MAT+
CONTARE GLI INFINITI
Prof. Riccardo Camerlo ([email protected])
La tabella seguente riassume dei fatti di base di aritmetica cardinale (che possono essere utili negli esercizi). È istruttivo provare a
giustificarli.
• + e · sono associative, commutative e · è distributiva rispetto a
+.
• (κ · λ)µ = κµ · λµ .
• κλ+µ = κλ · κµ .
• (κλ )µ = κλ·µ .
• Se κ ≤ λ, allora κµ ≤ λµ .
• Se 0 < λ ≤ µ, allora κλ ≤ κµ .
• κ0 = 1, 1κ = 1, 0κ = 0 se κ > 0.
Un altro fatto (a questo punto non ancora banale) è che dati numeri
cardinali κ, λ, questi sono confrontabili: κ ≤ λ o λ ≤ κ.
Exercizi.
(1) Dimostrare che se κ è un numero cardinale infinito e 2 ≤ λ ≤ κ,
allora 2κ = λκ = κκ .
(2) Dimostrare che l’insieme dei numeri algebrici ha cardinalità ℵ0
(un numero è algebrico se è soluzione di qualche equazione polinomiale an xn +an−1 xn−1 +. . .+a1 x+a0 = 0 a coefficienti interi).
(3) Sapendo che una funzione continua R → R è determinata dai
valori che assume sui razionali, calcolare la cardinalità dell’insieme
C(R, R) delle funzioni reali di variabile reale continue.
(4) Dato un qualunque insieme K di numeri cardinali, dimostrare
che c’è un numero cardinale più grande di ogni elemento di K.
(5) Dimostrare che se n, m ∈ N con n < m, allora card({0, 1, . . . , n−
1}) < card({0, 1, . . . , m−1}). [Suggerimento: Usare il principio
di induzione o il fatto che ogni sottoinsiene non vuoto di N ha
un elemento minimo.]
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