ESAME DI MATURITA’ 2010 QUESITI DELLA SECONDA PROVA DI MATEMATICA LICEO SCIENTIFICO TRADIZIONALE A cura di Alberto Bellato Soluzioni a cura di Studentville.it e Votailprof.it Attenzione: il contenuto del documento è fornito AS IS. Si declina ogni responsabilità per eventuali errori od imprecisioni contenute in esso. L’uso delle informazioni contenute nel documento implica l’assunzione di ogni responsabilità connessa. 1 1.1 Problema 2 Punto 1 La funzione f (x) = bx è una classica esponenziale. Per 0 < b < 1 il grafico sarà decrescente, con dominio reale ed intersezione con l’asse delle ordinate in f (0) = 1. Per b > 0 l’esponenziale sarà invece crescente, conservando il medesimo punto di intersezione con l’asse delle ordinate. 1.2 Punto 2 Per dimostrare che la lunghezza di AB è costante, calcoliamo le coordinate dei punti A e B. Il punto A si trova calcolando innanzitutto l’equazione della retta tangente a Gb nel punto P. Il punto P avrà coordinate (xP , bxP ) . Il coefficiente angolare della retta 1 tangente si ottiene derivando Gb : 0 Gb (x) = bx · ln(b) Nel punto xP esso vale bxP · ln(b). L’equazione della retta AP si calcola con la classica formula: y − y0 = m · (x − x0 ) Otteniamo y = bxP · [log(b) · x − xP · log xP + 1] Il punto d’intersezione con l’asse delle imponendo la condizione ascisse si calcola 1 ; 0 . Il punto B avrà coordinate y=0. Avremo A = xP − log(b) 1 . B = (xP , 0); la differenza vale dunque |xB − xA | = | log(b)| Il valore di b che rende unitaria la lunghezza del segmento è la base dei logaritmi naturali: b = e. 1.3 Punto 3 Grazie al ragionamento precedente, si può vedere subito che la retta passa per l’origine e per il punto Z = (1; e). L’angolo formato da questa retta con l’asse delle ascisse è calcolabile come α = arctan(e) ' 70, 2 deg. 1.4 Punto 4 L’area della regione di piano voluta è calcolabile con una integrazione definita, sottraendo dall’area del rettangolo sotteso dall’orgine al punto Z l’area compresa fra la curva e l’asse delle ascisse: A= Z 1 0 (e − ex ) dx = e − [ex ]10 = 1 2