Equazioni differenziali

EQUAZ IONI DIFFERENZIALI – ESERCIZI
1) ln cos ydx  xtgydy  0
[ y  arccos e cx ]
2) y' y tan x  x 2
[ y  ( x 2  2)tgx  2 x 
c
]
cos x
( x 2  1) 2
x2 1
]
c
3x
x
1 sen 3 x
3

(

)]
4) y ' y cot anx  senx cos x  0 con y ( )  0 [y =
senx
3
8
3

5) y '  e x  y  e x  y
con y(0) = 0
[ y  ln tan( e x   1) ]
4
6) Determinare l’equazione della curva passante per P(e,2), per la quale il coefficiente angolare
della retta tangente in ogni punto è uguale al reciproco dell’ascissa del punto stesso. [y = ln x  1 ]
[y
3) x( x 2  1) y' y  x(1  x 2 ) 2
7) La velocità di disintegrazione del radio è direttamente proporzionale alla sua massa all’istante
considerato. Determinare la legge con cui varia la massa del radio in funzione del tempo, sapendo
che all’istante iniziale t = 0 si ha m = m0.
[m = m0e-kt]
8) Trovare il tempo necessario perché una somma di denaro raddoppi, se impiegata ad un tasso di
interesse composto continuo annuo de 5%.
[ circa 14 anni]
9) Se la popolazione di un paese raddoppia in 50 anni, in quanti anni triplicherà, nell’ipotesi che il
tasso di incremento sia proporzionale al numero di abitanti?
[circa 79 anni]
10) Un corpo C è immerso in un liquido in cui è solubile; si sa che la velocità con cui C si scioglie è
proporzionale in ogni istante alla quantità di C non ancora disciolta. Sia q la quantità di C all’inizio
del processo, y la quantità di C sciolta al tempo t; determinare l’equazione differenziale relativa alla
velocità di soluzione e risolverla sapendo che per t = 0 si ha y = 0.
[y = q(1-e-kt)]
11) Determinare la corrente i = i(t) che circola
nel circuito della figura, dopo l’esclusione
della tensione V, indicando con i0 la corrente
[i = i0 e
quando t = 0.
R
 t
L
]

x
2
[ y  e (c1 cos
12) y’’+y’ +y = x +x+1
2
13) y’’-5y’ +4y = ex
14) y’’-3y’+2y = 16sen2x -12cos2x
3
3
x  c 2 sen
x)  x 2  x ]
2
2
1
[ y = c1ex+c2e4x- xex]
3
[y = c1ex+c2e2x+sen2x +3cos2x]
15) Determinare l’integrale particolare dell’equazione differenziale y’’ -4y = 4e-2x che verifica le
seguenti condizioni: lim y  0 lim y  1 . Disegnare il grafico della funzione così ottenuta.
x  
x 0
[y = (1-x)e-2x]