Appunti di
Geometria e Algebra L-A
Seconda Facoltà di Ingegneria - Cesena
Marco Alessandrini
Ottobre 2006
Indice
1 Informazioni del corso
1.1 Programma . . . . . . . . . . . . .
1.2 Docenti . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Prof. Michele Mulazzani . .
1.2.2 Dott.ssa Alessia Cattabriga
1.3 Testo . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Prerequisiti . . . . . . . . . . . . .
2 Relazioni su un insieme
2.1 Relazioni di equivalenza
2.2 Classi di equivalenza . .
2.3 Insieme quoziente . . . .
2.4 Classe dei resti . . . . .
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7
3 Strutture algebriche
3.1 Strutture algebriche con una operazione definita
3.1.1 Gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Esempi di gruppi . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Strutture algebriche con due operazioni definite .
3.2.1 Anelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Esempi di campi . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Zero divisore . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 N-uple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Combinazioni lineari
13
5 Polinomi
5.1 Coefficienti . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Esempi di polinomi con K ∈ Zn
5.2 Proprietà dei polinomi . . . . . . . . .
5.3 Grado di un polinomio . . . . . . . . .
5.3.1 Classificazione dei polinomi per
14
14
14
14
15
15
1
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grado
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6 Matrici
6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Matrice trasposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Matrice simmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Operazioni tra matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Somma tra matrici . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Prodotto per scalare . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Prodotto tra matrici . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 Proprietà delle operazioni . . . . . . . . . . . . .
6.5 Matrici quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Diagonale principale . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Prodotto tra matrici quadrate . . . . . . . . . . .
6.5.3 Matrici diagonali . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.4 Matrici identità . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.5 Matrici triangolari . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Matrici ridotte (per righe) . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Trasformazioni per ottenere la riduzione . . . . .
6.6.2 Metodo generale di riduzione . . . . . . . . . . .
6.7 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Calcolo del determinante in matrici con n piccolo
6.7.2 Proprietà del determinante . . . . . . . . . . . .
6.7.3 Sottomatrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.4 Minore complementare . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.5 Complemento algebrico . . . . . . . . . . . . . .
6.7.6 Teorema di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Matrice inversa di una matrice quadrata . . . . . . . . .
6.8.1 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.2 Proprietà delle matrici inverse . . . . . . . . . .
6.8.3 Calcolo della matrice inversa . . . . . . . . . . .
6.8.4 Caso particolare: inversa della matrice 2 × 2 . . .
2
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24
Capitolo 1
Informazioni del corso
1.1
Programma
• matrici;
• sistemi lineari;
• spazi vettoriali;
• trasformazioni lineari;
• autovalori;
• forme quadratiche.
1.2
1.2.1
Docenti
Prof. Michele Mulazzani
Professore straordinario.
Orario di ricevimento
Su appuntamento, via e-mail.
Sito web
www.dm.unibo\˜mulazza
E-mail
[email protected]
3
1.2.2
Dott.ssa Alessia Cattabriga
Assegnista.
Orario di ricevimento
(da definire)
Sito web
www.dm.unibo\˜cattabri
E-mail
[email protected]
1.3
Testo
Geometria
Casali-Gagliardi-Grasselli
Progetti Leonardo Bologna, Ed. Esculapio
1.4
Prerequisiti
1. logica elementare
∃! : esiste unico
2. teoria elementare degli insiemi
⊆ : sottoinsieme (generico)
⊂ : sottoinsieme proprio
P (X) : insieme potenza o insieme delle parti di un insieme
es. X = {a, b, c}
P (X) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X}
#X = card(X) : cardinalità (numero di elementi) di X
card (P (X)) = 2card(X)
A × B : prodotto cartesiano (“A cartesiano B”)
A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
card(A × B) = card(A) · card(B)
A × B 6= B × A
A × A = A2
4
3. insiemi numerici
N⊆Z⊆Q⊆R⊆C
Numeri naturali Permettono di dare una cardinalità a qualunque
insieme finito.
N = {0, 1, 2, ..., n, ...}
Numeri interi
Z = {0, ±1, ±2, ..., ±n, ...}
Numeri razionali
Q=
b
| a, b ∈ Z, a 6= 0
a
Numeri reali
R
Proprietà 1 Ogni numero reale è il quadrato di un altro numero
reale.
Numeri complessi
C = a + ib| a, b ∈ R, i2 = −1
4. Teorema fondamentale dell’algebra Qualunque polinomio a coefficienti complessi (e, a maggior ragione, reali) ammette radici (soluzioni)
in C.
5
Capitolo 2
Relazioni su un insieme
Sia A un insieme, non vuoto. Una coppia (a, b) ∈ A, la quale soddisfa una
certa relazione (R) in A, si esprime come aRb. In caso non soddisfi tale
relazione, si indica allo stesso modo, ma con R barrata.
Nell’insieme A2 = A × A = {(a, b)|a, b ∈ A} si selezionano le coppie che
soddisfano R. R ⊆ A2 . Una coppia (a, b) appartiene a R se aRb.
2.1
Relazioni di equivalenza
Una relazione R su A si dice di equivalenza se gode delle seguenti proprietà:
1. proprietà riflessiva: ∀a ∈ A, aRa
2. proprietà simmetrica: ∀a, b ∈ A, aRb ⇒ bRa
3. proprietà transitiva: ∀a, b, c ∈ A, aRb, bRc ⇒ aRc
2.2
Classi di equivalenza
Consideriamo ora, all’interno di un generico insieme A, un sottoinsieme
[a] = {a, b, c} di elementi tutti in relazione con l’elemento a.
Si dice classe di equivalenza di a rispetto alla relazione di equivalenza R
l’insieme [a]R = {x ∈ a|xRa} (“classe di a rispetto a R”).
Proposizione 1 Siano a, b ∈ A. Se aRb, allora [a]R = [b]R (classi congiunte), altrimenti [a]R ∩ [b]R = ∅ (classi disgiunte).
2.3
Insieme quoziente
È l’insieme di tutte le classi di equivalenza.
A/R (“quoziente di A rispetto a R”) = {[a]R |a ∈ A} ⊆ P (A)
[a]R = {x ∈ A|xRa}
6
[a]R è un sottoinsieme dell’insieme, a è l’elemento rappresentante. A/R è
l’insieme dei sottinsiemi.
2.4
Classe dei resti
Definiamo la relazione R: “Siano x e y tali che x ≡ y modn se y − x = kn
(k ∈ Z)”. È vero (e si può dimostrare) che la relazione modn (congruenza
modulo n) è di equivalenza.
y = x modn ⇔ x e y danno lo stesso resto se divisi per n
• CASO: n = 2. Avviene una divisione tra i pari (P) e i dispari (D). La
classe di 0 è:
P = 0 = [0]≡2 = {0, ±2, ±4, ...}
La classe di 1 è:
D = 1 = [1]≡2 = {±1, ±3, ±5...}
Z
= {P, D} = Z2
≡2
• CASO: n = 3. Z3 = {[0]3 , [1]3 , [2]3 } = {0, 1, 2} La classe dei numeri
che, divisi per 3, danno come resto 0, è:
[0]3 = {0, ±3, ±6, ±9...}
Seguono:
[1]3 = {1, 4, 7, 10...} ∪ {−2, −5, −8, −11...}
[2]3 = {2, 5, 8, 11...} ∪ {−1, −4, −7, −10...}
I possibili resti sono compresi tra 0 e (n − 1), quindi sono n. C’è una
classe per ogni possibile resto:
Zn =
Z
= {[0]n , [1]n , ..., [n − 1]n }
|
{z
}
≡n
n elementi
Zn è l’insieme delle classi resto modulo n: ogni classe contiene tutti e soli
gli interi il cui resto della divisione per n è il valore della classe.
card(Zn ) = n
[0]n = {kn|k ∈ Z}
[1]n = {1 + kn|k ∈ Z}
[2]n = {2 + kn|k ∈ Z}
[n − 1]n = {n − 1 + kn|k ∈ Z} = {kn − 1|k ∈ Z}
7
Capitolo 3
Strutture algebriche
Note le varie operazioni elementari, esse si definiscono per le classi:
x+y =x+y
x · y = xy
Es. n = 12
• [7]12 + [8]12 = [15]12 = [3]12
• [7]12 · [8]12 = [56]12 = [8]12
3.1
Strutture algebriche con una operazione definita
Si definisce una generica operazione (binaria in X) ⊥ : X × X → X.
• È associativa se (x⊥y)⊥z = x⊥(y⊥z).
• È commutativa se x⊥y = y⊥x.
• Possiede elemento neutro u se x⊥u = u⊥x = x.
• Esistendo u, x è invertibile se esiste un x0 tale che x⊥x0 = x0 ⊥x = u.
Proprietà 2 Se una struttura algebrica ammette elemento neutro, esso è
unico.
Proprietà 3 Se una struttura algebrica ammette elemento neutro ed è associativa, se il suo elemento x è invertibile x0 è nullo.
Proprietà 4 Se x e y sono invertibili, allora (x⊥y) è invertibile:
(x⊥y)0 = y 0 ⊥x0
8
3.1.1
Gruppi
Un gruppo (G, +1 ) gode delle tre proprietà:
1. l’operazione + è associativa
2. esiste elemento neutro (indicato con 0)
3. esistono elementi opposti (o inversi)
Qualora valesse anche (4.) la proprietà commutativa, il gruppo è detto
commutativo o abeliano.
3.1.2
Esempi di gruppi
(N, +) non è un gruppo, perché non è invertibile rispetto alla somma.
(Z, +) è un gruppo commutativo.
(Q, +) è un gruppo commutativo.
(R, +) è un gruppo commutativo.
(C, +) è un gruppo commutativo.
Tutti i gruppi citati non sono mai gruppi rispetto al prodotto, perché 0
non è mai invertibile.
(Zn , +) è un gruppo commutativo. Il suo elemento neutro è 0 (a + 0 =
a + 0 = a). L’inverso rispetto alla somma di [a]n sarà [n − a]n , perché:
[a]n + [n − a]n = [a + n − a]n = [n]n = [0]n
3.2
3.2.1
Strutture algebriche con due operazioni definite
Anelli
Un anello (A, +, ·) è un insieme A con due operazioni (+ e ·) tale che:
1. (A, +) è un gruppo commutativo (cioè gode delle 4 proprietà);
2. (A, ·) gode del minimo possibile di proprietà (cioè la sola associativa);
3. valgono le proprietà distributive del prodotto rispetto alla somma:
∀a, b, c ∈ A,
• a · (b + c) = ab + ac
• (b + c) · a = ba + ca
Ad esempio, (Z, +, ·) è un anello.
1
Con + si intende una generica operazione, non necessariamente la somma.
9
• Se (A, ·) possiede elemento neutro (indicato con 1), allora (A, +, ·) è
detto anello unitario.
• Se (A, ·) gode della proprietà commutativa, allora (A, +, ·) è detto
anello commutativo.
3.2.2
Campi
(K, +, ·) è un insieme K con 2 operazioni (+ e ·) tali che:
1. (K,+) è un gruppo commutativo;
2. K∗ = K − {0+ }2 ⇒ (K∗ , ·) è un gruppo commutativo;
3. gode della proprietà distributiva;
4. l’elemento neutro rispetto a · è unico e l’inverso di un elemento, se
esiste, è unico.
Un campo è un anello unitario commutativo in cui tutti gli elementi diversi
da 0 (elemento neutro della prima operazione) sono invertibili:
∀a ∈ K, a 6= 0, ∃b ∈ K, b 6= 0 : a · b = 1
(cioè b = a−1 ).
3.2.3
Esempi di campi
• (Z, +, ·) non è un campo.
• (Q, +, ·) è un campo (è il più piccolo campo che contiene Z).
• (R, +, ·) è (C, +, ·) sono campi.
• (Zn , +, ·)
Zn = {0, 1, ...n − 1}
+:a+b=a+b
·:a·b=a·b
(Zn , +, ·) è un anello unitario (unità: 1) commutativo.
Per verificare se è un campo, supponiamo il caso di Z5 .
Abbiamo Z∗5 = {1, 2, 3, 4}.
−1
– 1 è invertibile: 1
– 2 è invertibile: 2 ·
2
3
= 1.
33
= 6 ⇒ 1.
Elemento neutro rispetto alla somma
Da cui anche 3 è invertibile.
10
– 4 è invertibile: 4 · 4 = 16 ⇒ 1.
⇒ (Z5 , +, ·) è un campo, perché (Z∗5 , +, ·) è un gruppo.
Supponiamo ora Z4 .
Abbiamo Z∗4 = {1, 2, 3}.
Si nota che 2 non è invertibile rispetto a ·:
– 2·1=2
– 2·2=4⇒0
– 2·3=6⇒2
⇒ (Z4 , +, ·) non è un campo.
⇒ (Zn , +, ·) è un campo ⇔ n è primo
Più in generale, in (Zn , +, ·) gli elementi invertibili rispetto a · (e diversi
da 0) sono a, con a primo rispetto a n.
3.2.4
Zero divisore
Sia (A, +, ·) un anello.
a ∈ A, a 6= 0 è detto zero divisore se esiste un b 6= 0, b ∈ A tale che
a · b = 0 (talvolta a = b).
Proposizione 2 Se a è zero divisore, allora a non è invertibile. (In un
campo non ci sono MAI zero divisori, quindi vale la legge di annullamento
del prodotto)
• Se a · b = 0 e a 6= 0 ⇒ b = 0
• Se a · b = 0 ⇒ almeno uno tra a e b è 0
3.2.5
Caratteristica
Consideriamo l’anello unitario (A, +, ·).
1. Se, ∀m ∈ N, 1| + 1 + {z
1 + ... + 1} 6= 0, allora (A, +, ·) ha caratteristica
m volte
zero.
Esempio: (Z, +, ·)
2. Se ∃m ∈ N: 1| + 1 + {z
1 + ... + 1} = 0, allora (A, +, ·) ha caratteristica M
m volte
dove M ∈ N ed è il più piccolo numero per cui vale questa proprietà.
M = min m ∈ N | 1| + 1 + {z
1 + ... + 1} = 0
m volte
11
Esempi:
• (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·) hanno caratteristica zero;
• (Zn , +, ·) ha caratteristica n (n ∈ N).
3.2.6
N-uple
Sia K un anello commutativo unitario (campo). Si indica con Kn l’insieme
delle n-uple di elementi di K
Kn = {(a1 , a2 , ..., an )|ai ∈ K, 1 ≤ i ≤ n, n ∈ N}
Kn =
n
K × ... × K}
|K × K × {z
volte il prodotto cartesiano
1. + : Kn × Kn → Kn
(a1 , a2 , ..., an ) + (b1 , b2 , ..., bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , ..., an + bn )
(Kn , +) è un gruppo commutativo.
L’elemento neutro è (0, 0, ..., 0), mentre l’elemento opposto di (a1 , a2 , ..., an )
è (−a1 , −a2 , ..., −an ).
2. prodotto per scalare α (operazione binaria non interna): K × Kn → Kn
α · (a1 , a2 , ..., an ) = (α · a1 , α · a2 , ..., α · an )
12
Capitolo 4
Combinazioni lineari
Sia V uno dei seguenti insiemi:
• n-uple (Kn );
• polinomio (K[t]);
• matrice (Mm×n (K)).
L’operazione + è sempre interna a V , mentre · : K × V → V .
0. (V, +) è un gruppo abeliano.
1. 1 · v = v
(∀v ∈ V )
2. α · (β · v) = (α · β) · v
(∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V )
3. α · (v1 + v2 ) = αv1 + αv2
(∀α ∈ K, ∀v1 , v2 ∈ V )
4. (α + β) · v = αv + βv
(∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V )
v1 , v2 , ..., vn ∈ V , mentre λ1 , λ2 , ..., λn ∈ K. La combinazione lineare degli
elementi v1 , ..., vs con (o tramite) gli scalari λ1 , ..., λs è:
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λs vs
13
Capitolo 5
Polinomi
L’insieme dei polinomi è:
K[t] = {a0 + a1 t + a2 t2 + ... + an tn |a0 , a1 , ..., an ∈ K}
5.1
Coefficienti
I coefficienti devono appartenere tutti a un medesimo campo (Q, R, C, Zn
con n primo). D’ora in poi imporremo che i coefficienti appartengano a un
generico campo (K, +, ·).
5.1.1
Esempi di polinomi con K ∈ Zn
• K = Z2
(1 + t)(1 + t + t2 ) = 1 + t + t2 + t + t2 + t3 = 1 + 2t + 2t2 + t3 = 1 + t3
Si noti che 2t = 2t2 = 0 perché 1 + 1 = 2 = 0 (in Z2 ).
• K = Z3
(1 + 2t)(1 + 2t + t2 ) = 1 + 2t + t2 + 2t + 4t2 + 2t3 = 1 + 4t + 5t2 + 2t3 =
= 1 + t + 2t2 + 2t3 = 1 + 4t + 5t2 + 2t3 = 1 + t + 2t2 + 2t3
Si noti che 2t = 2t2 = 0 perché 1 + 1 = 2 = 0.
5.2
Proprietà dei polinomi
Rispetto a + e ·, i polinomi costituiscono un anello commutativo unitario.
K[t] non è un campo, ma un anello di polinomi, perché non esistono gli
inversi dei polinomi (eccetto quelli costanti).
14
5.3
Grado di un polinomio
Il grado di un polinomio è definibile come l’esponente dell’indeterminata di
grado massimo presente nel polinomio, con coefficiente non nullo.
Quando il coefficiente del termine di grado massimo è 1, il polinomio è
detto monico.
Il grado della somma di due polinomi è minore o uguale del grado
massimo dei gradi dei polinomi sommati.
Il grado del prodotto per scalare si conserva.
5.3.1
Classificazione dei polinomi per grado
• K0 [t]: polinomi costanti
• K1 [t]: polinomi di I grado
• K2 [t]: polinomi di II grado
• K3 [t]: polinomi di III grado
• Kr [t]: polinomi di grado r
Generalizzando:
K0 [t] ⊆ K1 [t] ⊆ K2 [t] ⊆ ... ⊆ Kr [t] ⊆ ...K[t]
15
Capitolo 6
Matrici
6.1
Introduzione
Una matrice Mm×n è composta da m righe (n-uple di indice i) e da n
colonne (m-uple di indice j).
L’elemento generico della matrice è aij , altrimenti indicato come aij . I
coefficienti (che costituiscono gli elementi della matrice) appartengono tutti
a un certo campo K scelto. Avendo una matrice generica si può scrivere:
A = (aij )
1≤i≤m
1≤j≤n
(con m e n fissati)
Mm×n (K) è l’insieme delle matrici con m righe e n colonne, aventi coefficienti in K. Se la matrice è quadrata di ordine n (dunque m = n), si usa
indicare l’insieme come Mn (K).
6.2
Matrice trasposta
Si ottiene sostituendo le righe con le colonne e viceversa.
A → At : Mm×n (K) → Mn×m (K)
(è considerabile come una funzione)
Generalmente A 6= At , mentre A = At se la matrice è simmetrica.
t(aij )
1≤i≤m
= (aji )
1≤j≤n
1≤j≤n
1≤i≤m
Proprietà 5 La trasposta di una matrice trasposta è la matrice iniziale. Il
processo di trasposizione è involutorio.
t
(At ) = A
16
Proprietà 6 La trasposizione di una somma di matrici è uguale alla somma
delle singole trasposizioni.
(A + B)t = At + B t
Proprietà 7 La trasposizione di prodotto per scalare è uguale al prodotto
della trasposizione per lo scalare.
(α · A)t = α · At
Proprietà 8 La trasposizione di un prodotto di matrici è uguale al prodotto
delle singole trasposizioni, però a fattori invertiti1 .
(A · B)t = B t · At
6.3
Matrice simmetrica
Se A = At , la matrice è simmetrica. A è sicuramente e necessariamente
quadrata.
Condizione per cui sia simmetrica è:
aij = aji
Sn (K) è l’insieme delle matrici simmetriche di ordine n su K.
Sn (K) ⊆ Mn (K)
6.4
Operazioni tra matrici
Le matrici sono estensioni bidimensionali delle n-uple: quindi le operazioni
riprendono concettualmente quelle delle n-uple.
6.4.1
Somma tra matrici
È una operazione interna, fattibile solo tra matrici dello stesso tipo, sommando tra loro i coefficienti corrispondenti.
Mm×n (K) × Mm×n (K) → Mm×n (K)
La somma tra matrici gode delle seguenti proprietà:
1. commutativa
2. associativa
1
Si ricordi che il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa.
17
3. elemento neutro: matrice nulla (tutti i suoi elementi sono 0, si indica
con 0m×n )
4. elemento opposto: matrice con elementi di segno opposto a quelli della
matrice data
Per queste proprietà, (Mm×n (K), +) è un gruppo abeliano.
6.4.2
Prodotto per scalare
È una operazione esterna, effettuata moltiplicando ogni coefficiente per lo
scalare.
K × Mm×n (K) → Mm×n (K)
6.4.3
Prodotto tra matrici
Rispetto a quanto possibile con le n-uple, è possibile moltiplicare tra loro
due matrici.
Premessa
Il prodotto scalare (o naturale) tra due n-uple a e b è pari alla somma dei
prodotti dei termini corrispondenti:
ha, bi =
n
X
ak bk ∈ K
k=1
Matrici conformabili
Due matrici A e B sono conformabili se il numero di colonne di A è uguale
al numero di righe di B.
A ∈ Mm×n (K)
⇒A·B
B ∈ Mn×p (K)
N.B.: Non si può fare B · A, visto che non è detto che m = p.
N.B.: Anche qualora m = p, e quindi fosse ammesso B · A, generalmente
A·B =
6 B · A.
Osservazione. A · B ∈ Mm×p (K)
Proprietà 9 Se A ∈ Mm×n (K) e B ∈ Mn×p (K), con α ∈ (K), allora
α · (A · B) = A · (α · B) = (α · A) · B.
Proprietà 10 Se A ∈ Mm×n (K) e B ∈ Mn×m (K), si può fare A · B ∈
Mm (K) e B · A ∈ Mn (K). Se m 6= n, A · B =
6 B · A.
Proprietà 11 Se A, B ∈ Mn (K), si possono fare A · B e B · A, entrambi
∈ Mn (K). Generalmente A · B =
6 B · A.
18
Prodotto righe per colonne
Il prodotto tra due matrici conformabili avviene calcolando ogni singolo
elemento della matrice C = A · B.
Il generico elemento cij è il prodotto scalare tra la riga i (n-upla i-esima)
e la colonna j (m-upla j-esima):
cij = hai , bj i
con ai , bj ∈ Kn . Non casualmente il prodotto tra matrici si chiama prodotto
righe per colonne, e diventa evidente il motivo che obbliga ad avere il numero
di colonne di A uguale al numero di colonne di B.
6.4.4
Proprietà delle operazioni
Valgono:
1. la proprietà associativa;
2. la proprietà distributiva del prodotto tra matrici (·) rispetto alla somma (+);
3. la somma è un’operazione interna a Mm×n (K);
4. il prodotto tra matrici non è un’operazione interna, salvo che in Mn (K).
6.5
Matrici quadrate
Si tratta di matrici formate da un numero uguale di righe e di colonne (n).
6.5.1
Diagonale principale
La diagonale principale 2 è formata da n elementi, cioè quelli aventi indici
uguali (i = j).
6.5.2
Prodotto tra matrici quadrate
Considerando le matrici quadrate di ordine n, il prodotto tra matrici è
un’operazione binaria interna.
+ : Mn (K) × Mn (K) → Mn (K)
· : Mn (K) × Mn (K) → Mn (K)
Si nota che (Mn (K), +, ·) è una struttura, per la quale:
• ∃! elemento neutro (⇒ è un anello unitario);
2
Il concetto di diagonale non esiste nelle matrici non quadrate.
19
• 6 ∃ proprietà commutativa (⇒ non è un anello commutativo).
Per quanto visto, (Mn (K), +, ·) è un anello unitario non commutativo (delle
matrici quadrate di ordine n), e soprattutto non è un campo.
6.5.3
Matrici diagonali
Nelle matrici diagonali solo la diagonale principale è formata da elementi
non nulli.
A = (aij ) è diagonale se aij = 0, ∀i 6= j
6.5.4
Matrici identità
Una matrice diagonale In è definita come identità se la diagonale principale
è composta di soli valori 1.
In = (δij )1≤i,j≤n
0 se i 6= j
i
δj =
1 se i = j
δ è definito come simbolo di Kronecker.
In funge da elemento neutro rispetto al prodotto: se A ∈ Mm×n (K),
allora A · In = A. Si noti che tale operazione non gode di proprietà
commutativa.
Solo se n = m, allora A · In = In · A = A.
6.5.5
Matrici triangolari
Una matrice è triangolare se una sua parte (sopra o sotto la diagonale
principale) ha tutti gli elementi pari a 0. La matrice è detta:
alta o superiore se la parte inferiore è nulla (e cioè aij = 0 se i > j);
bassa o inferiore se la parte superiore è nulla (e cioè aij = 0 se i < j).
Osservazione. Le matrici diagonali sono contemporaneamente triangolare
alta e bassa.
6.6
Matrici ridotte (per righe)
(La riduzione per colonne non si utilizza quasi mai.)
20
6.6.1
Trasformazioni per ottenere la riduzione
Si può:
1. scambiare tra loro due righe;
2. sommare ad una riga una seconda riga, moltiplicata per un qualunque
α 6= 0, α ∈ K;
3. moltiplicare una riga per un certo α 6= 0, α ∈ K.
6.6.2
Metodo generale di riduzione
Si sceglie, riga per riga (a partire dalla prima), il pivot 3 di tale riga. Si procede, quindi, a ridurre a zero l’elemento subito inferiore al pivot designato.
6.7
Determinante
Il concetto di determinante esiste solo per le matrici quadrate. Si tratta di
uno scalare associato alla matrice.
det(A) : Mn (K) → K
A 7−→ det(A)
6.7.1
Calcolo del determinante in matrici con n piccolo
Le matrici 1 × 1, avendo un solo coefficiente, hanno per determinante il
coefficiente stesso.
Le matrici 2 × 2, avendo 4 oggetti, contemplano 2 possibili permutazioni:
l’identità e lo scambio (degli indici).
det(A) = a11 a22 − a12 a21
Si noti che il segno − è necessario, essendo a12 a21 trasposizioni.
Le matrici 3 × 3, risolvibili sommando e sottraendo le 6 permutazioni presenti, sono comodamente risolubili col noto metodo di Sarrus.
Le matrici di ordine superiore al 3◦ si risolvono con il teorema di Laplace
(v.).
3
Si chiama pivot o elemento speciale quell’elemento, su una riga, prima del quale tutti
gli elementi sono 0. Poiché la riduzione avviene a gradini, al crescere dell’indice della riga
cresce l’indice di colonna del pivot di tale riga (in altre parole, il pivot si trova sempre più
a destra mano a mano che seguo le righe).
21
6.7.2
Proprietà del determinante
1. |A| = |A|t .
2. Se una riga (o colonna) ha tutti elementi 0, |A| = 0.
3. Se si scambiano due righe (o due colonne), |A| cambia di segno.
4. Se due righe (o due colonne) sono uguali, |A| = 0.
5. Moltiplicando una riga (o colonna) per α, il determinante della matrice
viene moltiplicato per α.
Per estensione di concetto, se A ∈ Mn (K) e α ∈ K, |αA| = αn · |A|.
6. Sia B una matrice ottenuta da A, sommando alla riga i-esima la
colonna j-esima moltiplicata per α ∈ K.
Ri ← Ri + αRj ⇒ |A| = |B|
7. Se una riga (o colonna) è combinazione lineare di una o più altre righe
(o colonne), |A| = 0.
8. Se, a una riga (o colonna), si somma la combinazione lineare di altre
righe (o colonne), il determinante non cambia.
9. |A · B| = |A| · |B|
Siccome |A| · |B| = |B| · |A| = |B · A|, allora |A · B| = |B · A|.
Inoltre |A2 | = |A|2 .
10. Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi
della diagonale principale.
11. |In | = 1.
12. |0n | = 0.
6.7.3
Sottomatrici
Avendo una matrice, selezionandone un certo numero di righe se ne ottiene
un’altra (sottomatrice). Se questa sottomatrice è quadrata, essa è detta
minore.
6.7.4
Minore complementare
Il minore complementare (Mij ) di aij è la matrice che si ottiene eliminando
da A la riga i e la colonna j.
22
6.7.5
Complemento algebrico
Il complemento algebrico è uno scalare cosı̀ determinato:
Aij = (−1)i+j · det(Mij )
6.7.6
Teorema di Laplace
Il Teorema di Laplace trasforma il calcolo del determinante di una matrice
quadrata di ordine n in n determinanti di ordine n − 1.
|A| =
n
X
aik Aik =
k=1
n
X
akj Akj
k=1
La formula è analoga sia che si utilizzi una riga, sia che si scelga una colonna: ogni elemento della riga (colonna) scelta va moltiplicato per il proprio
complemento algebrico, quindi si sommano tra loro gli n prodotti calcolati
per avere il determinante.
La comodità di questo metodo risiede nell’utilizzo di righe (colonne)
con diversi (possibilmente n − 1) elementi a 0, cosicché si deve calcolare
un solo determinante di ordine n − 1 (e poi moltiplicarlo per il coefficiente
corrispondente).
6.8
Matrice inversa di una matrice quadrata
Una matrice A (rigorosamente quadrata) ammette inversa quando:
A ∈ Mn (K), ∃A−1 ∈ Mn (K) : A · A−1 = A−1 · A = In
In particolare, questo è vero quando il determinante della matrice da invertire è non nullo.
• La matrice nulla 0n non è mai invertibile.
• In è invertibile: In−1 = In .
• Le matrici
α1 0
0 α2
..
..
.
.
0
0
diagonali sono
··· 0
··· 0
·
.
..
. ..
· · · αn
generalmente invertibili.
β1 0 · · · 0
α1 β1
0
···
0
0 β2 · · · 0 0
α2 β2 · · ·
0
..
.. . .
.. = ..
..
..
.
..
. . .
.
.
.
.
0 0 · · · βn
0
0
· · · αn βn
Se α1 , ..., αn 6= 0, allora si possono trovare tutti i valori β1 , ..., βn tali
che α1 β1 , ..., αn βn = 1. Allora le due matrici (αn ) e (βn ) sono una
l’inversa dell’altra.
23
6.8.1
Terminologia
Una matrice invertibile è detta regolare. Le matrici regolari appartengono
all’insieme GLn (K) ⊂ Mn (K).
Le matrici non invertibili sono, invece, chiamate singolari.
6.8.2
Proprietà delle matrici inverse
Proprietà 12 Se A, B ∈ GLn (K), allora A · B ∈ GLn (K).
Proprietà 13 Se A, B ∈ GLn (K), allora (A · B)−1 = B −1 · A−1 .
Proprietà 14 Se A ∈ GLn (K), allora At ∈ GLn (K) e (At )−1 = (A−1 )t .
6.8.3
Calcolo della matrice inversa
Teorema 1 Sia A ∈ Mn (K). Allora A è invertibile se e solo se det(A) 6= 0.
In tal caso:
(A# )t
A−1 =
det(A)
La matrice A# dei complementi algebrici degli elementi di A si chiama
aggiunta classica di A.
A = (aij ) ⇒ A# = (Aij )
Si verifica che:
A · (A# )t = det(A) · In = (A# )t · A
mentre |A−1 | =
6.8.4
1
.
|A|
Caso particolare: inversa della matrice 2 × 2
Consideriamo una generica matrice di ordine 2:
α β
A=
γ δ
Sappiamo che det(A) = αδ − βγ e supponiamo tale determinante non nullo.
Calcoliamo i complementi algebrici (che, forzatamente, sono delle matrici
formate da un solo elemento):
• A11 = δ
• A12 = −γ
• A21 = −β
24
• A22 = α
Dunque la matrice dei complementi algebrici è:
δ −γ
#
A =
−β α
Quindi l’inversa è:
A−1 =
δ −β
−γ α
det(A)
25
Indice analitico
Matrici, prodotto per scalare, 18
Matrici, prodotto riga per colonna,
18
Matrici, somma, 17
Minore complementare, 22
Anello, 9
Anello commutativo, 10
Anello unitario, 10
Campo, 10
Caratteristica, 11
Cardinalità, 5
Classe dei resti, 7
Classe di equivalenza, 6
Combinazioni lineari, 13
Complemento algebrico, 23
N-upla, 12
Polinomi, 14
Relazione di equivalenza, 6
Strutture algebriche, 8
Determinante, 21
Determinante, proprietà, 22
Elemento neutro, 8
Teorema di Laplace, 23
Teorema fondamentale dell’algebra, 5
Teoria degli insiemi, 4
Gruppo, 9
Gruppo abeliano, 9
Zero divisore, 11
Insieme potenza, 4
Insiemi numerici, 5
Matrice dei complementi algebrici (aggiunta classica), 24
Matrice diagonale, 20
Matrice identità, 20
Matrice inversa, 23
Matrice inversa, calcolo, 24
Matrice inversa, proprietà, 24
Matrice quadrata, 19
Matrice quadrata, inversa, 23
Matrice simmetrica, 17
Matrice trasposta, 16
Matrice triangolare, 20
Matrici, 16
Matrici conformabili, 18
Matrici ridotte, 20
26
