esame di maturita` 2010

ESAME DI MATURITA’ 2010 QUESITI DELLA SECONDA
PROVA DI MATEMATICA LICEO SCIENTIFICO
TRADIZIONALE
A cura di Alberto Bellato
Soluzioni a cura di Studentville.it e Votailprof.it
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1
1.1
Problema 2
Punto 1
La funzione f (x) = bx è una classica esponenziale. Per 0 < b < 1 il
grafico sarà decrescente, con dominio reale ed intersezione con l’asse delle ordinate in f (0) = 1. Per b > 0 l’esponenziale sarà invece
crescente, conservando il medesimo punto di intersezione con l’asse
delle ordinate.
1.2
Punto 2
Per dimostrare che la lunghezza di AB è costante, calcoliamo le
coordinate dei punti A e B. Il punto A si trova calcolando innanzitutto l’equazione della retta tangente a Gb nel punto P. Il punto
P avrà coordinate (xP , bxP ) . Il coefficiente angolare della retta
1
tangente si ottiene derivando Gb :
0
Gb (x) = bx · ln(b)
Nel punto xP esso vale bxP · ln(b).
L’equazione della retta AP si calcola con la classica formula:
y − y0 = m · (x − x0 )
Otteniamo y = bxP · [log(b) · x − xP · log xP + 1] Il punto d’intersezione con l’asse delle
imponendo la condizione
ascisse si calcola
1
; 0 . Il punto B avrà coordinate
y=0. Avremo A = xP − log(b)
1
.
B = (xP , 0); la differenza vale dunque |xB − xA | = | log(b)|
Il valore di b che rende unitaria la lunghezza del segmento è la base
dei logaritmi naturali: b = e.
1.3
Punto 3
Grazie al ragionamento precedente, si può vedere subito che la
retta passa per l’origine e per il punto Z = (1; e). L’angolo formato da questa retta con l’asse delle ascisse è calcolabile come
α = arctan(e) ' 70, 2 deg.
1.4
Punto 4
L’area della regione di piano voluta è calcolabile con una integrazione definita, sottraendo dall’area del rettangolo sotteso dall’orgine
al punto Z l’area compresa fra la curva e l’asse delle ascisse:
A=
Z 1
0
(e − ex ) dx = e − [ex ]10 = 1
2