relazioni e funzioni

RELAZIONI E FUNZIONI
Supponiamo di avere due funzioni
f: A→ B, g: B → C,
dove il codominio di f coincide con il dominio di g
definiamo una nuova funzione la funzione composta
g ο f : A → C , così definita
per ogni a∈A g ο f (a) = g(f(a))
Esempio: Sia f la funzione che associa ad ogni cittadino
italiano la propria città di residenza, sia g la funzione che
associa ad ogni città italiana il C.A.P., g ο f è, dunque, la
funzione che associa ad ogni cittadino italiano il C.A.P.,
della città dove risiede
RELAZIONI E FUNZIONI
In generale
f: A→ B, g: C → D,
la funzione composta
g ο f : A → D, è ben definita definita
quando l’immagine di f è contenuta nel dominio di g
f(A) ⊆ C
Esempio: f: R → R tale che f(x) = x2 , sia g : R → R tale
che g(x) = 3x - 1, essendo f(R ) = [0, +∞) ⊆ R
g ο f è ben definita, g ο f : R → R , si ha
g ο f(x) = g(f(x)) = 3x2 - 1
RELAZIONI E FUNZIONI
Esempio: f: R → R tale che f(x) = x2 , sia g : R → R tale
che g(x) = 3x - 1, è possibile, in questo caso, definire
anche f ο g
f ο g : R → R , si ha
f ο g(x) =f(g(x)) = (3x-1)2
Esempio: f: R → R tale che f(x) = x2 + 1, sia
g : R/{0} → R tale che g(x) =1/x,
essendo f(R) =[1, +∞) ⊆ R /{0} è possibile definire
g ο f: R → R
g(f(x))=1/(x2 + 1)
E’ possibile definire f ο g ?
RELAZIONI E FUNZIONI
Ad ogni funzione f : A → B possiamo associare un
sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB, che
chiameremo grafico di f
Gf = {(a,b)∈AxB| b=f(a)} = {(a,f(a))| a ∈A} ⊆ AxB
Esempio: il grafico della funzione che associa ad ogni
cittadino italiano la città di residenza è l’insieme delle
coppie ordinate (i,c), dove c è la città di residenza della
persona di cittadinanza italiana i
RELAZIONI E FUNZIONI
Attenzione! Non ogni
sottoinsieme del prodotto
cartesiano AxB è il grafico di una funzione.
Un sottoinsieme G ⊆ AxB è grafico di una funzione f se e
solo se (perché?) per ogni a∈A esiste un unico elemento
b ∈ B tale che (a,b) ∈G in tal caso b=f(a).
RELAZIONI E FUNZIONI
ESEMPIO: Supponiamo di indicare con S={a,b,c,d,e,f}
l’insieme di alcuni neuroni indicati con le lettere
a,b,c,d,e,f. Un neurone può trasmettere o no un impulso
direttamente ad un altro neurone, l’impulso va in una sola
direzione, indichiamo con (a,b) il fatto che il neurone a
trasmette un impulso al neurone b, consideriamo il
seguente insieme
G ={(a,b),(a,d), (c,a), (b,d), (b,c), (c,d), (d,e), (c,f), (d,f),
(f,e)} ⊆ SxS
Si può ritenere G grafico di una funzione f: S →S?
RELAZIONI E FUNZIONI
G ={(a,b),(a,d), (c,a), (b,d), (b,c), (c,d), (d,e), (c,f), (d,f),
(f,e)} ⊆ SxS
Si può ritenere G grafico di una funzione f: S →S?
La relazione fra i neuroni, descritta da G, non è una
funzione perchè ad es. il neurone a invia un impulso sia a
b che a d , quindi a non è univocamente connesso.
Più in generale diremo che un sottoinsieme qualsiasi
D⊆AxB rappresenta una relazione fra gli elementi di A e
gli elementi di B, nel senso che a∈A è in relazione con b
∈ B se e solo se (a,b) ∈ D
PIANO CARTESIANO
Sia f: A⊆R → R , il grafico di f è un sottoinsieme del
prodotto cartesiano RxR = R2
Costruiamo una corrispondenza biunivoca tra i punti del
piano euclideo e le coppie di numeri reali:
1- scelta di un punto O, origine, questo punto verrà
associato alla coppia (0,0)
2- scelta di una retta r1 qualsiasi passante per O, asse
delle ascisse
3- scelta di un punto diverso da O su r1 (unità di
misura e orientamento sull’asse delle ascisse)
PIANO CARTESIANO
4- scelta di una retta diversa da r1 e passante per O, asse
ordinate (usualmente scelto ortogonale all’asse delle
ascisse)
5- scelta di un punto diverso da O sull’asse delle
ordinate (unità di misura (può essere diversa da quella
dell’asse delle ascisse) e orientamento per l’asse delle
ordinate)
Sistema di riferimento
PIANO CARTESIANO
Scegliamo un punto P del piano, dobbiamo associare a
P una coppia di numeri reali:
1- retta per P parallela all’asse delle ordinate. Questa
retta interseca l’asse delle ascisse in un unico punto P1 a
cui corrisponde un unico numero reale x , ascissa del
punto P
2- retta per P parallela all’asse delle ascisse. Questa
retta interseca l’asse delle ordinate in un unico punto P2
a cui corrisponde un unico numero reale y, ordinata
del punto P
P←→(x,y)