Compito di Algebra 1
Corso di Laurea in Matematica per l’Informatica
e la Comunicazione Scientifica
16 Gennaio 2004 - a.a. 2003/04
1) Sia (N∗ ; ·) il monoide moltiplicativo dei numeri naturali positivi. Consideriamo il seguente sottoinsieme S
di N∗
S = {2a 3b 5c | a, b, c ∈ N}.
a) Dimostrare che S è un sottomonoide di N∗ ;
Sia X = {2, 3, 5} ⊆ N∗ .
b) Determinare il sottomonoide di N∗ generato da X, [X];
c) Che relazione esiste tra S e [X]?
Definiamo in S la seguente relazione ∼ : ∀ 2a 3b 5c , 2α 3β 5γ ∈ S,
2a 3b 5c ∼ 2α 3β 5γ ⇔ a + b + c = α + β + γ.
d) Dimostrare che ∼ è una relazione di equivalenza in S;
e) Dimostrare che ∼ è compatibile con l’operazione di S;
f) Determinare le seguenti classi di equivalenza: [1]∼ , [2]∼ , [5]∼ , [6]∼ , [9]∼ , [30]∼ .
Sia (S/ ∼; ·) il monoide quoziente e (N; +) il monoide additivo dei numeri naturali.
l’applicazione
ϕ : (N; +) → (S/ ∼; ·)
definita da
ϕ(n) = [2n ], ∀ n ∈ N
g) Verificare che ϕ è un isomorfismo di monoidi.
2) Consideriamo il seguente insieme di matrici 3 × 3
1
H= 0
0
a valori reali
a b
1 c | a, b, c ∈ R .
0 1
a) Dimostrare che (H; ·) è un gruppo (· indica l’usuale prodotto righe per colonne);
b) H è un gruppo commutativo?
c) Calcolare il centro di H, Z(H);
d) Dimostrare che (Z(H); ·) è isomorfo al gruppo additivo dei numeri reali (R; +).
Consideriamo il gruppo quoziente (H/Z(H); ·) e il gruppo prodotto diretto (R × R; +). Sia
f : H/Z(H) → R × R
definita da
1
f ( 0
0
a b
1 c Z(H)) = (a, c).
0 1
Consideriamo
e) Dimostrare che f è un’applicazione;
f) Dimostrare che f è un isomorfismo di gruppi.
3) Sia (Z4 ; +, ·) l’anello delle classi resto modulo 4. Si consideri l’anello prodotto diretto A = Z4 × Z4 .
a) Dimostrare che A è un anello commutativo con unità;
b) Determinare l’ordine, la caratteristica e il sottoanello fondamentale di A;
c) Determinare i divisori dello zero di A. A è un dominio di integrità?
Posto I = {([0], [a]) | [a] ∈ Z4 } ⊆ A.
d) Provare che I è un ideale di A.
Posto J = {([a], [a]) | [a] ∈ Z4 } ⊆ A.
e) Verificare se J è un ideale di A;
f) Dimostrare che l’anello quoziente A/I è isomorfo a Z4 ;
g) I è un ideale primo di A? I è un ideale massimale di A?
