MAT+ NUMERI VERI O NUMERI REALI Prof. Andrea Bacciotti

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NUMERI VERI O NUMERI REALI
Prof. Andrea Bacciotti ([email protected])
Esercizio 1
Dimostrare che se N è un intero positivo, allora o N è un quadrato
perfetto
(cioè esiste un intero positivo K tale che N = K 2 ) oppure
√
N è irrazionale.
Esercizio 2
Si ricordi che un numero reale α si dice algebrico se è radice di un’equazione
algebrica
a0 + a1 x + . . . + an x n = 0
a coefficienti interi. Se non è algebrico si dice trascendente.
a) Dimostrare che ogni numero razionale è algebrico;
b) Dimostrare che se α è un numero trascendente, e r ∈ Q (r 6= 0)
allora rα è trascendente.
Esercizio 3
Consideriamo R definito a partire da Q col metodo delle successioni di
Cauchy. Siano α, β ∈ R e siano {un }, {vn } successioni fondamentali
in Q che rappresentano, rispettivamente, α e β. Definiamo somma di
α e β in R il numero reale γ rappresentato dalla successione {un + vn }.
Dimostrare che tale definizione è coerente, nel senso che dipende dalle
classi α e β e non dai particolari rappresentanti scelti.
Esercizio 4
Consideriamo ancora R definito a partire da Q col metodo delle successioni di Cauchy, e siano α, β ∈ R. Diciamo che α < β se esistono in
Q due successioni fondamentali {un }, {vn } che rappresentano, rispettivamente, α e β per le quali:
∃r∃N : ∀n > N =⇒ un + r < vn
Dimostrare che tale relazione < soddisfa la proprietà transitiva.
Esercizio 5
Dimostrare che il principio di Eudosso-Archimede segue dal principio
di completezza espresso nella forma dell’esistenza del sup.
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