Prova in itinere di Matematica 1 del 5 dicembre 2016

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Prova in itinere di Matematica 1 del 5 dicembre 2016 - compito A
REGOLE
1. Spegnere i cellulari, riporli nello zaino, sistemare lo zaino non a portata
di mano.
2. Rispondere alle domande a risposta multipla contrassegnando il cerchietto a fianco della risposta corretta.
3. Rispondere sui fogli protocollo di bella a due domande di teoria a scelta
e svolgere due esercizi a scelta. Scrivere a penna.
4. Consegnare unicamente il foglio con i quiz ed i fogli di bella. Scrivere
il proprio nome su tali fogli. Tenete per voi i fogli di brutta copia.
5. Si può uscire dall’aula solo dopo aver consegnato il compito e non prima
che sia passata un’ora dall’inizio del compito.
6. Durante gli ultimi 15 minuti del compito sarà proibito alzarsi e consegnare.
7. Allo scadere del tempo passerete i vostri elaborati ai colleghi alla vostra estrema sinistra, e questi li passeranno in avanti. Il sorvegliante
prenderà gli elaborati solo dagli studenti in prima fila a sinistra.
Teoria
T1 Il numero reale L è l’estremo superiore dell’insieme numerico X se e
solo se verifica le seguenti proprietà: (completare). Definire il massimo
di X e dimostrare che il massimo di X, se esiste, verifica le proprietà
dell’estremo superiore.
T2 Dire come si definisce la somma di due vettori in R2 e spiegare cosa
significa che due vettori sono linearmente indipendenti.
T3 Enunciare e dimostrare la formula di Moivre.
T4 Definire la divergenza di una successione {an } a +∞ e a −∞. Enunciare e dimostrare il teorema di confronto per successioni divergenti.
1
Esercizi (compito A)
E1 Calcolare il limite delle seguenti successioni
an =
(n2 + 2)
2n2 + 1
sin 3
;
2n + 4
n +6
bn =
(n − 1)2 n−2
n2 + 4
E2 Si consideri l’insieme X = {x ∈ Z : |x − 2| − 1 < x + 3}. Determinare
inf X e sup X e precisare se sono minimo e massimo.
E3 Scrivere l’equazione della tangente alla√
circonferenza di equazione x2 +
2
y − 2x − 6y − 6 = 0 nel punto P (1 + 7, 0)
2
Quiz (compito A)
Candidato .....................................................................................................
1. Si consideri l’insieme {x ∈ Q : 1 < |x| < 5}. Si ha:
0∈X
π è interno ad X
π è di accumulazione per X
2. Il numero complesso z = i + 1 + (−i)2 i
è reale
vale zero
è immaginario puro


2 1 0
3. La matrice 3 1 3
2 1 2
ha rango 2
ha rango 3
ha rango 4
4. La successione an =
(−1)n+1 2n+1
cos nπ
n+3
è convergente
è divergente
è oscillante
5. Un sistema lineare omogeneo di tre equazioni in tre incognite
ha soluzioni solo se il determinante dei coefficienti è diverso da
zero
ha sempre una e una sola soluzione
può avere infinite soluzioni
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