improprio in R.
1 + x2
Esempio (da ricordare)
1
La funzione f (x) = p è integrabile in senso improprio
x
• in (0, 1] se e solo se p < 1;
• in [1, +∞) se e solo se p > 1.
Un criterio di convergenza per le serie numeriche
Criterio dell’integrale
Sia an > 0 per ogni n ≥ n0 . Sia f una funzione continua, positiva e
decrescente in [n0 , +∞) tale che f (n) = an per ogni n ≥ n0 .
Allora: la serie di termine an converge se e solo se l’integrale improprio
Z +∞
f (x) dx
n0
è convergente. In tal caso, detto Rn il resto della serie, risulta
Z +∞
0 ≤ Rn ≤
f (x) dx.
n
“Dimostrazione” grafica . . .
Esempio
2
Verificare che la serie di termine n 3−n è convergente.
Determinare un intero N tale che la somma parziale SN approssimi
la somma S a meno di 10−2 e scrivere un intervallo al quale la
somma S appartiene.
Convergenza della serie armonica generalizzata Conto in sospeso!
1
La serie di termine p converge se e solo se p > 1.
n
In tal caso, si ha
1
0 ≤ Rn ≤
.
(p − 1) np−1
Verifica . . .
Serie di Taylor
Sia f una funzione derivabile indefinitamente in A, intorno di x0 .
Per ogni x ∈ A possiamo considerare la serie
+∞ (n)
X
f (x0 )
(x − x0 )n
n!
n=0
che chiamiamo serie di Taylor di f di centro x0 .
Qual è la somma parziale n -esima della serie di Taylor?
Per x = x0 , la serie di Taylor di f converge e la sua somma è f (x0 ).
Cosa possiamo dire per x 6= x0 ?
• Per quali x converge? (intervallo di convergenza)
• Se converge in x , la somma è f (x)? In generale: no!
Diciamo che f è sviluppabile in serie di Taylor in A se per ogni x ∈ A
la serie di Taylor di f converge in x e la somma è f (x).
Sviluppabilità in serie di Taylor di alcune funzioni elementari
Le funzioni esponenziale, seno, coseno sono sviluppabili in serie
di Taylor in R. Esplicitando, per ogni x ∈ R:
+∞ n
+∞
X
X
x 2n
x
ex =
cos(x) =
(−1)n
n!
(2n)!
n=0
sin(x) =
+∞
X
n=0
n=0
(−1)n
x 2n+1
(2n + 1)!
←− verifichiamo questa . . .
Applicazione: calcolo approssimato di valori di funzioni con grado di
precisione arbitrariamente fissato
Determinare valori approssimati a meno di 10−4 di
1
sin(0.5), cos(−1), √
5
e
(Tenere presente la maggiorazione del resto prevista dal criterio di Leibniz.)
Teorema (Integrazione termine a termine delle serie di potenze)
Sia {cn } una successione e sia x0 ∈ R.
Se la serie di termine cn (x − x0 )n converge nell’intervallo A, allora
per ogni x ∈ A (con la possibile inclusione degli estremi) si ha
Z
+∞
xX
x0 n=0
n
cn (t − x0 ) dt =
+∞ Z
X
n=0
x
n
cn (t − x0 ) dt
x0
Applicazione: integrazione approssimata
estensione della
proprietà di linearità
dell’integrale
rispetto alla somma
Z 1
2
Calcolare un valore approssimato dell’integrale definito
e −x dx
0
con un errore inferiore a 10−4 .
Z 2
sin(x)
Approssimare l’integrale definito
dx con un errore inferiore
x
0
−3
a 10 .
Sviluppabilità in serie di Taylor della funzione logaritmo
La funzione logaritmo naturale è sviluppabile in serie di Taylor in
(0, 2]. Esplicitando, per ogni x ∈ (−1, 1]:
ln(1 + x) =
+∞
X
n=1
(−1)n−1
xn
n
verifichiamo . . .
Esercizio
Determinare valori approssimati a meno di 10−4 di ln(1.1), ln(0.7),
ln(10).
Esercizio
+∞
X
x 2n+1
Provare che arctan(x) =
(−1)n
per ogni x ∈ [−1, 1].
2n + 1
n=0
[Procedere come nella verifica della sviluppabilità della funzione logaritmo,
1
esprimendo la funzione
come somma di una serie di potenze.]
1 + x2
Esercizio
Utilizzare l’esercizio precedente per determinare un valore
approssimato di arctan(1/2) con un errore inferiore a 10−2 ; specificare
se si tratta di una approssimazione per eccesso o per difetto.
APPENDICE:
GRAFICI
POLINOMI
DI
DI
ALCUNI
TAYLOR
Funzione esponenziale: f (x) = e x ,
1
P0 (x) = 1
x0 = 0
Funzione esponenziale: f (x) = e x ,
1
P1 (x) = 1 + x
x0 = 0
Funzione esponenziale: f (x) = e x ,
x0 = 0
1
P2 (x) = 1 + x +
x2
2
Funzione esponenziale: f (x) = e x ,
x0 = 0
1
P3 (x) = 1 + x +
x2 x3
+
2
6
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P1 (x) = P2 (x) = x
x0 = 0
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P3 (x) = P4 (x) = x −
x0 = 0
x3
6
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P7 (x) = P8 (x) = x −
x0 = 0
x3 x5 x7
+
−
3!
5!
7!
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P17 (x) = P18 (x) = x −
x0 = 0
x3 x5 x7
x 17
+
−
+ ··· +
3!
5!
7!
17!
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P21 (x) = P22 (x) = x −
x0 = 0
x3 x5 x7
x 21
+
−
+ ··· +
3!
5!
7!
21!
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P35 (x) = P36 (x) = x −
x0 = 0
x3 x5 x7
x 35
+
−
+ ··· −
3!
5!
7!
35!
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P1 (x) = x
1
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P2 (x) = x −
1
x2
2
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P3 (x) = x −
1
x2 x3
+
2
3
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P4 (x) = x −
1
x2 x3 x4
+
−
2
3
4
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P7 (x) = x −
1
x2
x7
+ ... +
2
7
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P8 (x) = x −
1
x2
x8
+ ... −
2
8
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P11 (x) = x −
1
x2
x 11
+ ... +
2
11
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P12 (x) = x −
torna indietro
1
x2
x 12
+ ... −
2
12