Trigonometria
Es_2) Problema (m)- Considerata la semicirconferenza di diametro AB=2r, sia P un suo punto ed M
il punto medio dell’arco di estremi P e B. Determinare per quali posizioni del punto P tra l’area del
triangolo ABP e l’area del triangolo BPM sussiste la seguente relazione
Area ( ABP ) = 2
(
)
2 + 1 Area ( BPM )
(Si indichi con x la misura dell’angolo ABP)
Riconosciuto che il problema proposto ammette due soluzioni, determinare in corrispondenza alle
posizioni del punto P i valori delle aree dei due triangoli in questione.
Soluzione
Facciamo riferimento alla figura riportata a lato Fig.a nella
quale è stata indicata con x l’ampiezza dell’angolo ABP,
PH è perpendicolare al diametro AB, OM è perpendicolare
alla corda BP.
Variabilità di x
Prima di determinare in funzione di x i segmenti che ci
permetteranno di determinare i valori delle aree dei due
triangoli ABP, BPM, notiamo che P può variare sulla
semicirconferenza muovendosi dall’estremo A all’estremo
B; le due posizioni estreme sono comprese e dunque i valori di x variano nell’intervallo [0;90°].
Discussione delle posizioni estreme di P
• Se P≡A il triangolo ABP degenera nel doppio segmento AB, quindi ha area nulla, il
triangolo BPM diventa isoscele perché il punto M coincide con il punto medio dell’arco AB
e la sua area è r2. E’ evidente, dunque, che questa posizione non rappresenta una soluzione
del problema.
• Se P≡B il triangolo ABP degenera ancora nel doppio segmento AB, ha area nulla, mentre il
triangolo BPM degenera nel solo punto B; anch’esso ha area nulla. Poiché è soddisfatta la
relazione metrica tra le aree dei due triangoli:
Area ( ABP ) = 2
(
)
2 + 1 Area ( BPM ) ⇔0= 2
(
)
2 + 1 ⋅0
deduciamo che questa posizione estrema rappresenta una soluzione del problema in esame.
Discutiamo ora il caso generale
Osserviamo che sussistono le seguenti relazioni
AB=2r; AP=2rsenx; B AP = 90° − x ;
HP=AP⋅sen( B AP )=2rsenx⋅sen(90°-x)= 2r⋅senx⋅cosx ;
BP=AB⋅cos( ABP )=2r⋅cosx;
OK=OB⋅senx = r⋅senx KM=OM-OK=r(1-senx).
Possiamo calcolare le aree dei due triangoli ABP, BPM ed imporre che sia soddisfatta la relazione
richiesta dal testo del problema.
AB ⋅ HP 1
Area ( ABP ) =
= ⋅ 2r ⋅ 2r ⋅ senx ⋅ cos x = 2r 2 ⋅ senx ⋅ cos x ;
2
2
BP ⋅ KM 1
Area ( BPM ) =
= ⋅ 2r ⋅ cos x ⋅ r (1 − senx) = r 2 cos x(1 − senx )
2
2
La relazione metrica richiesta dal problema assume la seguente forma
2r 2 ⋅ senx ⋅ cos x = 2
equivalente all’equazione
(
)
2 + 1 r 2 cos x (1 − senx )
(
)
cos x 2 + 2 senx −
(
)
2 +1 = 0
(2.1)
Risoluzione dell’equazione (2.1) con x∈[0;90°]
Si risolve l’equazione applicando la legge di annullamento del prodotto.
cos x = 0 x = 90° questo valore corrisponde alla posizione estrema P≡B già discussa.;
( 2 + 2 ) senx − (
)
2 +1 = 0
senx =
(
(
)(
)(
2 +1 ⋅ 2 − 2
2 +1
=
2+ 2
2+ 2 ⋅ 2− 2
)
)
=
2
2
x = 45°
Dunque il punto P deve coincidere con il punto medio dell’arco AB della semicirconferenza.
Conclusione
Il problema in esame ammette due soluzioni: la
prima con P coincidente con l’estremo B del diametro,
per la quale si hanno due triangoli degeneri, la seconda
con P nella posizione del punto medio dell’arco AB per la
quale i valori delle aree dei due triangoli sono
x = 45°
Area ( ABP ) = 2r 2 ⋅ sen 45° ⋅ cos 45° = r 2 ;
2 −1 2
r
2
In Fig.b è rappresentata la figura geometrica corrispondente al valore x = 45°
Area ( BPM ) = r 2 cos 45° (1 − sen 45° ) =
