ANALISI MATEMATICA CON ELEMENTI DI ALGEBRA
(titolare del corso: Claudio Fontanari)
Per superare l’esame di Analisi matematica con elementi di algebra negli
appelli dell’a.a. 2016-17 è necessario aver acquisito in grado sufficiente le
seguenti competenze:
√
1. Dimostrare che 2 non è razionale ([2], pp. 32-33).
2. Enunciare e dimostrare per induzione la formula per la somma dei
primi n numeri naturali ([1], p. 9).
3. Dare la definizione di fattoriale e di coefficiente binomiale. Enunciare
in generale il teorema del binomio. Verificare esplicitamente il caso
particolare del quadrato di un binomio ([1], p. 10).
4. Enunciare e dimostrare la formula per la distanza tra due punti nel
piano. Ricavare l’equazione della circonferenza di centro (x0 , y0 ) e
raggio r. Dati i due punti di coordinate (a, b) e (c, d), calcolare la loro
distanza ([2], p. 63 e pp. 68-69).
5. Ricavare l’equazione di una generica retta nel piano. Dati i due punti di
coordinate (a, b) e (c, d), determinare un’equazione della retta passante
per entrambi ([2], pp. 72-74).
6. Dimostrare che il limite della somma di due successioni convergenti è
la somma dei rispettivi limiti ([1], pp. 38-39).
7. Dimostrare che ogni successione convergente è limitata, ma non vale
il viceversa ([1], pp. 41-42).
8. Enunciare la definizione di limite di una funzione di variabile reale sia
in termini di ε-δ sia in termini di successioni. Dimostrare che la prima
formulazione implica la seconda ([1], pp. 55-56).
9. Dimostrare che il limite della somma di due funzioni di variabile reale
è la somma dei rispettivi limiti ([1], p. 58).
10. Dimostrare che ogni funzione derivabile è continua, ma non vale il
viceversa ([2], p. 251).
11. Dare la definizione di funzione di insiemi iniettiva. Tracciare il grafico
della funzione potenza n-esima per n = 1 e n = 2. Dimostrare che la
funzione potenza n-esima è iniettiva se n è dispari, ma non lo è se n è
pari ([2], p. 121 e p. 125).
12. Definire le funzioni seno, coseno e logaritmo e tracciare i rispettivi
grafici ([2], pp. 129-130 e pp. 132-133).
13. Dimostrare che la derivata della somma di due funzioni derivabili è la
somma delle rispettive derivate ([2], p. 252).
14. Enunciare e dimostrare la regola di Leibniz per la derivata del prodotto
di due funzioni derivabili ([2], p. 252).
15. Enunciare e dimostrare per induzione la formula di derivazione della
funzione potenza n-esima ([2], p. 252).
Riferimenti bibliografici
[1] Ennio De Giorgi: Lezioni di istituzioni di matematica, Ferrara 1971,
disponibile in rete al link http://www.science.unitn.it/~fontanar/
downloads/de_giorgi_1.pdf
[2] Enrico Giusti: Elementi di analisi matematica, Bollati Boringhieri,
Torino 2008.
